L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique. Il est purement facultatif. Les résultats, bons ou mauvais, ne seront en aucun cas pris en compte. Pour que l exercice vous soit réellement profitable, il vous est conseillé de vous placer autant que possible dans les conditions d une interrogation normale : répondez aux questions tout(e) seul(e), sans l aide des notes, sans interrompre votre travail, dans un délai maximum de 2 heures. Les copies seront reprises lors du cours ex-cathedra d analyse du 29 novembre. On considère le circuit électrique représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives. R i (t) C c (t) On applique une tension électrique i (t) aux bornes du système et on mesure la tension c (t) aux bornes du condensateur. Celles-ci sont liées par R i(t)+ c (t)= i (t) où i(t) désigne le courant électrique circulant dans le système. Si le condensateur est initialement déchargé, on a t c (t)= 1 i(τ)dτ et C dt = i i. Dans un premier temps, on applique une tension alternative i (t) = sinωt aux bornes du système, où et ω sont des constantes strictement positives. (a) Calculez la tension de sortie c (t). (b) Montrez que c (t) est asymptotique à un signal périodique pour t et déterminez l amplitude de ce signal périodique ainsi que sa période. (c) Montrez que, à haute fréquence et pour t, la tension de sortie tend à être proportionnelle à une primitive du signal d entrée i (t). On dit que le circuit se comporte comme un montage intégrateur ou comme un filtre passe-bas. ii. Dans un deuxième temps, on applique une tension i (t) variant comme indiqué ci-dessous. En raisonnant d abord séparément pour t < et pour t >, déterminez l expression de c (t) pour tout t >. i (t) t iii. Déterminez la tension de sortie c (t) si on applique une tension i (t) continue quelconque aux bornes du système.
SOLUTION i. (a) Dans ce premier cas, l équation à résoudre est Décomposition en c h et c p (écrite explicitement dt = sinωt ou mise en oeuvre La solution de cette équation différentielle linéaire non homogène peut être exprimée sous la forme c (t)= c h (t)+c p (t) dans la suite) avec justification par la linéarité : 2 pts où h c (t) est la solution générale de l équation homogène associée et où p c (t) désigne une solution particulière de l équation non homogène. générale de l équation homogène. L équation homogène dt = étant linéaire à coefficients constants, sa solution générale peut être construite en considérant les zéros de son polynôme caractéristique z+ 1 Le seul zéro est simple et vaut 1/. La solution générale s écrit donc où A est une constante. h c (t)=ae t/ homogène : 4pts dont 2pts pour la méthode Le second membre f(t) = sinωt n est pas à première vue du type exponentiellepolynôme. Cependant, en remarquant que on peut écrire sinωt = Ie iωt f(t)=i eiωt En notant que l équation est à coefficients réels, il est alors possible d obtenir p c (t) en prenant la partie imaginaire d une solution particulière de l équation dt = eiωt à laquelle nous pouvons appliquer la méthode de l exponentielle-polynôme. Comme iω n est pas zéro du polynôme caractéristique, on peut trouver une solution particulière de la forme Be iωt où la constante B est déterminée par substitution : soit iωbe iωt + B eiωt = eiωt B= 1+iω = (1 iω) 2
et donc [ ] [ ] (1 iω) (1 iω) c P (t)=i eiωt = I 1+ω 2 R 2 (cosωt+ isinωt) C2 = ( ω cosωt+ sinωt) générale de l équation non homogène. La solution générale de l équation différentielle est donc particulière : 4pts dont 2pts pour la méthode c (t)=ae t/ + 1+ω 2 R 2 C2( ω cosωt+ sinωt) La condition initiale c ()= 1 C permet de déterminer la constante A. On a i(τ)dτ= c ()= : 1pt = c ()=A ω et donc aleur de la A= ω constante : 2pts Finalement, la solution du problème différentiel s écrit (b) Puisque on obtient c (t)= ω e t/ + c (t) ( ω cosωt+ sinωt) : 1pt Total (a) : 14 pts lim t e t/ = 1+ω 2 R 2 C2( ω cosωt+ sinωt), (t ) (1) que l on peut réécrire sous la forme d une fonction trigonométrique unique c (t) Ãsin(ωt ϕ)=ãsinωt cosϕ Ãcosωt sinϕ, (t ) Comportement asymptotique : 1pt avec aleur de la Ãcosϕ= période : 1 pt Ãsinϕ= ω Il s agit d un signal périodique caractérisé par une période T = 2π/ω et une amplitude à donnée par aleur de Ã= l amplitude : 2 pts = Total (b) : 4 pts 3
(c) Partant du comportement asymptotique (1) obtenu en (b), on peut écrire, si ω est très grand, Or c (t) cosωt, (t, ω ) ω sinωt dt = ω cosωt Le circuit se comporte donc bien en intégrateur. ii. La fonction i (t) correspondant au graphe donné s écrit t i (t)= pour t pour t > Comportement asymptotique : 1 pt Conclusion : 1 pt Total (c) : 2 pts Total i. : 2 pts Expression de i pour t : 1 pt La fonction c (t) recherchée obéit à l équation différentielle du premier ordre linéaire à coefficients constants dt = i(t) où i (t) est une fonction continue, elle est donc continûment dérivable. (a) Dans un premier temps, recherchons l expression de c (t) pour t en résolvant dt = t La solution de cette équation différentielle linéaire non homogène peut être exprimée sous la forme c (t)= c h (t)+c p (t) où h c (t)=ae t/ est la solution générale de l équation homogène associée déterminée au point ii(a) et où p c (t) désigne une solution particulière de l équation non homogène. Le second membre f(t)= t est du type exponentielle-polynôme avec le coefficient de la variable t dans l argument de l exponentielle valant et n étant donc pas zéro du polynôme caractéristique. On peut alors trouver une solution particulière de la forme C 1 t+c 2 où les constante C 1 et C 2 sont déterminées par substitution : particulière pour ce f(t) : 4 pts dont 2 pts pour la méthode soit et C 1 + C 1 t+ C 2 = t C 1 = et C 2 = c p (t)= (t ) t générale de l équation non homogène. La solution générale de l équation différentielle est donc 4
c (t)=ae t/ + (t ) générale : La condition initiale permet de déterminer la constante A. On a c ()= = c ()= A et donc A= Finalement, la solution du problème différentiel s écrit, pour t, c (t)= e t/ + (t ) t (b) Pour t >, l équation différentielle à résoudre est 1 pt Constante d intégration : 1 pt pour t : 1 pt dt = Une fois encore, la solution de cette équation différentielle linéaire non homogène peut être exprimée sous la forme c (t)= c h (t)+ c p (t) où h c (t)=ae t/ est la solution générale de l équation homogène associée déterminée au point ii(a) et où p c (t) désigne une solution particulière de l équation non homogène. Par inspection, on trouve facilement que la fonction constante p c (t)= est une solution particulière de l équation non homogène. particulière t > : 2 pts pour générale de l équation non homogène. La solution générale de l équation différentielle est donc générale : 1 pt c (t)=ae t/ + Pour déterminer la constante A, il faut tenir compte de la continuité de la fonction c (t). On Continuité de c a donc, en utilisant la solution pour t, en et valeur de c ( ) : 2pts c ( )= ( ) e t / 1 + qui constitue la condition initiale pour la deuxième phase correspondant à t >. 5
Ainsi, ( ) e t / 1 + = Ae t / + et donc aleur de A : 1 pt A= ( ) 1 e t / Finalement, la solution du problème différentiel s écrit, pour t >, pour t > : 1 pt c (t)= ( ) 1 e t / e t/ + iii. Dans ce cas, l équation différentielle à résoudre est dt = i(t) Une fois encore, la solution de cette équation différentielle linéaire non homogène peut être exprimée sous la forme c (t)= c h (t)+ c p (t) où h c (t)=ae t/ Total ii. : 15 pts Décomposition en c h et c p avec justification par la linéarité : 1 pt est la solution générale de l équation homogène associée déterminée au point ii(a) et où c p (t) désigne une solution particulière de l équation non homogène. homogène : 2 pts La méthode de variation des constantes nous suggère de rechercher une solution particulière de la forme p c (t)=b(t)e t/ Introduisant cette solution dans l équation différentielle, on obtient soit et donc, on peut choisir et db dt e t/ B e t/ + B e t/ = i(t) db dt = i(t) et/ t i (τ) B(t)= eτ/ dτ p c (t)= [ t générale de l équation non homogène. ] i (τ) eτ/ dτ e t/ particulière : 4 pts dont 2 pts pour la méthode La solution générale de l équation différentielle est générale : [ 1 pt t ] c (t)=ae t/ i (τ) + eτ/ dτ e t/ La condition initiale c ()= 6
permet de déterminer la constante A. On a = c ()=A. Finalement, la solution du problème différentiel s écrit complète [ du problème : 2 pts t ] i (τ) c (t)= eτ/ dτ e t/ Total iii. : 1 pts TOTAL : 45 PTS ERREURS LES PLUS FRÉQUENTES i. (a) * L utilisation de la méthode de variation des constantes est inutile ici et induit, par sa longueur, des erreurs de calcul qui pourraient être évitées en utilisant la méthode de l exponentielle-polynôme. La méthode de résolution la plus directe et la plus efficace devrait toujours être utilisée, en tirant parti de la structure du problème. La formule (2.26) des notes de cours donnant l expression de la solution d un problème différentiel général linéaire du premier ordre ne devrait être utilisée que dans un cadre théorique, pas pour résoudre des exercices. La formule ne doit pas être étudiée par cœur ; le risque d erreur est grand en cas de problème de mémoire. * Dans l utilisation de la méthode de l exponentielle-polynôme, les principales erreurs proviennent de mauvaises manipulations des nombres complexes, en particulier dans l extraction d une partie imaginaire. (b) La détermination de l amplitude apparaît comme une difficulté majeure dans la plupart des copies. Il suffit pourtant d utiliser une formule de trigonométrie pour transformer la solution obtenue en un sinus unique dont l amplitude se lit directement. Cette approche est habituelle en mécanique et en physique. Cette partie de la solution devrait donc être relue très attentivement. (c) Très peu d étudiants arrivent à (ou même essaient de) déterminer le comportement asymptotique pour t + et ω +. ii. * Les étudiants éprouvent des difficultés pour exprimer analytiquement le signal donné graphiquement. * Le problème doit être séparé en deux phases puisque i (t) est définie par morceaux. Pour résoudre un tel problème, il convient d utiliser les conditions à la fin de la première phase comme conditions initiales de la deuxième phase. La solution de t = à t = en utilisant la condition initiale c () = permet de déterminer la solution en, soit c ( ). Ensuite, cette valeur constitue la condition initiale de la deuxième phase pour t. Il est erroné de considérer c () = comme condition initiale de la deuxième phase, laquelle ne débute qu en. Cette erreur a cependant été commise par la plupart des étudiants. iii. L énoncé a été mal compris. Il s agissait bien d une tension i (t) continue quelconque et pas d une tension constante. 7