Cosinus d un angle aigu A) Définition. Définition : Dans un triangle rectangle, le cosinus de l un des angles aigus est le rapport : longueur du côté adjacent à l' angle aigu. longueur de l' hypoténuse On travaille dans le triangle ABC rectangle en B : AB Le cosinus de l angle aigu BAC se note cos BAC. On a : cos BAC =. AC BC Le cosinus de l angle aigu BCA se note cos BCA. On a : cos BCA =. AC Remarques : Dans un triangle rectangle, l hypoténuse est le côté le plus long, le cosinus d un angle aigu est donc un nombre compris entre 0 et 1. Le cosinus est un outil qui permet de calculer des angles et des longueurs. Attention! le cosinus est un rapport de longueurs, il ne se représente pas sur une figure et n a pas d unité. Exercice n 1 : On considère la figure ci-contre. Recopie et complète les phrases ci-dessous : 1) Dans le triangle ABD est rectangle en. on a, cosabd =. et cos ADB =. 2) Dans le triangle ACB est rectangle en. on a, cos CAB =. et cos CBA =. 3) Dans le triangle ACD est rectangle en. on a, coscad=. et cos CDA=.
B) Calcul d une longueur à l aide du cosinus d un angle aigu. Rédaction : On travaille dans le triangle suivant : Dans le triangle ABC rectangle en A AB cos ABC =. BC 5 cos30 = BC J écris l hypothèse qui me permet d utiliser le cosinus J écris la formule du cosinus avec les lettres J écris les données de l énoncé dans la formule BC cos30 = 5 J utilise le produit en croix pour déterminer BC 5 BC = cos30 J isole BC (si nécessaire) BC 5,77cm J utilise la calculatrice pour obtenir une valeur approchée de BC Exercice n 2 : Pour chacune des figures ci-dessous, calcule, en cm, la longueur x. Tu donneras une valeur approchée au dixième de tes réponses.
C) Calcul de la mesure d un angle à l aide du cosinus. Rédaction : On travaille dans le triangle suivant : Dans le triangle ABC rectangle en A AC cos ACB =. BC 4 cos ACB = 5 ACB = cos 1 (4 5) ACB 37 J écris l hypothèse qui me permet d utiliser le cosinus J écris la formule du cosinus avec les lettres J écris les données de l énoncé dans la formule J isole ACB J utilise la calculatrice pour obtenir une valeur Exercice n 3 : Complèter le tableau suivant avec des troncatures au dixième : Exercice n 4 : Pour chacune des figures ci-dessous, calcule le cosinus de l angle ABC puis ABC. Exercice n 5 : ABCD est un losange tel que : AB = 4cm et BAD= 40 Calculer la longueur AC en cm. On donnera la réponse arrondie au centième près.
Exercice n 6 : Pour s'élever de 320 m, un train parcourt une montée de 500 m. 1) Déterminer l'arrondi à l'unité de la mesure de l'angle TSH. 2) En déduire l'arrondi à l'unité de l'inclinaison de la pente par rapport à l'horizontale. Exercice n 7 : Sur la figure ci-dessous, on a : A, B, D et E, B, C sont alignés. AEB = 90 BCD = 90 CD = 3cm et BD = 5cm Calculer l angle EAB. On donnera la réponse arrondie au degré près. Exercice n 8 : Sur la figure ci-dessous, les points A, B, C et E, D, C sont alignés. 1) Montrer que les droites (AE) et (BD) sont parallèles. 2) Calculer la longueur AC en cm. On donnera une valeur approchée au dixième près. 3) En déduire la mesure, au degré près, de l angle EAC. 4) Trouver l angle DBC par trois méthodes différentes, puis calculer, au degré près, cet angle.
Exercice n 9 : On a représenté ci-dessous un cylindre de révolution de rayon de base HM = 9 cm et de hauteur OH = 17 cm. 1) Que peut-on dire du triangle OMH? Pourquoi? 2) Calculer, en justifiant, la longueur OM. 3) Déduire des questions précédentes, la mesure de l'angle HOM arrondie au degré. Exercice n 10 : Tracer un demi-cercle de diamètre [AB] tel que : AB = 8cm. Placer un point M sur le demi-cercle tel que : AM = 3cm. 1) Calculer la distance en cm du point B à la droite (AM). On donnera la réponse arrondie au dixième près. 2) Donner une valeur approchée au degré près de l angle MBA. 3) Calculer la distance en cm du point M à la droite (AB). On donnera la réponse arrondie au dixième près. Exercice n 11 : Un avion doit atterrir sur une piste en formant un angle de descente de 25 par rapport au sol. Son altitude est de 1 548m. Il roulera ensuite sur le sol pendant 25 sec sur 549m avant de s arrêter complètement. Le schéma ci-dessous représente cette situation : 1) Calculer la valeur de l angle SAP. 2) Calculer la distance que doit parcourir l avion pour toucher le sol à partir du point A où il amorce sa descente. Arrondis au mètre près. 3) Sachant qu il volait à une vitesse constante de 309,6km/h, calcule le temps qu il a mis pour toucher le sol. Donner le résultat à la seconde près. 4) À quelle vitesse moyenne a-t-il parcouru la distance entre le point où il a touché le sol et le point où il s est complètement arrêté? On donnera cette vitesse en m/s puis en km/h en arrondissant à l unité.
Exercice n 12 : Calculer un arrondi à 0,1cm près du diamètre du cercle. Données : DE diamètre du cercle DB = 3,8cm BDE = 50 Exercice n 13 : Sophie, qui mesure 1,75 m est à 30 m d'un arbre. L'angle entre l'horizontale et le sommet de l'arbre est de 35. 1) Donner l'arrondi au centième de la longueur AH. 2) En déduire la hauteur de l'arbre. Exercice n 14 : (Au Brevet) L unité utilisée dans cet exercice est le mètre. La figure n est pas à refaire. Dans un petit chalet de montagne, un berger aménage l espace existant sous son toit en y posant une étagère matérialisée sur notre schéma par le segment [ED]. Le segment [CB] représente le plancher et le segment [AB] le mur où est fixée l étagère. Données : AB = 1,80m BC = 2,40m AC = 3m 1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B. 2) Déterminer la mesure de l angle ACB arrondie à 0,1. 3) Sachant que les droites (ED) et (CB) sont parallèles et que BD = 0,60m, quelle est la longueur de l étagère [ED]?
Exercice n 15 : (Au Brevet) Paul veut installer chez lui un panier de basket. Il doit le fixer à 3,05 m du sol. L'échelle dont il se sert mesure 3,20 m de long. 1) À quelle distance du pied du mur doit-il placer l'échelle pour que son sommet soit juste au niveau du panier? Donner une valeur approchée au cm près. 2) Calculer l'angle formé par l'échelle et le sol. Donner une valeur approchée au degré près. Exercice n 16 : (Au Brevet) 1) Construire le triangle EFG tel que EF = 12 cm, EG = 5 cm et FG = 13 cm. 2) Prouver que le triangle EFG est rectangle en E. 3) Calculer la mesure de l'angle EFG. Le résultat sera arrondi au degré. 4) Placer le point B sur le segment [EF] tel que EB = 7 cm. Tracer la droite passant par B et parallèle au côté [FG]. Elle coupe le côté [EG] en M. 5) Calculer la valeur exacte de BM puis donner l'arrondi au millimètre. Exercice n 17 : (Au Brevet) Les points A, B et C sont alignés ainsi que les points A, D et E. Les droites (BD) et (CE) sont perpendiculaires à la droite (AE). On a AB = 2,5 cm ; BD = 1,5 cm et CE = 4,5 cm. 1) Calculer la longueur AD. Justifier. 2) Déterminer la mesure de l'angle BAD arrondie au degré. Justifier. 3) Calculer les longueurs AC et AE. Justifier.
Exercice n 18 : Les longueurs sont exprimées en cm. Le triangle AHT est inscrit dans un cercle de diamètre [HT]. Les points M, A et T sont alignés. 1) Quelle est la nature du triangle AHT? Justifier la réponse. 2) Calculer la longueur AH. 3) Quelle est la nature du triangle MAH? Pourquoi? 4) Calculer la mesure de l'angle AMH arrondie au degré. 5) Calculer la longueur AT arrondie au dixième, de deux manières différentes.