P. LEVY (Paris - Francia) FONCTIONS À CROISSANCE RÉGULIÈRE ET ITÉRATION D'ORDRE FRACTIONNAIRE 1. - Une fonction teue que ^c+e~ x sin log x, malgré la lenteur et la petitesse de ses osciuations, nous apparaît comme irréguuère, parce qu'eue osciue entre deux fonctions, 2 ch x et 2 sh x, qui sont plus réguhères qu'eue; d'exemples de cette nature résulte la notion intuitive, mais jusqu'ici peu précise, de fonction parfaitement régulière, ou plus simplement régulière, d'une variable x indéfiniment croissante. Je me propose d'exposer le résultat de recherches que j'ai entreprises pour préciser cette notion ( l ) ; je me suis laissé guider dans ces recherches par des considérations intuitives. Aussi, à côté de résultats précis et démontrés, il m'arriverà d'énoncer des résultats plus généraux, que je ne peux donner que comme probables; mais précisément à cause de cela mes recherches posent de nouveaux problèmes, sur lesquels je désire appeler l'attention. Les considérations intuitives dont je viens de parler m'ont d'abord conduit à cette idée qu'u était possible de donner une définition de la régularité vérifiant les conditions suivantes: 1 ) Les fonctions réguhères constituent une échelle complète de croissance, c'est-à-dire que d'une part, si deux fonctions sont réguhères, leur différence est différente de zéro et d'un signe bien déterminé pour x assez grand; d'autre part, si une fonction g(x) n'est pas réguhère, on peut trouver une fonction réguhère f(x) teue que la différence f(x) g(x) change de signe une infinité de fois. 2 ) Les fonctions réguhères sont continues et monotones pour x assez grand ; h en est de même de toutes leurs dérivées ; U est à noter qu'une fonction comme e" 2 est réguhère, bien que la valeur à partir de laqueue sa n ième dérivée est monotone augmente indéfiniment avec n. 3 ) Certaines opérations analytiques, que nous appeuerons opérations régulières, ne peuvent donner que des fonctions réguhères si on les effectue sur des fonctions réguuères. Ces opérations comprennent au moins la dérivation, l'intégration, les opérations élémentaires de l'algèbre, et, dans le cas d'une fonction O Quelques indications sur ces recherches ont déjà paru dans des notes présentées à l'académie des Sciences de l'institut de France en 1926 et 1927.
278 COMUNICAZIONI réguuère f(x) indéfiniment croissante, la formation de la fonction inverse et ceue des fonctions réguuères de f(x). Par ces opérations réguhères, on peut former des ensembles étendus de fonctions réguhères; ainsi toute détermination, réeue pour x assez grand, d'une fonction algébrique de x, ef, ou log x, est réguuère. Mais on ne peut arriver ainsi à former une écheue complète de croissance. Il faut introduire une opération d'une nature essentieuement différente: l'itération régulière. 2. - Considérons une fonction f(x) continue, croissante, et supérieure à x pour x> a. Le problème de l'itération consiste dans la recherche d'une fonction f a (x), continue et croissante aussi bien par rapport à a que par rapport à x, teue que fi(x)=f(x) et (i) f*a*)-f f im\\ cette fonction doit être bien définie, d'abord pour a>0 et x>a, ensuite pour o!= a et x>f a (a). Les itérées d'ordre entier se déduisent sans difficulté de la formule de récurrence f / \ /r/* / AI cas particuuer de (1). Pour définir /"«(#), nous choisirons d'abord une valeur de x, et prendrons pour f a (è)=<p(a), a variant de 0 à 1, une fonction croissant d'une manière continue de <p(0) = à cp(l)=f(è), à cela près quelconque. La fonction 99(a) est alors bien définie, pour a quelconque, par la formule. v. v r. fv_ (f(a) =fn+aizo) =fn[<p(a )], n étant la partie entière de a, de sorte que a'=a n est compris entre 0 et 1. Cette fonction 99(a) varie en croissant de f à l'infini, de sorte que, si z> 9 1>é< l uation f a (Ç) = <p( a )=x a une racine positive a=x(x) bien déterminée. La formule <p{a + ß) -f ß [fm\ -/>(*) définit alors la fonction itérée pour des valeurs quelconques de ß et x. En particuher la fonction initiale f(x) peut, par cette formule, se retrouver en partant de cp(d) ; ü y a Ueu de remarquer que, si on ne connaît pas f(x), on peut prendre pour 99(a) une fonction croissant d'une manière continue de f à l'infini quand a varie de zéro à l'infini, à cela près quelconque. Il est commode d'introduire l'indice d'itération ou logarithme d'itération a=la.(y), racine de l'équation f a (x)=y; avec cette notation la relation fonctionneue (1) prend la forme (2) X x (y)=x(y)-x{x),
P. LEVY: Fonctions à croissance régulière 279 X(x) désignant, comme ci-dessus, la fonction inverse de #=99(a) =/ a (f), c'est-à-dire le logarithme d'itération par rapport à f. Au heu de choisir arbitrairement 99(a) de 0 à 1, on peut choisir X(x) de f à /(!). La détermination de la fonction itérée introduit donc une fonction arbitraire; deux déterminations différentes f a (x) et e? a (#) étant égales pour toutes les valeurs entières de a, l'une au plus de ces fonctions est réguhère, et les autres ont par rapport à eue des osciuations périodiques, la différence étant une fonction périodique de a. Précisons bien que, si l'on peut choisir pour 99(a)=/«( ) une fonction réguhère de a, la détermination de f a (x) qui en résulte par les formules indiquées ci-dessus est réguhère, aussi bien par rapport à a pour x quelconque que par rapport à x ; on l'étabht en n'utilisant qu'une partie des conditions imposées au N 1 à la définition de la régularité, à savoir qu'eue se conserve par l'addition d'une constante, la formation des fonctions inverses, et ceue des fonctions de fonctions. En particuuer, pour a=l, on voit que f(x) est une fonction réguuère. La condition nécessaire pour l'existence d'une fonction itérée réguhère est donc la régularité de f(x). Cette condition semble aussi suffisante; si je n'ai pu étabhr ce résultat rigoureusement, des considérations intuitives sur lesqueues je ne peux insister ici font que je ne peux guère douter de son exactitude. C'est la formation de cette itérée réguuère qui constitue ce que j'appeue l'itération régulière. Il reste à la définir, en partant de f(x), par des formules permettant un calcul précis et ne supposant pas acquise une définition préalable de la régularité; c'est que nous auons faire maintenant, ces formules étant appucables, non seulement aux fonctions parfaitement régulières, mais aussi à des fonctions vérifiant des conditions de régularité beaucoup moins restrictives. Ces formules reposent sur le fait que l'on a nécessairement (3) X x (y)=x(y) -X(x)=X(y n ) ~X(x n ), x n et y n désignant les nombres itérés x n =f n (x) et y n =fn(y)- 3. - Supposons d'abord que f(x) soit, pour x infini, équivalent à x. On démontre aisément dans ces conditions, si cette fonction est régulière, que l'itérée réguuère est caractérisée par la condition (4) f a (x)~-x^a[f(x)-x], de sorte que l'on peut déterminer a=x x (y) par la formule (5) a= Um *«"*" ; n-~*00 x n+i ^n on connaît, ainsi l'indice d'itération, et par suite l'itérée réguuère f a (x). D'aiUeurs
280 COMUNICAZIONI la formule (5) converge, et conduit à une définition de la fonction itérée f a (x) vérifiant la relation asymptotique (4), toutes les fois que l'on prend pour f(x) une fonction continue à dérivée monotone tendant vers l'unité; l'itération régulière est bien définie pour ces fonctions. Pour toute autre itérée $r a (x), le rapport $r a (x) x f(x) x ne tendra pas vers a, mais osculerà indéfiniment entre deux valeurs distinctes; d'une manière précise, il sera de la forme P[l(x)] + e, P[...] désignant une fonction périodique et s tendant vers zéro. Le problème de l'itération n'est pas changé si l'on effectue un même changement sur x et f(x). Il en résulte que le problème de l'itération réguhère se ramène au précédent pour les fonctions croissant plus vite que x mais moins vite qu'une certaine puissance de x; en effet dans ces cas log y ou log x log log y log log X tendent vers l'unité. L'itération régulière est alors résolue par des formules élémentaires. Pour les fonctions croissant plus rapidement, e? par exemple, des formules de cette nature ne s'apphquent pas. Il faut alors introduire la notion de fonctions équivalentes au point de vue de l'itération. Considérons deux fonctions f(x) et g(x), continues, monotones, et teues que g(x)>f(x)>x. EUes sont équivalentes au point de vue de l'itération si g(x) est de la forme f i+e (x), s tendant vers zéro; cela revient à dire que X[g(x)]-X]f(x)] tend vers zéro; contrairement à ce qu'on pourrait penser, c'est là une propriété indépendante du choix de la fonction itérée f a (x). D'aiUeurs, indépendamment de toute détermination de cette fonction, on peut former une condition nécessaire, qui est aussi suffisante sauf pour certaines fonctions manifestement irréguhères, pour que les fonctions f(x) et g(x) soient équivalentes au point de vue de l'itération. C'est que g(x) soit de la forme y>[f(x)\ <p(x) désignant une fonction dont toutes les itérées d'ordre entier croissent moins vite que f(x): au heu de <p[f(x)] on peut aussi écrire f[<p(x)]. Cette condition étant réalisée, il existe entre les fonctions itérées f a (x) et g a (z) une relation teue qu'à toute détermination d'une de ces fonctions, f a (x) par exemple, corresponde une détermination de l'autre, et une seule, de la forme ga(z)=f a +e(z)j e tendant vers zéro pour x infini. L'itération régulière d'une de ces fonctions entraîne alors ceue de l'autre. La formule étabussant cette relation et
P. LEVY: Fonctions à croissance régulière 281 permettant de déterminer en fonction de X(x) le logarithme d'itération fi(x) relatif à la fonction g(x) est (6) ju(y)-ju(x) hm \X[g n (y)\-x[g n (x)]\. Cette formule converge bien, et donne une détermination acceptable de /*(#), non seulement pour les fonctions parfaitement régulières, mais toutes les fois que, f(x) et g(x) étant continus, monotones, et supérieurs à x, X[g(x)] X[f(x)] tend vers zéro d'une manière monotone. Le cas des fonctions f(x) dont la dérivée reste finie étant déjà résolu, nous supposerons f f (x) monotone et augmentant indéfiniment; nous pouvons alors faire n'importe quel changement linéaire, soit sur la variable, soit sur la fonction ; toutes les fonctions obtenues sont équivalentes à f(x) au point de vue de l'itération. Nous prendrons en particuher t étant au moins égal à la plus grande racine de f"(x). Alors les fonctions itérées de g(f) d'ordres négatifs très grands tendent vers zéro, et en posant x n '=g_ n (x), yn=g-n(y)j on obtient une itérée bien déterminée de g(x), définie par la formule (7) My)-M*)-mii J;," 3 ;, W-*-00 yv*«/ *n analogue à la formule (5). Pour des raisons intuitives, on peut penser, si f(x) et par suite g(x) sont des fonctions parfaitement réguhères, que l'itérée réguhère g a (x) de g(x) est réguhère de zéro à l'infini; la formule (7), qui définit la fonction itérée régulière à l'origine, définit alors aussi ceue qu'u faut considérer comme réguuère à l'infini ; on en déduit X(x), et par suite f a (x), par la formule X(y)-X(x) = lim lf4fn(lf)] /4.fn{x)]l, déduite de (6) en intervertissant les rôles de f(x) et g(x). L'itération réguhère est ainsi définie dans tous les cas, et cela donne de nouveaux procédés pour former des fonctions réguhères. Mais ce qui précède nous donne tout autre chose qu'un procédé qui, indéfiniment répété, ferait connaître des ensembles de plus en plus étendus de fonctions réguhères. Nous avons obtenu une fonction X(x, t) dont la définition dépend du paramètre t, et ü est essentiel dans la théorie qui précède d'admettre qu'en réahté, si la fonction f(x) est parfaitement réguhère, X(x, t) ne dépend pas de t. Il est facile démontrer qu'u en est bien ainsi dans le cas de fonctions f(x) simples comme e 35 ou ax 2 + bx + c. D'autre part l'étude générale des diverses circonstances possibles montre que, si la fonction X(x, t) dépend effectivement
282 COMUNICAZIONI de t, elle ne peut pas être réguuère; une opération réguuère ne pouvant pas introduire d'irrégularité, ü faut admettre dans ce cas que la fonction initiale f(x) est irrégulière. @es considérations conduisent à penser qu'on peut définir la régularité de f(x), dans le cas où f(x) augmente indéfiniment, par le fait que X(x, t) ne dépende pas de t, et dans tous les autres cas par des règles faciles à déduire de la précédente. Il s'agit alors de montrer que les fonctions réguhères ainsi définies vérifient bien les conditions générales indiquées au N 1. Le problème est très difficüe, mais l'importance de la question me paraît justifier de nouveues recherches, que je serais heureux de provoquer. J'indique en terminant, qu'un exposé plus complet des considérations que je viens de résumer et des apphcations possibles à la sommation des séries divergentes et à l'inversion des relations fonctioneues, paraîtra ultérieurement dans les AnnaU di Matematica.