6.1 STRUTURES PLES FOREES DE POUTRES RELTIOS ETRE HRGES ET ELEETS DE REDUTIO Les vritions des éléments de réduction,,, lorsqu'on psse d'une section à l'utre, sont liées pr des reltions fondmentles que l'on peut obtenir isément à l'ide des équtions d'équilibre dns le cs des poutres droites. HRGE REPRTIE onsidérons une poutre droite sollicitée pr une chrge réprtie q(x) dont l'intensité est fonction de l'endroit où on se trouve sur l poutre et découpons-y un petit élément de longueur x, limité pr les sections s et s' repérées pr l'bscisse x de s, comptée positivement de guche à droite. Les efforts intérieurs extériorisés, tous supposés positifs, sont :,, dns s et,,,.dns s. Soit : qt l composnte perpendiculire à l xe de l poutre, de l chrge réprtie q(x); q l composnte suivnt l xe de l poutre, de l chrge q(x). q = f(x) x s x s q. x G x s L'équilibre de l'élément x fournit des reltions qui, lorsqu on les divise pr x puis que l on psse à l limite en fisnt tendre x 0, donnent : Fx = 0 : q. x = 0 d où q. x = donc : q = d / dx (1) Fy = 0 : qt. x = 0 d où qt. x = donc : qt = d / dx (2) G = 0 :. x qt.( x) 2 /2 = 0 d où. x = donc : = d / dx (3) s qt. x Si mintennt, on repère l section s à prtir d'une origine située à l extrémité droite de l poutre, l bscisse ser lors notée x' et l section s' ser lors située à guche de s comme le montre l figure ci-dessous: q = f(x ) s x s x Dns ce cs, les reltions entre q,, et deviennent lors : q = d / dx (1 ) qt = d / dx (2 ) = d / dx (3 ) Sttique ppliquée DEH 04 - pge 49
Il est importnt de noter que les reltions (1), (2), (3), (1 ), (2 ), (3 ), ont été étblies en comptnt les chrges qt positives vers le hut et les chrges q positives vers l droite. Leur exmen permet de conclure que : - sur un tronçon où l poutre n'est ps chrgée (q = 0), l'effort norml et l'effort trnchnt sont constnts et le moment de flexion est une fonction linéire; - sur un tronçon où l chrge réprtie q est constnte, l'effort norml et l'effort trnchnt vrient linéirement et le moment de flexion est une fonction du second degré; - sur un tronçon où l chrge réprtie q est linéire, etc...; - les forces «xiles» ( et q) sont indépendntes des utres et peuvent donc être tritées séprément; - l'effort trnchnt est égl à l dérivée, pr rpport à l'bscisse de l section, du moment fléchissnt. On en conclut donc que ce dernier est extremum là où l'effort trnchnt s'nnule. es reltions doivent toujours être vérifiées dns toute section d'une poutre droite où il n'existe ps de force concentrée! HRGE OETREE Supposons mintennt qu'une force concentrée P et un moment concentré soient ppliqués entre les sections s et s' distntes de x sur l'xe de l poutre, s étnt repérée pr une bscisse x comptée positivement de guche à droite. En ppelnt,, les efforts intérieurs dns s et,, ceux gissnt dns s', l'équilibre de l'élément x fournit des reltions qui, lorsque l on psse à l limite en fisnt tendre x 0, donnent : Pt P s x s Fx = 0 : P = 0 d où = P (1) Fy = 0 : Pt. = 0 d où = Pt (2) = 0 :. x Pt. x /2 = 0 d où = (3) Si mintennt, on repère l section s à prtir d'une origine située à l extrémité droite de l poutre, l section s' ser lors située à guche de s et dns ce cs, les reltions entre P,,, et deviennent lors : = P (1 ) = Pt (2 ) = (3 ) Sttique ppliquée DEH 04 - pge 50
Il est importnt de noter que les reltions (1), (2), (3), (1 ), (2 ), (3 ), ont été étblies en comptnt les chrges Pt positive vers le hut et P positive vers l droite et le moment positif dns le sens horlogique. Elles mettent en évidence une vrition brusque des fonctions,, u point d'ppliction d'une force et d'un moment concentrés, l'mplitude de l vrition étnt l vleur de l'effet concentré (les réctions d'ppui rentrent dns cette ctégorie d'effets concentrés!). Enfin, notons que lorsque l'effort trnchnt seul vrie brusquement, compte tenu de l reltion = d / dx, cel revient à dire que l dérivée de l «fonction moment» vrie brusquement, trduisnt un point nguleux dns cette fonction. DIGRES DES EFFORTS ITERIEURS (OU ELEETS DE REDUTIO) Les efforts intérieurs vrint d'une section à l'utre dns une structure chrgée, il est vntgeux de représenter grphiquement les vritions du moment de flexion, de l effort norml et de l effort trnchnt, le long des xes de poutres en portnt normlement à ces xes et à une échelle convenble, les vleurs des,,. es grphiques portent les noms de digrmme de l'effort norml, digrmme de l'effort trnchnt et digrmme du moment de flexion dns l structure. es digrmmes doivent être ffectés des signes des,,. Pour les efforts normux et trnchnts, il n'y jmis de doutes quelle que soit l position des poutres. Pour les moments de flexion, resurgit le problème des brres verticles. e dernier peut cependnt être évité grâce à l convention prtique suivnte, dns lquelle le moment n' plus de signe, mis est crctérisé pr le sens de l courbure de l poutre qu'il produit en l déformnt. e sens est représenté pr un symbole de forme rrondie qui indique dns quel sens git le moment. Les ordonnées des et d'un même signe et des d'un même sens peuvent être portées indifféremment d'un côté ou l'utre des xes de poutres. On veiller, vnt tout, à réliser des dessins clirs munis de signes et de symboles et de vleurs crctéristiques. Il est à noter cependnt que les prticiens portent souvent les ordonnées des digrmmes des moments du côté des fibres tendues des poutres. Sttique ppliquée DEH 04 - pge 51
DETERITIO LYTIQUE DES,,. fin d obtenir les expressions nlytiques des efforts intérieurs, il suffit d'ppliquer le principe de l coupe, mis cette fois, en repérnt celle-ci à l'ide d'une bscisse x ou x' le long de l'xe de l poutre ou de chque poutre de l structure. Pr équilibre, on peut lors écrire les équtions (fonctions de x ou x') décrivnt l'évolution des efforts intérieurs,, dns l structure. En générl, plusieurs coupes seront nécessires, cr une seule éqution (fonction continue de x ou x') ne pourr donner les vritions d'un élément de réduction tout u long d'une poutre, à cuse des discontinuités de l mise en chrge telles que chrges concentrées, chrges réprties prtielles, réctions d'ppui, moments concentrés etc... p P elles-ci provoquent des discontinuités dns les fonctions et imposent de considérer des plges de poutres successives où des équtions différentes fourniront les,,, sur bse de coupes effectuées dns chque plge. R S1 1 p Si i P R n Sn coupes S plges Dns le cs d un portique, on procéder brre pr brre comme le suggère le dessin suivnt. Plusieurs coupes seront nécessires pr brre, si l mise en chrge est complexe. H S2 P h S1 x (de 0 à l) S3 x (de 0 à ) x (de 0 à h) l vnt d'effectuer les clculs proprement dits sur bse des coupes, il fudr, l pluprt du temps, clculer les réctions d'ppui, pr les équtions d'équilibre de l'ensemble ou de prties du système. Sttique ppliquée DEH 04 - pge 52
Une fois les équtions des,, obtenues pour les différentes plges, l'étude de fonctions pr l'nlyse mthémtique permettr de trcer sns difficulté les digrmmes des efforts intérieurs (recherche des extremum, coefficients ngulires, courbures, etc...). Exemples : p p x L PL/2 x PL/2 p x PL/2 Somme des forces horizontles = 0 = 0 Somme des forces verticles = 0 PL/2 p.x = 0 = PL/2 p.x c est à dire l éqution d une droite! Somme des moments utour du «point de coupe» = 0 PL/2.x px.x/2 = 0 = PL/2.x px 2 /2 c est à dire l éqution d une prbole de mximum pl 2 /8 u milieu de l poutre! On obtient lors les digrmmes des efforts trnchnts suivnts : PL/2 ou PL/2 PL/2 PL/2 Et les digrmmes des moments suivnts : pl 2 /8 ou pl 2 /8 Sttique ppliquée DEH 04 - pge 53
P P b b x x L Pb/L P/L Pour x vrint de 0 à : x Pb/L Somme des forces horizontles = 0 = 0 Somme des forces verticles = 0 Pb/L = 0 = Pb/L (constnte!) Somme des moments utour du «point de coupe» = 0 Pb/L.x = 0 = Pb/L.x c est à dire une droite de mximum Pb/L sous chrge! Pour x vrint de 0 à b : x Somme des forces horizontles = 0 = 0 P/L Somme des forces verticles = 0 P/L = 0 = P/L (constnte!) Somme des moments utour du «point de coupe» = 0 P/L.x = 0 = P/L.x c est à dire une droite de mximum Pb/L sous chrge! On obtient lors les digrmmes des efforts trnchnts suivnts : Pb/L ou Pb/L P/L P/L Et les digrmmes des moments suivnts : Pb/L ou Pb/L Sttique ppliquée DEH 04 - pge 54
QUELQUES S ELEETIRES : Digrmmes des Digrmmes des Q Qb/L b Q/L Qb/L q ql/2 L ql/2 ql 2 /8 /L /L b b/l Q Q Q q L ql ql 2 /2 Sttique ppliquée DEH 04 - pge 55
DETERITIO RPIDE DES DIGRES DES,, Il est possible de ggner du temps dns l construction des digrmmes des,, en évitnt, utnt que fire se peut, de clculer les expressions nlytiques de ceux-ci dns les diverses plges, ce qui peut prfois être fstidieux. On se souviendr que, dns les structures vec poutres droites : - sur un tronçon où il n'y ps de chrges, et sont constnts et vrie linéirement ; - s il y une chrge réprtie constnte, et/ou vrient linéirement et prboliquement etc... ; - là où s'nnule, le digrmme des psse pr un extremum ; - étnt l dérivée de, s vleur en un point représente le coefficient ngulire de l tngente à l courbe des en ce point ; - qt étnt l dérivée (u signe près) de, s vleur en un point représente le coefficient ngulire de l tngente à l courbe des en ce point ; - à l endroit d une chrge concentrée, il y un ressut correspondnt dns les digrmmes des et/ou des ; - à l endroit d un couple concentré, il y un ressut correspondnt dns le digrmme des ; - etc, toutes ces propriétés peuvent se vérifier sur l exemple ci-dessous : q 2 Q q q 1 Sttique ppliquée DEH 04 - pge 56
Grâce à ces "règles", déduites des reltions entre chrges et efforts intérieurs vues précédemment, il suffir de clculer les vleurs des,, en quelques sections prticulières (sous une force concentrée, à un noeud, à un ppui etc...) et de joindre ces points pr des segments de droite ou de courbe, en veillnt soigneusement à leurs rccords entre eux. On obtiendr insi les digrmmes des,, vec une précision suffisnte sns rechercher les expressions nlytiques. Exemple : 20 k/m 40k 4m 2m Il fut, tout d bord, clculer les réctions d ppui : 20 k/m 40k 20k 4m 100k 2m Ensuite, en fisnt une coupe juste à droite de l ppui, on peut fcilement constter que l effort trnchnt à cet endroit est égl à l réction d ppui de 20 k ; de même, en effectunt une coupe juste à guche de l extrémité de l poutre, on peut constter que l effort trnchnt y vut l vleur de l chrge de 40 k! =20k 40k 20k =40k Effectuons ensuite une coupe à guche de l ppui et exprimons l équilibre du morceu de guche de l poutre : 20 k/m 4m 20k = 0 20 20x4 = 0 = 60 k (20x4) 20x4x2 =0 = 80 km Sttique ppliquée DEH 04 - pge 57
Il est lors possible de trcer le digrmme des, schnt qu il vrie linéirement sur le tronçon et qu il est constnt sur le tronçon! 20 k x 60 k 40 k On noter que, compte tenu des reltions bien connues, l vleur de l chrge réprtie (20 k/m) correspond à l pente de l droite et que le ressut du digrmme à l ppui, y vut bien l vleur de l réction d ppui (100 k)! On pourr, dès lors, clculer l bscisse du point où s nnule l effort trnchnt : x =1 m. Le trcé du digrmme des est églement possible, schnt qu il s git d une prbole sur le tronçon et d une droite inclinée sur le tronçon! 1 m x = 10 km 80 km On noter que, compte tenu des reltions bien connues, l vleur de l effort trnchnt à l ppui (20 k) correspond à l pente croissnte de l tngente u digrmme des moments u même endroit et que l effort trnchnt à guche de l ppui (60 k) correspond bien à l pente décroissnte de l tngente u digrmme des moments u même endroit! Qunt à l pente de l droite des sur le tronçon, elle correspond bien à l vleur positive de l effort trnchnt dns cette zone! Le moment mximum à 1m de l ppui se clculer pr une coupe fite à cet endroit. ERIFITIO DES DIGRES,, Les reltions entre chrges réprties et éléments de réduction pouvnt s écrire: d = q.dx, d = qt.dx, d =.dx, ou d = q.dx, d = qt.dx, d =.dx, en les intégrnt entre les points d bscisses c et d ou c et d le long d une poutre droite comme indiqué sur les croquis suivnts, on pourr obtenir des reltions entre le même type d efforts à deux points différents d une même poutre : Sttique ppliquée DEH 04 - pge 58
D D c c d d d d d dx' d d d' d' D = d = c qdx, ou D = c d = c' qdx c' De mnière similire, d d d' d' D = d = c qtdx, ou D = c d = c' qtdx c' d d D = d = c dx, ou D = c d = c' dx c' es intégrles montrent que et peuvent être obtenus pr l somme des chrges et pr le surfçge du digrmme des s'il n'y ps de discontinuités de chrges! De même, les reltions reltives ux chrges concentrées donnent : D = P, D = Pt, D =, ou D = P, D = Pt, D =, On s perçoit donc que l on pourr finlement déterminer : le digrmme des efforts normux : - en prtnt de l vleur de l effort norml à l'extrémité guche et en soustrynt toutes les chrges gissnt vers l droite, y compris les réctions d'ppui, et en joutnt celles gissnt vers l guche; ou, en prtnt de l'extrémité droite et en joutnt toutes les chrges gissnt vers l droite, y compris les réctions d'ppui, et en soustrynt celles gissnt vers l guche; le digrmme des efforts trnchnts : - en prtnt de l vleur de l effort trnchnt à l'extrémité guche et en joutnt toutes les chrges gissnt vers le hut, y compris les réctions d'ppui, et en soustrynt celles gissnt vers le bs; ou, en prtnt de l'extrémité droite et en soustrynt toutes les chrges gissnt vers le hut, y compris les réctions d'ppui, et en joutnt celles gissnt vers le bs; le digrmme des moments : - en prtnt de l vleur du moment à l'extrémité guche et en joutnt les surfces (vec leurs signes) du digrmme des efforts trnchnts et en joutnt les moments concentrés gissnt dns le sens horlogique; ou, en prtnt de l'extrémité droite et en soustrynt les surfces (vec leurs signes) du digrmme des efforts trnchnts et en soustrynt les moments concentrés gissnt dns le sens horlogique. ette dernière fçon systémtique de procéder u trcé des digrmmes d efforts intérieurs ne doit ps prendre le ps sur l méthode «d un minimum de coupes d' d' Sttique ppliquée DEH 04 - pge 59
judicieuses», mis doit plutôt être employée seulement sur des portions de poutres et comme moyen de vérifiction. Sttique ppliquée DEH 04 - pge 60
EQUILIRE D'U OEUD Une structure étnt en équilibre sous des forces données et des réctions d'ppui, tout petit frgment de structure découpé de prt et d'utre d'un noeud doit églement être en équilibre. Il suffit donc d en fire le schém rendu libre : q α P D H D DE D D D H DE DE SRL noeud D et d en écrire les équtions d équilibre :suivntes: E Fx noeud D = 0 donc DE H D.sinα D.cosα = 0 Fy noeud D = 0 donc DE D.cosα D.sinα = 0 noeud D = 0 donc DE D = 0 On pourr lors, soit contrôler que ces équtions sont bien vérifiées, soit clculer les trois efforts intérieurs d un côté du nœud, connissnt les utres. Exemple : Soit le portique suivnt dont les SRL des deux prties permettent de clculer les réctions d ppui et efforts de liison à l rticultion : q q q 1/4q 1/4q P=q P=q q 1/4q D D q 1/4q 2 3/4q Sttique ppliquée DEH 04 - pge 61
En effectunt une coupe juste sous le nœud et en y clculnt les efforts intérieurs, on peut, à l ide des «reltions», trcer les digrmmes des et dns l prtie (à regrder «tête sur l épule guche») : P=q 0 1/2q 2 1/4q 1/4q 3/4q 2 1/2q 2 3/4q 3/4q En effectunt une coupe juste à droite du nœud, on peut de l même mnière, trcer les digrmmes des et dns l prtie : 1/4q 1/2q 2 q 1/4q 1/4q 0 q 1/2q 2 q Enfin, les digrmmes de l prtie D peuvent s obtenir à prtir du schém rendu libre utilisé pour clculer les réctions d ppui (à regrder «tête sur l épule guche»): q 1/4q 1/4q q D 1/4q 2 q 1/4q 1/4q 2 Sttique ppliquée DEH 04 - pge 62
vnt de regrouper les différentes portions de digrmmes sur l structure complète, on vérifier sns peine, l équilibre du nœud. Finlement : q 1/4q P=q D q 1/4q q 1/2q 2 1/2q 2 1/4q 3/4q 2 1/4q 2 3/4q Sttique ppliquée DEH 04 - pge 63
ISOSTTIITE DES STRUTURES OSTITUEES DE POUTRES Une structure constituée de poutres est isosttique si l'on peut clculer, à l'ide des seules équtions d'équilibre, toutes les réctions d'ppui, toutes les forces de liison entre frgments et les efforts intérieurs (,,) dns toute section. Il ne suffit donc ps que l structure soit extérieurement isosttique, il fudr, en plus, pouvoir trouver les efforts intérieurs en toute section : c'est l'isostticité intérieure. e ser le cs, s'il suffit de prtiquer chque fois une seule coupe pour isoler un frgment, en effet on n'introduit lors que trois inconnues clculbles à l'ide des trois équtions d'équilibre du frgment. Dns le cs contrire, l structure est intérieurement hypersttique (degré d'hyperstticité intérieure = nombre d'inconnues internes diminué du nombre d'équtions). Enfin, une structure ser hypersttique si elle l'est soit intérieurement, soit extérieurement, soit les deux à l fois. Son degré d'hyperstticité = le degré d'hyperstticité intérieure le degré d'hyperstticité extérieure! Exemples : Structure isosttique Structure hypersttique 3x (intérieurement) Structure hypersttique 1x extérieurement Structure isosttique Sttique ppliquée DEH 04 - pge 64
Structure hypersttique 5x (2x extérieurement et 3x intérieurement ) Structure hypersttique 3x Structure hypersttique 1x Structure hypersttique 2x (1x extérieurement et 1x intérieurement) comportnt deux câbles : Rem. : un câble se comporte comme une brre bi-rticulée! Sttique ppliquée DEH 04 - pge 65