Rapport de stage Master Recherche en Mathématiques Appliquées. Problèmes inverses en électroencéphalographie

Rapport de stage Master Recherche en Mathématiques Appliquées Problèmes inverses en électroencéphalographie Sylvain Vallaghé Responsable du stage : Maureen Clerc, Laboratoire Odyssée, ENPC - ENS Ulm - INRIA Lieu du stage : Laboratoire Odyssée, INRIA Sophia Antipolis Durée du stage : du 01/04/2005 au 30/09/2005 1

Table des matières 1 Introduction 3 1.1 Modélisation de la tête......................... 3 1.2 Conductivité............................... 4 1.3 Objet du stage.............................. 4 2 Problème direct 7 2.1 Définition................................ 7 2.2 Application à notre modèle de tête................... 7 2.3 Modèle de source : dipôle de courant.................. 8 2.4 Résolution par la méthode des élements finis de frontière (Boundary Element Method)............................ 9 2.4.1 Théorème de représentation.................. 9 2.4.2 Formulation intégrale symmétrique.............. 10 2.4.3 Mise en oeuvre numérique................... 11 3 Problème inverse 13 3.1 Paramètres du problème........................ 13 3.2 Unicité de la solution.......................... 13 3.3 Calcul du gradient : méthode naïve................... 14 3.4 Calcul du gradient : méthode de l état adjoint............. 14 4 Implémentation 15 4.1 Assemblage des matrices........................ 15 4.2 Géométries de la tête.......................... 15 4.3 Résolution du problème inverse..................... 16 5 Résultats expérimentaux 17 5.1 Illustration de la sensibilité aux conductivités............. 17 5.2 Erreur due à l approximation P 1.................... 17 5.3 Estimation des paramètres....................... 18 5.3.1 Contexte............................ 18 5.3.2 Protocole............................ 18 5.3.3 Résultats............................ 19 6 Conclusion et perpectives 21 2

1 Introduction L électroencéphalographie (EEG) permet de mesurer de manière non invasive l activité électrique du cerveau. Le dispositif expérimental consiste en un casque contenant plusieurs électrodes (généralement 64), permettant d enregistrer le potentiel électrique à la surface du scalp d un patient. À partir de cette donnée, on essaye ensuite d estimer la distribution spatiale des sources de courant à l intérieur du cerveau, qui est censée rendre compte de l activité cérébrale au moment des mesures. Le problème consistant à retrouver la configuration des sources de courant qui a généré le potentiel mesuré est appelé problème inverse EEG. Cela fait référence au problème direct EEG, qui correspond au calcul du potentiel connaissant la distribution des sources de courant. D un point de vue médical, seule la résolution du problème inverse est intéressante. Malheureusement, le problème inverse est mal posé : il existe des sources de courant différentes qui produisent néanmoins le même potentiel à la surface d un conducteur. Le problème direct est mieux défini mathématiquement, et on peut donc plus facilement le modéliser. Pour résoudre le problème inverse, on se base donc sur une modélisation du problème direct, et plus cette dernière est précise, meilleure est la résolution du problème inverse. 1.1 Modélisation de la tête Tout d abord, comment définit-on les sources de courant à l intérieur du cerveau? Il est communément admis dans la littérature neuroscientifique que la majeure partie de l activité électrique provient des cellules pyramidales situées à la surface extérieure du cortex (matière grise). En première approximation, on peut considérer que ces cellules se comportent comme des dipôles de courant, et on peut donc modéliser l activité cérébrale par une distribution de dipôles. Ici nous nous limiterons à un simple dipôle isolé, censé représenter une activité très localisée. Ensuite, comment modélise-t-on la tête? Les premières modélisations du problème direct en EEG utilisent un modèle de la tête constitué de sphères concentriques, ou chaque interrégion possède une conductivité différente et représente un type particulier de tissu (scalp, crâne, matière grise, matière blanche, etc). Bien que peu réaliste, ce modèle permet d exprimer le potentiel électrique (solution du problème direct) sous forme analytique. On dispose maintenant de géométries réalistes de la tête, où les interfaces entre les différents tissus sont obtenues par la segmentation d images IRM. On ne peut alors plus exprimer les solutions analytiquement, et on résout le problème direct par la méthode des éléments finis. Si on suppose que la conductivité est constante par morceaux (i.e. constante pour chaque type de tissu, exemple figure 1), on peut se contenter d utiliser des éléments surfaciques sur des maillages discrétisant les interfaces entre les différents tissus. Les maillages volumiques autorisent quant à eux des modèles de conductivité beaucoup plus complexes. Dans ce rapport, nous considérons que la conductivité est constante par morceaux afin de pouvoir utiliser l approche surfacique. 3

1.2 Conductivité Dans le problème inverse EEG classique, on considère que la conductivité de la tête est un paramètre connu. Classiquement, dans un modèle constant par morceaux, on fixe les conductivités du scalp et du cerveau à la même valeur et celle du crâne est 80 fois plus faible. En réalité, on possède peu de données sur les valeurs des conductivités des différents tissus. Pour des raisons évidentes, on ne dispose que de mesures in vitro qui ne rendent pas compte de la réalité des tissus dans leur milieu naturel, et de plus les valeurs varient selon les personnes. Ce manque de connaissance est d autant plus important que le problème inverse est très sensible aux valeurs de conductivité. Une méthode peu invasive pour estimer les conductivités in vivo est la Tomographie par Impédance Électrique (EIT). Cette méthode consiste à injecter un faible courant sur le scalp à l aide de deux électrodes et à mesurer le potentiel qui en résulte par EEG. En supposant négligeables les sources de courant à l intérieur du cerveau, on connaît alors totalement la distribution de sources et on résout le problème inverse dont l inconnue est cette fois la conductivité. Les résultats obtenus par EIT [4, 2] ont mis en défaut les valeurs classiques puisque les rapports de conductivité cerveau-crâne (ou scalp-crâne) trouvés sont trés variables selon les sujets, et sont compris entre 20 et 60 donc assez loin de 80. 1.3 Objet du stage Le but de ce stage est de développer une nouvelle méthode d estimation des conductivités in vivo qui permette d éviter certains problèmes rencontrés avec l EIT. Tout d abord, le courant injecté à la surface du scalp n est pas toujours mesurable avec précision, ce qui introduit des erreurs d approximation supplémentaires. De plus, compte tenu de la faible conductivité du crâne, le courant injecté a tendance à ressortir du scalp sans traverser le cerveau, ce qui laisse penser que les méthodes EIT sont mal adaptées à l estimation de la conductivité du cerveau. Une nouvelle approche est donc de considérer une source de courant située à l intérieur du cerveau, afin que le potentiel mesuré sur le scalp soit plus significatif. Bien entendu, on ne peut pas injecter directement du courant à l intérieur du cerveau, et on va utiliser des sources de courant provenant d une activité cérébrale naturelle. Le problème qui se pose alors est que l on ne connaît pas la distribution de sources de manière totale comme dans le cas de l EIT. On va donc considérer un problème inverse EEG général, dont les inconnues sont à la fois la distribution des sources de courant et les conductivités. Cela augmente grandement la taille de l inconnue du problème, toutefois on peut imposer certaines contraintes. Par exemple, la somatotopie du cortex sensitif est assez bien connue et se modélise bien par des simples dipôles de courant. Ainsi, si on applique des stimuli sensoriels sur une zone précise pendant une expérience EEG, on peut contraindre la localisation des sources. Une telle expérience a été pratiquée dans [3], combinée avec des mesures MEG (Magnétoencéphalographie). En effet, la MEG permet de déterminer la position et la composante tangentielle du 4

dipôle de courant sans connaissance préalable des conductivités. En contrepartie, la complexité du dispositif expérimental augmente grandement car un casque de mesure MEG est beaucoup plus volumineux et coûte surtout beaucoup plus cher qu un casque d EEG. Nous allons donc étudier la possibilité d effectuer une expérience semblable mais en se passant de mesures MEG. Pour cela nous allons étudier la résolution du problème inverse EEG général dans lequel on ne connaît ni les conductivités ni aucun paramètre précis du dipôle source de courant. On supposera seulement que l on peut imposer certaines contraintes sur le dipôle (localisation dans le cortex sensitif par exemple). 5

Ω 1 σ 1 Ω 2 S 1 Ω 3 σ 3 S 2 S 3 FIG. 1 La tête est modélisée comme un ensemble de régions distinctes Ω 1, Ω 2, Ω 3 de conductivités constantes σ 1,, σ 3, séparées par les interfaces S 1, S 2, S 3. Ω 1 représente le cerveau et le liquide céphalorachidien, Ω 2 le crâne et Ω 3 le scalp. Les flèches indiquent les directions des normales sortantes aux surfaces S i. 6

2 Problème direct 2.1 Définition Afin de calculer le potentiel généré par une configuration connue de sources, on applique les équations de Maxwell régissant le champ électromagnétique à notre modèle de tête, considéré comme un environnement conducteur. De plus, les fréquences d intérêt en EEG se situent en dessous de 1000 Hz, ce qui permet de se restreindre à l approximation quasistatique des équations de Maxwell. Dans cette approximation, la densité de courant est de divergence nulle J = 0. Un modèle macroscopique pour la densité de courant dans le cerveau est la combinaison d une contribution ohmique (le courant dû au champ électrique) et des sources primaires (le courant dû aux variations du potentiel post-synaptique des cellules pyramidales) : J = σe + J p. Toujours dans l approximation quasistatique, le champ électrique E dérive d un potentiel E = V (car son rotationnel est nul, E = 0). On obtient ainsi l équation suivante pour le potentiel électrique : (σ V ) = f = J p dans R 3 (1) où σ est la conductivité et f est la divergence de la densité de courant primaire J p, les deux étant supposées connues dans le probème direct ; V est le potentiel électrique (inconnue du problème). 2.2 Application à notre modèle de tête Dans ce rapport, nous nous restreignons à un modèle à trois couches décrit par la figure 1. La conductivité est donc supposée constante par morceaux. De plus on considère que la conductivité de l air est nulle et que les sources de courant primaires ne peuvent être localisées que dans le cortex (inclus dans Ω 1 ). L équation (1) devient alors un ensemble d équations liées par des conditions aux bords : [ V ] σ 1 V = f dans Ω 1 (2) V = 0 dans Ω i, pour i = 2, 3 (3) j = [ σ n V ] j = 0 sur S j, pour j = 1, 2, 3 (4) La notation n V = n V designe la dérivée partielle de V dans la direction du vecteur unitaire n, normal à l interface S j, j = 1, 2, 3 et orienté vers l extérieur. [f] j = f S j f + S j définit le saut d une fonction f : R 3 R à l interface S j, les fonctions f et f + sur S j étant respectivement les limites intérieures et extérieures de f : pour r S j, f ± S j (r) = lim f(r + αn). α 0 ± 7

Les différentes conditions aux bords peuvent s interpréter physiquement. [ V ] j = 0 impose la continuité du potentiel électrique à travers les interfaces. L approximation quasistatique implique quant à elle la continuité du flux de courant à travers les interfaces, ce qui correspond à la deuxième condition au bord [ σ n V ] j = 0, car σ nv = n σe est précisément la densité de courant. 2.3 Modèle de source : dipôle de courant On rappelle qu on se restreint ici à une source modélisée par un dipôle de courant. Concrètement, un dipôle est défini par deux paramètres : sa position r 0 et son moment dipolaire q. La source de courant générée par un dipôle s écrit alors J p (r) = qδ r0 (r). Le terme source correspondant dans (2) est f = J p = q δ r0. Dans un domaine infini et homogène (de conductivité constante égale à 1), le potentiel électrique crée par une telle source est v(r) = 1 q (r r 0 ) 4π r r 0 3 8

2.4 Résolution par la méthode des élements finis de frontière (Boundary Element Method) Pour résoudre le système d équations (2), (3) muni des conditions aux bords (4), on utilise la méthode des éléments finis. L inconnue du problème (le potentiel électrique à l intérieur de la tête) sera approximée par des éléments P 1 et sa dérivée par des élements P 0. Dans notre modèle de tête, nous considérons que la conductivité est constante par morceaux. L avantage de ce modèle est de pouvoir résoudre le problème direct en utilisant seulement des éléments finis surfaciques, c est à dire que le potentiel électrique n est défini que sur les interfaces S j entre les différentes couches, au lieu d être défini partout dans le volume de la tête. Par conséquent, le maillage surfacique sur lequel on résout le système d éléments finis comporte beaucoup moins de sommets que dans le cas volumique (pour une même précision), ce qui permet de réduire considérablement la taille de la matrice du système correspondant. Cette méthode est appelée méthode des éléments finis de frontière (Boudary Element Method). Elle est souvent utilisée pour résoudre des problèmes d acoustique et délectromagnétisme. Sa formulation repose sur le théorème de représentation exposé dans cette partie. 2.4.1 Théorème de représentation La fonction de Green pour l équation de Poisson dans R 3, G(r) = 1 4π r satisfait G = δ 0, où δ 0 est la distribution de Dirac en r = 0. Soit Ω R 3 un ouvert borné de frontière Ω régulière. Soient r, r Ω, on note n, resp. n le vecteur unitaire normal en r, resp. r, et orienté vers l extérieur de Ω. On définit quatre opérateurs intégraux : D, S, N et D (adjoint de D pour le produit scalaire de L 2 ( Ω)). Chaque opérateur associe une fonction scalaire f définie sur Ω à une autre fonction scalaire définie sur Ω : ( ) ( ) Df (r) = n G(r r )f(r ) ds(r ), Sf (r) = G(r r )f(r ) ds(r ), (5) Ω ( Nf ) (r) = n,n G(r r )f(r ) ds(r ), Ω ( D f ) (r) = n G(r r )f(r ) ds(r ). Ω Pour simplifier le problème et éviter les ambiguïtés, on dit qu une fonction u satisfait l hypothèse H, si simultanément lim r u(r) < r lim r u r r (r) = 0, où r = r, et u (r) désigne la dérivée partielle radiale de u. La fonction de Green G r de (5) vérifie H. Ω 9

Théorème 1 (Théorème de représentation) Soit Ω R 3 un ensemble ouvert borné de frontière Ω régulière. Soit u : (R 3 \ Ω) R une fonction harmonique ( u = 0 dans R 3 \ Ω), satisfaisant l hypothèse H. Alors pour r Ω n u ± = N[u] Ω + ( ± I 2 D ) [ n u] Ω u ± = ( I 2 D) [u] Ω +S[ n u] Ω où I désigne l opérateur identité. 2.4.2 Formulation intégrale symmétrique La formulation intégrale symmétrique a été développée pour le problème direct de l EEG dans [5] et provient du travail de Nédélec [6]. Nous l utilisons ici dans le cas particulier de notre modèle de tête. Le principe consiste à appliquer le théorème de représentation sur chaque domaine Ω i à une fonction u i harmonique. Les u i sont choisies telles qu on puisse facilement exprimer le potentiel V sur Ω i en fonction de u i. Cela permet d obtenir la matrice diagonale par blocs suivante, constituée d opérateurs intégraux : (σ 1 + )N 11 2D 11 N 12 D 12 0 V S1 (σ 1 n v) S1 2D 11 (σ1 1 + σ2 1 )S 11 D 12 σ2 1 S 12 0 N 21 D 21 ( + σ 3 )N 22 2D 22 σ 3 N 23 D 21 σ2 1 S 21 2D 22 (σ2 1 + σ3 1 )S 22 D 23 p S1 V S2 p S2 = (v) S1 0 0 (6 0 0 σ 3 N 32 D 32 σ 3 N 33 V S3 0 Chaque bloc de la matrice correspond à un des opérateurs définis en (2.4.1). Pour un opérateur A donné, les indices i et j signifient que A ij associe une fonction sur S j à une autre fonction sur S i. Par exemple, soit f définie sur S 1 et g définie sur S 2 telles que g = S 21 f. Alors r S 2 g(r) = S 1 G(r r )f(r ) ds(r ) V Si et p Si sont les inconnues du problème direct EEG. V Si est le potentiel électrique sur la surface S i et p Si = σ i ( n V ) S i = σ i+1 ( n V ) + S i désigne le flux de courant à travers l interface S i. v est la solution de σ 1 v = f = J p, dans un domaine infini (i.e. R 3 ) de conductivité σ 1. La définition de la fonction de Green pour l équation de Poisson donne directement v = 1 σ 1 f G. On rappelle de plus qu on se restreint à une source de 10

courant constituée d un simple dipôle isolé donc v(r) = 1 q (r r 0 ) 4πσ 1 r r 0 3 σ 1 n v(r) = 1 ( 1 4π r r 0 q + 3q (r r ) 0) (r r 3 r r 0 5 0 ) n Nous ne détaillons pas ici les calculs intermédiaires permettant d obtenir la matrice d opérateurs, ils sont disponibles dans [5]. 2.4.3 Mise en oeuvre numérique Les différentes surfaces S j sont discrétisées par des maillages triangulaires. On note ψ (k) i l élément P 0 correspondant au triangle i de la surface S k, et φ (l) j l élément P 1 associé au sommet j de la surface S l. Le potentiel V sur les différentes surfaces S k est approximé par des éléments P 1 tandis que le flux de courant p est approximé par des éléments P 0. En effet p est comparable à une dérivée spatiale de V, il est donc inutile de l approximer par des polynômes de même degré que V. Sur chaque surface S k on a donc : V Sk (r) = i p Sk (r) = i x (k) i y (k) i φ (k) i ψ (k) i (r) (r) On discrétise alors (6) en écrivant sa formulation variationnelle sur l espace des fonctions P 0 et P 1 par morceaux. On obtient ainsi un système linéaire reliant les x (k) i et les y (k) i : (σ 1 + )N 11 2D 11 N 12 D 12 0 x 1 b 2D 11 (σ 1 1 +σ 1)S 2 11 D 12 σ 1 2 S 12 0 y N 21 D 21 ( +σ 3 )N 22 2D 1 c 22 σ 3 N 23 x 2 D 21 σ 1 2 S 21 2D 22 (σ 1 2 +σ 1)S 3 22 D 23 y = 0 2 0 0 0 σ 3 N 32 D 32 σ 3 N 33 x 3 0 (7) Les vecteurs x k et y k sont définis par ( ) x k = i x(k) i, ( ) y = k i y(k) i. Chaque bloc de la matrice représente les interactions entre les éléments pour un couple de surfaces S k et S l donné. 11

( Nkl ) ij = N kl φ (l) j, φ(k) i ( Dkl ) ij = ( D lk) ji = D kl φ (l) j ( Skl ) ij = S kl ψ (l), ψ(k) i ( Ikk ) ij = ψ (k) i j, ψ(k) i, φ (k) j Dans notre cas, on considère que la source de courant est un simple dipôle isolé et on a alors une expression analytique de v et σ 1 n v. Le second membre du système est obtenu simplement en calculant ( b ) = σ i 1 n v, φ (1) ( i et c )i = v, ψ (1) i. 12

3 Problème inverse L EEG permet de mesurer le potentiel électrique grâce à des électrodes situées en plusieurs points à la surface du scalp. Soit n le nombre d électrodes, on désigne par r 1,..., r n leurs positions et par v1 mes,..., vn mes le potentiel mesuré en chacune de ces positions. On a vu précédemment que la résolution du problème direct permet de reconstituer le potentiel électrique (sur le scalp en particulier), connaissant certains paramètres : les sources de courant primaire J p et la conductivité σ. Le problème inverse consiste en fait à trouver les paramètres du problème direct qui génèrent un potentiel V le plus proche possible de v mes. On cherche donc à minimiser la quantité suivante E(p) = 1 2 n i=1 (V (r i ) v mes i ) 2 = 1 2 V (p) vmes 2 où p représente les paramètres du problème direct et est la norme euclidienne dérivant du produit scalaire u, v = n i=1 u(r i)v(r i ). Afin de trouver les paramètres p qui minimisent E(p), on choisit d utiliser une méthode de descente de gradient. 3.1 Paramètres du problème Les paramètres optimaux que nous cherchons à déterminer dans le problème inverse sont la conductivité σ et les sources de courant J p. Dans notre modèle, cela revient à trouver les conductivités σ 1,, σ 3 des différents tissus, ainsi que le couple (r 0, q) définissant le dipôle de courant. On choisit de fixer σ 1 = 1 car il y a une forte dépendance entre l amplitude q du dipôle et la valeur de σ 1. Cela évite que les deux paramètres ne se compensent mutuellement lorsqu on cherche à minimiser E(p). De plus, les valeurs de conductivité sont définies à un facteur déchelle près et on cherche surtout à trouver les valeurs relatives des conductivités des différents tissus (rapport de conductivité scalp-crâne et crâne-cerveau). Finalement, notre vecteur de paramètres p est de dimension 8 : p = (r 0x, r 0y, r 0z, q x, q y, q z,, σ 3 ) r 0 et q sont ici représentées en coordonnées cartésiennes mais on peut également utiliser les coordonnées sphériques (r, θ, φ) pour tenir compte de certaines propriétés géométriques des sources à l intérieur du cerveau. 3.2 Unicité de la solution Si la conductivité est un paramètre connu, alors il y a unicité du dipôle de courant résolvant le problème inverse [1]. A l inverse, si on connaît le dipôle de courant, on ne peut pas affirmer que la conductivité solution est unique. Un des travaux du stage est justement d essayer de démontrer cette unicité, mais pour l instant nous n avons 13

aucun résultat significatif à présenter. A fortiori on ne peut donc pas être certain que notre problème inverse général (dipôle et conductivité) admet une unique solution. 3.3 Calcul du gradient : méthode naïve Le gradient de E par rapport à p vaut p E(p) = V (p) v mes, p V (p) On peut donc calculer p V (p) pour obtenir p E(p). Le système obtenu en (6) peut s écrire comme A [ V 1 p 1 V 2 p 2 V 3 ] T = B (8) Chaque composante pi V = ( p V ) i du gradient de V est donc solution d un système qui s obtient simplement en dérivant (8) A [ pi V 1 pi p 1 pi V 2 pi p 2 pi V 3 ] T = pi A [ V 1 p 1 V 2 p 2 V 3 ] T + pi B D après la forme de A et B, cf (6), on voit qu il est facile de dériver par rapport aux σ i. De plus, A ne dépend pas de (r 0, q) et il suffit de dériver le second membre B pour obtenir le système vérifié par les dérivées de V par rapport à r 0 et q. 3.4 Calcul du gradient : méthode de l état adjoint La méthode précédente a un inconvénient majeur : on doit résoudre autant de systèmes linéaires qu il y a de paramètres (scalaires) dans le problème. Il est possible de se ramener à la résolution d un seul système en utilisant la méthode de l état adjoint. On considère un nouveau système AW = C où A est toujours la matrice du système (6), et C = [ 0 0 0 0 n i=1 (V (r ] i) vi mes T )δ ri L inconnue W = [ W 1 q 1 W 2 q 2 W 3 ] T est appelée état adjoint. On peut alors montrer que pi E(p) = W, pi AV pi B où V = [ V 1 p 1 V 2 p 2 ] T V 3 est la solution de (6) et B le second membre correspondant. On a ainsi transformé la résolution de 8 systèmes en la résolution d un système et le calcul de 8 produits scalaires. 14

4 Implémentation La majeure partie du code pour l estimation des conductivités a été réalisée en Scilab, et quelques ajouts ont été apportés au code C++ pour le problème direct disponible au laboratoire Odyssée. 4.1 Assemblage des matrices Un code C++ implémentant la formulation intégrale [5] était déjà disponible au laboratoire Odyssée. Ce code permet d assembler la matrice et le second membre du système éléments finis (7) résolvant le problème direct. Pour assembler la matrice du système, il faut spécifier en entrée un fichier head.geo correspondant à la géométrie de la tête. Ce fichier contient la liste des points des maillages de chaque interface S j ainsi que les valeurs des conductivités des différentes couches. L assemblage du second membre nécessite en entrée le fichier head.geo ainsi que le fichier dipole contenant la position du dipôle source. Exemple d utilisation : Assemblage matrice : direct -LHS head.geo [fichier sortie] Assemblage second membre : direct -rhs dipole head.geo [fichier sortie] On a ajouté le code C++ permettant d assembler les seconds membres pi B des systèmes dérivés par rapport aux paramètres (r 0, q). La commande correspondante est direct -rhsd dipole head.geo [fichier sortie]. Les systèmes dérivés par rapport aux conductivités sont assemblées directement en Scilab. En effet, dans le système (7), la dépendance en conductivité est une multiplication scalaire de blocs, on peut donc obtenir facilement le système dérivé à partir du systéme initial. 4.2 Géométries de la tête On dispose de plusieurs géométries pour expérimenter notre méthode. Géométries sphériques : La tête est modélisée par des sphères emboîtées. S 1, S 2, S 3 sont des sphères de rayons 0.87,0.92,1. On a plusieurs finesses de maillage variant de 42 à 642 points par sphère. L intérêt des géométries sphériques est que l on peut calculer la solution analytique du problème direct. Cela permet de générer des simulations de mesures sans passer par le schéma numérique éléments finis, ce qui rend mieux compte d une expérience réelle. Géométries réelles : Une seule géométrie réelle a été utilisée et provient d une expérience EIT réalisée par 15

le laboratoire Odyssée [2]. S 1, S 2, S 3 sont représentées par des maillages contenant respectivement 510, 510 et 616 points. 4.3 Résolution du problème inverse La résolution du problème inverse a été codée en Scilab. Cela a consisté principalement à programmer l oracle pour la méthode de gradient, c est à dire la boîte noire qui prend en entrée une valeur de paramètre p et retourne la valeur de E(p) ainsi que son gradient p E(p). Chaque appel à l oracle nécessite donc la résolution de plusieurs systèmes linéaires correspondant au problème direct (et à ses dérivées, ou au calcul de l état adjoint) et on a donc inclus des appels au code C++ dans le programme Scilab afin d assembler les matrices. La résolution de chaque système a ensuite simplement consisté à utiliser la commande "backslash" de Scilab. On notera au passage que par défaut la résolution de système linéaire dans Scilab est beaucoup moins performante que dans Matlab et qu il a fallu recompiler Scilab avec des librairies ad hoc pour obtenir les mêmes performances qu avec Matlab. Nous n avons pas programmé de méthode de descente de gradient car il y en a plusieurs déjà disponibles dans Scilab, auxquelles il sufit de fournir en entrée l oracle de la fonction à minimiser. Nous avons donc utilisé la fonction optim qui propose les méthodes quasi-newton et gradient conjugué, ainsi que la fonction lsqrsolve qui correspond à la méthode de Levenberg-Marquardt, particulièrement bien adaptée aux problèmes de moindres carrés (ce qui est le cas de notre fonction E(p)). 16

5 Résultats expérimentaux 5.1 Illustration de la sensibilité aux conductivités Pour bien comprendre que les valeurs de conductivité sont des paramètres importants en EEG, nous présentons ici deux potentiels calculés analytiquement sur une géométrie sphérique, avec le même dipôle de courant situé dans Ω 1 et des conductivités légérement différentes. Le potentiel V 1 est calculé avec σ 1 = 1, = 0.0125, σ 3 = 1 et V 2 avec σ 1 = 1, = 0.0130, σ 3 = 0.95 soit une différence relative de 3.54%. La troisième image à droite affiche la différence relative des deux potentiels calculée par V 1 V 2 max( V 1, V 2 ). La différence relative l2 sur la sphère extérieure est de 4.97% entre les deux potentiels. FIG. 2 Potentiels obtenus avec des conductivités différentes On constate que l erreur sur les conductivités se propage directement au niveau du potentiel sur le scalp. On peut donc raisonnablement espérer que la fonction E(p) soit fortement dépendante des conductivités et ainsi que la méthode de gradient converge assez vite. En contrepartie, si le schéma numérique pour approximer V n est pas assez précis, ou si les mesures EEG sont mauvaises, la méthode risque de ne pas converger vers la vraie solution. 5.2 Erreur due à l approximation P 1 Ici nous affichons l erreur entre la solution analytique et celle calculée par la méthode éléments finis exposée précédemment. L erreur l 2 relative entre les deux potentiels est de 1.32%, pour un maillage de 642 points par sphères. L erreur produite est assez faible mais n est pas négligeable au vu de la partie précédente, et il est logique de penser que la précision du schéma numérique va directement influer sur la précision de notre méthode d estimation des conductivités. 17

FIG. 3 Différence entre solution analytique et solution numérique 5.3 Estimation des paramètres 5.3.1 Contexte Durant le stage, nous n avons pas eu l occasion de faire une expérience EEG correspondant à notre problème. Afin de valider notre méthode, nous avons donc produit des simulations de mesures. Pour produire une simulation, on fixe une géométrie et des valeurs pour les paramètres du problème direct p réel = (r 0, q,, σ 3 ), qui représenteront les valeurs "réelles". On résout ensuite le problème direct avec ces valeurs de paramètres et on obtient la valeur du potentiel électrique sur S 3. On choisit ensuite un nombre restreint (64) de sommets du maillage de S 3 qui représentent les positions des électrodes de mesure. On conserve alors les valeurs de V en ces points, éventuellement on y ajoute du bruit, et on obtient ainsi une simulation d un potentiel v mes mesuré par EEG. Pour une géométrie réelle, la seule façon de résoudre le problème direct et de produire des simulations est d utiliser le schéma numérique éléments finis. Pour de telles simulations, on a exactement V (p) = v mes pour p = p réel. Cela ne rend donc pas compte de la réalité puisque le schéma numérique ne calcule qu une approximation du potentiel. Pour des mesures réelles, on devrait avoir une erreur ɛ = V (p réel ) v mes même si on calcule V avec le paramètre p réel. Nous avons donc travaillé sur des géométries sphériques, afin de pouvoir calculer analytiquement le potentiel solution du problème direct, et ainsi produire des simulations de mesures qui rendent mieux compte d une expérience réelle. 5.3.2 Protocole Les résultats présentés dans la suite proviennent d expériences éffectuées sur la même géométrie sphérique : S 1, S 2, S 3 sont des sphères de rayons respectifs 0.87, 0.92, 1, et le maillage utilisé comporte 642 points par sphère. Les conductivités des différents tissus sont fixées à σ 1 = 1, = 0.0125, σ 3 = 1, soit des rapports σ 1 = σ 3 = 80. 18

Nous avons effectué 5 simulations pour 5 dipôles différents. Pour chaque simulation de mesure, nous avons lancé plusieurs fois notre méthode résolvant le problème inverse en choisissant différentes valeurs initales p 0 de la façon suivante : les paramètres (r 0, q) ont été initialisés entre 10% et 20% d erreur par rapport auv valeurs réelles, et les rapports de conductivités σ 1 et σ 3 ont été initialisés entre 40% et 60% d erreur. Ce choix est justifié par le fait qu en pratique, si on réalise une expérience EEG avec des stimuli sensoriels, on possède un a priori sur la forme et la localisation du dipôle de courant correspondant. C est pourquoi les paramètres du dipôle sont initialisés avec une erreur assez faible. A l inverse, on initialise les conductivités de telle façon que l erreur sur les rapports scalp-crâne et cerveau-crâne soit assez grande, afin de prendre en compte la grande variation de ces valeurs selon les sujets. Pour la descente de gradient, la méthode de Levenberg-Marquardt s est avérée être la plus performante dans tous les cas et ce sont les résultats correspondant à cette méthode que nous présentons. 5.3.3 Résultats Avant de présenter les résultats obtenus sur les simulations analytiques, il est important de signaler que pour des simulations produites avec le schéma numérique, la méthode retrouve exactement les paramètres réels, ce qui n est pas très surprenant puisque dans ce cas le minimum E(p) = 0 est obtenu exactement pour p = p réel, mais cela prouve avant toute chose que la méthode marche dans l absolu. Pour ce qui est des simulations analytiques, nous présentons dans le tableau suivant la moyenne des résultats obtenus pour chaque simulation. TAB. 1 Erreur relative entre le paramètre p trouvé par la méthode et le paramètre p réel Erreur dipôle Erreur σ 1 Erreur σ 3 Dipôle 1 6.61e-3 1.60e-1 7.63e-3 Dipôle 2 4.43e-3 1.78e-1 4.04e-3 Dipôle 3 4.60e-3 3.29e-1 2.85e-3 Dipôle 4 2.19e-3 1.20e-1 5.22e-3 Dipôle 5 6.60e-3 2.89e-1 2.80e-3 Comme l on s y attendait, les résultats ne sont pas parfaits à cause de l erreur due au schéma numérique. Il est toutefois intéressant de constater que les erreurs ne sont pas réparties de façon homogène. L estimation de σ 3 est très bonne au contraire de σ 1, et les paramètres du dipôle sont estimées avec une excellente précision. On peut en déduire plusieurs choses. Premièrement, cela prouve que cette méthode est efficace pour estimer le rapport σ 3. Ensuite, bien que l estimation de σ 1 soit mauvaise, on retrouve bien les paramètres du dipôle, ce qui semble indiquer que la connaissance 19

précise du rapport σ 1 n est pas essentiel pour le problème inverse de localisation des sources. 20

6 Conclusion et perpectives L idée de départ de notre méthode est de corriger certains défauts de l EIT, en particulier le fait que l EIT n est pas adaptée à l estimation de σ 1. Au vu de nos premiers résultats, on ne peut pas dire que notre méthode soit meilleure, mais en tous cas on peut espérer qu elle fasse aussi bien, c est à dire bien estimer σ 3. L avantage se situe du point de vue expérimental, puisqu on n injecte pas de courant sur le scalp (non-invasivité), et qu on localise le dipôle sans mesures MEG [3]. Il faut évidemment rester prudent quant à l efficacité de la méthode puisque les résultats obtenus ne proviennent pour l instant que de simulations, et on espère pouvoir dans la suite du stage tester la méthode sur des mesures réelles, en comparant les résultats trouvés avec ceux d une expérience EIT par exemple. Un autre aspect qui n a pas été rapporté ici est la base théorique de la méthode. Bien que la descente de gradient converge assez bien comme on a pu le constater expérimentalement, on n a pas encore réussi à montrer de résultat probant sur l unicité de la conductivité solution du problème inverse. C est donc un des travaux sur lesquels on va continuer à se pencher pendant la suite du stage. Une autre perspective du stage (et à plus longue échéance de la thèse qui suit le stage) est de considérer d autres modèles de conductivités plus proches de la réalité que le modèle constant par morceaux, et d étudier leur impact sur la reconstruction des sources. En effet, certains tissus de la tête ne sont pas du tout homogène et le modèle constant par morceaux constitue donc une approximation assez grossière. 21

Remerciements Je remercie toutes les personnes qui ont participé de près ou de loin au bon déroulement de ce stage. Maureen Clerc tout d abord, qui a été d une grande disponibilité pendant ces trois mois et qui a suivi avec intérêt mes travaux. Je remercie eǵalement toute l équipe du laboratoire Odyssée pour son accueil, et plus particulièrement : Nicolas Wotawa avec qui j ai partagé le bureau ; Christophe Lenglet et Jean-Philippe Pons pour leur assistance technique ; François Grimbert, Maxime Descoteaux, Camilo La Rota, Adrien Wohrer, Ihab Hujeiri, Tej-Eddine Ghoul et Haythem Mehouachi pour leur bonne humeur permanente. Enfin je tiens à remercier Valérie Perrier, professeur à l ENSIMAG, qui m a mis en contact avec le laboratoire Odyssée. 22

Références [1] Abdellatif El Badia and Tuong Ha-Duong. An inverse source problem in potential analysis. Inverse Problems, 16 :651 663, 2000. [2] Maureen Clerc, Geoffray Adde, Jan Kybic, Theo Papadopoulo, and Jean-Michel Badier. In vivo conductivity estimation with symmetric boundary elements. In Proc. Joint Meeting of 5th International Conference on Bioelectromagnetism and 5th International Symposium on Noninvasive Functional Source Imaging, Minneapolis, May 2005. [3] S. Gonçalves, J.C. de Munck, J.P. Verbunt, R.M. Heethaar, and F.H. Lopes da Silva. In vivo measurement of the brain and skull resistivities using an EIT-based method and the combined analysis of SEF/SEP data. IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 50(9) :1124 8, September 2003. [4] Sonia I. Gonçalves, Jan C. de Munck, Jeroen P.A. Verbunt, Fetsje Bijma, Rob M. Heethaar, and Fernando Lopes da Silva. In vivo measurement of the brain and skull resistivities using an EIT-based method and realistic models for the head. IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 50(6), 2003. [5] J. Kybic, M. Clerc, T. Abboud, O. Faugeras, R. Keriven, and T. Papadopoulo. A common formalism for the integral formulations of the forward EEG problem. IEEE Transactions on Medical Imaging, 24(1) :12 28, January 2005. [6] Jean-Claude Nédélec. Acoustic and Electromagnetic Equations. Springer Verlag, 2001. 23