Nous donnerons une définition plus complète d une fonction ultérieurement. Disons simplement

Introduction aux fonctions affines c Jean-Pierre Favre 16 septembre 007 Table des matières 1 Définition Équation de la droite.1 Fonction linéaire.... Fonctionaffine....3 Pente d une droite... 3.4 Droitepassantpardeuxpoints... 4.5 Droites particulières... 4.6 Systèmesd équations... 6.7 Éléments complémentaires... 6 3 Tendance linéaire 7 3.1 Tendanceàpartirdedeuxpoints... 7 3. Tendance à partir de la régression linéaire... 8 4 Applications économiques 9 4.1 Seuil de rentabilité... 9 4. Laloidel offreetdelademande... 11 4.3 Droites d isocoûts... 1 5 Exercices 13 5.1 Exercicescorrigés... 13 5. Exercicespartiellementcorrigés... 0 6 Solutions 5 1 1 Définition Nous donnerons une définition plus complète d une fonction ultérieurement. Disons simplement qu une fonction peut être vue comme une machine qui accepte en entrée une variable x et qui fournit en sortie un résultat appelé y ou f(x) Les fonctions peuvent être représentées dans le plan au moyen d un système d axes (x et y) appelé système cartésien où chaque point de la fonction est alors représenté par ses coordonnées. La première coordonnée indique la position de ce point par rapport à l axe des x ou axe des abscisses et la seconde la position du point par rapport à l axe des y ou axe des ordonnées. La figure ci-après représente quelques points dans le plan avec leurs coordonnées : Équation de la droite.1 Fonction linéaire On appelle fonction linéaire s il y a uniquement un facteur de proportionnalité entre x et f(x). Dans ce cas, la fonction s écrira : f(x) =ax ou y = ax avec a, un réel quelconque. Ce réel a s appelle le facteur de proportionnalité. Les fonctions linéaires se représentent dans le plan par une droite. Cette droite passe par l origine.. Fonction affine On appelle fonction affine, une droite définie par f(x) =ax + b ou y = ax + b

où les nombres a et b sont des réels quelconques. Les fonctions affines sont des droites qui ne passent pas forcément par l origine. Si la valeur a de la fonction affine ou linéaire est positif, alors la droite est croissante, elle «monte». Dans le cas contraire, elle est décroissante ou «descend». La valeur b de la fonction affine indique l ordonnée à l origine : Remarque : L équation d une droite peut également s écrire sous sa forme cartésienne ou linéaire : ax + by = c Cette forme sera largement utilisée dans le chapitre sur la programmation linéaire..3 Pente d une droite La pente d une droite est le rapport a = Δy Δx où Δx est l accroissement selon l axe des x et Δy est l accroissement selon l axe des y. Pour trouver la pente d une droite, on choisit sur cette droite points (x1; y1) et(x; y), puis on calcule : a = y y1 x x1 y Δy y1 Δx x1 x Exemple.1 Calculer la pente de la droite représentée par le graphe ci-après : 3 Le point A a comme coordonnées (0; 3) et le point B les coordonnées (; 1). Ainsi : a = 1 3 0 = = 1 Remarque : La pente d une droite s exprime souvent en pour-cent comme c est le cas des panneaux routiers : Dans le cas d une pente de 10%, cela signifie que sur une distance horizontale de 100, on monte d une hauteur de 10. Attention, une pente de 100%, n est pas une pente verticale mais une pente de 45..4 Droite passant par deux points Pour déterminer l équation f(x) = ax + b d une droite passant par deux points A(x1; y1) et B(x; y), on commence par calculer la pente entre ces deux points : puis a = y y1 x x1 b = y1 ax1 ou b = y ax Exemple. Déterminer l équation de la droite y = ax + b passant par les points (1; 5) et (3; 9) La pente est donnée par : a = 9 5 3 1 = 4 = L ordonnée à l origine b par : b =5 1=3 ou b =9 3=3.5 Droites particulières Droite parallèle Deux droites sont parallèles si leur pente est identique. Ainsi, f(x) =3x + et 9x 3y = 1 sont parallèles. En effet, la seconde droite peut être transformée comme suit : 9x 3y = 1 3y =9x +1 y =3x +4 4

9x 3y = 1 f(x) =3x + Les deux droites ont la même pente a =3. Droite horizontale Une droite horizontale est aussi appelée fonction constante. Elle se définit par f(x) = b où b est une valeur réelle. Son graphe est une droite parallèle à l axe des x qui passe par le point (0; b) : f(x) =b Droite verticale Une droite verticale est une droite ayant une pente infinie. Elle se définit par x = h où h est une valeur réelle. Droite perpendiculaire Deux droites de pente m1 et m sont perpendiculaires si m1 m = 1 Exemple.3 Montrer que les droites x+3y =1et 6x 4y 1 =0sont perpendiculaires. Écrites sous la forme les pentes respectives sont : y = 3 x + 1 3 et y = 3 x 1 4 m1 = et m = 3 3 Comme m1 m = 1, les droites sont bien perpendiculaires. 5.6 Systèmes d équations La résolution des systèmes linéaires de équations à inconnues est équivalente à la recherche des points d intersection de deux droites. Trois cas sont envisageables : y0 x0.7 Éléments complémentaires Distance entre points La distance dans le plan d(p1; P) entre deux points P1(x1; y1) et P(x; y) est donnée par : d(p1; P) = (x x1) +(y y1) Exemple.4 Rechercher la distance entre les points P1(; ) et P(7; 10) d(p1; P) = (7 ) +(10 ( )) = 5 + 144 = 169 = 13 Milieu d un segment Le milieu Md un segment d extrémités P1(x1; y1) et P(x; y) est donnée par : ( x 1 + x M ; y ) 1 + y Exemple.5 Rechercher le point milieu situé entre les points P1(; ) et P(7; 10) M ( 7+ ; +10 ) = M ( 9 ;4 ) Distance d un point à une droite La distance d un point P(x0; y) à une droite d d équation ax + by + c = 0 est donnée par : δ(p ; d) = ax 0 + by0 + c a + b 6

Exemple.6 Déterminer la distance du point P (5; ) à la droite d équation y = 3 4 x+1 On transforme cette équation de la manière suivante : y = 3 4 x +1 4y = 3x +48 3x +4y 48=0 (a =3 b =4 c = 48) δ(p ; d) = 3 5+4 48 3 +4 = 5 = 5 5 5 =5 3 Tendance linéaire En économie ou en gestion, il est souvent utile de connaître l évolution du passé afin de prédire l évolution future d un marché, d un prix, etc... Parmi les modèles de prévision, la tendance linéaire est de loin le modèle le plus simple. Pour cela, on peut soit calculer une tendance à partir de points ou utiliser le modèle de la régression linéaire. 3.1 Tendance à partir de deux points Supposons que les profits en millions réalisés par une entreprise ces dernières années se sont montés à : Année 000 001 003 006 007 Profit 4 5 8 8 9 En choisissant par exemple 000 comme année de référence (000 correspond à x =1), on obtient le graphe du profit : 7 On peut maintenant choisir points représentatifs, par exemple l année 000 et 007, c est-à-dire les points (1; 4) et (8; 9). On détermine ensuite l équation de la droite de profit p passant par ces deux points : p(x) 0, 714x +3, 8 À partir de là on peut être amenés à calculer... le profit estimé pour 009 (extrapolation linéaire) le profit estimé pour 005 (interpolation linéaire) l année où le profit a atteint les 7 millions Le profit estimé pour 009 (x = 10) est donné par : p(10) 0, 714 10 + 3, 8 10, 4 millions Le profit estimé pour 005 (x = 6) est donné par : p(6) 0, 714 6+3, 8 7, 564 millions L année où le profit a atteint les 7 millions se trouve en résolvant p(x) =7: 7 0, 714x +3, 8 0, 714x 7 3, 8 x 5, 1 Soit environ au premier trimestre de l année 5, c est-à-dire dans le courant de l année 004. 3. Tendance à partir de la régression linéaire La régression linéaire ou méthode des moindres carrés sera étudiée en détail au cours de statistiques. On se contentera ici d utiliser le module Linreg de la calculatrice. La méthode des moindres carrés consiste à déterminer une droite qui passe «au mieux» à travers un ensemble de points. Reprenons les profits réalisés de la section précédente : Année 1 4 7 8 Profit 4 5 8 8 9 Appuyez sur STAT Edit, puis entrez les valeurs selon l exemple ci-après. Pour terminer, appuyez sur STAT CALC et choisissez LinReg(ax+b). 8

L équation de la droite est donnée par : f(x) 0, 66x +3, 91 En reportant les valeurs ainsi que la droite d équation sur un graphe, on constate que cette droite est un meilleur ajustement des valeurs observées qu en se basant uniquement surdeuxpoints. 4 Applications économiques 4.1 Seuil de rentabilité Le seuil de rentabilité (point mort ou break-even en anglais) est généralement défini comme le chiffre d affaires minimum à partir duquel un produit (ou une activité d une entreprise) devient rentable. Pour définir le seuil de rentabilité, on représente sur un graphique la droite des coûts C ainsi que la droite des revenus R en fonction des quantités produites x. Les coûts de production sont en principe composés d une partie de coûts fixes ainsi que de coûts variables proportionnels à la quantité produite. Une fonction de coût pourra donc naturellement s exprimer par une fonction affine de la forme : C(x) =ax + b où b représente la part de coûts fixes. Le revenu, lui, est en général proportionnel à la quantité vendue. On peut alors représenter la courbe de revenu par une fonction linéaire : R(x) =cx Exemple 4.1 Considérons un vendeur ambulant de roses ayant des coûts fixes de 0 frs par jour. Il achète ses roses à fr la pièce et les revend à 6 frs. Calculer le nombre de roses à vendre par jour pour atteindre le seuil de rentabilité. On détermine les éléments suivants : x le nombre de roses vendues C(x) =x + 0 coûts de production R(x) =6x montant des ventes 9 Le seuil de rentabilité se calcule par : C(x) =R(x) x +0=6x x =5 Le vendeur de roses doit donc vendre plus de 5 roses pour faire du profit. R(x) C(x) Analyse du seuil de rentabilité Que se passe-t-il maintenant si le vendeur peut payer ses roses 1 fr auprès d un autre fournisseur en périphérie de la ville mais doit pour cela prendre un taxi qui lui en coûtera 0 frs supplémentaires? La situation est maintenant la suivante : C(x) =1x + 40 coûts de production R(x) =6x montant des ventes Le seuil de rentabilité se calcule par : C(x) =R(x) 1x +40=6x x =8 Le vendeur de roses doit donc vendre maintenant plus de 8 roses par jour pour faire du profit. Pour qu il accepte de travailler avec ce nouveau fournisseur, il faut encore déterminer le nombre de roses à vendre pour que le coût du nouveau système soit inférieur à l ancien, en d autres termes on cherche x tel que : x +0=x +40 x =0 En conclusion, si le vendeur pense vendre plus de 0 roses par jour, il a intérêt à opter pour ce nouveau fournisseur, sinon il lui faut conserver son fournisseur actuel. 10

R(x) C(x) 4. La loi de l offre et de la demande La loi de l offre et la demande permet d expliquer le prix d un bien (que ce soit le travail, main d oeuvre ou un bien quelconque). L offre d un bien (proposé par les producteurs/entreprises) est une fonction croissante du prix. En effet, plus le prix est élevé, plus les producteurs seront intéressés pour en vendre le plus possible. La demande d un bien (venant du consommateur), est une fonction décroissante du prix. Forcément, plus le prix est élevé, moins il y a de personnes prêtes à payer ce prix. Du coup, la quantité demandée est moindre. Puisque ces courbes sont, l une croissantes et l autre décroissantes, elles se croisent en un point appelé point d équilibre, qui détermine à la fois la quantité produite/vendue et le prix de vente. Dans une première approche on considère ici des fonctions affines. On définit ainsi : qo courbe affine de l offre qd courbe affine de la demande qo qe qd pe Exemple 4. Si l offre d un produit est modélisée par la droite qo =3p 15 et si la demande pour ce même produit suit la droite d équation qd = 45 p, déterminer le prix et la quantité d équilibre. qo = qd Situation à l équilibre 3p 15 = 45 p Résoudre par rapport à p p =5 Prix d équilibre Pour un prix de 5, la quantité échangée q sera de : q =3 5 15 = 45 5 = 141 unités 11 4.3 Droites d isocoûts Une droite d isocoût représente les différentes combinaisons de deux facteurs de production qui peuvent être achetés avec une certaine somme d argent. On définit en général cette droite par la formule : PKK + PLL = E où K et L sont respectivement le capital et le travail et PK et PL leur prix respectifs. E représente la somme globale à dépenser. À partir de cette équation, on peut facilement déterminer K en fonction de L : PKK + PLL = E PKK = E PLL K = E P LL K = PK ( ) P L PK L + E PK On constate alors qu il s agit simplement d une fonction affine de la forme y = ax + b avec a = ( ) PL et b = E PK PK E PK Exemple 4.3 Un consommateur dispose de 10 frs pour acheter un certain nombre x de tablettes de chocolat au prix de 3 frs l unité et un certain nombre y de paquets de biscuits à 5 frs le paquet. (a) Tracer la droite de budget exprimant toutes les possibilités de consommation avec le budget donné (b) Que devient la droite de budget initial si le budget diminue de 5% (a) La fonction de la droite s écrit : 3x +5y = 10. En résolvant par rapport à y on trouve : y = 3 5 x +4 (b) Si le budget diminue de 5%, le nouveau budget se monte à 10 0, 75 = 90. La fonction de la droite s écrit : 3x +5y = 90, c est-à-dire : y = 3 5 x +18 1

On constate que la diminution du budget entraîne un déplacement parallèle de la droite de budget vers la gauche. y = 3 5 x +4 y = 3 5 x +18 5 Exercices 5.1 Exercices corrigés Exercice 1 Représenter sur graphiquement les fonctions suivantes : (a) f(x) = 4x (c) f(x) = x +4 (b) f(x) = 3 x (d) f(x) = + 4 x 4 3 (a) Cette fonction est linéaire. Elle passe par l origine. Sa pente est négative. Pour une unité x on descend de 4 unités y (b) Cette fonction est également linéaire et donc passe par l origine. Sa pente est positive. Pour 4 unités x on monte de 3 unités y (c) Cette fonction affine coupe l axe des y au point (0; 4). Sa pente est négative et vaut 1. Pour une unité x on descend d une unité y (d) Fonction affine coupant l axe des y au point (0; ). Fonction croissante. Pour 3 unités x on monte de 4 unités y Exercice Soit la fonction affine f(x) = 3x + 5, calculer : 13 (a) f(0) (b) f( 3) (c) f(a) (d) f(x +) (e) f(x +Δx) (a) f(0) = 3 0+5=5 (b) f( 3) = 3( 3) + 5 = 14 (c) f(a) = 3a +5 (d) f(x +)= 3(x +)+5= 3x 6+5= 3x 1 (e) f(x +Δx) = 3(x +Δx)+5= 3x 3Δx +5 Exercice 3 Déterminer l équation de la droite passant par les points A et B suivants : (a) A(; 5) et B(4; 3) (b) A( 4;3) et B(4; 3) (c) A(0; 5) et B(5; 0) (d) A(; ) et B(; 5) (e) A(a; b) etb(b; a) (a) a = 3 5 4 = 1 et b =5 a =5 ( 1) = 7 f(x) = x +7 (b) a = 3 3 4+4 =0 et b =3 a ( 4) = 3 0=3 f(x) = 3 droite horizontale (c) a = 0 5 5 0 = 1 et b =5 a 0=5 0=5 f(x) = x +5 (d) a = 5 = x = droite verticale (e) Pour éviter toute confusion écrivons f(x) = mx + h m = a b b a = a b (a b) = 1 et h = b ( 1) a = b + a f(x) = x + b + a Exercice 4 Déterminer l équation de la droite parallèle à x +3y = 5 passant par le point A(3; 1) 14

On commence par mettre l équation sous la forme y = ax + b x +3y =5 3y = x +5 y = 3 x +5 La droite parallèle doit avoir la même pente, c est-à-dire 3 la forme :. La droite recherchée est de y = 3 x + b Pour trouver b, il suffit de remplacer les coordonnées du point A dans cette nouvelle équation : 1= 3 (3) + b 1= +b b =3 L équation de la droite parallèle s écrit : f(x) = 3 x +3 Exercice 5 Montrer que le point C(7; 7) est situé sur la médiatrice du segment AB défini par A( 3;) et B(5; 4). (Rappel : la médiatrice d un segment est la perpendiculaire qui coupe ce segment en son point milieu). On procède ainsi : 1. On calcule la pente de la droite passant par AB. On calcule le point milieu du segment AB 3. On calcule l équation de la droite perpendiculaire passant par ce point milieu 4. Le point C doit alors satisfaire l équation de cette droite perpendiculaire Pente de la droite passant par AB a = 4 5+3 = 6 8 = 3 4 Milieu de AB M ( 3+5 ) ; 4 = M(1; 1) 15 Droite perpendiculaire m1 m = 1. Comme m1 = 3 4, on peut écrire : 3 4 m = 1 m = 4 3 d où : y = 4 3 x + b Sachant que cette droite passe par M(1; 1), cela permet de déterminer b : 1 = 4 3 (1) + b b = 1 4 3 = 7 3 L équation de la médiatrice devient : y = 4 3 x 7 3 Au point C(7; 7), cette équation est vérifiée : 7= 4 3 7 7 3 7= 8 3 7 3 = 1 3 =7 Cela prouve que le point C se trouve sur cette médiatrice : Exercice 6 Calculer la distance entre le point P( 37 ; ) et la droite d d équation 8 y = 8 15 x + 3 On commence par écrire cette équation sous la forme ax + by + c =0: y = 8 15 x + 3 15y = 8x +10 8x +15y 10=0 a =8 b =15 c = 10 On calcule la distance δ(p ; d) : δ(p ; d) = 8( 37 8 )+15() 10 8 +15 = 37 + 30 10 = 17 89 17 =1 16

Exercice 7 Déterminer l équation de la tendance linéaire entre ces quatres observations, en se basant sur (a) une tendance linéaire à partir des points A et D (b) une tendance linéaire à partir de la droite de régression (a) la tendance linéaire à partir des points A(1; 1) et D(4; 4) se calcule par a = 4 1 4 1 =1 et b =1 a 1=1 1 1=0 f(x) =x (b) Il faut appuyer sur STAT Edit puis entrer les valeurs comme suit : Pour terminer, appuyez sur STAT CALC et choisissez LinReg(ax+b). L équation de la droite est donnée par : f(x) =0, 6x +1 y = x y =0, 6x +1 Exercice 8 Le compte d exploitation d une entreprise commerciale se présente de façon suivante en milliers de francs : 17 Charges Produits Charges variables 300 Chiffre d affaire 500 Charges fixes 50 Bénéfice net 150 500 500 Informations complémentaires : Chiffre d affaire : 10 000 articles vendus Prix de vente unitaire d un article : 50 frs Charges variables par article : 30 frs (a) Déterminer le nombre d articles au point mort (b) Déterminer le chiffre d affaires au point mort (c) Déterminer la date du point mort (a) R(x) =50x (recettes) et C(x) =50x +50 000 (coûts) 30x + 50 000 = 50x 50 0006 = 0x x = 500 Le point mort est atteint à partir de 500 articles vendus. (b) Si x = 500 alors R(500) = 50 500 = 15 000 frs (c) Par une simple règle de trois : 10 000 art. 360 jours 500 art. x jours x = 500 360 10 000 =90jours Exercice 9 Sur un marché, on a mesuré l offre et la demande d un produit en fonction du prix de ce dernier : Prix Quantité demandée Quantité offerte 1,5 8 0 1 16 10 En supposant que l offre et la demande sont des fonctions affines, représenter graphiquement ces deux fonctions et déterminer le point d équilibre. 18

qo qd On détermine les droites d équation passant par ces points : Équation de l offre passant par les points (1; 10) et (1, 5; 0) : qo =0p 10 Équation de la demande passant par les points (1; 16) et (1, 5; 8) : qd = 16p +3 Recherche du point d équilibre : qo = qd 0p 10 = 16p +3 36p =4 p 1, 166 À ce prix, les quantités échangées seront : qe 0 1, 166 10=13, 3 Exercice 10 Pour produire de l acier, une usine peut utiliser du charbon (C) ou du gaz (G). Le charbon coûte 100 et le gaz 500. (a) Tracer une courbe d isocoût représentant les différentes quantités de gaz et d acier pouvant être achetés avec une dépense initiale (E) de 10 000 (b) Représenter sur le même graphique la courbe d isocoût si le prix du charbon augmente de 5% (a) La fonction de la droite s écrit : 100C +500G = 10 000. En résolvant par rapport à C on trouve : C = 5G +100 (b) Si le prix du charbon augmente de 5%, le prix du charbon coûtera 100 1, 5 = 15. La fonction de la nouvelle droite s écrit : 15C +500G = 10 000, c est-à-dire : C = 4G +80 On constate alors sur le graphique que le budget donné permet d acheter une quantité moindre de charbon. 19 5. Exercices partiellement corrigés Exercice 11 Représenter graphiquement les fonctions suivantes (a) f(x) = 3 4 x +3 (c) (x f(x)) =6 (b) x +y 1=0 (d) x + y =0 Exercice 1 Soit f(x) =3x 5, évaluer les expressions suivantes : (a) f( 1) (b) f(a) (c) f(a + b) (d) f(3x 5) (e) f(3t x) (f) f(t xi) (g) f(xt) f(xt+1) (h) f(x+δx) f(x) Δx Exercice 13 Déterminer la fonction affine... (a)... dont le graphe passe par les points (4; 1) et (3; ) (b)... telle que f( 1) = et la pente de f vaut (c)... telle que f(3) = 4 et dont le graphe passe par le point (4; 4) (d)... dont le graphe passe par les points ( 1; ) et (3; 0, 5) (e)... de pente 3/ et dont le graphe passe par le point ( 1; ) (f)... de pente m et dont le graphe passe par le point (0; h) (g)... de pente α et dont le graphe passe par le point ( β; β) (h)... dont le graphe passe par les points (a; x0) et(a; x0) (i)... dont le graphe passe par les points ( x0; x0) et(x0; x0) (j)... dont le graphe passe par les points (x0; y0) et(x1; y1) Exercice 14 Trouver l abscisse du point P (x; 13) sachant que les points P, Q( 1; 7) et R(3; 1) sont alignés. Exercice 15 Trouver l équation... (a)... de la droite parallèle à y = 3x + passant par l origine 0

(b)... de la droite parallèle à 3x y + 5 = 0 passant le point (6; 1) (c)... de la droite perpendiculaire à y = 3x + passant par l origine (d)... de la droite perpendiculaire à y = ax passant par le point (4; ) Exercice 16 Selon le théorème de Pythagore, «Dans un triangle rectangle, le carré de l hypoténuse (côté opposé à l angle droit) est égal à la somme des carrés des côtés de l angle droit.» En utilisant ce théorème, montrer que les points A(; 5), B(6; 1) et C( 1; 3) forment un triangle rectangle. Exercice 17 Déterminer algébriquement l intersection des deux droites : (a) y =x +3ety 4x = (b) 3p q =0etq +p =0 (c) x =3etx +y =3 Exercice 18 Un réparateur informatique demande pour le déplacement un montant forfaitaire de 30 frs. (a) Quel est son tarif de l heure sachant que l on a payé 390 frs une réparation pour 4 heures et demi d intervention? (b) Représenter graphiquement son tarif horaire f(t) en fonction des heures t d intervention. Exercice 19 Une dette de 7 00 frs est amortie à raison de 300 frs par mois. Établir une formule permettant de représenter l état de la dette C(k) en fonction de la durée écoulée k (k N). Exercice 0 Une voiture s engage sur une route avec le réservoir plein et roule à vitesse constante. Après 00 km de route, il reste 40 litres d essence et après 450 km, il reste 15 litres. Déterminer : (a) la fonction qui détermine le nombre de litres restants dans le réservoir en fonction des kilomètres parcourus (b) la capacité du réservoir (c) la consommation au 100 km (d) la distance maximale qu on peut parcourir avec un plein Exercice 1 Une ville a installé des usines pour alimenter ses citoyens en eau potable. Elle finance les coûts d exploitation en facturant une redevance fixe et l eau consommée. Un des voisins de Jean a reçu son décompte et pour une consommation de 60 000 litres il paie 88 frs ; un autre voisin paie 100 frs pour une consommation de 75 000 litres. Jean n a pas reçu son décompte, mais il sait qu il a consommé 8 000 litres d eau. (a) Quel montant doit-il prévoir? (b) Déterminer également le montant de la taxe fixe et le prix pour 1 000 litres d eau. 1 Exercice Une petite route doit être construite depuis la ville X jusqu à la route reliant Y à Z. Les trois variantes à l étude sont représentées sur le schéma ci-après. Calculer le coût des 3 variantes, sachant que le prix de la construction se monte à 1500 frs le mètre. (1 unité = 50 m ; arrondir au mètre les distances) Exercice 3 Le Modèle d évaluation des actifs financiers (MEDAF) fournit une estimation du rendement espéré E(r) d un actif financier. Ce modèle est une fonction : du risque systématique de l actif, noté β de la rentabilité moyenne attendue sur le marché, notée E (rm) du taux d intérêt sans risque (généralement des emprunts d État), noté rf Cette fonction est définie par : E(r) =rf + β (E(rm) rf) (a) Représenter la fonction liant E(r) et β (b) Quel est le rendement espéré d un actif sans risque? (c) Quel est la valeur du β d un actif ayant un rendement espéré identique à la rentabilité moyenne sur le marché? Exercice 4 Le volume d un glacier était de 15 000 m 3 en 1974 et de 16 000 m 3 en 003. Selon l hypothèse d une décroissance linéaire, estimer en quelle année ce glacier aura totalement disparu. Exercice 5 Les profits en milliers de francs d une société ont évolués de la manière suivante au cours des dernières années : Année 1997 001 00 003 004 005 006 Profit 40 573 669 76 796 78 849 (a) En choisissant x = 0 pour 1997 déterminer la droite de régression correspondant à cette évolution (arrondir a et b à 1 centième) (b) Si cette évolution se poursuit, quels seront les profits estimés en 011? (c) En quelle année la barre du million pourrait-elle être franchie?

Exercice 6 Quatre villages (A, B, C, D) souhaitent être reliés entre eux par une route qui coûte 000 frs le mètre. Les coordonnées en mètres de ces villages sont données par l illustration ci-dessous : Après de longues discussions, le canton décide finalement de construire une route rectiligne passant entre les villages (illustration de droite). Chaque village doit alors payer les frais de raccordement à la route. Tous les calculs sont arrondis au mètre. (a) Déterminer l équation de la droite de régression passant au mieux entre les villages. (b) Que devra payer le village A s il se raccorde horizontalement au plan? (c) Que devra payer le village C s il se raccorde verticalement au plan? (d) Que devra payer le village B s il se raccorde perpendiculairement à la route? Exercice 7 Un producteur maraîcher sait qu il peut vendre toute sa production de navets en les vendant 0,40 frs chacun. Il estime qu il a des frais fixes de 100 frs par jour et qu il lui en coûte 0,0 frs pour produire chaque navet. (a) Calculer son seuil de rentabilité. (b) Un vendeur de machinerie lourde propose au producteur l achat d une machine qui réduira le coût de production à 0,10 frs par navet mais qui augmentera ses frais fixes à 180 frs par jour. Analyser le seuil de rentabilité et les coûts de production pour aider le producteur à prendre une décision. Exercice 8 Un manufacturier de ballons estime qu il lui en coûte 4 frs pour fabriquer chaque ballon. De plus, il a calculé qu il lui en coûte 156 frs par jour de frais fixes. S il vend ses ballons 10 frs chacun, calculer son seuil de rentabilité. Exercice 9 Un commerçant achète d un grossiste des articles au prix de frs l unité. Les frais fixes de fonctionnement du commerçant sont de 148 frs par jour. A quel prix doit-t-il vendre chaque article pour avoir un seuil de rentabilité de 37 articles par jour? 3 Exercice 30 Un éditeur décide de publier un ouvrage de mathématiques. Les coûts qu il doit assumer sont formés de frais fixes (composition, montage,...) s élevant à 11 000 frs et de frais variables (impression, droits d auteurs,...) s élevant à 9 frs par volume. (a) S il vend ses livres 0 frs l exemplaire, calculer son seuil de rentabilité. (b) Un nouveau procédé de composition permet d abaisser les frais fixes à 9 500 frs. Par contre, dans ce cas, l impression augmente les coûts variables à 10 frs par livre. Analyser le seuil de rentabilité. Exercice 31 Une troupe de théâtre a obtenu une subvention de 50 000 frs pour monter une pièce. Chaque représentation rapporte 10 000 frs, mais les frais fixes (décors, costumes, répétitions, etc...) s élèvent à 150 000 frs et les frais variables (salaire des comédiens, des placeurs, etc...) à 8 000 frs par représentation. (a) Déterminer les expressions qui donnent le revenu R(x), les coûts C(x) et le bénéfice B(x) en fonction du nombre de représentations. (b) Interpréter le point d intersection des droites représentant les fonctions R(x)et C(x). (c) La troupe de théâtre rentre-t-elle dans ses frais si elle donne 5 représentations? (d) Calculer le seuil de rentabilité de la pièce. Exercice 3 L élasticité arc de la demande est définie comme le rapport entre le pourcentage de variation de la demande d un bien et le pourcentage de variation du prix de ce bien, c est-à-dire : Ed = Δq/q Δp/p Ainsi, entre deux points (p1; q1) et(p; q), l élasticité arc de la demande s écrira : Ed = (q q1)/q1 (p p1)/p1 Soit une fonction de demande p =1000 0, 5q. Calculer l élasticité arc de la demande entre les prix p1 = 800 et p = 700. Exercice 33 Sur un marché, une petite étude sur le comportement des producteurs et consommateurs a montré les résultats suivants : Prix 3 5 7 9 13 Qté offerte 3 61 70 7 93 104 Qté demandée 10 118 110 95 91 55 Au moyen de la régression linéaire, calculer le prix d équilibre entre l offre et la demande sur la base de ces valeurs observées. (arrondir les paramètres a et b à 1 centième). Exercice 34 Un artisan dispose de 800 frs pour acheter un certain nombre x de bouteilles en verre bleu au prix de 4 frs l unité et un certain nombre y de bouteilles en verre jaune à 5 frs l unité. Tracer la droite de budget exprimant toutes les possibilités de consommation 4

avec le budget donné sachant qu à partir de la 100 ème bouteille en verre bleu commandée, on bénéficie d un rabais de 0%. Exercice 35 En Suisse, sur le réseau CFF, une modification de déclivité est généralement signalée au moyen d indicateurs spécifiques. Ces indicateurs sont les suivants : Le nombre écrit en grand indique la pente en %. le nombre écrit en petit indique la longueur en mètres à plat. Le panneau contenant qu une valeur indique le nombre de mètres à plat. Entre deux villages, un conducteur aperçoit successivement les 3 indicateurs suivants : Calculer la pente moyenne en % séparant ces deux villages. 6 Solutions 11. le graphique suivant résume les situations : 1. (a) 8 (b) 3a 5 (c) 3(a + b) 5 (d) 9x 0 (e) 3(3t x) 5 (f) 3(3t xi) 5 (g) 3(xt xt+1 (h) 3 13. 5 (a) y =3x 11 (b) y = x (c) y =4 (d) y = 0, 375x +1, 65 (e) y = 3 x + 1 (f) y = mx + h (g) y = αx + β(α 1) (h) x = a (i) y = x (j) y = y1 y0 x1 x0 x + y 0 y1 y0 x1 x0 x 0 14. x = 4 15. (a) y = 3x (c) y = x 3 (b) y = 3 x 8 (d) y = 1 x + 4 + a a 16. AC + AB = BC =65 17. (a) Droites parallèles (b) (0; 0) (c) (3; 0) 18. (a) 80 frs / h f(t) f(t) =80t +30 (b) Graphique : 19. C(k) = 300k + 700 0. (a) y = 0, 1x +60 (b) 60 litres (c) 10 litres / 100 km (d) 600 km 1. (a) 105,60 frs (b) 0,8 frs/1000 litres. (a) 1 31 500 frs (b) 1 174 500 frs (c) 1 351 500 frs 3. (a) Graphique : E(r) (b) E(r) =rf (c) β =1 E(rm) rf β 4. Courant 007 5. (a) P (x) 50, 93 + 401, 51 (b) 1 114 530 frs (c) courant 8 ème année 6

6. (a) y =0, 8x +60 (b) 100 000 frs (c) 160 000 frs (d) 14 000 frs 7. (a) seuil : 500 (b) seuil : 600 (changer de système si production > 800) 8. 6 ballons 9. 6 frs 30. (a) seuil : 1000 ex (b) seuil : 950 ex, changer si ventes < 1500 ex. 31. (a) R(x) =10 000x +50 000 C(x) =8 000x +150 000 B(x) = R(x) C(x) = 000x 100 000 (b) le point d intersection donne le seuil de rentabilité (c) Perte de 50 0000 frs (d) 50 représentations 3. Ed = 4 33. pe 8, 76 34. Graphique : 35. Pente 0, 87 % 7