COURS DE LICENCE 2 SCIENCES ECONOMIQUES COURS D ANNIE CLARET MATHEMATIQUES 3 PRISE DE NOTE PAR : PLASMAN SYLVAIN SERIE 7 ANNEE 2010-2011 1
Sommaire et accès aux chapitres/sous-chapitres Cliquez sur le sous chapitre pour y accéder Chapitre I Les suites SECTION I - LES SUITES, GENERALITES I. Les suites, généralités A. Définition B. Notation C. Exemples D. Opérations sur les suites E. Suites convergentes II. Théorème de convergence pour les suites réelles A. Définitions B. Théorème (admis) C. Exemples D. Étude de SECTION II - LES SUITES RECURRENTES LINEAIRES I. Généralités II. Equation d ordre 1 A. Résolution de (2) B. Comportement des solutions de (2) C. Solutions particulières de (1) D. Exemples (2) III. Equation d ordre 2 A. Résolution de (2) B. Comportement des solutions de (2) C. Solutions particulières de (1) D. Exemples E. Application économique : Oscillateur économique de Samuelson 2
SECTION III ESPACES VECTORIELS I. Etude de la structure de R² II. III. IV. Espaces Vectoriels A. Définition B. Exemples C. Premières propriétés Sous espace vectoriels A. Définition B. Propositions C. Exemples D. Propositions E. Somme de 2 sous espaces vectoriels F. Sous espaces vectoriels supplémentaires Dépendance et interdépendance linéaire A. Définition B. Exemples C. Propriétés D. Théorème (admis) E. Base d un espace vectoriel F. Dimension d un espace vectoriel G. Dimension des sous espaces vectoriels de E Chapitre II Applications linéaires SECTION I - GENERALITES I. Généralités sur les applications linéaires A. Définition B. Proposition C. Exemples D. Remarque E. Propriétés F. Image et noyau d une application linéaire 3
Annexes AUTRES Bibliographie 4
Chapitre I Les suites SECTION I LES SUITES, GENERALITES I. Les suites, généralités A. Définition Soit, (ensemble) On appelle suite définie sur à valeurs réelles toute application de vers (réel) B. Notation = Ensemble des termes de la suite : Terme de rang C. Exemples - Suite définition terme à terme - Suite définie par récurrence Suite arithmétique ( 5
Suite géométrique ( ) Si ou, pour tout Si et D. Opérations sur les suites R étant muni des deux lois + et *, l ensemble des suites définies sur A à valeurs réelles, muni de + et * est Egalité Multiplication 6
E. Suite convergentes ( (nombre entier)) Définitions : Exemple : Soit, existe-t-il tel que? Or Il suffit de choisir, entier, et strictement supérieur à 0 Alors, soit II. Théorème de convergence pour les suites réelles ( ) : Sens de variation d une suite A. Définitions 1. Sens de variations des suites : Suite à valeurs réelles Suite croissant : Avec Suite strictement croissante : Ex : Suite décroissante Suite strictement décroissante 7
Ex : 2. Borner les suites Suite majorée : Ex : Suite minorée Ex : Suite bornée : majorée et minorée Ex : B. Théorème (admis) : Suite à valeurs réelles Si Si est croissante majorée, alors elle converge est désormais minorée, alors elle converge Les réciproques sont fausses C. Exemples Par récurrence : un > = 0 pour tout n appartient à N Ce qui veut dire : est minorée par 0, d où 8
Comme elle est minorée par 0, elle converge D. Étude de définie par, f continue Si la suite Preuve : converge, sa limite est un point fixe de f continue Application à l exemple : Soit, f continue sur Si f est croissante, ( ) est monotone a) Si, alors ( ) est croissante Par récurrence : pour Conclusion :, b) Si est décroissante Si est décroissante, la suite se décompose en deux sous suites et monotones et de sens de variations contraires 9
1) (o = rond = image de) La croissance de entraine la monotonie des deux sous suites 2) Supposons ( ) croissante, SECTION II SUITES RECURRENTES LINEAIRES (voir fiche) I. Généralités La variable entière est notée (temps, intervenant dans les modèles économiques) Soient Pb : recherche de la suite vérifiant : L équation (1) s appelle «Equation récurrente d ordre p à coefficients constants» «Suite récurrente linéaire» 1) L équation : est l équation de récurrence d ordre à coefficients constants appelée équation homogène associée à l équation complète (1) 2) L ensemble des solutions de (2) est parfaitement déterminé par la connaissance de p solutions indépendantes de cette équation. Soit Soit 3) Obtention de la solution de (1) 10
Donc : La solution générale de l équation complète (1) s obtient en ajoutant à la solution générale de l équation homogène de (2) une solution particulière de l équation complète (1) Remarque : la donnée de conditions initiales entraîne l unicité de la solution de (1) 4) Equation On résout séparément : Soit Soit Conclusion : Exemple Toutes les solutions s écrivent Remarquons : Remarquons : 11
Alors II. Equation récurrente d ordre I (E.C) : Equation complète (E.H) : Equation homogène (E.C), (1) (E.H) (2) A. Solution de (2) L ensemble des solutions de (2) est engendré par 1 solution non nulle (p=1) On la cherche sous la forme ( ) L équation s appelle «équation caractéristique» associée à l équation (1) ou (2) B. Comportement des solutions de (2) Solution d équilibre : solution constante 0 est choisi comme solution d équilibre si, on dit qu il y a équilibre stable (Condition de stabilité) 12
C. Solutions particulières de (1) Où et P polynôme de degré p Si µ n est pas racine de On cherche sous la forme : avec Si µ est racine de On cherche sous la forme : avec D. Exemples (2) (E.H) (1) S.P de (1) :, D où D où <-> Et La donnée de fixe 13
D où Et (1) (E.H) S.P de (1), Remarque : solution générale de l E.H, il suffit de chercher sous la forme Ici : III. Equation récurrente d ordre 2 (E.C) (1) (E.H) (2) A. Résolution de (2) 14
L ensemble des solutions de (2) est engendré par deux solutions indépendantes (non proportionnelles). Ces deux solutions se cherchent sous la forme :, Est l équation caractéristique associée à l équation (1) a) admet deux racines distinctes. ( ) Solution de (2) : b), une racine double λ : (2) Solution de (2) : c), racines complexes conjugués, La solution est : On montre alors que sont deux complexes conjugués Alors =2 parties réelles ( ), (Re = parties réelles) 15
B. Comportement des solutions de (2) Selon la nature de et (racines simples ou doubles, réelles ou complexes) la convergence de se fera de façon monotone ou non, comportant des composantes oscillatoires ou non. Equilibre stable si : Soit si < 1 et <1 C. Solutions particulières de (1), P polynôme de On cherche sous la forme, Q polynôme Si µ n est pas racine de Si µ est racine simple de Si µ est racine double de D. Exemples 1) E.H : Conditions initiales : 2) a) (E.H) 16
b) µ=2, racine simple de ; c) 3) (E.H) SP de (1) Ici 17
D où 4) (E.H) Solution particulière de l équation complète (SPEC) : (-2) non racine de (*) E. Application économique : Oscillateur économique de Samuelson = consommation = revenu national = investissement induit par les variations de la consommation = investissement autonome Modèle de Samuelson : ses hypothèses 18
Remarque : SP de (1) : 1 non racine de Problème : étude de la stabilité du modèle Résolution de (2) 1) Deux racines réelles distinctes 2) Une racine double lambda 3) Deux racines complexes conjuguées 19
Comportement des solutions de (2) Propriété : les racines de et seulement si sont de modules strictement inférieurs à 1 si Ici Il faut donc comparer a : 1) d une part à 2) d autre part à Etude de g(k) pour k>0 0 1 4 + 0-1 0 0 20
Courbe sur photocopie donnée en cours (Voir «Le PACK») 21
SECTION III ESPACE VECTORIELS I. Etude de la structure de R² C est une loi de composition interne vérifiant : 1 + est commutative Pour tous couples 2 + est associative Pour tous En effet : 3 + admet un élément neutre : le couple nul 4 Tout élément de admet un symétrique : le couple En effet : 22
5 est un groupe commutatif Vérifiant : 1 En effet : 2 En effet : 3 En effet : 4 23
En effet : II. Espace vectoriel K = R ou K=C E : Ensemble A. Définition On dit que E à une structure d espace vectorielle sur K si sur E sont définies deux fois : 1) Une loi de composition interne 2) Une loi de composition externe Vérifiant : a) ( ) groupe commutatif b) Pour tout éléments de E, pour tout éléments de K : B. Exemples + : Neutre Groupe commutatif 24
Symétrique de = b) l ensemble des suites à valeurs de R Car L ensemble des fonctions définies sur R à valeurs réelles est un espace réelles est un espace vectoriel sur R, C. Premières propriétés 25
Supposons (3 ème point) (4 ème point) Conséquence : 1) 2) 26
III. Sous espace vectoriel A. Définition F est un sous ensemble vectoriel de E si, muni des lois + et, il a une structure d espace vectoriel sur K. B. Proposition a) F est un sous espace vectoriel de E si et seulement si : (F stable pour ) b) F est un sous espace vectoriel de E si et seulement si : 1) 2) (F stable par combinaison linéaire) Remarque : F étant un sous espace vectoriel C. Exemples 2) Soient 27
P est un s.e.v de P : plan vectoriel D. Proposition 28
L intersection de deux sous espaces vectoriels de E est un sous espace vectoriel de E La réunion de deux sous espaces vectoriels de E n est pas un sous espace vectoriel de E, en général. Preuve : F et G sont deux s.e.v de E s.e.v de E. En effet : Soient Soient 29
Définition : On appelle espace vectoriel engendré par une partie A de E le plus petit espace vectoriel de E contenant A. C est l intersection de tous les sous espaces vectoriels de E contenant A. Exemple : L espace engendré par dans, c est E. Somme de deux sous espaces vectoriels Définition Soient F et G deux sous espaces vectoriels de E. On appelle sommes des deux s.e.v F et G Propositions F+G est un sous ensemble vectoriel de E Preuve : 1) Soit E =F+G Définition 30
Tout vecteur de s écrit si, pout tout, cette décomposition est unique on dit que la somme F+G est directe et on note E =F+G Propriété : 1) E =F + G Soit L unicité de la décomposition exige Donc F. Sous espaces vectoriels supplémentaires Définition Deux sous espaces vectoriels F et G d un espace vectoriel E sont dit supplémentaires Si E = F + G Exemples 1) 31
IV. Dépendance et interdépendance linéaire A. Définitions 1) A est une famille libre ou linéairement indépendante si toute combinaison linéaire de vecteurs de A égale à 0-> implique que tous les coefficients sont nuls. Si Dans le cas contraire, A s appelle une famille liée. Les vecteurs de A sont dits linéairement dépendants. 32
2) A est une famille génératrice de E si tout vecteur de E s écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de A B. Exemples E=R² 1) est libre (mais non génératrice de R²) Car B = est génératrice de R² Soit B n est pas libre Il suffit de choisir 33
On obtient une combinaison linéaire des éléments de B dont les coefficients sont non nuls. a) C. Propriétés b) Si c) Toute sur-famille d une famille liée est liée. Toute sur-famille d une famille génératrice est génératrice Toute sous-famille d une famille libre est libre D. Théorème (admis) Si est une famille génératrice et une famille libre, E. Base d un espace vectoriel Définitions Une base de E est une famille de E à la fois libre et génératrice. Proposition Soit B une famille génératrice. B est une base si et seulement si tout vecteur de E s écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de B de manière unique. Preuve : 1) On suppose B libre : B = Soit tel que 34
B libre donc la décomposition est unique 2) On suppose : Tout s écrit (avec ) de façon unique B est libre Exemples Dans 1) 2) F. Dimension d un espace vectoriel Propriétés Dans un espace vectoriel, toutes les bases ont les même nombre d éléments. Soit B et B deux bases de cardinaux respectif n et n 35
B libre et B génératrice B libre et B génératrice Définition Le cardinal commun à l ensemble de toutes les bases de l E s appelle la dimension de l E. Remarque est un espace vectoriel de dimension Conséquences Soit un de dimension : Tout système libre d ordre est une base, tout système générateur d ordre est une base. G. Dimension des sous espaces vectoriels de E Rang d une famille de vecteurs Définition : A étant une famille de vecteurs de E et F le A la dimension de F de E engendré par A, on appelle rang de Exemple : Dans 1) A = A est libre F engendré par A : A système générateur de F. A base de F, Rang A = 2 2) B, base de Espace engendré par B : Rang B = 3 3) C = Droite vectorielle de base Rang C = 1 36
Théorème (admis) F et G étant deux d un espace vectoriel E : Cas particulier : Si Dans Exemple 1) est un plan vectoriel (connu) 37
2) est un plan vectoriel 3) est une droit vectorielle 4) 38
39
Chapitre II Applications linéaires SECTION I GENERALITES I. Généralités sur les applications linéaires A. Définition E et F étant deux espaces vectoriels sur K, une application est dite linéaire si : B. Proposition F est linéaire si et seulement si : 1) C. Exemples a) 40
b) 2) et Soient Remarque : 41
Symétrie par rapport à, parallèlement à D. Remarque Pour toute application linéaire On sait : pour tout pour tout Choix Donc Ex : Notations : L : ensemble des applications linéaire de E vers F L : ensemble des applications linéaires de E vers lui même E. Propriétés 1) On définit sur L une addition et une multiplication externe. Addition : + L, L, L Multiplication externe : * L, L : 42
L espace vectoriel sur 2) Soit L et L. Alors L F. Image et noyau d une application linéaire 43
Signé par : (^)(^) (=^-^=) ( ) ( ) POOKIPOOKI votre fidèle serviteur 44
Bibliographie : «Mathématique schématisées» DAMERON Jean Claude, Economica «Analyse mathématique pour économistes» GUERRIEN, B ARCHINARD, Economica «Algèbre linéaire pour économistes»guerrien, B, Economica «Algèbre Exercices corrigés avec rappel de cours» LECOUTRE J.P. PILIBOSSIAN P., Masson «Algèbre linéaire pour économiste» PILLIER Alain, (Maxima) «Cours de mathématiques pour économistes» MICHEL Philippe, Economica 45