Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff

Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff Lingmin LIAO Travaux en collaboration avec Yann Bugeaud, Dong Han Kim et Micha l Rams Université Paris-Est Créteil Séminaire de Probabilités et Théorie Ergodique LAMFA, Université de Picardie Jules Verne 20/01/2015 Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 1/33

Plan 1 Problèmes 2 Approximation uniforme liée aux rotations irrationnelles (avec Kim) 3 Approximation uniforme liée aux β-développements (avec Bugeaud) 4 Approximation uniforme liée aux puissances des nombres réels (avec Bugeaud et Rams) 5 Démonstrations sur les puissances des nombres Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 2/33

Problèmes Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 3/33

I. Dirichlet Notons la distance plus proche à l entier. Théorème de Dirichlet Uniforme (1842) : Soient θ, Q deux nombres réels avec Q > 1. Il existe un entier n tel que 1 n Q, et nθ < Q 1. Autrement dit, θ : Q > 1, nθ < Q 1 a une solution 1 n Q } = R. Théorème de Dirichlet Asymptotique (Corollaire) : Pour tout réel θ, il existe une infinité de nombres entiers n tel que nθ < n 1. Autrement dit, θ : nθ < n 1 pour une infinité de n } = R. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 4/33

II. Approximation à grande vitesse Pour w > 1, quelle est la taille de l ensemble L w := θ : nθ < n w pour une infinité de n }? Lemme de Borel-Cantelli : si w > 1, il est de mesure de Lebesgue 0. Jarník 1929, Besicovith 1934 : Pour w > 1, dim H (L w ) = dim H θ : nθ < n w i.o. n } = 2/(w + 1). Parallèlement, on pourra aussi travailler sur l ensemble U w := θ : Q > 1, nθ < Q w a une solution 1 n Q }. Khintchine 1926 : Pour tout w > 1, U w est vide. Preuve : Théorie de fraction continue. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 5/33

III. Avec un terme non-homogène? Levesley 1998 : pour tout θ R \ Q, w 1, posons L w (y) :=θ : nθ y < n w pour une infinité de n}. Alors dim H (L w (y)) = 2/(w + 1). Question ouverte : Fixons un terme non-homogène y. Quelle est la dimension de Hausdorff de l ensemble U w (y) := θ : Q 1, nθ y < Q w a une solution 1 n Q }? Remarque : } y + p U w (y) \ : n N, p Z L w (y). n Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 6/33

IV. Problèmes sur les termes non-homogènes Bugeaud 2003, Troubetzkoy-Schmeling 2003 : Pour tout θ R \ Q, w 1, posons L w [θ] :=y : nθ y < n w pour une infinité de n}. Alors dim H (L w [θ]) = 1/w. Question de Bugeaud and Laurent 2005 : pour un irrationnel θ fixé, quelle est la dimension de Hausdorff de l ensemble U w [θ] := y : Q 1, nθ y < Q w a une solution 1 n Q }. Remarque : U w [θ] \ nθ : n N} L w [θ]. Réponse de Kim et L : la deuxième partie de cet exposé. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 7/33

V. Un peu de dynamique? Soit T θ la rotation sur R/Z définie par T θ (x) := x + θ mod 1. Alors U w := θ : N 1, T n θ (0) 0 < N w a une solution 1 n N}, U w (y) := θ : N 1, T n θ (0) y < N w a une solution 1 n N}, U w [θ] := y : N 1, T n θ (0) y < N w a une solution 1 n N}. En général, considérons une famille de transformations T θ } θ Θ (Θ R) sur un espace métrique (X, d) (par exemple, β-transformations). Soit r n une suite positive décroissant vers 0 (par exemple, r n = β nv, avec v > 0). Fixons x, y X, nous étudions les ensembles suivants : U(x, y) := θ Θ : N 1, d(t n θ x, y) < r N a une solution 1 n N}. U(θ, x) := y X : N 1, d(t n θ x, y) < r N a une solution 1 n N}. Appr. Asymp : Boshernitzan, Chazottes, Fayad, Hill-Velani... Pour la β-transformation T β, l appr. asymp. a été étudié par : Persson-Schmeling 2008, Shen-Wang 2013, Li-Persson-Wang-Wu 2014, et l appr. unif. par : Bugeaud et L, (La 3 partie de cet exposé). Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 8/33

VI. Relation avec le temps d atteinte Soit (T θ ) θ Θ (Θ R) une famille de systèmes sur un espace métrique (X, d). Definissons et R θ (x, y) := lim inf r 0 Alors (fixant x, y X), on a τr θ (x, y) = infn : Tθ n x B(y, r)}, log τr θ (x, y), R θ (x, y) := lim sup log r r 0 log τr θ (x, y). log r L w = θ : d(t n θ x, y) < n w i.o.} θ : R θ (x, y) 1/w}, U w = θ : N 1, 1 n N, d(t n θ x, y) < N w } θ : R θ (x, y) 1/w}. D où, U w est (presque) plus petit que L w. On aura la même chose si on fixe (θ, x) ou (θ, y). Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 9/33

VII. Problèmes sur les puissances des nombres réels Fixons y R et b > 1, on s intéresse aux ensembles et U(y, b) := L(y, b) := x > 1 : x n y < b n pour une infinité de n}, } x > 1 : N 1, x n y b N a une solution 1 n N. Dimension de Hausdorff de L(y, b) : Pollington 1980, Bugeaud Moshchevitin 2012, Kahane 2014. Dimension de Hausdorff de U(y, b) : Bugeaud L Rams (la quatrième partie de cet exposé). Question : Fixons x > 1 et b > 1. Quelles sont les dimensions de L(x, b) := y : x n y < b n pour une infinité de n}, } U(x, b) := y : N 1, x n y b N a une solution 1 n N? Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 10/33

Approximation uniforme liées aux rotations irrationnelles (avec Kim) Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 11/33

I. Dimension de U w [θ] := y : Q 1, 1 n Q, nθ y < Q w } Pour θ Q c, posons w(θ) := supβ > 0 : lim inf j j β jθ = 0}. Theorem (L, D.H. Kim) Soit θ un irrationnel avec w(θ) 1. Alors dim H (U w [θ]) est égale à 1, w < 1 w(θ), log( k 1 j=1 lim (n1/w j n j θ ) n 1/w+1 k ) 1 k log(n k n k θ 1, ) w(θ) < w < 1, log( k 1 j=1 lim n j n j θ 1/w ) k log(n k n k θ 1, 1 < w < w(θ), ) 0, w > w(θ). où n k est la sous-suite (maximale) de (q k ) telle que n 1/w k n k θ < 1, if 1/w(θ) < w < 1, n k n k θ 1/w < 2, if 1 < w < w(θ). Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 12/33

II. Graphes et comparaison 1 2 w 0+1 1 w 0+1 0 1 1 w 0 w 0 1/w case 1 : w 0 = w(θ) > 1 1 1 2 0 1 case 2 : w(θ) = 1 1/w Remarque : pour les nombres de Liouville (w(θ) = ) : dim H (U w [θ]) = 0 w 1. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 13/33

III. Exemples (i) Soit θ un irrationnel avec w(θ) = w 0 > 1 et q k+1 > q w0 k pour tout k. Alors pour chaque 1/w 0 < 1/w < w 0, on a dim H (U w [θ]) = w 0 w 2 0 1 ( 1 w 1 w 0 (ii) Soit θ un irrationnel avec w(θ) = w 0 > 1. Supposons que la sous-suite k i } telle que q ki+1 > q w0 k i vérifie : a n+1 = 1 for n k i and > (q ki ) 2i. Alors, on a q ki+1 dim H (U w [θ]) = ). 1 ( 1 w 0+1 w + 1), for 1 1/w < w 0 0, for 1/w < 1. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 14/33

IV. Exemples-continu (iii) Soit θ = 5 1 2, qui a quotients partiels : a k = 1 pour tout k. Alors w(θ) = 1, et U w [θ] = T pour w = 1. D où, 1, 1/w 1, dim H (U w [θ]) = 0 1/w < 1. (iv) Soit θ un irrationnel avec quotients partiels a k = k pour tout k. Alors w(θ) = 1 et 1, 1/w > 1, 1 dim H (U w [θ]) = 2, 1/w = 1, 0 1/w < 1. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 15/33

V. Liens avec les dynamiques sur espaces homogènes Theorem (Y. Cheung (Ann. Math 2011)) L ensemble (θ 1, θ 2 ) : δ > 0, Q 1, 1 n Q, max nθ 1, nθ 2 } < δ a pour la dimension de Hausdorff 4/3. Remarque : L ensemble est appelé l ensemble des points singuliers. Posons G = SL 3 R, Γ = SL 3 Z. Pour t > 0, x = (x 1, x 2 ), posons e t 0 0 1 0 x 1 g t = 0 e t 0, h x = 0 1 x 2 0 0 e 2t 0 0 1 Le vecteur x est singulier ssi (g t h x Γ) t 0 est une trajectoire divergente du flot homogène sur G/Γ induit par g t. Généralisation à dimension d : Cheung et Chevallier 2014, arxiv. Q 1 2 }. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 16/33

Approximation uniforme liée aux β-développements (avec Bugeaud) Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 17/33

I. β-transformation Rényi : β-transformation T β : [0, 1) [0, 1) est définie par Posons T β (x) := βx βx. d β,1 (x) = βx, d β,n (x) = d β,1 (T n 1 β (x)) for n 1. Alors x = βx β + T βx β = d β,1 β + d β,2 β 2 + d β,3 β 3 +. Suite d β (x) = d β,1 (x)d β,2 (x) β-développement de x. Développement de 1 : sera obtenu par le prolongement : T β (1) = β β. Exemple : β = 1+ 5 2, 1 = 1 β + 1 β 2 + 0 β 3 + 0 β 4 +. développement de 1 = 110 = 11000... Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 18/33

II. Suite admissible de Parry et β-shift Une suite a 1 a 2 est appelée admissible si x (0, 1], d β (x) = a 1 a 2. Ordre lexicographique : a 1 a 2 b 1 b 2 si et seulement si k 1, a i = b i pour i < k et a k < b k. Notons a 1 a 2 b 1 b 2, si a 1 a 2 b 1 b 2 ou a 1 a 2 = b 1 b 2. Le β-shift S β sur l alphabet 0, 1,..., β } est l adhérence de l ensemble des suites admissibles. Theorem (Parry 1960) Une suite a 1 a 2 est admissible si et seulement si pour tout n 1 a n a n+1 d β(1). Une suite a 1 a 2 est dans S β si et seulement si pour tout n 1 a n a n+1 d β(1). Ici d β (1) := lim x 1 d β (x) est le β-développement infinie de 1. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 19/33

III. Approximation uniforme sur β-développement x [0, 1], β > 1 un nombre réel. Définissons } v β (x) := sup v 0; Tβ n (x) < (β n ) v pour une infinité de n } ˆv β (x) := sup ˆv 0; N 1, Tβ n (x) < (β N ) ˆv a une solution 1 n N. Théorème (Bugeaud-L) Soit β > 1 un nombre réel. Soient θ et ˆv deux nombre réels positifs avec ˆv < 1 et θ 1/(1 ˆv), alors dim(x : ˆv β (x) = ˆv} x : v β (x) = θˆv}) = De plus, dim(x : ˆv β (x) = 1}) = 0, et dimx : ˆv β (x) ˆv} = dimx : ˆv β (x) = ˆv} = θ 1 θˆv (1 + θˆv)(θ 1). ( 1 ˆv ) 2. 1 + ˆv Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 20/33

IV. Approximation uniforme sur β-développement Théorème (Bugeaud-L) Soient θ et ˆv deux nombre réels positifs avec ˆv < 1 et θ 1/(1 ˆv), alors dim(β > 1 : ˆv β (1) = ˆv} β > 1 : v β (1) = θˆv}) = De plus, dim(β > 1 : ˆv β (1) = 1}) = 0, et dimβ > 1 : ˆv β (1) ˆv} = Remarques : Shen-Wang 2013 : Persson-Schmeling 2008 : ( 1 ˆv ) 2. 1 + ˆv dimx [0, 1] : v β (x) v} = 1 1 + v. dimβ > 1 : v β (1) v} = 1 1 + v. θ 1 θˆv (1 + θˆv)(θ 1). Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 21/33

Approximation uniforme liée aux puissances des nombres réels (avec Bugeaud et Rams) Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 22/33

I. Distribution des puissances modulo 1 Notons } la partie fractionnaire d un nombre réel. Weyl 1916 : Soit x > 1 un nombre réel. Alors pour presque tout réel ξ, la suite ξx n } est équidistribuée. Koksma 1935 : Soit ξ 0 un réel. Alors pour presque tout réel x > 1, la suite ξx n } est équidistribuée. Ensemble exceptionnel : Pollington 1979 : Soit x > 1 un nombre réel. L ensemble des nombres ξ tels que ξx n } n est pas dense (donc n est pas équidistribuée), a pour dimension de Hausdorff 1. Pollington 1980 : Soit ξ 0 un réel. Pour tout δ > 0, l ensemble } x > 1 : ξx n } [0, δ] pour tout n 1 a pour dimension de Hausdorff 1. D où, l ensemble des nombres x > 1 tels que ξx n } n est pas dense (donc n est pas équidistribuée), a pour dimension de Hausdorff 1. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 23/33

II. Distribution des puissances modulo 1 Bugeaud Moshchevitin 2012, Kahane 2014 : Soit (b n ) une suite arbitraire dans [0, 1], et δ > 0. L ensemble } x > 1 : x n b n δ à partir d un certain rang a pour dimension de Hausdorff 1. Question de Kahane : pour X > 1 2ɛ, } dim H 1 < x < X : x n b n δ à partir d un certain rang =? Candidate : log(2δx)/ log X. Remarque : Vijayaraghavan 1948 a démontré que pour tout δ > 0, il y a un nombre infini non dénombrable de nombres réels x > 1, tels que x n δ. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 24/33

III. Approximation asymptotique de x n } Koksma 1945 : Soit (ɛ n ) une suite de réels avec 0 ɛ n 1/2 pour tout n 1. Si ɛ n <, alors pour presque tout x > 1, il existe n 0 (x), tel que x n ɛ n pour tout n n 0 (x). Si (ɛ n ) est croissante et ɛ n =, alors pour presque tout x > 1 x n ɛ n pour une infinité de n. Mahler Szekeres 1967 : pour presque tout x > 1, lim n xn 1/n = 1. Corvaja Zannier 2004 : pour tout nombre algébrique x tel que x m n est pas Pisot pour tout m 1, lim n x n 1/n = 1. Bugeaud Dubickas 2008 : caractérisation complète pour tous les nombres algébriques. Il y a au plus deux points limites pour la suite x n 1/n. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 25/33

IV. Bonne approximation asymptotique de x n } Pour x > 1, posons P (x) := lim inf n x n 1/n. Mahler Szekeres 1967 : P (x) = 0 x est transcendant. Remarquons que pour b > 1, x > 1 : P (x) < 1/b } = x > 1 : x n < b n pour une infinité de n }. Question : Quelle est la taille de x > 1 : P (x) < 1/b }? Bugeaud Dubickas 2008 : Pour tout réel X > 1, et b > 1, dim H 1 < x < X : P (x) < 1/b } = De plus dim H x > 1 : P (x) < 1/b } = 1. log X log(bx). Preuve : principe de transfert de masse (Beresnevich Velani 2006) : Leb(lim sup B(x n, r n )) = 1 H s (lim sup B(x n, r 1/s n )) =. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 26/33

V. Bonne approximation de x n } (continu) Bugeaud L Rams, en préparation : une preuve constructive pour le résultat de Bugeaud Dubickas. Plus général, pour une suite arbitraire (y n ) de réels, dim H 1 < x < X : x n y n < b n pour une infinité de n } = D où, pour une suite (z k ), dim H k=1 Donc, on a aussi dim H log X log(bx). 1 < x < X : x n z k < b n pour une infinité de n } = log X log(bx). k=1 x > 1 : x n z k < b n pour une infinité de n } = 1, et pour A [0, 1], union finie des intervalles dans [0, 1], dim H x > 1 : l ensemble des points limites de x n } = A } = 1. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 27/33

VI. Approximation uniforme Pour x > 1 et y R, définissons P y (x) par ( 1 sup τ 1 : N 1, x n y τ N a une solution 1 n N}). Pour y R, on s intéresse à l approximation uniforme suivante E(y, τ) :=x > 1 : P y (x) < 1/τ} } = x > 1 : N 1, x n y τ N a une solution 1 n N. De plus, on travaille aussi sur E(y, τ, b) := z > 1 : P y (x) < 1/τ} z > 1 : P y (x) < 1/b}, où P y (x) := lim inf n x n y 1/n. Question : dimensions de Hausdorff de E(y, τ) et de E(y, τ, b)? Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 28/33

VII. Résultats Théorème (Bugeaud L Rams, en préparation) Supposons b = τ θ avec θ > 1. Alors pour tout y R, ( ) log X θ dim H E(y, τ, b) ]1, X[ θ 1 log τ log X + θ log τ. En maximisant par rapport à θ (θ = 2 log X/(log X log τ)), on a ( ) ( ) 2 log X log τ dim H E(y, τ) ]1, X[. log X + log τ Corollaire (Bugeaud L Rams, en préparation) Pour tout y R, pour tout b τ > 1, dim H E(y, τ, b) = dim H E(y, τ) = 1. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 29/33

Démonstrations sur les puissances des nombres Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 30/33

I. Construction du sous-ensemble On va construire un sous-ensemble F de E(X, y, τ, b) := 1 < z < X : z n y < b n pour une infinité de n et N 1, z n y < τ N a une solution 1 n N}. Supposons b = τ θ avec θ > 1. Posons n k = θ k. Considérons les points 1 < z < X tels que [ ] (m z n k y < b n k 1 ) 1 ( m, z + y n k 1 ) 1, m + y + n k b n k b n. k Alors z E(X, y, β, b) = E(X, y, β, τ θ ). Niveau 1 : I n1 (m, y, b) := [(m + y b n1 ) 1/n1, (m + y + b n1 ) 1/n1 ], où m ]1, X n1 [ est un entier. Niveau 2 : pour un intervalle [c, d] au niveau 1, ses fils-intervalles sont I n2 (m, y, b) := [(m + y b n2 ) 1/n2, (m + y + b n2 ) 1/n2 ] avec m [c n2, d n2 ]. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 31/33

II. Compter les nombres et les longueurs Par construction, pour les intervalles fondamentaux contenant z F, on aura chaque intervalle [c k, d k ] au niveau k contient au moins m k (z) = 2n k+1 c n k+1 1 k /n k b n k d n k 1 k sous-intervalles au niveau k + 1. ( z θ 1 b ) θ k la distance entre intervalles au niveau k + 1 contenu dans l intervalle [c k, d k ] au niveau k est au moins ɛ k (z) = (1 2/b n k+1 )/n k+1 d n k+1 1 k ( z θ 1 b ) θ k. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 32/33

III. Dimension locale La dimension locale de z F est minorée par log(m 1 (z) m k 1 (z)) log m k (z)ɛ k (z) (θ 1) log z log b = θk 1 (θ 1) log bz θ k (θ 1) log z log b ε (k) (θ 1) log bz ( (θ 1) log z log b ) k 1 j=1 θk log θ k log bz avec ε (k) 0 lorsque k. En utilisant la relation b = τ θ, on a une borne inférieure de E(X, y, τ, b) : (θ 1) log X log b (θ 1) log bx = log X θ θ 1 log β log X + θ log β. Lingmin LIAO, Université Paris-Est Créteil Approximation diophantienne uniforme et dimension de Hausdorff 33/33