Le niveau de connaissances initial en mathématiques à Polytech Montpellier

Le niveau de connaissances initial en mathématiques à Polytech Montpellier Les enseignants ayant pris part à ce groupe de travail sont : Guy Cathebras (ERII) André Chrysochoos (M) Abdelsalam El Ghzaoui (Master Ingéniérie de la Santé, UM1) Catherine Faur (STIA/STE) Christophe Fiorio (IG) André Mas (IG/STE/M) Franck Nicoud (STE/M) Gilles Silly (M) René Zapata (ERII) Introduction : La définition d un socle commun de connaissance en mathématique apparaît depuis peu comme une urgence dans certains départements. La diversité des origines de nos élèves est une source de disparités en terme de connaissances et de savoir-faire. Il est aussi certain que nos viviers de recrutement ont évolué avec la chute conjoncturelle du nombre d étudiants en sciences. Et il devient nécessaire de mieux définir le niveau que nous attendons de nos futurs élèves dans le but de compléter efficacement leurs connaissances ou d orienter le contenu du parcours ingénieur Polytech. Le niveau initial requis en mathématique peut être vu comme une quantité de connaissance médiane attendue à l entrée à Polytech. Certains étudiants se situeront au-delà de cette limite, d autres se placeront en-deçà. Ces derniers doivent être capables de se hisser à ce niveau grâce aux enseignements différenciés dispensés au Semestre 5. Remarques préliminaires : Le programme que nous proposons se décompose classiquement en deux parties principales : algèbre et analyse et une troisième partie, moindre mais nécessaire, englobant les probabilités et statistiques. Nous nous bornons à proposer une liste la plus brute possible dans la mesure où nous ne cherchons pas à définir une approche pédagogique. Nos propositions ont été élaborées en faisant abstraction du parcours Peip Bio. Les étudiants ayant suivi cette voie ont un avantage en statistique mais la quantité des enseignements suivis en mathématique y est nettement inférieure à celle du parcours STI. Leur accession à ce niveau zéro semble possible mais ne peut être envisagée qu au prix d un effort particulier au semestre 5. En annexe sont présentés : une version raccourcie du programme des classes prépas MPSI (Annexe 1), la liste des enseignements de Math en L1 et L2 à Montpellier 2 (Annexe 2), un descriptif des enseignements de mathématiques suivis par les Peip STI (Annexe 3). Un 1

rapide balayage des programmes de maths affichés sur les sites web de quatre départements stratégiques de l IUT s est révélé assez peu informatif. Nous n en rendrons pas compte ici. Quelques points soulevés par le groupe de travail : L affichage du niveau zéro -si un tel affichage est prévu- devrait se faire avec prudence et circonspection. Il ne faut pas, par exemple, que les enseignants en PeiP le considèrent à terme comme un objectif. L école prendrait aussi des risques à trop se prévaloir de ce niveau zéro/niveau plancher auprès de la CTI qui pourrait, en l interprétant mal, nous accuser de manquer d ambition ou de relâcher nos exigences lors du recrutement. Dans les cas d opérations extérieures, le socle commun est plus à-même de donner une juste idée du niveau de nos élèves. Et le niveau-zéro demeurerait un mètre-étalon à usage interne à l aune duquel nous pourrions ajuster nos recrutements et les enseignements en PeiP. Nous recommandons de sortir de la grille de lecture qui incite à poser, dès lors qu il est question du niveau en math : IUT PeiP/L2 Prépa Les enseignants de l école constatent que, même si les programmes en IUT ont des ambitions théoriques moindres qu en L2, le niveau réel des étudiants offre une vision très contrastée. Il s avère en particulier que les élèves issus de certaines de ces filières courtes maîtrisent au moins aussi bien les techniques de calcul mathématique et disposent parfois d un corpus de base plus solide. A l inverse nous savons tous que les élèves issus de classes préparatoires peuvent être décevants, y compris en math. Pour terminer nous posons quelques questions qui ne sont pas nécessairement propres au mathématiques. Tout d abord le constat du point précédent bat en brêche les idées répandues sur les publics qui peupleront les enseignements différenciés du S5 et leur répartition. Comment la ventilation des élèves se fera-t-elle dans ces groupes si une dichotomie selon l origine n est pas pertinente? Si nos calculs sont bons, il est prévu de dispenser une soixantaine d heures de remise en niveau en math dans les départements au S5. Ces UE seront-elles fondues dans le contingent annuel d ECTS? Qu adviendra-t-il enfin des enseignements de mathématiques plus spécialisés à l école - et il y en a- si un transfert des heures est réalisé vers des UE de renforcement ou plus généralistes? Les ressources n étant pas élastiques, on risque de déshabiller Pierre pour habiller Paul. 2

Connaissances initiales requises en mathématique à Polytech Montpellier Nous avons mis entre crochets [...] des propositions de notions ou de chapitres qui ne sont pas à classer dans le niveau zéro mais qui doivent apparaître dans le socle commun. Algèbre : 1- Bases de l algèbre et de la géométrie a/ Ensembles, relations, bases méthodologiques (équations aux dimensions, ordres de grandeurs...) et logiques (implication, négation, contraposée, démonstration par l absurde, récurrence...). b/ Nombres complexes, trigonométrie, surfaces et volumes. c/ Résolution de systèmes linéaires. d/ Polynômes, fractions rationnelles. Compétences : Etre capable de démarrer tout seul une démonstration. Tenir au creux de sa main les méthodes calculatoires de base sur la résolution de systèmes linéaires (pivot de Gauss...) ou la décomposition des fractions rationnelles en éléments simples. A l issue des 1-c et 1-d, les élèves doivent être capables de distinguer les notions de variable et de paramètre. 2- L espace euclidien R n a/ Espace vectoriel, sous-espace vectoriel, bases, indépendance, dimension b/ L espace euclidien et sa structure (produit scalaire, orthogonalité...) Compétences : Etre capable d effectuer des calculs dans un espace non représentable graphiquement, maîtriser les notions basiques d algèbre linéaire euclidienne. 3- Calcul matriciel a/ Le concept de linéarité (qu est-ce qu une application linéaire?..) b/ Matrices : les différents types de matrices, calcul matriciel, déterminant, inverse... [c/ Elements propres : définition, calcul.] Compétences : Connaître les opérations effectuées par certaines matrices (projections, rotations...). Etre capable d effectuer toutes les opérations de base du calcul matriciel. 1- Bases de l analyse Analyse : a/ Fonctions usuelles réelles : manipulation, étude, graphe, dérivation et son interprétation géométrique, développements limités, comparaison de fonctions, limites... b/ Suites (étude, critères de convergence, somme des termes de suites arithmétiques et géométriques...) [c/ Séries, séries entières.] Compétences : Savoir mener l étude locale et globale des fonctions réelles de la variable réelle. Etre capable d étudier la convergence d une suite réelle. 3

2- Equations différentielles ordinaires Savoir résoudre une équation différentielle linéaire simple (par exemple à coefficients constants d ordre 1 ou 2). [2bis- Calcul différentiel pour les fonctions de deux ou trois variables. a/ Systèmes de coordonnées (cartésiennes, cylindropolaires, sphérique). b/ Dérivées partielles, gradient, jacobienne, dérivées d ordres supérieur... Compétences : Maîtriser les notions de base du calcul différentiel pour application immédiate en mécanique et mécanique des fluides, etc.] 3- Calcul Intégral pour les fonctions réelles a/techniques du calcul intégral (changement de variables, intégration par parties), intégrales impropres... [b/ Intégrales multiples.] Compétences : Déterminer la nature d une intégrale. Pratiquer l intégration par parties, le changement de variables. 1- Statistiques Probabilités-Statistique : a/ Statistiques descriptives pour une variable réelle. [b/ Techniques statistiques de base pour plusieurs variables (ANOVA, régression linéaire...)] 2- Probabilités Bases du dénombrement, évènements, théorème de Bayes, variables aléatoires discrètes et réelles. Compétences : Elles doivent permettre aux enseignants de l école d attaquer immédiatement les cours de probabilités et de statistique mathématique ou multivariée sans ressasser les prérequis. 4

Annexe 1 : Le programme des classes préparatoires MPSI 1 Première année A. Programme de début d année I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1- Nombres complexes 2- Géométrie élémentaire du plan, géométrie élémentaire de l espace II. Fonctions usuelles et équations différentielles linéaires B. Analyse et géométrie différentielles I. Nombres réels, suites et fonctions 1- Suites de nombres réels 2- Fonctions d une variable réelle à valeurs réelles II. Calcul différentiel et intégral 1- Dérivation des fonctions à valeurs réelles 2- Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles 3- Approximation III. Notions sur les fonctions à deux variables réelles 1- Espace R 2, fonctions continues 2- Calcul différentiel 3- Calcul intégral C. Algèbre et géométrie I. Nombres et structures algébriques usuelles 1- Vocabulaire relatif aux ensembles et aux applications 2- Nombres entiers naturels, ensembles finis, dénombrements 3- Structures algébriques usuelles II. Algèbre linéaire et polynômes 1- Espaces vectoriels 2- Dimension des espaces vectoriels 3- Polynomes 4-Calcul matriciel 5- Déterminants III. Espaces vectoriels euclidiens et géométrie euclidienne Deuxième année A.Algèbre et géométrie I. Algèbre linéaire : espaces vectoriels, applications linéaires II. Réduction des endomorphismes 1- Sous-espaces stables, polynômes d un endomorphisme 2- Réduction des endomorphismes III. Espaces euclidiens, géométrie euclidienne, espaces hermitiens 1- Espaces préhilbertiens réels 2- Espaces euclidiens B.Analyse et géométrie différentielles I. Suites et fonctions 1- Espaces vectoriels normés réels ou complexes 2- Espaces vectoriels normés de dimension finie 3- Séries d éléments d un espace vectoriel normé 4- Suites et séries de fonctions 1 Certains chapitres du programme officiel ont été volontairement éliminés parce que trop éloignés du socle commun d un ingénieur Polytech : arithmétique, coniques, courbes paramétrées, courbes planes et champs, espaces hermitiens ainsi que les activités algorithmiques. 5

II. Fonctions d une variable réelle : dérivation et intégration 1- Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles 2- Intégration sur un intervalle quelconque III. Séries entières, séries de Fourier 1- Séries entières 2- Séries de Fourier IV. Equations différentielles linéaires et non linéaires V. Calcul différentiel (et intégral curivligne) pour les fonctions de plusieurs variables réelles 6

Annexe 2 : Liste des enseignements de Math en L1-L2 à l UM2 2 N.B : les modules soulignés sont ceux suivis par les Peip. Leur descriptif est fourni dans l Annexe 3. L UE FLMA 403 : Analyse 3 est optionnelle mais choisie majoritairement. Le module FLMA 203 : Introduction à la statistique était obligatoire jusqu à l année dernière. 1er semestre (S1) : L1 (1ère année) FLMA102 Bio-Mathématiques FLMA103 Algèbre linéaire 1 FLMA104 Mathématiques pour l Economie FLMAO99 Aide pédagogique en math. (soutien) 2nd semestre (S2) : FLMA203 Introduction à la Statistique FLMA204 Nombres et Structures FLMA205 Analyse 1 FLMA207 Bio-Maths 2 FLMA250 Méthodes de travail en mathématiques FLMAO99 Aide pédagogique en math. (soutien) FLMAS1S Soutien math. inter-session S1 FLMAS1SD Soutien math inter-session à distance S1 FLMAS2S Soutien math. inter-session S2 FLHD206 Fondements Mathématiques de l Informatique [MATH/INFO] 1er semestre (S3) : L2 (2ème année) FLMA203C Introduction à la biostatistique FLMA301 Probabilités élémentaires FLMA302 Algèbre linéaire 2 FLMA303 Analyse 2 FLMA305 Maths pour concours SV S3 FLMA306 Statistique Appliquée FLMAO01 Résolution de problèmes FLPH305 Math. pour prépa concours ENSI S3 [PHYS] 2nd semestre (S4) : FLMA302D Algèbre linéaire 2 FLMA303D Analyse 2 FLMA401 Arithmétique de Z et corps finis FLMA402 Algèbre linéaire 3 FLMA403 Analyse 3 FLMA404 Statistique inférentielle FLMA406 Maths pour concours SV S4 FLMAO01 Résolution de problèmes FLMAO05 Mathématiques, les brins d une guirlande éternelle : Recréations mathématiques et mathématiques du quotidien FLSI451 Mathématiques en Mécanique [MATH/MECA] FLPH406 Math. pour prépa concours ENSI S4 [PHYS] 2 Source : serveur du département Enseignement de Math 7

Annexe 3 : Descriptif des enseignements de Math des Peip à Montpellier 2 3 Chacune des UE présentée donne lieu à 51 heures avec le découpage commun suivant : CM : 21h + TD/TP : 30h FLMA103 Algèbre linéaire 1 : Systèmes linéaires ; Matrices et systèmes linéaires ; Algorithme de Gauss ; Combinaisons linéaires, espace engendré, sous-espaces vectoriels de R n ; Indépendance linéaire, bases et dimension ; Applications linéaires de R n vers R m ; Calcul matriciel, matrice inversible et système linéaire inversible ; Changement de base. FLMA205 Analyse 1 : Fonctions d une variable réelle : continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité et applications ; Fonctions classiques (ln, exp, sin, cos, tan, cosh, sinh, arccos, arcsin), rappels sur les calculs pratiques de primitives simples (changement de variables, intégration par parties) ; Théorème de Rolle et des accroissements finis, applications à l approximation d une fonction par une fonction affine ; Fonctions polynômes, formules de Taylor-Young, développements limités ; Fonctions de plusieurs variables : graphes, dérivées partielles. FLMA302 Algèbre Linéaire 2 : Espace vectoriel, sous-espace vectoriel, supplémentaire, combinaison linéaire, famille libre, génératrice, base, dimension (3 séances) Applications linéaires : lien avec le calcul matriciel, changement de base, noyau, image, rang, théorème du rang, isomorphismes, forme linéaire (définition et exemples) (3 séances) Déterminants : usage et calcul pratique (3 séances) Valeurs propres, vecteurs propres (uniquement définition et exemples), sous-espace propre (exemples de détermination de...), application au calcul de la puissance n-ième d une matrice (3 séances). FLMA303 Analyse 2 : Rappels : suites numériques, convergence (définition par epsilon/n), fonctions continues, continuité uniforme ; Intégration des fonctions continues sur un segment de R ; Résolution exacte d équations différentielles classiques ; Equations différentielles linéaires ; Initiation à la problématique de la modélisation mathématique et de l analyse numérique : un exemple de méthode numérique de résolution d équations (dichotomie, Newton), de calcul d intégrales et de résolution d équations différentielles ; Intégrales dites «impropres» ou «généralisées». FLMA402 Algèbre Linéaire 3 Rappels sur les applications linéaires, changement de base et traduction matricielle ; 3 Source : serveur du département Enseignement de Math. 8

Valeurs propres, vecteurs propres, endomorphismes diagonalisables ; Polynôme caractéristique, polynôme minimal, théorème de Cayley-Hamilton ; Introduction à l analyse numérique matricielle : conditionnement, décomposition PA=LU avec stratégie de pivot, notions dans le cas des matrices creuses et sur les mises à jour de telles factorisations ; Décomposition QR, transformation de Householder et de Givens ; Initiation aux méthodes de calcul de valeurs propres et de vecteurs propres sur machine à l aide de Matlab (ou Scilab, ou Octave). FLMA403 Analyse 3 Séries numériques : convergence, convergence absolue, critère de Riemann, comparaison avec une intégrale, séries alternées ; Suites de fonctions : convergence simple, convergence uniforme, théorèmes d interversion de limites ; Séries de fonctions, convergence simple, convergence normale ; Séries entières : rayon de convergence, critères d Abel et d Alembert. 9