Exercice 1 : 3 points On a modélisé géométriquement un tabouret pliant par les segments [CB] et [AD] pour l armature métallique et le segment [CD] pour l assise en toile. On a CG = DG = 30 cm, AG = BG = 5 cm et AB = 51 cm. Pour des raisons de confort, l assise [CD] est parallèle au sol représenté par la droite (AB). Déterminer la longueur CD de l assise. Vous laisserez apparentes toutes vos recherches. Même si le travail n est pas terminé, il en sera tenu compte dans la notation. (CB) et (AD) sont sécantes en G. (CD) et (AB) sont parallèles. On utilise le théorème de Thalès et on a : GC GB = GD GA = CD AB Ainsi : 30 5 = CD 51 D où : 30 51 = 5 CD CD = 30 51 = 3 5 L assise mesure donc 3 cm. Exercice 2 : 3 points Léa observe à midi, au microscope, une cellule de bambou. Au bout d une heure, la cellule s est divisée en deux. On a alors deux cellules. Au bout de deux heures, ces deux cellules se sont divisées en deux. Léa note toutes les heures les résultats de son observation. À quelle heure notera-t-elle, pour la première fois, plus de 200 cellules? Vous laisserez apparentes toutes vos recherches. Même si le travail n est pas terminé, il en sera tenu compte dans la notation. 1 heure : 2 cellules 2 heures : cellules (2 2) 3 heures : 8 cellules (2 = 2 2 2 = 2 3 ) n heures : 2 n par essais : 2 7 = 128 < 200 2 10 = 102 > 200 2 9 = 512 > 200
2 8 = 256 > 200 Ainsi elle notera pour la première fois plus de 200 cellules à 20 h (12 h + 8 h). Exercice 3 : 3,5 points 1. Calculer 1 + 2 3 x 3 en détaillant. 1 + 2 3 x 3 = 1 + 2 3 3 = 1 + 2 = 3 2. Au goûter, Lise mange 1 du paquet de gâteaux qu elle vient d ouvrir. De retour du collège, sa sœur Agathe mange les 2 des gâteaux restants dans le paquet entamé par Lise. IL reste alors 5 gâteaux. 3 Quel était le nombre initial de gâteaux dans le paquet? Si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation. Comme Lise mange 1 du paquet de gâteaux, il reste les 3 du paquet. Agathe mange les 2 3 des 3 du paquet : 2 3 3 Lise et Agathe ont donc mangé : 1 + 2 3 3 c'est-à-dire les 3 du paquet. Il reste donc 1 du paquet. Soit x le nombre de gâteaux dans le paquet. 1 x = 5 x = 20 Le nombre initial de gâteaux dans le paquet est de 20. 0,5 point Exercice : points Une usine doit fabriquer des boîtes cylindriques de contenance 250 cm 3 dont une représentation est donnée ci-contre. Rappel : 1. On suppose que x = 3 cm. a. Montrer que h 8,8 cm. volume d un cylindre : π r² h (r rayon de la base,h hauteur du cylindre).
π x 2 h = 250 π 3 2 h = 250 h = 250 (π 9) h 8,8 cm. b. Voici le patron de cette boîte (le dessin n est pas à l échelle). Calculer une valeur approchée de L au mm près. L = 2 π 3 L = 6π L 18,8 cm 2. On a représenté ci-contre la hauteur de la boîte en fonction du rayon. Par lecture graphique, indiquer : a. quel est approximativement le rayon correspondant à une hauteur de 2 cm. le rayon correspondant à une hauteur de 2 cm est d environ 6, cm. b. quelle est approximativement la hauteur correspondant à un rayon de cm. La hauteur correspondant à un rayon de cm est d environ 6 cm. Exercice 5 : Un triangle ABC est tel que : AB = 7,5 cm ; BC = 10 cm et AC = 12,5 cm. 6 points 1. Construire le triangle ABC. 2. Prouver que ce triangle est rectangle en B. 3. a. Construire le point F appartenant au segment [ AC ] tel que CF = 5 cm. b. Construire le point G appartenant au segment [ BC ] tel que CG = cm.. Montrer que les droites ( AB ) et ( FG ) sont parallèles. 5. Montrer que la longueur FG est égale à 3 cm. 6. Les droites ( FG ) et ( BC ) sont-elles perpendiculaires? Justifier. 0,5 point 1. 2. D une part : AC 2 = 12,5 2 D autre part : AB 2 + BC 2 = 7,5 2 + 10 2 = 156,25 = 156,25
Ainsi AC 2 = AB 2 + BC 2 L égalité de Pythagore est vérifiée donc ABC est rectangle en B. 3. 0,5 point. (BG) et (FA) sont sécantes en C C ;G ;B et C ;F ;A sont alignés dans le même ordre CG CB = 10 = 2 5 et CF CA = 5 12,5 = 50 125 = 2 25 5 25 = 2 5 donc CG CB = CF CA On utilise la réciproque du théorème de Thalès et on a : (AB) et (FG) sont parallèles. 5. (BG) et (FA) sont sécantes en C (AB) et (FG) sont parallèles. On utilise le théorème de Thalès et on a : CG CB = CF CA = GF AB Ainsi 10 = GF 7,5 10 GF = 7,5 GF = 7,5 = 3 [GF] mesure 3 cm. 10 6. (FG) et (AB) sont parallèles, (BC) est perpendiculaire à (AB) donc (BC) est perpendiculaire à (FG). FGC est rectangle en G. 0,5 points Exercice 6 : 6 points Grâce à un logiciel, le CDI d un collège peut obtenir des informations précises sur les emprunts effectués par les élèves. On a, par exemple, les données suivantes : a. Quelle formule doit-on écrire dans la cellule K2 pour calculer le nombre total d élèves? b. Quel est le nombre moyen d emprunts par élève? c. Quelle est la médiane de cette série? Interpréter ce résultat par une phrase. d. Recopier et compléter : au moins 25% des élèves ont emprunté livres ou moins. a. Dans la cellule K2 on doit écrire : = B2 + C2 + D2 + E2 + F2 + G2 + H2 + I2 + J2 OU : = somme(b2 :J2) b. (39 0 + 30 1 + 36 2 + 23 3 + 20 + 22 5 + 18 6 + 10 7 + 11 8) 209 = 627 209 = 3
Les élèves ont emprunté en moyenne 3 livres en mars 2013. c. 209 = 10 + 1 + 10 La médiane est donc la 105 ième valeur. Calculons les effectifs cumulés : Valeurs 0 1 2 3 5 6 7 8 total 2 points Effectifs 39 30 36 23 20 22 18 10 11 209 Effectifs cumulés 39 69 105 128 18 170 188 198 209 La 105 ième valeur est 2 donc la médiane est 2. 50 % des élèves ont emprunté 2 livres ou moins au mois de mars et 50 % en ont emprunté 2 livres ou plus. d. 209 = 52,25 Le premier quartile est donc la 53 ième valeur : 1 Au moins 25% des élèves ont emprunté 1 livre ou moins au mois de mars. Exercice 7 : Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque ligne du tableau, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte. 7 points Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse. Indiquer sur votre copie, le numéro de la question et, sans justifier, recopier la réponse exacte. A B C 1. ( x 1 )( x 2 ) x² est égal à x² 3x 2 3x + 2 2. (3 2 + 5 ) 2 est égal à 3 + 30 2 3 31 + 30 2 3. l expression factorisée de x² 16 n existe pas est ( x )( x + ) est ( x )². l expression développée de 3x( 5 x ) est 15x 12x 15x 12x² 3x² 5. ( 7 + 3 ) ( 7 3 ) 7 9 2 2 6. 7. Si x = alors x + + ( x + )( 2x 5 ) est égal à Pour tous les nombres x, l expression ( 2x 1 )² est égale à 0 1 2x² 1 x² 1 x² x + 1 A = (3 2 + 5 ) 2 B = ( 7 + 3 ) ( 7 3 ) A = ( 3 2 ) 2 + 2 3 2 5 + 5 2 IR 1 avec a = 3 2 et b = 5 B = ( 7 ) 2 3 2 IR 3 avec a = 7 et b = 3 A = 9 2 + 30 2 + 25 B = 7 9 A = 3 + 30 2 B = 2
Exercice 8 : Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier. 3,5 points 1. 3 est un nombre décimal. 25 2. Les nombres 570 et 795 sont premiers entre eux. 3. 322 est une fraction irréductible. 1035 1. 3 25 = 12 = 0,12 donc c est bien un nombre décimal. L affirmation 1 est VRAIE. 100 2. 570 et 795 sont tous les deux divisibles par 5 donc ils ne sont pas premiers entre eux. L affirmation 2 est FAUSSE. 3.. 322 = 1 322 1035 = 1 1035 322 = 2 161 1035 = 3 15 322 = 7 6 1035 = 5 207 322 = 1 23 1035 = 9 115 1035 = 15 69 1035 = 23 5 322 peut se simplifier par 23 donc elle n est pas irréductible. 1035 L affirmation 3 est FAUSSE. Ou : 322 1035 = 1 x 23 5 x 23 = 1 5 L affirmation 3 est FAUSSE.