Types de raisonnement Christian Cyrille 19 août 013 "On résoud les problèmes qu on se pose et non les problèmes qui se posent" Henri Poincaré En sciences, deux façons de raisonner : - l induction - la déduction 1 Le raisonnement par déduction la déduction serait le procédé de l esprit qui va du général au particulier. Le raisonnement déductif consiste à prouver une implication du type H C H désigne les hypothèses et C la ou les conclusion(s). Comment faire? on procède par un chaînage de déductions logiques : H C 1 C C 3 C n C Comment fait-on pour trouver ce chaînage : de façons : 1. soit par analyse-synthèse : on cherche à satisfaire le but C pour cela on cherche C n qui permet de satisfaire C puis on cherche C n 1 qui permet de satisfaire C n. On remonte ainsi jusqu à H. Cette étape s appelle l analyse. Puis on redescend : H C 1 C C 4 C n C Cette deuxième étape obligatoire s appelle la synthèse.. soit par synthèse directement : H C 1 C C 3 C n C 1.1 Exercice Soit f est une fonction numérique dérivable sur un intervalle ouvert I centré en 0. 1. Démontrer que si f est paire alors sa fonction dérivée f est impaire.. Démontrer que si f est impaire alors sa fonction dérivée f est paire. 1. Conjecture de Goldbach Soient p la proposition " tout entier pair supérieur ou égal à 4 est somme de entiers premiers" et q la proposition :"tout entier impair supérieur à 7 est somme de 3 entiers premiers" 1. Démontrer que (p q) est vraie c est-à-dire que si tout entier pair supérieur à 4 est somme de entiers premiers alors tout entier impair supérieur à 7 est somme de 3 entiers premiers.. On ne sait pas si p appelée la conjecture de Goldbach est vraie. Que peut-on alors dire de q? 1
Le raisonnement par disjonction de cas.1 Exercice Soient a et b des réels. Démontrer que si ab = 0 alors a = 0 ou b = 0. Exercice Démontrer que pour tout entier naturel n on a n + 3n qui est un entier pair..3 Exercice Soient a et b des réels. ax 3 + bx + x 1 1. Déterminer lim x + x 1. Déterminer lim x 1 ax 3 + bx + x 1 x 1 3 Le raisonnement par l absurde Pour démontrer que p q est vraie et comme l on sait que p q équivaut à non(p) ou q on va supposer que p et non(q) est vrai.on aboutit à une contradiction donc p et non(q) est faux donc sa négation non(p) ou q est vraie donc p q est vraie. 3.1 Exercice Si (D) et (D ) sont des droites parallèles et si (D ) coupe (D) alors (D ) coupe (D ) 3. Exercice 1. Démontrer que si un entier n est pair alors son carré n est pair. Démontrer que si un entier n est impair alors son carré n est impair 3. En déduire du 1 ) que si n est impair alors n est impair 4. En déduire du ) que si n est pair alors n est pair 5. Compléter n pair 6. Compléter n impair 7. Démontrer par l absurde que est un nombre irrationnel (c est-à- dire ne peut se mettre sous la forme p où p est un entier relatif et q un entier relatif non nul). q 3..1 Corrigé 1. soit un entier n pair alors k N tel que n = k donc son carré n = (k) = 4k = (k ) = k où k = k est un entier naturel donc n est pair
. soit un entier n impair alors k N tel que n = k + 1 donc son carré n = (k + 1) = 4k + 4k + 1 = (k + k) + 1 = k + 1 où k = k + k) est un entier naturel donc n est impair 3. Supposons que = p q irréductible avec p N et q N donc = p q. Par conséquent p = q donc p est pair donc p est pair d où k N tel que p = k. Comme p = q alors (k) = q. On en déduit que q = k donc q est pair d où k N tel que q = k Mais alors la fraction p q = k k = k k est réductible. Contradiction. Donc l hypothèse Q est fausse. 3.3 Absurde et disjonction de cas Démontrer que n est pas un nombre décimal. Raisonnons par l absurde. supposons que est un décimal donc il a un développement décimal fini. Soit x le dernier chiffre de ce développement décimal. On sait que = donc ou x = 0 donc le développement décimal de x se termine par 0 donc il est impossible d obtenir. ou x = 1 donc le développement décimal de x se termine par 1 donc il est impossible d obtenir ou x = donc le développement décimal de x se termine par 4 donc il est impossible d obtenir ou x = 3 donc e développement décimal de x se termine par 9 donc il est impossible d obtenir ou x = 4 donc le développement décimal de x se termine par 5 donc il est impossible d obtenir ou x = 6 donc le développement décimal de x se termine par 6 donc il est impossible d obtenir ou x = 7 donc le développement décimal de x se termine par 9 donc il est impossible d obtenir ou x = 8 donc le développement décimal de x se termine par 4 donc il est impossible d obtenir ou x = 9 donc le développement décimal de x se termine par 1 donc il est impossible d obtenir Par conséquent, on aboutit à une contradiction donc ne peut être un nombre décimal. 4 Le raisonnement par récurrence faible 4.1 Exercice 1. Démontrer que n N n n(n + 1) k = k=0. Démontrer que n N n k n(n + 1)(n + 1)) = 6 k=0 3
4. Exercice Démontrer l inégalité de Bernoulli : si a est un réel > 0 alors pour tout entier naturel n, l on a : (1 + a) n 1 + na 4.3 Exercice Soit un polygône convexe de n sommets où n 4. Démontrer que le nombre de diagonales est n(n 3) 5 Le raisonnement par récurrence forte 5.1 Exercice Soit la suite dite de Fibonacci définie par u 0 = 0, u 1 = 1 et pour tout entier naturel n par u n = u n 1 + u n. Démontrer par récurrence que n N l on a : u n = 1 5 (Φ n Ψ n ) où Φ = 1 + 5 5. Exercice = le nombre d Or et Ψ = 1 5 Soit la suite u n définie par : u 0 = 1 ; u 1 = cos(3) et pour tout entier n par u n = u 1 u n 1 u n. Démontrer par récurrence que n N l on a u n = cos(3n) 6 Le raisonnement par analogie Le raisonnement par analogie consiste à raisonner de telle sorte que l on trouve un lien, une correspondance, un rapport de sens entre ou plusieurs objets (mots, figures,nombres,signes,...) 6.1 Exercice Soit un triangle ABC. Soit I le milieu du segment [BC]. Soit H le pied de la hauteur issue de B et soit K le pied de la hauteur issue de C. Démontrer que le triangle IKH est isocèle. 7 Le raisonnement par équivalence logique 7.1 Exercice Une droite (D) partage la plan en deux demi-plans. Soient des points A et B situés dans chacun de ces demi-plans. On crée un chemin AMB reliant A à B et passant par un point M situé sur la droite (D). Où placer M sur la droite (D) pour que ce chemin AMB soit le plus court possible? 4
8 Le raisonnement par analyse-synthèse "L analyse et la synthèse consistent à démonter et à remonter une machine pour en connaître tous les rouages" Condillac C est un type de raisonnement permettant de déterminer l existence et l unicité d un objet mathématique vérifiant des propriétés données 8.1 1. Démontrer que toute fonction numérique f définie sur un ensemble de définition centré en O est la somme d une fonction paire p et d une fonction impaire q.. Application : cas de la fonction exponentielle. 8.1.1 Corrigé Analyse : Supposons que f = p + i où p est paire et i est impaire. Alors x R l on a f (x) = p(x) + i(x) Or f est paire et i est impaire alors f ( x) = p( x) + i( x) donc f ( x) = p(x) i(x) Par conséquent, { f (x) = p(x) + i(x) f ( x) = p(x) i(x) donc p(x) = f (x) + f ( x) et i(x) = f (x) f ( x) 5
Synthèse : Soit f définie sur R. 8. soit p et i définies aussi sur R par p(x) = p est paire i est impaire f = p + i Démontrer que 8..1 Corrigé lim ln(x) = + x + f (x) + f ( x) et i(x) = f (x) f ( x) analyse : soit A > 0. Supposons B > 0 tel que d une part B n et d autre part x > B ln(x) > A Comme x > B alors x > n. Or ln est strictement croissante sur ]0; + [ donc ln(x) > ln( n ) donc ln(x) > n ln(). Si l on veut donc que ln(x) > A il suffit de prendre n tel que n ln() > A c est-à-dire tel que n > A ln() synthèse : soit A > 0. Soit B = n où n est la partie entière de ln(x) > A donc lim ln(x) = + x + A + 1. Alors x > B on a ln() 6