Périmètres et aires C H A P I T R E 16 Énigme du chapitre. On partage ce champ rectangulaire en trois pacerelles de même aire. Une est triangulaire et les deux autres sont des trapèzes. 72 m 124 m 62 m 62 m h Objectifs du chapitre. Comparer géométriquement des périmètres Calculer le périmètre d un polygone Connaître et utiliser la formule donnant la longueur d un cercle. Comparer géométriquement des aires. Déterminer l aire d une surface à partir d un pavage simple. Différencier périmètre et aire. Calculer l aire d un rectangle dont les dimensions sont données. Connaître et utiliser la formule donnant l aire d un rectangle. Calculer l aire d un triangle rectangle, *d un triangle quelconque dont une hauteur est tracée. Connaître et utiliser la formule donannt l aire du disque. Effectuer pour les aires des changements d unités de mesure. Combien vaut h?
I/ Périmètre et aire d une figure Activité A. Comparer et encadrer des aires 1. Montrer que toutes les figures ci-contre ont la même aire. 2. (a) Tracer un rectangle de 3 cm de largeur et de 4 cm de longueur. (b) Sur une feuille à part, tracer un triangle ABC isocèle en A tel que BC = 8 cm et AB = 5 cm. (c) Découper le triangle en deux parties égales et reconstituer le rectangle déjà tracé. (d) Que peut-on dire des aires des deux figures? (e) Reproduire sur une feuille à part, la figure suivante : 2 cm (f) Peut-on superposer le rectangle et la figure tracée ci-dessus (vous pouvez essayer en découpant la figure)? Que peut-on dire alors de l aire de la figure par rapport au rectangle? 3. Pour la suite, l unité d aire choisie est celle d un petit carreau du quadrillage. (a) Calculer l aire des trois figures puis ranger dans l ordre croissant. (b) Encadrer l aire de chacune des figures suivantes entre deux entiers consécutifs.
Définition Le périmètre d une figure est la longueur de son contour, dans une unité de longueur donnée. Exemple Le périmètre de cette figure est égal à 20 cm. 1 cm Définition L aire d une figure est la mesure de sa surface dans une unité d aire donnée. Exemple L aire de cette figure est égal à 13 unités d aire. Unité d aire : un carreau. Remarque Le périmètre et l aire d une figure sont deux grandeurs qu il ne faut pas confondre. Pour vous en convaincre, tracer (à l aide de votre quadrillage de cahier) deux figures qui ont exactement le même périmètre mais pas la même aire. Faire les exercices 1 2 3 F
II/ Unités d aire Activité B. Changements d unités On donne le quadrillage suivant : 1 m 1 dm 1. Calculer le nombre de carrés de côté 1 dm nécessiares pour recouvrir un carré de côté 1 m. 2. Sachant que 1 m 2 correspond à l aire d un carré de côté 1 m et que 1 dm 2 correspodn à l aire d un carré de côté 1 dm, recopier et compléter les égalités : 1 m 2 = : : : dm 2 ; 1dm 2 = : : : 100 m2 ou 1 dm 2 = 0;01... 2 : 3. Recopier et compléter les phrases suivantes : «Pour convertir en dm 2, un nombre exprimé en m 2, on multiplie ce nombre par : : :.» «Pour convertir en m 2 un nombre exprimé en dm 2, on : : : ce nombre par 100.». 4. Convertir 2;88 m 2 en dm 2, puis 450 dm 2 en m 2. Définition L unité d aire légale est le mètre carré (noté m 2 ). 1 m 2 correspond à l aire d un carré de côté 1 m.
1 m 2 = 100 dm 2 1 dm 2 = 100 cm 2 1 cm 2 = 100 mm 2 1 mm 2 = 0,01 cm 2 De même : 1 m 2 = 100 dm 2 et 1 dm 2 = 0;01 m 2. 1 hm 2 = 100 dam 2 et 1 dam 2 = 0;01 hm 2. Exemples 3;7 m 2 = 370 dm 2 ; 489 mm 2 = 4;89 cm 2. Faire les exercices 4 5 6 7 F
III/ Formules de périmètres et aires Activité C. Aire d un rectangle, aire d un triangle rectangle 1. Rappeler la formule d aire d un rectangle. 2. (a) Tracer un segment [BC] de longueur 10 cm et placer un point H sur ce segment. (b) Tracer en bleu la droite perpendiculaire à la droite (BC) passant par le point H. (c) Sur la droite bleue, placer un point A situé à 3 cm du point H. (d) Tracer le triangle ABC et le colorier en jaune. Pour le triangle ABC, la droite (AH) est appelée la hauteur relative au segment [BC]. 3. (a) Construire le rectangle BCDE tel que le point A appartient au côté [DE]. (b) Calculer l aire de ce rectangle. (c) Que peut-on dire dire de l aire du triangle jaune par rapport à celle du rectangle BCDE? (d) En déduire l aire du triangle jaune. 4. (a) Les triangles ABC construits par les élèves de la classe sont-ils superposables? (b) Les rectangles BCDE construits par les élèves de la classe sont-ils superposables? (c) Expliquer pourqui les triangles jaunes ont tous la même aire. Pour calculer un périmètre ou une aire, les dimensions dovient être exprimées dans la même unité. Faire les exercices 8 9 10 11 F 12 F 13 F
IV/ Longueur d un cercle et aire d un disque Activité D. Longueur d un cercle et aire d un disque Partie A : Longueur d un cercle Noémie a mesuré le diamètre de quelques objets circulaires. Ensuite, en enroulant une ficelle autour de chaque objet, elle en a mesuré le contour. Ses mesures figurent dans le tableau ci-dessous : 1. Pour chaque objet, calculer une valeur arrondie au dixième de centimètre du quotient de la longueur du contour par le diamètre. 2. Des mesures plus précises montreraient que le quotient de la longueur d un cercle par son diamètre est un nombre non décimal qui est très proche de 3;14. La valeur exacte de nombre est désignée par la lettre grecque ( 3;14). La longueur d un cercle est donc proportionnelle à son diamètre. Quel est le coefficient de proportionnalité qui permet de calculer la longueur d un cercle connaissant son diamètre? 3. Recopier et compléter les formules exprimant la longueur L d un cercle en fonction de son diamètre D, ou en fonction de son rayon R : Partie B : Aire d un disque L = : : : D ou L = : : : (2 R) = 2 : : : : 1. Le tableau ci-dessous donne l aire d un disque pour certaines valeurs de son rayon. Rayon du disque (en cm) 1 2 3 4 5 6 7 Aire du disque (en cm 2 ) 4 9 16 25 36 49 (a) Expliquer comment on peut calculer l aire d un disque à partir de son rayon. (b) Trouver une formule qui permette d obtenir l aire A d un disque connaissant son rayon r. 2. Le tableau donne l aire d un disque pour certaines valeurs de son rayon.
Rayon du disque (en cm) 3 3;1 3;175 Aire du disque (en cm 2 ) 9 9;61 31;17245311 (a) En utilisant la formule trouvée dans la question 1(b), vérifier le résultat donné dans la deuxième colonne. (b) En utilisant la calculatrice, vérifier la valeur approchée donnée dans la dernière colonne. Définition La longueur ` d un cercle de diamètre d est donnée par la formule : ` = d ( 3;14). La longueur ` d un cercle de rayon r eset donnée par la formule : ` = 2 r. d r d = 2 r Remarques 1. n est pas un nombre décimal ; une valeur approchée de ce nombre est 3;14. 2. La touche d uen calculatrice scientifique donne une valeur plus précise de ce nombre : 3,141592653 Propriété L aire d un disque de rayon r est : A = r r: Exemple Soit C un cercle de centre O et de rayon 5 cm. Le périmètre du cercle C est : L aire de ce disque : P = 5 2 = 10 31;4 cm 2 : A = 7 7 = 49: L aire exacte de ce disque est A = 49 cm 2. À l aide d une calculatrice, on peut donner une valeur approchée de cette aire A 153;94 cm 2. Faire les exercices 14 15 16 F 17 F 18 F