Suites : Résumé de cours et méthodes Généralités ne suite numérique est une liste de nombres, rangés et numérotés : à l entier 0 correspond le nombre noté 0 à l entier correspond le nombre noté à l entier n correspond le nombre noté n (appelé terme de la suite de rang n). La suite est notée ( n ) Remarque : Ne pas confondre ( n ) qui représente la suite, et n qui est le nombre représentant le terme de la suite de rang n. Il y a principalement deux manières de définir une suite : - Suite définie de façon explicite Dans ce cas, on dispose d une formule permettant de calculer directement n en fonction de n. C est à dire qu il existe une fonction f définie sur [0;+ [ telle que, pour tout entier n, n = f (n). Exemples : ) Soit ( n ), la suite définie par n = 3n + 4. Le premier terme de la suite est alors 0 = 3 0 + 4 = 4 (on remplace n par 0). = 3 + 4 = 7 (on remplace n par ). 0 = 3 0 + 4 = 34 (on remplace n par 0). Pour tout n, n+ = 3 (n + ) + 4 = 3n + 3 + 4 = 3n + 7 (on remplace n par n + ). ) Soit ( n ), la suite définie par n = n. On a : 0 = 0 = 0, = =, = = 4. Et pour tout n, n+ = (n + ) = n + n +. Représentation graphique d une suite définie de façon explicite : Dans un repère orthogonal, on place les points d abscisse n et d ordonnée n (que l on ne joint pas entre eux!). Cela revient à ne tracer que les points d abscisses entières de la courbe représentative de la fonction f. Avec la suite de l exemple ( n = n ), cela donne la représentation graphique suivante : 4 3 0 0 3 4 - Suite définie par une relation de récurrence Dans ce cas là, il n y a plus de formule permettant de calculer directement n en fonction de n, mais on dispose d une relation (dite de récurrence) permettant de calculer le terme de rang n + à partir de celui de rang n. Ainsi, en connaissant le premier terme 0, on peut calculer le terme suivant. Puis avec, on peut calculer le terme suivant, etc... D un point de vue mathématique, la suite est définie par : le terme initial 0 et la relation de récurrence : n+ = f ( n ) (où f est une fonction définie sur un intervalle I tel que : 0 I et pour tout x de I, f (x) I ). S - Suites c P.Brachet - www.xmmath.net
) Soit ( n ), la suite définie par 0 = et n+ = 3 n. On a alors, = 3 0 = 3 = 6 (on remplace n par 0 dans le relation de récurrence). = 3 = 3 6 = 8 (on remplace n par dans le relation de récurrence). 3 = 3 = 3 8 = 54 (on remplace n par dans le relation de récurrence). ) Soit ( n ), la suite définie par 0 =,5 et n+ = 4 + n. On a alors, = 4 + 0 = 4,5 3,6. = 4 + 4 + 3,6 5,35. Détermination graphique des termes d une suite définie par une relation de récurrence : Dans un repère orthonormé, on trace d abord la représentation graphique de la fonction f définissant la relation de récurrence et la droite d équation y = x. On part de 0 en abscisse : l ordonnée du point de la courbe correspondant à cette abscisse nous donne [() sur le graphique correspondant à l exemple ]. Pour déterminer = f ( ), il nous faut rabattre sur l axe des abscisses [() sur le graphique] : pour cela on utilise la droite d équation y = x. Dès lors, est l ordonnée du point de la courbe d abscisse [(3) sur le graphique]. Pour poursuivre la construction, on répéte le procédé en rabattant sur l axe des abscisses [(4) sur le graphique]. 3 est l ordonnée du point de la courbe d abscisse [(5) sur le graphique]... y=x 3 () (3) (4) (5) y=f(x) () 0 3 Sens de variation d une suite ne suite ( n ) est dite croissante si pour tout entier n, n+ n. ne suite ( n ) est dite décroissante si pour tout entier n, n+ n. Méthodes pour étudier le sens de variation d une suite : ) Calculer et étudier le signe de n+ n pour tout n (cette méthode est valable dans tous les cas) : si pour tout n, n+ n 0 alors la suite ( n ) est croissante. si pour tout n, n+ n 0 alors la suite ( n ) est décroissante. ) Pour les suites dont les termes sont tous strictement positifs (à vérifier avant), il peut être pratique de calculer n+ d utiliser la propriété suivante : si pour tout n, n+ alors la suite ( n ) est croissante. n si pour tout n, n+ alors la suite ( n ) est décroissante. n 3) Pour les suites définies de façon explicite par n = f (n) : si la fonction f est croissante sur [0;+ [ alors la suite ( n ) est aussi croissante. si la fonction f est décroissante sur [0;+ [ alors la suite ( n ) est aussi décroissante. n et c P.Brachet - www.xmmath.net S - Suites
) Soit ( n ), la suite définie par 0 = et n+ = n ( n ). S agissant d une suite définie par une relation de récurrence, nous ne pouvons utiliser que la première ou deuxième méthode. Avec la première méthode : Pour tout n, n+ n = n ( n ) n = ( n ) < 0. La suite ( n ) est donc décroissante. ) Soit ( n ), la suite définie par n = 5 3 n. Pour tout n, n > 0. On peut donc utiliser la deuxième méthode (souvent utilisée quand il y a des puissances) : Pour tout n, n+ = 5 3n+ n 5 3 n = 3. La suite ( n ) est donc croissante. 3) Soit ( n ), la suite définie par n = n. C est une suite définie de façon explicite avec n = f (n) où f est la fonction définie par f (x) = x. Or on sait que la fonction f est croissante sur [0;+ [. En utilisant la troisième méthode, on conclut que la suite ( n ) est croissante. 3 Suites arithmétiques ne suite est dite arithmétique si l on passe d un terme au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre. Autrement dit, une suite ( n ) est arithmétique s il existe un réel r (appelé raison) tel que pour tout entier n, n+ = n + r. 0 +r +r +r n n+ 4, 7, 0, 3 et 6 sont les premiers termes d une suite arithmétique de raison 3 : +3 +3 +3 +3 4 7 0 3 6 Si une suite ( n ) est telle que pour tout n, n+ n = constante alors ( n ) est une suite arithmétique de raison égale à la constante. Soit ( n ), la suite définie par n = 4n + 5. Pour tout n, n+ = 4(n + ) + 5 = 4n + 9. Donc, n+ n = 4n + 9 (4n + 5) = 4. ( n ) est donc une suite arithmétique de raison égale à 4. Remarques : De façon générale, si pour tout n, n peut s écrire sous la forme n = An + B alors ( n ) est une suite arithmétique de raison A. Les points de la représentation graphique d une suite arithmétique se situent sur une même droite de coefficient directeur égal à la raison. Si ( n ) est une suite arithmétique de raison r alors pour tous entiers n et p : n = 0 + nr n = p + (n p)r S - Suites c P.Brachet - www.xmmath.net 3
) Soit ( n ) la suite arithmétique de premier terme 0 = et de raison r = 3. 0 = 0 + 0r = + 0 3 = 3 ; 33 = 0 + 33r = + 33 3 = 0 Pour tout n, n = 0 + nr = + 3n. ) Soit ( n ) la suite arithmétique telle que = 7 et 5 = 9. Pour trouver la raison r : on a 5 = + (5 )r, d où 9 = 7 + 3r r = 4 A partir de là, on peut calculer 0 en utilisant que 0 = + (0 )r = 7 + 8 4 = 39. Sens de variation d une suite arithmétique de raison r : Si r 0, la suite est croissante. Si r 0, la suite est décroissante. 4 Suites géométriques ne suite est dite géométrique si on passe d un terme au terme suivant en le multipliant toujours par le même nombre non nul. Autrement dit, une suite ( n ) est géométrique s il existe un réel q 0 (appelé raison) tel que pour tout entier n, n+ = q n. 0 xq xq xq n n+ 3, 6,, 4 et 48 sont les premiers termes d une suite géométrique de raison : x x x x 3 6 4 48 Si une suite ( n ) (n ayant aucun terme nul) est telle que pour tout n, n+ raison égale à la constante. n = constante alors ( n ) est une suite géométrique de Soit ( n ), la suite définie par n = 3 4 n. Pour tout n, n+ = 3 4n+ n 3 4 n = 4. ( n ) est donc une suite géométrique de raison égale à 4. Remarque : De façon générale, si pour tout n, n peut s écrire sous la forme n = A B n alors ( n ) est une suite géométrique de raison B. Si ( n ) est une suite géométrique de raison q alors pour tous entiers n et p : n = q n 0 n = q (n p) p ) Soit ( n ) la suite géométrique de premier terme 0 = 5 et de raison q =. 4 = q 4 0 = 4 5 = 80 ; 0 = q 0 0 = 0 5 = 50 Pour tout n, n = q n 0 = 5 n. ) Soit ( n ) la suite géométrique de raison positive telle que = 7 et 4 = 63. Pour trouver la raison q : on a 4 = q 4, d où 63 = 7 q q = 9. Donc, q = 3 (car q > 0) A partir de là, on peut calculer 6 en utilisant que 6 = q 6 = 3 4 7 = 567. 4 c P.Brachet - www.xmmath.net S - Suites
Sens de variation d une suite géométrique de premier terme 0 et de raison q : Si q < 0 alors la suite n est ni croissante, ni décroissante. Si q = alors la suite est constante. Si 0 < q <, la suite est décroissante lorsque 0 > 0 et croissante lorsque 0 < 0. Si q >, la suite est croissante lorsque 0 > 0 et décroissante lorsque 0 < 0. 5 Suites arithmético-géométriques Généralités : Ce sont des suites définies par une relation de récurrence de la forme : n+ = a n + b (avec a et b 0). Pour les étudier on utilise une autre suite (V n ) définie par V n = n α où α est en fait le réel tel que α = a α + b (α est en fait généralement donné dans l énoncé de l exercice). On montre ensuite que cette suite (V n ) est géométrique (de raison a en fait, mais le résultat n est pas à connaître). On peut alors en déduire la forme explicite de la suite ( n ). Soit ( n ) la suite définie par 0 = et n+ = n + 4. - Montrons que la suite (V n ) définie par V n = n 8 est géométrique : (on remarquera que α = α + 4 α = 4 α = 8) Pour tout n : V n+ = n+ 8 = n + 4 8 = n 4. Or, V n = n 8. Donc, pour tout n, on a V n+ = V n. Ce qui prouve que la suite (V n ) est géométrique de raison. - On peut maintenant ( ) en déduire la forme explicite de V n, puis de n : n Pour tout n, V n = V 0. Or, V 0 = 0 8 = 8 = 6. Donc, V n = 6 Comme n = V n + 8, on en déduit que n = 6 ( ) n + 8 ( ) n. S - Suites c P.Brachet - www.xmmath.net 5