Clculs de ζ er clcul de u exemple De ombreux développemets e série de Fourier fourisset l vleur de E voici Soit f l foctio défiie sur R à vleurs ds R, π-périodique telle que x [ π, π], fx x y fx 6 5 4 4 5 6 f est π-périodique, cotiue sur R, de clsse C pr morceux et doc, d près le théorème de Dirichlet, e tout réel x, l série de Fourier de f coverge vers fx b Clcul des coefficiets de Fourier de f f est pire et doc, b f puis, pour N, f π f π t dt π Pour N, ue itégrtio pr prties fourit f π π t cost dt π [ cost ] π [ t sit ] π π t cost dt sit dt π c Puisque f est somme de s série de Fourier sur R, o obtiet pour tout réel x fx f E prticulier + x fourit lors π 4 π fcosx + b fsix π + p x [ π, π], x π 4 π p π cosp + x p + p + et doc p + π 8 Efi S et doc S 4 π 8 π 6 p p p + π 6 et p p + 4 S + π 8 + π 8 cosx π 4 π sit dt p cosp + x p + http ://wwwmths-frcefr c Je-Louis Rouget, 8 Tous droits réservés
eme clcul de versio mths sup Le trvil précédet peut être effectué «à l mi» e mths sup O étblit d bord u outil cpitl de l démostrtio du théorème de Dirtichlet : le lemme de Lebesgue / Ue expressio de sous forme itégrle O cherche des réels et b tels que, Soit N Deux itégrtios pr prties fourisset [ t + btcost dt t + bt sit ] π [ t + b cost ] π t + btcost dt t + bsit dt dt π + b b cost t + b sit dt cost dt π + b b Mitet, si les réels et b vérifiet π + b et b ou ecore si b et π, lors, b Expressio de t + btcost dt Doc i Pour N, posos S ii Clcul de N, sous forme itégrle k coskt S D près, k π t coskt dt π t cost dt π t coskt dt er clcul Soit t u réel et u etier turel o ul coskt Ree ikt Re e ikt Re e it k Si t πz lors chque coskt vut et ds ce cs, Si t / πz, lors e it et ds ce cs coskt coskt Re e it k it eit Re e e it Re e i+ te it/ e it/ e it/ e it/ t + t + t t si cos si si i+t/ sit/ Re e sit/ t t si si + t si + t si http ://wwwmths-frcefr c Je-Louis Rouget, 8 Tous droits réservés
Filemet, N, t R, coskt + ϕ t où ϕ t + si t πz + t si si t / πz t si t ème clcul Soiet t u réel et u etier turel o ul si et pour t / πz, o retrouve coskt si k + t si k t si + t si somme télescopique + t coskt si + t si iii D près ce qui précède, ϕ est cotiue sur [, π] cr pour tout t de [, π], ϕ t k π 6 + Mitet, pour t ], π], π t t si t π t + ϕ t dt [ t 6π t π t ϕ t dt π t ϕ t t ] π + coskt et pour N π t ϕ t dt π t + t si Pour t ], π], o pose lors ft t si f est cotiue sur ], π] De plus, qud t ted vers, ft t t f se prologe doc pr cotiuité e e post f E résumé, N, k π 6 + + t ft si dt où ft t π t si t ], π] t si si t Il reste à étudier l limite qud ted vers de l expressio précédete, f étt cotiue sur [, π] c Le lemme de Lebesgue Il s git de motrer que pour toute foctio f cotiue pr morceux sur u segmet [, b] à vleurs ds R ou C, lim fte iλt dt et doc ussi lim ft cosλt dt lim ftsiλt dt i Cs des foctios de clsse C Soit f ue foctio de clsse C sur u segmet [, b] à vleurs ds R ou C Ue itégrtio pr prties, licite puisque f est de clsse C sur [, b] fourit pour λ > http ://wwwmths-frcefr c Je-Louis Rouget, 8 Tous droits réservés
fte iλt dt [fte iλt ] b b iλ f te iλt dt fbe iλb fe iλ iλ f te iλt dt, et doc, pour λ > fte iλt dt fb + f + λ f t dt Cette derière expressio ted vers qud λ ted vers ce qui démotre le lemme de Lebesgue pour les foctios de clsse C sur u segmet ii Cs des foctios cotiues pr morceux O d bord lim e iλt e iλb e iλ dt lim ce qui démotre le lemme de Lebesgue qud f est iλ l foctio costte Mis lors, pr liérité de l itégrle puis dditivité pr rpport à l itervlle d itégrtio, le lemme de Lebesgue est démotré pour les foctios e escliers sur [, b] Soit mitet f ue foctio cotiue pr morceux sur [, b] à vleurs ds R ou C ε Soit ε > O sit qu il existe g ue foctio e escliers sur [, b] telle que t [, b], ft gt b pproximtio uiforme sur u segmet d ue foctio cotiue pr morceux pr ue foctio e escliers Pour λ >, o lors fte iλt dt ft gte iλt dt + gte iλt dt ft gt dt + gte iλt dt ε b dt + Mitet, puisque g est e escliers sur [, b], il existe Λ > tel que, pour λ Λ, doc fte iλt dt < ε + ε ε O motré que ε >, Λ > / λ R, λ Λ fte iλt dt < ε et doc gte iλt dt ε + gte iλt dt gte iλt dt < ε et Lemme de Lebesgue pour les foctios cotiues pr morceux sur u segmet Soit f ue foctio cotiue pr morceux sur u segmet [, b] à vleurs ds R ou C Alors lim fte iλt dt, lim ftcosλt dt, lim les deux derières limites étt obteues pr pssge ux prties réelles et imgiires d Clcul de L foctio f défiie e b est cotiue sur [, π] et d près le lemme de Lebesgue, lim Le b motre lors que ftsiλt dt, + t ft si dt e Clcul de Posos S et S et + O S S π 6 p p p p S et doc http ://wwwmths-frcefr 4 c Je-Louis Rouget, 8 Tous droits réservés
S S π O ussi S + S + p p + et doc p p + S + S 4 S π 8 π et p + π 8 p ème clcul de Pour N, o pose S k Clcul de cot kπ + et de Pour α réel et etier turel o ul doés, o si kπ + cos + α + i si + α cosα + i siα + puis pr idetifictio des prties imgiires si + α i k C k + cos + k α si k α k k C k+ + cos+ k+ α si k+ α, et efi e divist les deux membres pr si + α pour α / πz, o obtiet si + α si + α k k C k+ cos k α + si k α k k C k+ + cot α k k N, α R \ πz, si + α si + α k C k+ + cot α k k Posos lors P k C k+ + X k Posos ussi, pour k,, x k cot kπ + k Tout d bord, pour k, o < kπ + π + < π π kπ Aisi les ombres, k, sot deux à + +, k, deux disticts et ds ], π [ Pr ijectivité de l foctio x cotx sur ], π kπ [, les ombres cot sot deux à deux disticts et de plus strictemet positifs Filemet, les réels x k sot deux à deux disticts sikπ Mitet, pour k,, Px k O doc trouvé réels deux à deux disticts rcies du si + kπ + polyôme P qui est de degré Les reltios etre coefficiets et rcies d u polyôme permettet d ffirmer que x k C + C + + /6 + Doc N, cot kπ + Esuite, pour x / πz, si x + cot x et doc si kπ + + cot kπ + + + http ://wwwmths-frcefr 5 c Je-Louis Rouget, 8 Tous droits réservés
N, si kπ + + b Pour x ds ], π [, o si x < x < t x Les foctios si et t sot respectivemet strictemet cocves et strictemet covexes sur ], π [ O e déduit que les grphes de ces foctios sot respectivemet strictemet u-dessous et strictemet u-dessus de leur tgete e, sur ], π [ et doc x ], π [, si x < x < t x Puisque, pour x ], π [, < six < x < tx, o ussi près pssge à l iverse et élévtio u crré c Ecdremet de kπ k Pour k,, x ], π [, cot x < x < si x E sommt ces iéglités, o obtiet d près si kπ + ou ecore cot kπ + < + π N, + est ds ], π kπ [ et d près b, cot + π < k < si kπ + + < k + π + +, < + k π < d Clcul de ζ Les membres de guche et de droite de l ecdremet précédet tedet tous deux vers π 6 qud ted vers et o retrouve doc ζ π 6 http ://wwwmths-frcefr 6 c Je-Louis Rouget, 8 Tous droits réservés