Symétrie Axiale 1 Médiatrice d un segment. 1 a Définition La médiatrice d un segment est LA droite qui coupe perpendiculairement ce segment en son milieu. Exemple : (d) est la médiatrice du segment [AB] (d) [AB] et IA = IB Exemple 2 avec un quadrillage d 2, d 1, d 3 sont respectivement les médiatrices des segments [A 2 B 2 ], [A 1 B 1 ], [A 3 B 3 ] Contres exemples : d ne passe pas par le milieu I de [AB] d n est pas perpendiculaire au segment [AB] Pour s entraîner : exercice 4 1 b Propriété Pour chaque point M de la médiatrice de [AB], on a MA = MB. (le triangle AMB est isocèle en M) On dit que les points de la médiatrice d un segment sont EQUIDISTANTS des extrémités de ce segment. Pour s entraîner : exercice 2 Pour s entraîner : exercice 11B 1 c Méthode de construction avec un compas 1 d Méthode de construction avec une règle et une équerre je trace deux cercles centrés en A et B passant par B et A par exemple, ils se coupent en deux points qui définissent la médiatrice du segment [AB] On détermine I le milieu de [AB] On trace la médiatrice (d), perpendiculaire à [AB] passant par I, et on code. http://instrumenpoche.sesamath.net/img /lecteur_iep.php?anim=medcompa.xml http://instrumenpoche.sesamath.net/i MG/lecteur_iep.php?anim=medsege q.xml Pour s entraîner : exercice 3, exercice1
2 symétrique d un point par rapport à une droite. 2 a Définition SI A est un point de la droite (d) ALORS le symétrique de A par rapport à la droite (d) est le point A lui-même. SI A n est pas un point de (d) le symétrique de A par rapport à la droite (d) est le point B, tel que (d) soit la médiatrice de [AB]. Remarques : La droite (d) est appelée l axe de la symétrie du segment [AB] On dit qu on a appliqué à A la symétrie axiale d axe (d). A est le symétrique de B par rapport à (d). B est le symétrique de A par rapport à (d). A et B sont symétriques par rapport à (d). Pour s entraîner : exercice 5, exercice 6 Je trace une droite perpendiculaire à (d) passant par M Je reporte la longueur MI de l autre côté de la droite (d) : MI=MI On code la figure obtenue tant qu elle reste lisible. Pour s entraîner : exercice 9, exercice 8 2 b Méthode de construction : avec une équerre et une règle 2 c Méthode de construction avec un compas («méthode du losange») On trace un cercle de centre M Les cercles de centre A et B passant par M se coupent en M symétrique de M par rapport à d On forme un losange! MAM B (MM ) et d sont les diagonales qui coupe d en deux points (A et B). Pour s entraîner : exercice 7
3 Symétriques de figures usuelles propriétés Le symétrique d une droite par rapport à une autre droite est une droite La symétrie axiale conserve l alignement Exemple si les points PNM sont alignés alors les points PN M le sont Le symétrique d un segment par rapport à une droite est un segment de même longueur. La symétrie axiale conserve les longueurs Exemple si [A B ] est le symétrique de [AB] alors AB=A B Pour s entraîner : exercice 10 Pour s entraîner : exercice 12 a d Le symétrique d un polygone quelconque (ici c est un triangle) est un polygone de même mesure. La symétrie axiale conserve les angles, les périmètres et les aires. Exemple si A B C est le symétrique de ABC alors AB=A B B C =BC A C =AC Le symétrique d un cercle par rapport à une droite est un cercle de même rayon. Les centres sont symétriques. Exemple si [A B ] est le symétrique de [AB] alors AB=A B ABC=A B C Pour s entraîner : exercice 11 Pour s entraîner : exercice 12 c symétrique de figures complexe Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent par pliage (F) et (F ) sont symétriques par rapport à la droite (d) (F) est le symétrique de (F ) par rapport à la droite (d) (F ) est le symétrique de (F) par rapport à la droite (d)
remarque tous les points de (F) sont les symétriques de (F ) Pour s entraîner : exercice 11, exercice 13 4 AXES DE SYMETRIE DE FIGURES USUELLES L axe de symétrie d une figure (segment, triangle, cerf-volant.) est un axe de symétrie particulier parmi tous les axes possibles ( il y en a une infinité). Le symétrique de la figure par rapport à cet axe particulier coïncide avec la figure elle même. 4a Axes de symétrie d un segment Un segment à deux axes de symétrie Sa médiatrice et la droite qui porte le segment Exemple : (d1) et (d2) sont les axes de symétrie du segment [AB] 4b Axes de symétrie d un angle L axe de symétrie d un angle est sa BISSECTRICE (voir chapitre sur les angles pour la définition) Exemple (d) est l axe de symétrie de l angle AÔB
4c- Triangle isocèle : Un triangle isocèle a 1 axe de symétrie. Cet axe passe par le sommet principal. Il est la bissectrice de son angle et la médiatrice du côté opposé. Conséquence : Les deux angles à la base sont égaux. 4d - Triangle équilatéral : Un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie. Ce sont les médiatrices des côtés et les bissectrices des angles. Conséquence : Les trois angles sont égaux. 4e le cerf volant Rappel le cerf-volant est un quadrilatère qui à deux paires de côtés consécutifs de même longueur 4f - Losange : Un losange à deux axes de symétrie, ce sont ses diagonales Conséquences : Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Il a un axe de symétrie l une de ses diagonales. Conséquence : Les diagonales sont perpendiculaires. Le point d intersection des diagonales est au milieu de la diagonale perpendiculaire à l axe.
4g- Rectangle : Un rectangle a 2 axes de symétrie : les médiatrices des côtés opposés. Conséquences : Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont de même mesure. 4h - Carré : Un carré est à la fois un losange et un rectangle. Il a 4 axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices des côtés. Conséquences : Ses diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et de même mesure. 4i- cercle Le cercle à une infinité d axes de symétrie : ce sont toutes les droites qui passes par le centre du cercle http://matoumat heux.acrennes.fr/geom/ ment/mental6/1 4Symetrie/accu eil.htm
L ESSENTIEL DE LA LECON Médiatrice d un segment. Définition La médiatrice d un segment est LA droite qui coupe perpendiculairement ce segment en son milieu. Symétrique d un point par rapport à une droite. Définition SI A et un point de la droite (d) ALORS le symétrique de A par rapport à la droite (d) est A lui-même SI A n est pas un point de (d) Alors le point B tel que (d) soit la médiatrice de [AB] est appelé symétrique de A par rapport à (d). Remarques : La droite (d) est appelée l axe de la symétrie. On dit qu on a appliqué à A la symétrie axiale d axe (d). Le symétrique d une droite par rapport à une autre droite est une droite La symétrie axiale conserve l alignement Le symétrique d un segment par rapport à une droite est un segment. De même longueur. La symétrie axiale conserve les longueurs Le symétrique d un polygone quelconque (ici c est un triangle) est un polygone de même mesure. La symétrie axiale conserve les angles est les aires. Le symétrique d un cercle par rapport à une droite est un cercle de même rayon. Les centres sont symétriques Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent par pliage (F) et (F ) sont symétriques par rapport à la droite (d) (F) est le symétrique de (F ) par rapport à la droite (d) (F ) est le symétrique de (F) par rapport à la droite (d) remarque tous les points de (F) sont les symétriques de (F ) Axes de symétrie d un segment Un segment à deux axes de symétrie Sa médiatrice est la droite qui porte ce segment L axe de symétrie d une figure (segment, triangle, cerfvolant.) est un axe de symétrie particulier parmi tous les axes possibles ( il y en a une infinité). Le symétrique de la figure par rapport à cet axe particulier coïncide avec la figure elle même. 2 Axes de symétrie d un angle L axe de symétrie d un angle est sa BISSECTRICE (voir chapitre sur les angles pour la définition) Triangle isocèle : Un triangle isocèle a 1 axe de symétrie. Cet axe passe par le sommet principal. Il est la bissectrice de son angle et la médiatrice du côté opposé. Triangle équilatéral : Un triangle équilatéral a 3 les médiatrices des côtés et angles. axes de symétrie. Ce sont les bissectrices des le cerf volant le cerf-volant est un quadrilatère qui à deux côtés consécutifs de même longueur et deux autres de même longueur Il a un axe de symétrie Losange : Un losange a 2 axes de symétrie : ses diagonales. Rectangle : Un rectangle a 2 médiatrices des axes de symétrie : les côtés opposés. Carré : Un carré est à la fois un losange et un rectangle. Il a 4 axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices des côtés. cercle Le cercle à une infinité d axes de symétrie : ce sont toutes les droites qui passes par le centre du cercle