ière partie : GÉOMÉTRIE NLYTIQUE DNS L ESPCE ière partie : Géométrie analytique dans l espace... I. Coordonnées d un point et composantes d un ecteur dans l espace rappels)... II. Équations de droites dans l espace.... Équation ectorielle d une droite.... Équations paramétriques d une droite.... Équations cartésiennes d une droite... 4. Cas particuliers... III. Équation d un plan dans l espace... 4. Equation ectorielle d un plan... 4. Équations paramétriques d un plan... 4. Équation cartésienne d un plan... 5 IV. Équations de plans particuliers... 6. Plans comprenant l origine... 6. Plans comprenant le point x, y, z b g et parallèles aux plans Oxy, Oxz ou Oyz... 6. Plans contenant Ox, Oy ou Oz... 6 4. Plans parallèles à Ox, Oy ou Oz... 6 V. Positions relaties d une droite et d un plan... 6 VI. Produit scalaire rappels)... 7. Définition... 7. Vecteurs perpendiculaires... 7. Expression analytique du produit scalaire... 8 4. Norme d un ecteur... 8 5. Distance entre deux points... 8 6. ngle de deux droites... 8 VII. Équation cartésienne d un plan en fonction d un ecteur normal... 9. Vecteur normal à un plan... 9. Distance d un point à un plan... 9. Parallélisme et orthogonalité de droites et de plans... 0 a) Droites parallèles... 0 b) Droites orthogonales... 0 c) Droite parallèle à un plan... 0 d) Droite orthogonale à un plan... e) Plans parallèles... f) Plans orthogonaux... 4. Distance d un point à une droite... 5. ngle aigu de deux plans... 6. ngle aigu d une droite et d un plan... 6 ième année ière partie : Géométrie analytique dans l espace - p.
ière partie : GÉOMÉTRIE NLYTIQUE DNS L ESPCE I. Coordonnées d un point et composantes d un ecteur dans l espace rappels) Dans l espace un repère est formé par un point O et par trois ecteurs non nuls et non coplanaires e, e, e, représentant les ecteurs unitaires sur les axes x, y et z Sauf précision contraire, on traaillera toujours en axes orthonormés. z z P Pour tout point P de l espace, on a : OP = x e + + y e z e où x, y, z) sont les coordonnées du point P. x e e O e y y Tout ecteur de l espace peut s écrire comme combinaison linéaire des ecteurs de base : = α e + α e + α e où α, α, ) sont les composantes du α ecteur dans la base e, e, ). e x Considérons deux points x, y, z ) et B xb, yb, z B ). Le ecteur B a pour B x x, y y, z z. Il peut être considéré comme un ecteur composantes : ) directeur de la droite B. B B B II. Équations de droites dans l espace. Équation ectorielle d une droite Considérons un point et un ecteur non nul : la droite d de ecteur directeur et passant par est l ensemble des points P tels que P est colinéaire à. L'équation P colinéaire à k R, P = k P = k est une équation ectorielle de la droite d passant par le point et de ecteur directeur. P d O 6 ième année ière partie : Géométrie analytique dans l espace - p.
. Équations paramétriques d une droite L'équation ectorielle peut s'écrire ou P = k O + OP = k OP = O + k k R Remplaçons les ecteurs par leurs composantes ; il ient x, y, z) = x, y, z ) + k,, ) ce qui entraîne x = x + k y = y + k k R ) z = z + k Ce sont des équations paramétriques de la droite d de ecteur directeur,, ) et passant par le point de coordonnées x, y, z ).. Équations cartésiennes d une droite Éliminons le paramètre k entre les équations paramétriques et on troue : x x y y = z z = Ce sont des équations cartésiennes de la droite d de ecteur directeur,, ) et passant par le point de coordonnées x, y, z ). Remarque Pour rechercher les équations cartésiennes de la droite passant par deux points donnés, on prendra comme ecteur directeur de la droite, le ecteur joignant les deux points donnés. B 4. Cas particuliers x = x Si = 0 0 et 0) : le système ) se ramène à : y = y + k k R z = z + k B 6 ième année ière partie : Géométrie analytique dans l espace - p.
et les équations cartésiennes se ramènent à : R S x = x y y z z = T La droite est incluse dans un plan parallèle au plan Oyz. Si = = 0 0) : le système ) se ramène à : et les équations cartésiennes se ramènent à : La droite est parallèle à l axe z. III. Équation d un plan dans l espace. Equation ectorielle d un plan R S T x = x y = y.. x = x y = y k R z = z + k Considérons un plan π, un point C appartenant à ce plan et deux ecteurs nuls parallèles au plan mais non parallèles entre eux. Pour tout point P appartenant à π, on a : CP = k + k w k, k R w C k et w non k w P L équation CP = k + k w O est une équation ectorielle du plan de ecteurs directeurs point C. et w et passant par le. Équations paramétriques d un plan L équation ectorielle peut s'écrire CP = k + k w k, k R OP = OC + k + k w k, k R Remplaçons les ecteurs par leurs composantes ; il ient : ce qui entraîne x, y, z) = x, y, z ) + k,, ) k w, w, w ) C C C + x = xc + k + kw y = yc + k + kw k, k R z = zc + k + kw Ce sont des équations paramétriques du plan de ecteurs directeurs,, ) et w, w, w ) et passant par le point C de coordonnées x, y, z ). C C C 6 ième année ière partie : Géométrie analytique dans l espace - p.4
. Équation cartésienne d un plan On élimine les paramètres k et k entre les équations paramétriques et on troue : w w ) x x ) w w ) y y ) + w w ) z z ) = 0 C C C que l on peut écrire sous la forme : x x C C C = w y y w z z On obtient une équation du type ax + by + cz + d = 0 qui est une équation linéaire du er degré. C est l équation cartésienne du plan π passant par le point C de coordonnées x, y, z ) et de ecteurs directeurs,, ) et w, w, ). C C C w 0 w Remarques Plan déterminé par trois points non alignés, B et C : On prendra comme ecteurs directeurs deux des ecteurs suiants : B, C, BC. Plan déterminé par une droite d et un point C n appartenant pas à d : On prendra comme premier ecteur directeur du plan un ecteur directeur de d. Un autre ecteur directeur du plan sera un ecteur joignant C à un point de d. Plan déterminé par deux droites sécantes : Les ecteurs directeurs de chacune des droites sont des ecteurs directeurs du plan. Plan déterminé par deux droites parallèles : Un ecteur directeur de l une des deux droites est un ecteur directeur du plan. Le ecteur joignant un point de l une des droites à un point de l autre est un autre ecteur directeur du plan. 6 ième année ière partie : Géométrie analytique dans l espace - p.5
IV. Équations de plans particuliers. Plans comprenant l origine ax + by + cz = 0. Plans comprenant le pointbx, y, z get parallèles aux plans Oxy, Oxz ou Oyz Plan parallèle à Oxy : Plan parallèle à Oxz : Plan parallèle à Oyz : z = z En particulier : Oxy z = 0 y = y En particulier : Oxz y = 0 x = x En particulier : Oyz x = 0. Plans contenant Ox, Oy ou Oz Plans contenant Ox : by + cz = 0 Plans contenant Oy : ax + cz = 0 Plans contenant Oz : ax + by = 0 4. Plans parallèles à Ox, Oy ou Oz Plan parallèle à Ox : by + cz + d = 0 Plan parallèle à Oy : ax + cz + d = 0 Plan parallèle à Oz : ax + by + d = 0 V. Positions relaties d une droite et d un plan On considère le plan d'équation π ax + by + cz + d = 0 ) et la droite d d'équations paramétriques x = x + k d y = y + k k R ) z = z + k 6 ième année ière partie : Géométrie analytique dans l espace - p.6
Pour trouer le point de percée s'il existe) de la droite d dans le plan π, il suffit de résoudre le système formé par l'équation du plan et celles de la droite, c'està-dire de remplacer dans l équation du plan ) x, y et z par leurs aleurs tirées des équations de la droite ). On obtient : b g k a + b + c = a x b y c z d Trois cas sont possibles : er cas : a + b + c 0 : on troue une aleur de k que l on remplace dans les équations ) de la droite afin d'obtenir les coordonnées du point de percée. e cas : a + b + c = 0 et ax by cz d 0 : k n existe pas et la droite est parallèle au plan. e cas : a + b + c = 0 et ax by cz d = 0 : k est indéterminé et la droite est incluse dans le plan. VI. Produit scalaire rappels). Définition u. = u..cosθ u = u est la norme du ecteur u. Une base est normée si et seulement si les ecteurs de base sont normés. Une base est orthonormée si et seulement si les ecteurs de la base sont normés et orthogonaux deux à deux. Remarque u u car u est un réel, alors que u est un ecteur.. Vecteurs perpendiculaires Le produit scalaire de deux ecteurs non nuls et perpendiculaires est nul et réciproquement. u. = u.. cos u, ) u orthogonal à u. = 0 π 6 ième année ière partie : Géométrie analytique dans l espace - p.7
. Expression analytique du produit scalaire Le produit scalaire des ecteurs u u, u, u ) et,, ) s'écrit : u. = u + u + u 4. Norme d un ecteur La norme du ecteur : u u, u, ) s'écrit : u u = u = u + u + u 5. Distance entre deux points La distance des points x, y, z ) et B x, y, z ) s'écrit : B B B d, B) B xb x yb y zb z ) = = ) + ) + ) Pour rappel, les composantes du ecteur B sont x x, y y, z z ). B B B 6. ngle de deux droites Par définition, l angle de deux droites gauches est l angle aigu formé par l une des droites et la parallèle à l autre menée par un point quelconque de la première. Considérons les droites d et d et leurs ecteurs directeurs respectifs : u d u, u, u) et d ',, ) On a : u. = u.. cos u, ) u. = u + u + u d où : u + u + u cos d, d ') = u + u + u + + Hors programme 6 ième année ière partie : Géométrie analytique dans l espace - p.8
VII. Équation cartésienne d un plan en fonction d un ecteur normal. Vecteur normal à un plan On considère un plan π et un point x, y, z ) appartenant à ce plan π. Soit P x, y, z) un point quelconque différent de de ce plan π. Soit n a, b, c) un ecteur non nul orthogonal à π. On a : π n P P x x, y y, z z ) P π, P n P. n = 0 On obtient une équation du type : ax + by + cz + d = 0 b g b g b g 0 a x x + b y y + c z z = ax + by + cz ax by cz = 0 n a, b, c) est appelé ecteur normal au plan d équation ax + by + cz + d = 0. Exemple Soit le plan π x y + 5z 4 = 0 Donner les coordonnées d un ecteur normal au plan π. Réponse :, -, 5).. Distance d un point à un plan En géométrie plane : Considérons un point x, y ) et une droite d ax + by + c = 0 La distance du point à la droite d est ax d, d) = Par extension en géométrie dans l espace : + by a + b + c On considère un point x, y, z ) et un plan π ax + by + cz + d = 0 La distance du point au plan π est d, π ) = ax + by a + b + cz + c + d 6 ième année ière partie : Géométrie analytique dans l espace - p.9
Exemple La distance du point,, 4) au plan π x 5y + z 4 = 0 est d, π ) =. 5. +. 4 4 = = + 5) + 0 0 0. Parallélisme et orthogonalité de droites et de plans On suppose qu'aucun dénominateur n'est nul ) On considère les droites : x x y y z z x x y y z z d et d = = = = u u u B B B et les plans : π a x + b y + c z + d = 0 et π a x + b y + c z + d = 0 a) Droites parallèles Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs ecteurs directeurs sont parallèles c est-à-dire si et seulement si les coordonnées de leurs ecteurs directeurs sont proportionnelles. d d u u / / d = = u d d d b) Droites orthogonales Deux droites sont orthogonales si et seulement si un ecteur directeur de l une est orthogonal à un ecteur directeur de l autre c est-à-dire que le produit scalaire des ecteurs directeurs est nul. d d u + u + u = 0 d d d d c) Droite parallèle à un plan Une droite est parallèle à un plan si et seulement si un ecteur directeur de la droite est orthogonal à un ecteur normal du plan c est-à-dire que le produit scalaire des ecteurs est nul. d / /π au + bu + cu = 0 n d d π Lorsqu'un dénominateur est nul, il est indispensable que le numérateur qui lui correspond soit nul aussi. 6 ième année ière partie : Géométrie analytique dans l espace - p.0
d) Droite orthogonale à un plan Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si un ecteur directeur de la droite est parallèle à un ecteur normal du plan. u u d π = = a b u c n d d π e) Plans parallèles Deux plans sont parallèles si et seulement si un ecteur normal de l un est parallèle à un ecteur normal de l autre. a b π / / π = = a b c c π n n f) Plans orthogonaux π Deux plans sont orthogonaux si et seulement si un ecteur normal de l un est orthogonal à un ecteur normal de l autre. π π a a + b b + c c = 0 n n π π 6 ième année ière partie : Géométrie analytique dans l espace - p.
4. Distance d un point à une droite La distance d un point à une droite est la distance du point donné au point de percée de la droite dans le plan contenant le point et orthogonal à la droite. E K B D C 5. ngle aigu de deux plans L angle aigu de deux plans est l angle aigu formé par les deux ecteurs normaux aux deux plans considérés Soit n a, b, c ) et n a, b, ) les ecteurs normaux respectifs à π et à π. c cos, ) a a + b b + c c n n = a + b + c. a + b + c 6. ngle aigu d une droite et d un plan 4 L angle aigu d une droite et d un plan est l angle aigu formé par la droite et sa projection orthogonale sur le plan, c est donc le complémentaire de l angle aigu formé par la droite et une droite orthogonale au plan. Soit un plan π ax + by + cz + d = 0 et une droite d de ecteur directeur,, ) d L angle entre la droite d et le plan π est le complémentaire de l angle entre le ecteur normal n et le ecteur d. a + b + c cos n, d ) = = sin d, π ) a + b + c. + + Hors programme. 4 Hors programme. 6 ième année ière partie : Géométrie analytique dans l espace - p.