CHAPITRE. CINEMATIQUE DU MOUVEMENT RECTILIGNE. 1. Mouvement rectiligne On appelle mouvement rectiligne, un mouvement pour lequel la trajectoire du mobile est une droite ou plus exactement un segment de droite. Pour repérer la position d'un mobile ayant une trajectoire rectiligne, il convient de choisir un repère qui est tel qu'un des axes de coordonnées (par exemple l'axe OX) est parallèle à la trajectoire. Ainsi choisi, seule la coordonnée x du mobile variera dans le temps et la coordonnée y étant constante peut être ignorée. Dans ce cas, les composantes v y et a y des vecteurs vitesse et accélération sont invariablement nulles et leurs écritures pourront également être omises. On écrira donc plus simplement r=( x, constante)=x Δ r=(δ x, )=Δ x v=(v x, )=v a=(a y,)=a (.1) r= v t (.4) Pour tout intervalle de temps considéré, les vecteurs déplacements sont donc parallèles. Par conséquent la trajectoire d'un tel mobile est nécessairement une ligne droite. Ce type de mouvement est appelé mouvement rectiligne uniforme (MRU). Les adjectifs rectiligne et uniforme précisent que la trajectoire est une droite et que la vitesse est constante.. Lois du MRU Comme la trajectoire d'un mobile animé d'une vitesse constante est rectiligne, un repère ayant un unique axe OX parallèle à la trajectoire permet de décrire le mouvement. Dans ce cas le vecteur vitesse a une seule composante non nulle notée simplement v v= Δ x =constante (.5) Δ t Cette relation est la loi de la vitesse dans le cas d'un MRU. La représentation graphique de la vitesse en fonction du temps est une droite horizontale. Les grandeurs x, Δ x, v et a désignant des composantes de vecteurs sont donc des réels positifs ou négatifs. Pour désigner l'intensité de ces vecteurs on écrira r = x Δ r = Δ x v = v a = a (.) Figure.1. Mouvement rectiligne uniforme Dans le repère où l'axe OX est parallèle à la trajectoire la relation (.5) se réécrit simplement.1. Définition Considérons un mobile dont la vitesse instantanée est constante c.à.d qu'elle a la même valeur à tout instant. En conséquence, pour un tel mouvement la vitesse instantanée est égale à la vitesse moyenne sur n'importe quel intervalle de temps. v= v m = r =constante (.3) t Le vecteur déplacement est donc le produit du vecteur vitesse et de la durée. Ou encore Δ x=v Δt (.6) x (t) x =v (t t ) (.7) où x (t) désigne la position à l'instant quelconque t et x désigne la position à l'instant initiale t. De plus, si l'on suppose que l'instant auquel débute le mouvement est, la dernière relation se réécrit simplement x (t)=x +v t (.8) Physique 5 e Chapitre. Le mouvement rectiligne Page 1/6
Cette dernière relation est la loi de la position d'un mobile animé d'un mouvement rectiligne se déplaçant parallèlement à l'axe OX. Si l'on représente graphiquement l'évolution de la coordonnée x en fonction du temps (figure.), on obtient une droite dont le coefficient angulaire correspond à la vitesse du mobile. Si la vitesse du mobile est positive, la droite sur le graphique est croissante. Cela signifie que le mobile se déplace dans le même sens que le sens positif du repère. Si la vitesse est négative, cela signifie que le mobile se déplace dans le sens négatif du repère. La position initiale est l'ordonnée à l'origine de la droite. Figure. Exemple numérique Ci-dessous sont représentées à intervalles de temps réguliers les positions d'un mobile se déplaçant à vitesse constante dans le sens des x positifs en mauve et dans le sens des x négatifs en vert. Les différentes positions occupées dans le temps peuvent être représentées graphiquement. La vitesse instantanée du mobile est égale au coefficient angulaire de la droite représentant la position en fonction du temps. Elle est également égale à la vitesse moyenne sur un intervalle de temps au choix. v= x(t=3s) x(t=1s) = 9 5 Δt 3 1 =m/ s v = x(t=3s) x(t=1s) = 1 5 Δt 3 1 = 3m/ s Connaissant la vitesse et la position initiale (à l'instant t = s), on peut alors écrire la loi de la position x (t)=x +v t=3+ t x (t)=x +v t=8 3 t La loi de la position permet de calculer la position du mobile à tout instant, par exemple à l'instant t = s x(t=s)=3+ =7m x(t =s)=8 3 =m Physique 5 e Chapitre. Le mouvement rectiligne Page /6
3. Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) 3.1 Définition Considérons un mouvement accéléré pour lequel la trajectoire est rectiligne et l accélération est constante. Ce type de mouvement est appelé mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA). Puisqu'il s'agit d'un mouvement rectiligne, un repère muni d'un axe OX parallèle à la trajectoire permet d'étudier le mouvement. Dans ce repère, les vecteurs position, vitesse et accélération auront une seule composante non nulle. 3. Loi de l accélération L accélération étant constante, sa valeur instantanée est égale à la valeur moyenne sur un intervalle de temps quelconque. On a a=a m = v t =constante (.9) La représentation graphique de l'accélération en fonction du temps est une droite horizontale. 3.3 Loi de la vitesse La relation permet de déterminer la loi de la vitesse. Si nous considérons la variation de vitesse entre l'instant initial t et l'instant t quelconque, a= v t = v t v t t t (.1) Notons v la vitesse à l'instant initial et supposons que l'instant initial est nul, nous avons alors Figure.3 Accélération ou décélération? Dans le chapitre précédent consacré à l étude du mouvement rectiligne uniforme nous avons vu que la vitesse est considérée comme positive lorsque le mobile se déplace dans le sens du système de référence et négative dans le cas contraire. Pour l accélération, quelle est la signification du signe? Pour répondre à cette question considérons les 4 graphiques ci-dessous représentant la vitesse en fonction du temps de 4 mobiles animés d un mouvement rectiligne uniformément accéléré. 3 5 1 5 1 5-5 - 1-1 5 - - 5-3 a= v(t) v t (.11) En isolant v (t) dans cette dernière relation, nous obtenons la loi de la vitesse donnant l'évolution de la vitesse dans le temps v t =v a t (.1) 3 5 1 5 1 5-5 - 1-1 5 - - 5 La représentation graphique de la vitesse en fonction du temps est une droite dont l'accélération est le coefficient angulaire (voir figure 3.3). La droite est donc croissante lorsque l'accélération est positive et décroissante lorsque l'accélération est négative. La vitesse initiale est l'ordonnée à l'origine de la droite. Dans les deux premiers cas l accélération est de m/s² : on observe que la vitesse augmente avec le temps. Mais dans le second cas, l intensité de la vitesse diminue. Dans les deux derniers cas l accélération est de m/s² : on observe que la vitesse diminue avec le temps. Mais dans le dernier Physique 5 e Chapitre. Le mouvement rectiligne Page 3/6
cas l intensité de la vitesse augmente avec le temps. Nous retiendrons donc que si l accélération est positive la vitesse augmente et inversement si l accélération est négative. Mais cela ne signifie pas nécessairement que l intensité de la vitesse augmente ou diminue..4 Loi de la position Pour trouver comment la position varie dans le temps nous aurons recours à des considérations géométriques. Supposons dans un premier temps que la vitesse du mobile varie non pas de manière régulière comme sur les graphiques de la figure.3, mais par paliers comme le montre la figure.4. Ce mouvement n'est pas réaliste mais permet d'approcher le mouvement réel. Figure.5 Donc le déplacement du mobile entre les instants et t est égal à la surface de ce trapèze. Δ x=surface du trapèze ( grande base+ petite base) hauteur Δ x= Δ x= (v +v(t )) t (.13) En remplaçant v (t) par son expression tirée de (.1) on obtient Figure.4 Le déplacement effectué par le mobile entre deux changements de vitesse (sur un palier) est égal au produit de l intervalle de temps et de la vitesse constante du mobile pendant ce palier. Il est donc égal à la surface du rectangle se trouvant sous le palier. Donc le déplacement du mobile entre les instants et t est égal à la somme des surfaces des rectangles compris entre les instants et t. Si nous supposons que le mobile effectue des paliers de plus en plus petits, le mouvement sera de plus en plus proche du mouvement réel et finalement, la somme des surfaces des rectangles sera égale à la surface du trapèze hachuré sur la figure.5. x= v v a t t x=v t 1 a t (.14) Comme la coordonnée du mobile à l instant t est égale à la coordonnée du mobile à l instant initial plus le déplacement effectué par le mobile entre ces instants, nous obtenons finalement x t =x v t 1 a t (.15) Cette dernière expression correspond à une fonction du second degré. La représentation graphique de la position en fonction du temps est donc un morceau de parabole comme le montre la figure (.6). Si l'accélération est positive la concavité de la parabole est tournée vers le haut, si l'accélération est négative, la concavité de la parabole est tournée vers le bas. Physique 5 e Chapitre. Le mouvement rectiligne Page 4/6
Dans le chapitre suivant nous verrons que ces lois permettent de décrire un assez grand nombre de mouvements réels tels que ceux liés à la chute des corps lorsque les frottements sont négligeables. Figure.6 Les lois (.9), (.1) et (.15) reprises ci-dessous sont les lois du mouvement rectiligne uniformément accéléré (M.R.U.A) lorsque l'instant initial est nul. Elles nous indiquent comment l accélération, la vitesse et la position d un mobile évoluent dans le temps. a=a m = v t =constante v(t )=v +a t x t =x v t 1 a t Dans le cas où l'accélération est nulle, ces lois sont celles du M.R.U. Dans le cas où l'instant initial est non nul ces lois s'écrivent a=a m = v t =constante v(t)=v +a (t t ) x (t)=x +v (t t )+ 1 a (t t ) Physique 5 e Chapitre. Le mouvement rectiligne Page 5/6
Exemple numérique Considérons le mouvement d'une bille roulant sur un plan incliné et lâchée sans vitesse initiale. En choisissant correctement la pente, la bille sera animée d'un M.R.U.A dont l'accélération est de 1 m/s. Dans un repère parallèle à la pente, orienté positivement vers le bas de la pente et ayant pour origine l'endroit où la bille est libérée, les lois du mouvement s'écrivent de la manière suivante. Loi de l'accélération: a t =1 (m/s ) Loi de la vitesse: v t =v a t= 1 t=t (m/s) Loi de la position : y(t)= y +v t+a t =++1 t y(t )= t (m) Les évolutions dans le temps de la vitesse et de la position sont représentées graphiquement ci-dessous. Sur la figure ci-dessous sont représentées les positions et les vitesses de la bille toutes les,5 s. Physique 5 e Chapitre. Le mouvement rectiligne Page 6/6