Le théorème des deux fonds et la gestion indicielle

Le théorème des deux fonds et la gestion indicielle Philippe Bernard Ingénierie Economique& Financière Université Paris-Dauphine mars 2013 Les premiers fonds indiciels futent lancés aux Etats-Unis par la banque W F, à l initiative de l un de ses principaux dirigeants, W F, un professionnel pionnier de la finance quantitative, et de deux de ses conseillers scientifiques : W F. S et F B. Dans cette innovation, ils furent inspirer par la littérature empirique et théorique sur la marche aléatoire et aussi par un curieux résultat de la théorie du portefeuille: le théorème des deux fonds. T [Tob58]puisS[Sha64]ontétendulathéorieduportefeuilledeM - de deux manières en ajoutant un actif sans risque. Cette modification apparemment anodine a comme conséquence de faire apparaître comme optimale la gestion passive. Le résultat démontrant cela est le théorème des deux fonds. On présente tout d abord ce résultat dans un cadre ne comprenant que deux actifs risqués avant de l étendre à un cadre en comportant un nombre arbtraire. F. 1 William Fouse, William Sharpe et Fischer Black 1

1 Le cadre 1.1 L héritage de Markowitz LecadreduthéorèmedesdeuxfondsestceluidelathéorieduportefeuilledeMarkowitz avec un ajout. Par conséquent, là aussi, les agents construisent leurs portefeuilles à une périodedonnée(t=0parexemple)etlesdébouclentplustard(parexempleàlamême période t = T > 0). Ces investisseurs continuent à faire un arbitrage entre le risque (résumé par les écart-types des rendements) et le gain (resprésenté par les rendements espérés). Les préférences sont supposées représentées par une fonction quadratique que l onsupposeraicidelaforme: V =Er p γ 2 σ2 p (1) où: Er p estlerendementespéréduportefeuille; γestlecoefficientd aversiondel agentconsidéré; σ 2 p estlavariancedesrendementsduportefeuille. Remarque 1 Economiquement, la fonction V définit un rendement corrigé du risque; en effet, le rendement espéré du portefeuille (Er p ) est diminué d un montant proportionnel à la variance des rendements. Si leγ est très faible (si l agent est peu sensible au risque), cet impact sera faible. Si l aversion a très averse au risque (si γ est très élevé) alors le rendement corrigé du risque sera très différent du rendement espéré. Exemple 1 Ainsi par exemple si le portefeuille a des performances comparables à celles du marché action des pays développés (USA, UK, France notamment) au XXe siècle, alors approximativement Er p 10%, σ p =15% et donc on aura : V =10% γ 2 (15%)2 =10% γ 1.125% Les études en finance ou en microéconomie ont permis de mieux cerner les valeurs possibles de γ. Des valeurs de 2 ou3sont souvent apparues comme des valeurs moyennes. Des valeurs de γ comprises entre 5 et 10 apparaissent en génral comme des valeurs représentatives de populations très risquophobes. Des valeurs autour de 1 sont a contrario 2

réprésentatives de comportements joueurs. Le tableau ci-dessous donne les valeurs du rendement corrigé du risque pour les différentes valeurs de γ : γ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 V 8.875% 7.5% 6.625% 5.5% 4.375% 3.25% 2.125% 1% 0.125% 1.25% coût du 1.125% 2.5% 3.375% 4.5% 5.625% 6.75% 7.875% 9% 10.125% 11.25% risque Pour γ égal à 3, le risque impose un coût équivalent au 1/3 du rendement, pour γ égal à 4 on est quasiment à la moitié, à 8 à pratiquement 100%! L impact du risque sur la performance est donc très non-linéaire et varie assez rapidement. En conséquence, pour un investisseur moyen ayant unγ de3, même si le rendement espéré est de10%; le risque sur un placement comme celui proposé le rend équivalent seulement à un placement certain ne rapportant que6.625%. Si son aversion venait à passer à8, un rendement sans risque de1% (moins que le livret A!) serait aussi intéressant que le placement action proposé! L objectif de chaque investisseur(de coefficient d aversion γ) est alors de maximiser la fonctionv enchoisissantlespoidsx j desdifférentstitrescomposantsonportefeuille.evidemment, le choix optimal dépend des valeurs anticipées des rendements, des volatilités, des covariances, bref des paramètres du marché. Comme dans la théorie de M, les agents sont supposés estimer sans erreur les distributions de ces rendements, et donc évaluer correctement les rendements espérés, les volatilités(i.e. écart-types) et la matrice des covariances. Sil on considère l ensemble desactifs risqués j =1,,A,on note Σ lamatrice des covariances de leurs rendements: σ 2 1 σ 1j σ 1 Σ= σ j1 σ 2 j σ j (2) σ 1 σ j σ 2 oùσ jk estlacovariancedesrendementsdesactifsj etk: j,k {1,,}:σ jk =σ( R j, R k ) (3) Naturellement, σ 2 j = σ jj = σ(r j,r j ) estla variance du rendement de l actif j. La première ligne de la matrice rassemble ainsi les covariances entre les rendements de l actif 1 3

et les rendements des titres(y compris l actif lui-même). Similairement, la j ème ligne rassemble les covariances entre les rendements de l actif j et les rendements des titres 1,2,,.Onnoteσ (j) laj èmelignedelamatricedescovariances.commelesrendementsnetsdiffèrentdesrendementsbrutsuniquementparuneconstante(r= R 1),les covariances des rendements nets sont également données par la matrice σ: j,k {1,,}:σ jk =σ( R j, R k )=σ(r j,r k ) La matrice de covariance est supposée être de plein rang et donc est supposée inversible. 1.2 L actif certain et son impact budgétaire LadifférenceentrelecadredelathéoriedeMarkowitzetceluiduthéorèmedesdeux fonds est la présence d un actif certain parmi les titres disponibles. Concrètement cet actifcertainpeutêtreassimiléàunactifmonétairedetrèscourtterme,unbondutrésor à 1 ou 3 mois par exemple. A la différence de ces actifs concrets dont la volatilité est très faible (1 ou 2% par an) mais néanmoins positive, la volatilité de l actif certain est strictement nulle. Son indice est 0 et on note donc son rendement sans ledes variables aléatoires:r 0.L hypothèsedel existenced untelactifapparaîtpeuexigeante.néanmoins elle a d importances implications. En effet, désormais la contrainte budgétaire s écrit non seulement en fonction des actifsrisquésetdeleurspoids(x j ),maisaussienfonctiondupoidsx 0 del actifcertain: x 0 + x j =1 (4) j=1 Ennotantxlevecteurcolonnedéfiniparlesdifférents x a,1levecteurcolonnedont lesacomposantessontégalesà1: x 1 1 x= x j, 1= 1 1 x alorscomme a x a=1 x,lacontraintebudgétaires écritaussisousformevectorielle: x 0 +1 x=1 (5) 4

Dans le cadre adopté, le problème de la sélection d un portefeuille s écrit initialement: max x0, (x j ) j=1 Er p γ 2 σ2 p sous la contrainte: x 0 + j=1 x j=1 Plutôt que de résoudre directement ce problème d optimisation sous contrainte, il peut être préférable de le réécrire. En effet la contrainte budgétaire permet d exprimer la position monétairex 0 enfonctiondesautres: x 0 =1 x j (6) Comme le rendement espéré du portefeuille lui s écrit initialement: Er p =x 0 r 0 + x j Er j (7) ilpeut,ensubstittuantàx 0 sonexpression,êtreréécritsuccessivement: Er p = 1 x j r 0 + x j Er j (8) j=1 j=1 j=1 j=1 Er p =r 0 x j r 0 + x j Er j (9) j=1 j=1 Er p =r 0 + x j (Er j r 0 ) (10) j=1 Cette expression du rendement espéré intègre le respect de la contrainte budgétaire. Le rendement espéré du portefeuille y apparaît constitué de deux éléménts : une base (le rendementdel investissementsansrisque,r 0 )àlaquelleviennents ajouterlesprimesde risque(er j r 0 )desplacementsrisquéspondérésparleurspoids. Comme la vairance du portefeuille: σ 2 p= x j x k σ 2 jk (11) j=1 k=1 5

ne dépend pas de l actif certain (puisque seuls les titres risqués de 1 à sont pris en compte),lasubstitutionàx 0 desonexpressionn impactepasl écrituredecettevariance. Mais désormais la fonction objectif V =r 0 + x j (Er j r 0 ) γ 2 j=1 x j x k σ 2 jk j=1 k=1 est une fonction objectif donnant la valeur de V pour tous les choix respectant la contrainte budgétaire, et donc max x 0, (x j ) j=1 donne les mêmes solutions que le programme sous contrainte: max x0, (x j ) V j=1 V sous la contrainte: x 0 + j=1 x j=1 2 Le portefeuille optimal Comme la fonction objectif V est strictement concave, les conditions nécessaires et suffisantesdelamaximisationsanscontraintedev sont: j: x j V =0 (12) Comme la dérivée de la variance d un portefeuille s écrit: ladérivéedev : j: σ 2 p x =2 x k σ ij (13) j k=1 x j V =Er j r 0 γ x k σ ij (14) Parconséquentlacpo(conditiondepremierordre)àvérifierpourchaquetitreest: Er j r 0 =γ k=1 x k σ ij (15) Cette relation comprend de part et d autre de l égalité deux termes distincts: 6 k=1

àgauchelaprimederisque(er j r 0 )quiestlegainmonétaire moyen del investissement; à droite le terme est proportionné au risque supplémentaire(2 k=1 x kσ ij )pondéré par le coefficient d aversion; économiquement il est pour l investisseur considéré l équivalent en terme de rendement du risque supplémentaire; comme évidemment il s agit d une perte pour l agent, γ k=1 x kσ ij définitpourl investissementle coût marginal du risque (en terme de rendements). Le système d équations permettant de définir le portefeuille optimal comprend donc autantd équationsqu ilyadetitresrisquésetdoncs écrit: (cpotitre1) Er 1 r 0 =γ (cpotitrej) Er j r 0 =γ k=1 x kσ 1k k=1 x kσ jk (16) (cpotitre) Er r 0 =γ k=1 x kσ k Pour déterminer le portefeuille optimal, il est intéressant de réécrire matriciellement cette condition de premier ordre, puis ce système d équation qu il définit. Pour cela, on (ré)introduit: levecteurrdesprimesdesrisques Er 1 r 0 r= Er j r 0 (17) Er r 0 levecteurxdesparts x= x 1 x j (18) x 7

la matrice des covariances Σ= σ 2 1 σ 1j σ 1 σ j1 σ 2 j σ j (19) σ 1 σ j σ 2 OnprendlaconventionqueΣ [j] désignélaj-emelignedecettematrice: Σ [j] = σ j1 σ 2 j σ j etongénéralisecettenotationàxetàr.parconséquent: x [j] = x j r [j] = Er j r 0 Aussi,lacpo: seréécrit: Er j r 0 =γ x k σ jk (20) k=1 r [j] =γσ [j] x puisque: x k σ jk = k=1 σ j1 σ 2 j σ j x 1 x j = Σ [j] x x Le système d équations se réécrit ligne après ligne de la manière suivante: (cpotitre1) r [1] =γσ [1] x (cpotitre1) r [2] =γσ [2] x (cpotitre1) r [3] =γσ [3] x (cpotitrej) r [j] =γσ [j] x (cpotitre) r [] =γσ [] x (21) 8

Côtégauchedusigneégal,onsecontented empilerleslignesderdej=1àj=, etdoncdereconstituerr.côtédroit,γapparaîtàchaqueligneetpeutdoncêtremisen facteur. De même que x. Reste les lignes Σ [j] que l on empile aussi de la première à la dernière.parconséquent,onreconstitueàdroitelamatriceσ.onadonc: r [1] =γσ [1] x r [2] =γσ [2] x r [3] =γσ [3] x r=γσx (22) r [j] =γσ [j] x r [] =γσ [] x Si l on suppose que la matrice carré Σ admet un inverse alors en prémultipliant la dernière partiepar 1 γ Σ 1 ona: r=γσx 1 γ Σ 1 r= 1 γ γσ 1 Σx 1 γ Σ 1 r=x etdoncleportefeuilleoptimalestdonnépar: x= 1 γ Σ 1 r (23) Dans cette expression, apparaissent jouer deux types de variables: le paramètre propre à l investisseur, son aversion par rapport au risque(γ); les paramètres du marché(les rendements espérés(r) et les covariances(σ)). Ces paramètres de marché définissent un vecteur qui a autant de composantes qu il yadetitresrisqués,i.e..parconséquentcevecteurσ 1 restaussiunportefeuillede marché dont les poids sont composantes du vecteur. Pour illustrer ce résultat supposons que l on ait 2 titres risqués, que les rendements soient: r 0 =2%, Er 1 =10%, Er 2 =6% que les volatilités des deux titres soient: σ 1 =16%, σ 2 =10% et que la corrélation entre les deux titres risqués soit 0.5. 9

Remarque 2 Grosso modo les paramètres choisis font que le titre 1 est représentatif du marché action, le titre2du marché obligataire si l on se réfère à l historique du XXe siècle des pays développés (USA, UK, FR notamment). Sa matrice de covariances s écrit alors: (0.16) 2 0.5(0.16)(0.1) Σ = 0.5(0.16)(0.1) (0.1) 2 0.0256 0.008 = 0.008 0.01 dont l inverse est: 52.083 41.667 Σ 1 = 41.667 133.33 Levecteurdesprimesderisquequantàluis écrit: 10% 2% 8% r= = 6% 2% 4% Onaalors: 52.083 41.667 0.08 Σ 1 r = 41.667 133.33 2.5000 0.04 = 1.9998 Σ 1 rdéfinitdoncunportefeuilleoùl onseraitlongsurlesdeuxtitres,àhauteurde2500% surletitre1,àhauteurde2000%surletitre2.enfonctiondel aversionaurisque,on obtient différentes pondérations dont le tableau et le graphique ci-dessous retracent les évolutions: portef aversion 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 actif certain -350,0% -200,0% -125,0% -80,0% -50,0% -28,6% -12,5% 0,0% 10,0% actif 1 250,0% 166,7% 125,0% 100,0% 83,3% 71,4% 62,5% 55,6% 50,0% actif 2 200,0% 133,3% 100,0% 80,0% 66,7% 57,1% 50,0% 44,4% 40,0% 10

300,0% 200,0% 100,0% 0,0% -100,0% -200,0% 0 1 2 3 4 5 6 actif certain actif 1 actif 2-300,0% -400,0% 3 Le portefeuille indiciel de référence Comme on l a vu le portefeuille risqué varie ici selon l aversion au risque. Mais ce portefeuille est mesuré par rapport à la richesse totale de l investisseur. Si x j = 10%, ceciindiquequenotreinvestisseuraplacé10%desarichessetotalesur j.maisonpeut s intéresseraupoidsz j dutitrej parrapportàl investissementtotalréalisésurlesseuls actifs risqués: x j z j = j=1 x (24) j Cepoidsz j peutaussiêtreassimiléaupoidsdejdanslesplacementsboursiers.cespoids z j définissentaussileportefeuillezcomplètementinvestiassociéàx: complètement investi car sa position monétaire(ou en cash) est nulle x j z 0 =1 z j =1 j=1 x = ( j=1 x j) j=1 j j=1 x =0 j z j = j=1 associéàxcarcedernierdéfinidirectementsespoids x z 1 1 1 T x x j j=1 x j z= x 1 T x j=1 = x j 1 T x z j = 11 z x j 1 T x x 1 T x = 1 1 T x x 1 x x j

Dans notre exemple numérique, on aurait donc le tableau et le grahique ci-dessous: aversion 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 x0-350,0% -200,0% -125,0% -80,0% -50,0% -28,6% -12,5% 0,0% 10,0% z1 55,6% 55,6% 55,6% 55,6% 55,6% 55,6% 55,6% 55,6% 55,6% z2 44,4% 44,4% 44,4% 44,4% 44,4% 44,4% 44,4% 44,4% 44,4% 100,0% 50,0% 0,0% -50,0% 0 1 2 3 4 5 6-100,0% -150,0% -200,0% x0 z1 z2-250,0% -300,0% -350,0% -400,0% Onvoitapparaîtrelemêmeportefeuilleboursierdansles3cas!!!Cecin estpasunhasard. En effet si l on reprend l expression générale du portefeuille optimal alors: etdonc: x= 1 γ Σ 1 r (25) γ Σ 1 r z= x 1 1 T x = 1 γ 1T Σ 1 r etdoncaprèséliminationdeγ audénominateuretaunumérateurona: z= Σ 1 r 1 T Σ 1 r (26) Comme on le voit z est lui totalement indépendant de γ et tout paramètre définissant l individu(sarichesse,sonâge,etc.).znedépendqueduparamètredemarché:lesprimes de risque et les covariances. Il est donc normal qu aux différents portefeuilles(en fonction de γ) de l exemple numérique ne corresponde qu un seul et même portefeuille boursier. Mais ceci signifie aussi que le processus d allocation se réalise comme si: 12

dans une première étape chaque agent choisissait le partage entre le cash et la bourse,i.e. x 0,cedernierdépendantdel aversionaurisquecommeonl avudans notre exemple; puisayantdéterminéceparamètre,tousinvestissent1 x 0 deleurrichessedansle même portefeuille boursier z. Ceprocessusendeuxtempsestd ailleursimplicementcontenudansl écrituredes z j puisque: x j z j = j=1 x = x j x j =(1 x 0 )z j (27) j 1 x 0 Pour l asset management, ce résultat a une conséquence dramatique: pour réaliser une allocation optimale, il suffit de proposer aux investisseurs deux produits et seulement deux produits- le produit monétaire et le portefeuille z. Ceci constitue le théorème des deux fonds. Comme ce dernier est le même pour tous, il constitue un portefeuille de référence, un indice qu un fond peut chercher à réaliser à tout moment en prenant en compte les paramètres du marché pour en déterminer les poids du portefeuille) détenir. Ceci constitue donc l une des justifications de la gestion indicielle. 4 Il est impossible de battre le marché Le ratio de Sharpe est sans conteste l une des mesure de performance les plus utilisées dans le monde professionnel. Sa définition n en est pas moins très simple: Définition 1 Le ratio de Sharpe d un portefeuille, d un produit financier, d un fond ou d un gérant est le rapport de la prime de risque à la volatilité, i.e. (Er,σ), le ratio de Sharpe de ce couple rendement volatilité est : S= Er r 0 σ LeratiodeSharpeestunemesuredeperformancecorrigéedurisque.Ellemesureen effetletauxauquelesttransforméenmoyennelerisqueenrendement.unratiodesharpe de0,5(correspondantassezbienàceluidumarchéactionàlongterme,dumoinssurles données du XXe siècles des prinpaux marchés des pays développées(usa, UK, FR, etc.)) exprimeeneffetlefaitquechaquepointde%derisqueesttransforméen1/2pointde% de rendement. Ce ratio s est imposé comme l une des principales mesures de performance car il permet notamment de neutraliser l impact des effets de levier dans l appréciation de la performance d un gérant. 13 (28)

Supposonseneffetqu ungérantàlongtermesoitàmêmeeninvestissantsurlemarché d obtenir un rendement espéré de 10% pour une volatilité de 16% - le taux sans risqe étant de 2%. S il gère son fond en ne créant aucun endettement, en proportionnant son investissementàsacollecte,ilseraàmêmedeverserunrendementr f àsesclientsdonné parlacontraintebudgétairedesonfond: 100% r p =100% r f (29) où le côté gauche est le revenu net de l actif (composé à 100% du portefeuille dont le rendementestr p ),lecôtédroitreprésentelesrevenusversés(icià100%auxclients).par conséquent,icicommer f =r p,lesrevenusversésauxclientsaurontlamêmeespéranceet la même volatilité que celles du portefeuille du gérant. Par contre supposons que le gérant décidedefairejouerleseffetsdelevierencréantalorsunpassifdufondcomposéà90% d endettement (au taux r 0 ) et à 10% des fonds collectés, alors la contrainte budgétaire s écrit désormais: Alorslerendementverséauxclientsdufondsera: 100% r p =10% r f +90% r 0 (30) r f =r 0 +10 (r p r 0 ) (31) Enmoyennedonc,lesclientsvontrecevoirunrendementégalautauxcertainr 0 augmenté d uneprimederisqueégalà10foiscelleduportefeuillegéréparleclient.aulieudercevoir unrendementespéréde10%commeauparavant,chaqueclientvarecevoir82%!!!good news. Pourtant legérantesttoujours lemême :niplusnimoins talentueux, niplusni moins chanceux. Malheureusement, ce rendement espéré s accompagne d un risque lui aussi démultiplié puisque: r f =r 0 +10 (r p r 0 ) σ(r f )=10 σ(r p ) (32) Lavolatilitéadoncétémultipliépar10!Cetimpactentrompel oeildeseffetsdelevier auraitpuêtreévitésil onavaitutiliserleratiodesharpe.eneffet,sanseffetdelevier, avec 100% de capital, comme Er f = Er p et σ f = σ p, on aurait eu comme mesure de performance alors: S f (100%)= Er f r 0 σ f = Er p r 0 σ p Silapartducapitaln estquede10%alors: =S p S f (10%)= Er f r 0 σ f = 10 (Er p r 0 ) 10 σ p =S p 14

puisqueer f =r 0 +10 (Er p r 0 )etσ f =10 σ p.danslesdeuxcas,onremarqueune propriété fort intéressante: Propriété 1 Le ratio de Sharpe du rendement perçu par les clients d un fond est invariant au levier d endettement du fond et égal au ratio de Sharpe de son portefeuille d investissement. Dans le cas général en effet si l on note L la part de l endettement au passif, la contrainte budgétaire s écrit: 100% r p =(1 L) r f +L r 0 (33) etdonc: etdonceneffet: S f = Er f r 0 σ f = r p r 0 =(1 L)(r f r 0 ) 1 (Er 1 L p r 0 ) 1 1 L σ = Er p r 0 =S p (34) p σ p Une dernière conséquence des résultats précédents sur les portefeuilles optimaux porte sur les performances des gérants. En effet, comme tout portefeuille optimal à équivalent à un portefeuille comprenant le cash et le portefeuille z précédemment défini, on a que pour toutaversiond aversionaurisqueγilexisteuneproportionx 0 (γ)tellequelerendement espéré(er p )etlavolatilité(σ p )desonportefeuilleoptimalsontdonnéspar: Puisque la première équation nous donne aussi: Er p =x 0 (γ)r 0 +(1 x 0 (γ))er Z (35) σ p = 1 x 0 (γ) σ z (36) Er p r 0 =(1 x 0 (γ))(er Z r 0 ) (37) en supposant(sans grande perte de généralité)que x 0 1, si l onfaitle rapport de la primederisqueàlavolatilitéona: Er p r 0 σ p = (1 x 0(γ))(Er Z r 0 ) (1 x 0 (γ))σ z = Er Z r 0 σ z (38) Le premier et le dernier termes correspondent aux ratios de Sharpe du portefeuille optimal et du portefeuille z. 15

35,00% 30,00% 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% CML actif certain indice 5,00% 0,00% 0,00% 10,00% 20,00% 30,00% 40,00% 50,00% 60,00% F.2 Les relations(38) reviennent donc à établir que tous les portefeuilles optimaux ont le mêmeratiodesharpe:celuiduportefeuillederéférence(z).comme: Er p r 0 σ p =S Z (39) on peut exprimer pour chaque portefeuille optimal son rendement espéré en fonction de sa volatilité: Er p =r 0 +S Z σ p (40) L ensemble des portefeuilles appartiennent donc dans le plan(volatilité, rendement espéré) à la même droite; de pente S Z, passant par les points définis par l actif certain et par le portefeuille z (comme le suggère le graphique 2). Cette droite qui comprend tous les portefeuilles optimaux et dont tous les portefeuilles sont optimaux est appelée la Capital Market Line (CML). Par contradiction, on peut aussi montrer que sa valeur est la plus grande possible sur lemarché.eneffet,sicelan étaitpaslecas,ilexisteraitunportefeuillepdontleratiode Sharpe serait supérieur: S p >S Z et cela impliquerait que: Er p r 0 σ p 16 >S Z

16,00% 14,00% 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% Sz Sp 4,00% 2,00% 0,00% 0% 5% 10% 15% 20% F.3 Maiscommececinousdonne: Er p >r 0 +S Z σ p (41) le portefeuille seraitau-dessus de lacml. Etdonc en lecombinantàl actif certain on obtiendrait la droite issue du point (0,r 0 ) et passant par le portefeuille p, une droite supérieure à la CML dans le plan (volatilité, rendement espéré) comme illustré sur la figure 3. Mais si cela était il serait possible pour chaque point de la CML, donc pour chaque portefeuille optimal, de trouver un autre portefeuille de même risque mais de rendement espéré supérieur. L utilité de l investisseur étant nécessairement supérieure, ceci contredirait l optimalité de chaque point de la CML. Par conséquent, il est impossible detrouveruntelportefeuillepdontleratioseraitsupérieuràs z,etdoncs z estleratio de Sharpe maximal. Lapermetdoncdedéfinirunlieuderéférenceparrapportà laquelle on pourra évaluer la performance des gérants. En théorie, aucun point ne devrait dominer cette droite. Au mieux les gérants sur cette droite. Car il est impossible de battre le marché. Mais toute règle admet des exceptions 17

Références [Sha64] W. Sharpe,(1964). Capital asset prices: a theory of market equilibrium under condition of risk. ournal of Finance, septembre 1964. [Tob58]. Tobin,(1958). Liquidity preferences as behavior toward risk. Review of Economic Studies, 25:65 86, 1958. 18