Correction du sujet du Brevet des Collèges Pondichéry Avril 2015. Exercice n 1 : Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chaque ligne du tableau, une seule affirmation est juste. Sur votre copie, indiquer le numéro de la question et recopier l affirmation juste. On ne demande pas de justifier. Question n 1 : )x 1* 2 =x 2 2 x 1&1 2 =x 2 2 x&1 donc réponse B Question n 2 : On teste chacune des propositions. 2 0 2 &3 0 2=0&0 2= 2 donc 0 n'est pas solution de 2 x 2 &3x 2=0. 2 2 2 &3 2 2=2 4&6 2=8&6 2=12 donc 2 n'est pas solution de 2 x 2 &3x 2=0 2 ) 2* 2 &3 ) 2* 2=2 4 6 2=8 6 2=0 donc -2 est solution de 2 x 2 &3x 2=0. C'est donc la réponse C. Question n 3 : On doit résoudre l'équation 3 x&2= 7
3 x&2 2= 7 2 3 x= 9 3x 3 = 9 3 x= 3 c'est donc la réponse B. Question n 4 : Lors d'un agrandissement les mesures des angles restent inchangées, seules les longueurs des segments sont multipliées par le coefficient d'agrandissement. On observe donc un angle de 18 (Réponse C). Question n 5 : C'est la réponse A ( = A2^2+7) Exercice n 2 : Un chocolatier vient de fabriquer 2 622 œufs de Pâques et 2 530 poissons en chocolat. Il souhaite vendre des assortiments d œufs et de poissons de façon que : tous les paquets aient la même composition ; après mise en paquet, il reste ni œufs, ni poissons. 1. Le chocolatier peut-il faire 19 paquets? Justifier. 2. Quel est le plus grand nombre de paquets qu il peut réaliser? Dans ce cas, quelle sera la composition de chaque paquet? 1) 2622=19 138 mais 2530=19 133&3 Il ne peut réaliser 19 paquets car 19 n'est pas un diviseur de 2530 ( il restera des poissons en chocolat). 2) Le plus grand nombre de paquets qu'il peut réaliser est le plus grand diviseur commun aux nombres 2622 et 2530. Calculons le PGCD(2622; 2530) à l'aide de l'algorithme d'euclide. A B R (reste de la division euclidienne de A par B) 2622 2530 92 2530 92 46 92 46 0 D'où PGCD(2622;2530)=46. Le plus grand nombre de sachets qu'il peut réaliser est donc 46.
Chacun de ces sachets sera composé de 2622 : 46 = 57 œufs en chocolat et de 2530 : 46 = 55 poissons en chocolat. Exercice n 3 : Peio, un jeune Basque décide de vendre des glaces du 1er juin au 31 août inclus Hendaye. Pour vendre ses glaces, Peio hésite entre deux emplacements : une paillotte sur la plage à une boutique au centre-ville. En utilisant les informations ci-dessous, aidez Peio à choisir l emplacement le plus rentable. On rappelle que le mois de juin comporte 30 jours et les mois de juillet et août comportent 31 jours. Toute piste de recherche même non aboutie, sera prise en compte dans l évaluation. Utilisation de l'information n 1 : Coût du loyer d'une paillotte du 1er juin au 31 Août (soit trois mois) : 2500 3=7500. Coût du loyer d'un boutique au centre-ville du 1er juin au 31 Août (soit 30+31+31=92 jours) : 92 60=5520 Utilisation de l'information n 2 : Calcul du nombre de jours ensoleillés du 1er juin au 31 Août : 75% de 92 jours correspondent à 75 75 92 92= 100 100 =69 jours. Calcul du nombre de jours pluvieux ou nuageux du 1er juin au 31 Août : 92 69 = 23 jours
Utilisation de l'information n 3 : Prévision de la recette des ventes pour une paillotte du 1er juin au 31 Août : 500 69&50 23=34500&1150=35650 Prévision de la recette des ventes pour une boutique au centre-ville du 1er juin au 31 Août : 350 69&300 23=24150&6900=31050. Calcul du bénéfice pour une paillotte du 1er juin au 31 Août : 35650 7500 = 28150 Calcul du bénéfice pour une boutique au centre-ville du 1er juin au 31 Août : 31050 5520 = 25530. Le plus rentable pour Peio est de choisir une paillotte. Exercice n 4 : «aire de base» «hauteur» 1) V)SABCD*= 3 A)ABC*= AB AC 2 = 7,5 7,5 = 56,25 2 2 =28,125 cm 2. Donc V)SABCD*= 28,125 15 3 = 421,875 =140,625 cm 3 soit environ 141 cm 3. 3
2) a) La section plane d'une pyramide par un plan parallèle à sa base à la même nature que celle de la base : donc ici S'MN est un triangle isocèle rectangle en S'. b) On se place dans le triangle SAC : S' [SA] et N [SC] et (S'N) //(AC) d'après la propriété de Thalès on a : SS ' SA = SN SC = S'N AC 6 15 = SN SC = S'N 7,5 donc S'N= 7,5 6 15 = 45 15 =3 cm. 3) Le bouchon est une réduction de la grande pyramide, son volume est donc égal à k 3 V )SABCD* où k désigne le coefficient de réduction. Ici k= SS ' SA = 6 15 =0,4 donc le volume du bouchon est égal à : 0,4 3 140,625=0,064 140,625=9 cm 3 d'où le volume maximale de parfum de la bouteille : 140,625 9 = 131,625 cm 3. Exercice n 5: Un jeu télévisé propose à des candidats deux épreuves : Pour la première épreuve, le candidat est face à 5 portes : une seule donne accès à la salle du trésor alors que les 4 autres s ouvrent sur la salle de consolation. Pour la deuxième épreuve, le candidat se retrouve dans une salle face à 8 enveloppes. Dans la salle du trésor : 1 enveloppe contient 1 000, 5 enveloppes contiennent 200. Les autres contiennent 100. Dans la salle de consolation : 5 enveloppes contiennent 100 et les autres sont vides. Il doit choisir une seule enveloppe et découvre alors le montant qu il a gagné. 1. Quelle est la probabilité que le candidat accède à la salle du trésor? 2. Un candidat se retrouve dans la salle du trésor. a. Représenter par un schéma la situation. b. Quelle est la probabilité qu il gagne au moins 200? 3. Un autre candidat se retrouve dans la salle de consolation. Quelle est la probabilité qu il ne gagne rien? 1) P= 1 5 =0,2
2) a) b) On appelle A l'évènement: «Le candidat gagne au moins 200». p)a*=p)1000*&p)200*= 1 8 & 5 8 = 6 8 =0,75 3) Soit B l'évènement «le candidat ne gagne rien». p)b*= 3 8 =0,375 Exercice n 6 : [AB] est un segment de milieu O tel que AB = 12 cm. Le point C appartient au cercle de centre O passant par A. De plus AC = 6 cm. L angle ( ABC mesure 30. 1. Construire la figure en vraie grandeur. 2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier. a. Le triangle ABC est rectangle. b. Le segment [BC] mesure 10cm. c. L angle ( AOC mesure60. d. L aire du triangle ABC est 18 '3 cm 2. e. L angle ( BOC mesure 31. Allure de la figure : a) Vraie car : Le triangle ABC est un inscrit dans le cercle de diamètre [AB]
b) On applique la propriété de Pythagore à ce triangle ABC rectangle en C. On a AB 2 =AC 2 &BC 2 12 2 =6 2 &BC 2 144=36&BC 2 BC 2 =144 36 BC 2 =108 BC='108 BC=6'3 10 donc l'affirmation est fausse. or '108='36 3='6 2 3='6 2 '3=6'3 c) L'angle ( AOC est un angle au centre correspondant à l'angle inscrit ( ABC, il mesure donc le double de l'angle ( ABC soit 30 2=60. L'affirmation est vraie. d) A)ABC*= AC BC 2 L'affirmation est vraie. = 6 6 '3 = 36 '3 2 2 =18'3 cm2. e) Affirmation fausse. On a vu que ( AOC = 60 et ( AOB est un angle plat. De plus ( AOB = ( AOC& ( COB donc ( COB = 180-60 = 120 Exercice n 7 : Trois triangles équilatéraux identiques sont découpés dans les coins d un triangle équilatéral de côté 6 cm. La somme des périmètres des trois petits triangles est égale au périmètre de l hexagone gris restant. Quelle est la mesure du côté des petits triangles? Toute trace de recherche, même non aboutie, figurera sur la copie et sera prise en compte dans la notation. On appelle «x» la longueur du côté des petits triangles.
On a alors : HD = FE = IG = 6 2x Périmètre d'un petit triangle : 3x Périmètre de l'hexagone gris : HD&HI&IG&GE&FE&FD=3 )6 2 x*&3 x=3 6 3 2 x&3 x=18 6 x&3 x=18 3 x On doit avoir 3 3 x=18 3x On résout l'équation 9 x=18 3x 9 x&3x=18 3 x&3x 12 x=18 12x 12 = 18 12 x = 1,5 cm.