CORRIGE EXERCICE 1 [2 points = 0,25 7 + 0,25 suivant qu'une définition est donnée ou pas] Définition 1 Un nombre décimal est un nombre rationnel (une fraction) qui peut s écrire sous la forme d une fraction décimale (avec une puissance de 10 au dénominateur) Définition 2 Un nombre décimal est un nombre dont l écriture fractionnaire irréductible est de la forme = = = 0,4 ; " n'a pas d'écriture décimale, on ne peut écrire 7 comme le produit d'une puissance de 2 par une puissance de 5 ; 0,33 est un nombre décimal ; 3 est un nombre entier donc un nombre décimal car les nombres entiers font partie de l'ensemble des nombres décimaux ; = : = = " ": " = 2,2 ; "# = = = "" = 0,04 ; " ; 55 = 5 11 or ni 11 ni 5 ne divisent 29 ; la fraction est donc irréductible. Son dénominateur étant divisible par un autre nombre que 2 ou 5, la fraction n'est pas un nombre décimal. (on pouvait aussi diviser et remarquer que le résultat donné par la calculatrice : 0,5272727 pouvait s'écrire 0,527 qui est l'écriture d'un rationnel mais pas d'un décimal) Elisabeth REBILLARD AFADEC Droits de reproduction réservés 1
EXERCICE 2 [2 points = 0,5 4] a) A l'aide d'une lecture graphique, on trouve 150 kg puis 240 kg. b) La fonction m est une fonction affine ; en général, la lecture de l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées donne la valeur de b mais ici, l'échelle ne peut qu'indiquer que cette valeur est proche de 100. On va donc devoir calculer : a = = "#"# = 0,9 ; on trouve b en remplaçant par a par 0,9, x "#" par 50 et y par 150 (par exemple) dans l'égalité : = " + : 150 = 0,9 50 + " = 105. l'expression algébrique de la fonction affine est () = 0,9 + 105. (le symbole représente une différence) c) b est la masse du container vide : 105 kg. d) 1 litre d'huile pèse 0,9 kg (le coefficient directeur a). EXERCICE 3 [3 points = 0,5+ + +, ] Les indications en italique sont données à titre explicatif 1. Un prix qui subit une augmentation de 25 % est multiplié par 1,25 (1 + " "" ) Un prix qui subit une baisse de 20 % est multiplié par 0,8 (1 " "" ) Nouveau prix : 120 (120 1,25 0,8 = 120) 2. a) On aura 120.(1+ )(1- ) = 120 "" "" donc, en divisant chaque terme par 120 : (1+ et par suite ( "" "" )( "" "" ) = 1 )(1- ) = 1 "" "" les deux facteurs sont inverses l'un de l'autre puisque leur produit est égal à 1 donc : "" "" = "" "" et (100 + )(100 ) = 10 000 (produit en croix) Elisabeth REBILLARD AFADEC Droits de reproduction réservés 2
10 000+100 100 " = 10 000 (on développe) 100 + " = 100 100 + = 100 (on factorise par y) et donc = "" "". b) on a tapé : "=100*B1/(B1+100)" (ne pas oublier les parenthèses autour du dénominateur) Dans un tableur, on multiplie à l'aide de la touche "*", on divise à l'aide de la touche "/" ; pour mettre au carré ou au cube, on utilise la touche "^" (et pas le "carré² qui est en haut à gauche du clavier). la fonction qui à associe = "" "" proportionnalité. n'est pas une fonction linéaire, il n'y a donc pas c) = 40. Donc on remplace y par 40 dans la formule de la question a), puis on résout l'équation d'inconnue x 40 = "" donc 100 = 4 000 + 40 puis 60 = 4 000 "" on trouve = "" ; le pourcentage de hausse est d'environ 66,7 %. Elisabeth REBILLARD AFADEC Droits de reproduction réservés 3
PROBLEME [5 points = 5 1] 1. On sait que C et D sont symétriques respectivement de A et B par rapport à F et la symétrie centrale conserve les longueurs, donc " = " et " = ". On sait que ABF est un triangle équilatéral donc AF = FB (= AB) donc AC = BD. Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu et sont de même longueur alors c'est un rectangle. Donc ABCD est un rectangle. 2. a) On sait que (EF) est perpendiculaire à (AC) et que F est le milieu de [AC]. Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu alors c'est la médiatrice de ce segment. Donc (EF) est la médiatrice de [AC] Si un point est sur la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Donc EC = EA, et ainsi le triangle AEC est isocèle en E. Le triangle ABF étant équilatéral, ses angles mesurent chacun 60. Elisabeth REBILLARD AFADEC Droits de reproduction réservés 4
Les droites (AD) et (BC) sont parallèles (ABCD est un rectangle) donc les angles alternes- internes "# et "# ont la même mesure. Donc " = 60 et le triangle AEC, qui a un angle de 60 est équilatéral. b) BF = FC = ABC est un rectangle) donc le triangle BFC est isocèle en F. "# = "# "# = 90 60 = 30 donc "# = "# = 30. Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180. Donc "# = 180 2 30 = 120. c) La droite (AD) est perpendiculaire à (CE) (angle droit du rectangle ABCD). Donc (AD) est la hauteur issue de A du triangle ABC. Comme le triangle AEC est équilatéral, la hauteur est aussi médiane, donc D est le milieu de [CE]. d) On sait que (AB) est parallèle à (CD) (côtés opposés du rectangle ABCD) et que " = " = ". Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme. Donc ABDE est un parallélogramme. 3.a) Si " = alors " = " = " = " = " =. " = 2. On sait que FEC est un triangle rectangle en F ; on peut donc appliquer le théorème de Pythagore donc : "² = "² + "² "² = 4² ² EF² = 3a EF = 3. Elisabeth REBILLARD AFADEC Droits de reproduction réservés 5
On sait que ABC est un triangle rectangle en B (angle droit du rectangle ABCD) ; on peut donc appliquer le théorème de Pythagore donc : "² = "² + "² "² = 4² ² "² = 3² On sait que EBC est un triangle rectangle en C (angle droit du rectangle ABCD) ; on peut donc appliquer le théorème de Pythagore donc : "² = "² + "² "² = 3² + 4² "² = 7² " = 7. b) Aire de AEC = " " =. = ² 3. c) Aire de ABCD = " " = a a 3=a² 3 Aire de ABDE = " " (côté multiplié par la hauteur correspondant au côté) = 3 = ² 3. 4) On sait que le cercle tracé a comme centre F et comme diamètre [AC] et que G est sur le cercle. Si dans un cercle, un triangle a pour sommets les deux extrémités d'un diamètre et un point du cercle alors ce triangle est rectangle en ce point. Donc le triangle AGC est rectangle en G et (CG) est la hauteur issue de C du triangle AEC. Comme le triangle AEC est équilatéral alors la hauteur est aussi médiane, donc G est le milieu de [AE]. 5. ABHCDG est un hexagone régulier Elisabeth REBILLARD AFADEC Droits de reproduction réservés 6
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