1 Quelques rappels fondamentaux de géométrie

Partie D A propos des angles droits 1 Quelques rappels fondamentaux de géométrie 1.1 Médiatrice d'un segment Définition 1: la médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à celui-ci passant par son milieu. Propriété caractéristique de la médiatrice : La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points qui sont à égale distance des deux extrémités de celui-ci. 1.2 Droites particulières du triangle Dans un triangle, on distingue trois familles de droites particulières. Les médiatrices Les hauteurs Les médianes Droites perpendiculaires aux côtés en leurs milieux Droites issues d'un sommet et coupant le côté opposé perpendiculairement Droites issues d'un sommet et coupant le côté opposé en son milieu Remarque : il existe aussi les bissectrices, que nous verrons en détail cette année. Les trois médiatrices sont concourantes. Les trois hauteurs aussi : le point de concours s'appelle l'orthocentre. Les trois médianes aussi : le point de concours s'appelle le centre de gravité. 1.3 Cercle circonscrit d'un triangle Définition 2 (rappel) Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets (il existe toujours et il est unique) 1.4 Périmètre et aire d'une figure Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour. Exemple : le périmètre d'un cercle de diamètre 10km est π 10 31,416 km. Le périmètre d'un triangle équilatéral de côté 4mm est 4+4+4=12 mm (ou 3 4 ) L'aire d'une figure est une grandeur qui représente la taille de sa surface. L'aire se calcule en multipliant deux longeurs de même unité : son unité se note avec un ². Exemple : l'aire d'un rectangle de largeur 2m et de longueur 3m vaut 6m². L'aire d'un disque de rayon R=5cm vaut π R R= π 5 5 78,54 cm² v.dujardin - v1.1 1

2 Triangle rectangle et cercle circonscrit 2.1 Outils à utiliser quand on sait qu'un triangle est rectangle Théorème D1 Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit. Démonstration : admise. Conséquence 1 : Le centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse. Preuve : le centre d'un cercle est le milieu de tous les diamètres de ce cercle, et donc en particulier de l'hypoténuse dans notre cas. Conséquence 2 : La médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse. Preuve : par définition, la médiane issue de l'angle droit relie ce sommet au centre du côté en face (l'hypoténuse), qui est le centre du cercle circonscrit. Le sommet A étant sur le cercle, la médiane représente donc un rayon, qui mesure effectivement la moitié du diamètre. 2.2 Outil pour démontrer qu'un triangle est rectangle Théorème D2 Si un triangle a pour sommets deux extrémités d'un diamètre d'un cercle et un troisième point du même cercle, alors il est rectangle en ce point. Démonstration : admise. Exemple : malgré les apparences de cette figure déformée, le codage permet d'appliquer le théorème et affirmer que ABC est rectangle en A. v.dujardin - v1.1 2

3 Distance d'un point à une droite Rappel : la distance entre deux points est un nombre positif. 3.1 Définition Définition 3 La distance entre un point A et une droite (d) est la plus petite des distances que l'on peut trouver entre les points de (d) et A. Quelle est la plus petite distance? Propriété D3 La distance entre un point A et une droite (d) est la distance entre A et le point d'intersection de (d) avec la perpendiculaire à (d) passant par A. Preuve : voir annexes. Vocabulaire : on dit que H est le projeté orthogonal de A sur (d). Conséquence : Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le plus long des trois côtés. Démonstration Soit un triangle ABC rectangle en A. La distance de B à (AC) est AB qui est donc inférieure à BC par définition. De même, la distance de C à (AB) est AC qui est donc inférieure à BC par définition. v.dujardin - v1.1 3

4 Tangente à un cercle Définition 4 Soit C un cercle de centre O et A un point de C. La tangente à C au point A est la droite perpendiculaire à (OA) passant par A. Propriété D4 Si une droite est la tangente à un cercle en un point, alors ce point est le seul point commun du cercle et de cette droite. Preuve : voir annexes. Ci-dessus : zoom autour de A Le cercle et sa tangente ne se coupent qu'en A. Propriété réciproque D5 Si une droite a un seul point commun avec un cercle, alors c'est la tangente au cercle en ce point. Preuve : admise. v.dujardin - v1.1 4

5 Bissectrices et cercle inscrit 5.1 Définition Définition 5 (rappel) La bissectrice d'un angle ÂOB est la droite passant par O coupant l'angle en deux angles adjacents de même mesure. M est sur la bissectrice de ÂOB Méthode : pour tracer une bissectrice au compas, on peut dessiner un losange (en reportant une même longueur quatre fois). 5.2 Bissectrices et distances On sait que M est sur la bissectrice Propriété D6 Si un point est sur la bissectrice d'un angle, alors il est équidistant des deux côtés de cet angle. On sait que MH=MK Preuve : voir annexes. On conclut que M est sur la bissectrice Propriété réciproque D7 Si un point est équidistant des deux côtés d'un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle. Preuve : voir annexes. On conclut que MH=MK 5.3 Cercle inscrit Propriété D8 Dans un triangle, les bissectrices sont concourantes. Vocabulaire : concourantes signifie qu'elles se coupent toutes les trois en un même point. Preuve : admise. Propriété D9 : cercle inscrit et bissectrices Dans un triangle, le cercle inscrit est tangent aux trois côtés, et son centre est le point de concours des bissectrices. Preuve : admise. v.dujardin - v1.1 5

6 Le théorème de Pythagore 6.1 Le théorème Théorème de Pythagore Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Démonstration : voir annexes Autres énoncés possibles du même théorème : Si ABC est rectangle en A, alors BC 2 =AB 2 +AC 2 ou Si ABC est rectangle en A, alors BC BC=AB AB+AC AC Exemple avec la figure ci-dessus : calcul de la longueur BC. Le triangle ABC est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore, on peut conclure que BC 2 =3 3 +4 2 =25, et ainsi BC=5 car BC est une distance. Important : Il existe deux nombres BC tels que BC 2 =25 : 5 car 5 5=25 et (-5) car ( 5) ( 5)=25. Mais une seule solution est valable pour notre question, car on sait que BC est une distance donc c'est un nombre positif. Pour être rigoureux, il est important de le rédiger : «car BC est une distance» pour justifier que l'on ne retient que la solution positive. Méthode MD1. La touche ( ) de la calculatrice donne la solution positive de l'équation x 2 =un nombre. Cette touche est très pratique pour calculer des longueurs (souvent approchée) grâce au théorème de Pythagore. v.dujardin - v1.1 6

6.2 Contraposée du théorème Contraposée du théorème de Pythagore Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle. Démonstration : la contraposée d'un théorème est toujours vraie. Exemple : si le triangle était rectangle, ce serait en M (car PN est le plus long côté). On calcule PM 2 +MN 2 =1 2 +2 2 =1+4=5 et PN 2 =4 2 =16. On sait donc que PM 2 +MN 2 PN 2. D'après la contraposée du théorème de Pythagore, MNP n'est pas rectangle. 6.3 Réciproque du théorème Réciproque du théorème de Pythagore Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Preuve : voir annexes. Exemple : si le triangle était rectangle, ce serait en M (car PN est le plus long côté). On calcule PM 2 +MN 2 =1,5 2 +2 2 =6,25 et PN 2 =2,5 2 =6,25 On sait donc que PM 2 +MN 2 =PN 2. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, MNP est rectangle en M. Rappel : sauf cas particuliers, Une contraposée sert à monter qu'une conjecture est fausse. Une réciproque sert à montrer qu'une conjecture est vraie. Important : ne pas se mélanger dans l'ordre des arguments quand on rédige l'application des contraposées et des réciproques. v.dujardin - v1.1 7

7 Cônes de résolution et pyramides 7.1 Cônes Définition 6 Un cône de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un des côtés adjacents à l'angle droit. Vocabulaire : voir figures ci-contre. Définition 7 La hauteur d'un cône est la distance entre le centre de la base (O) et le sommet (S). Propriété D10 Illustrations : Phare 4ème - Hachette L'axe du cône (ici (OS)) est perpendiculaire à toute droite prolongeant un rayon de la base (par exemple (OR)) Preuve : admise. Vocabulaire : on dit que l'axe est orthogonal au plan de la base, et on l'appelle parfois la hauteur du cône aussi. 7.2 Pyramides Définition 8 Une pyramide est un solide dont : Une face est un polygone (la base) Les autres faces sont des triangles ayant un sommet commun (le sommet de la pyramide) Vocabulaire : voir figure Propriété et définition (admise) Il existe une droite passant par le sommet et qui est orthogonale au plan de base. On nomme hauteur de la pyramide cette droite (ici (SP)). On appelle aussi hauteur la distance SP. Preuve : admise. Illustration : V.Dujardin :-) Définition 9 Une pyramide est dite régulière lorsque ses faces latérales sont des triangles isocèles ayant les mêmes dimensions. v.dujardin - v1.1 8

7.3 Calculs de volumes Propriété D11 Le volume d'un cône ou d'une pyramide se calcule avec la formule suivante : V= 1 3 S H où S est la surface de la base et H est la hauteur du solide. Preuve : admise. Exemple : Le volume d'un cône dont le rayon est 4cm et la hauteur est 5cm est V= 1 3 ( π 42 ) 5= 80 π 3 (valeur exacte) 83,8 cm 3 (valeur approchée) Important : les unités de S et de H doivent être cohérentes (m et m², cm et cm², km et km² par exemple). L'unité du volume se note avec un 3. v.dujardin - v1.1 9

8 Cosinus dans les triangles rectangles 8.1 Définition du cosinus d'un angle aigu Dans les triangles rectangles, le rapport de la mesure du côté adjacent à un angle et celle de l'hypoténuse ne dépend que de l'angle (admis). Exemple du cours : On peut donc donner un nom à ce coefficient qui n'est lié qu'à l'angle : Définition 10: cosinus d'un angle Dans un triangle rectangle on appelle cosinus d'un angle le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par celle de l'hypoténuse. Avec l'exemple : Dans ABC rectangle en A, le côté adjacent à L'hypoténuse est [BC], avec BC=10. Le cosinus de Adjacent : Dans le voisinage immédiat de quelque chose ; attenant, voisin. (Larousse en ligne) ÂBC est [BA]. Sa longueur est BA=8. ÂBC est donc égal à BA BC = 8 10 =0,8. On note cos ÂBC= 8 10 =0,8. Remarque : le cosinus n'a pas d'unité puisque l'on divise une longueur par une autre. Attention : bien comprendre que l'hypoténuse est toujours le même côté, mais que le côté adjacent dépend de l'angle où on se place. Avec l'exemple : dans ABC rectangle en A, le côté adjacent à BCA est [CA]. Sa longueur est CA=6. Donc cos BCA= 6 10 =0,6 8.2 Utilisation de la calculatrice Propriété (qu'il n'est pas nécessaire d'apprendre : ouf!) Pour une mesure d'angle x, on peut calculer une valeur approchée du cosinus de x par la formule : cos x=1 x2 2 + x4 24 x6 720 + x8 40320 Preuve : admise. On peut démontrer cela en études de mathématiques après le bac. Rassurez vous : on n'utilise jamais cette formule directement! Un programme dans votre calculatrice permet d'obtenir le résultat : touche. Méthode : A propos d'un angle, on peut utiliser sa calculatrice dans les deux sens : Si je connais la mesure de l'angle Exemple : 50 Si je connais le cosinus de l'angle Exemple : cos ÂBC =0,8 Arccos(0,8) Cos(50) (ou cos 1 ou acos ) La calculatrice donne le cosinus cos (50) 0,64 La calculatrice donne la mesure ÂBC 36,9 v.dujardin - v1.1 10

9 Annexes 9.1 Distance d'un point à une droite Preuve de la propriété 3 Soit A un point et (d) une droite. On définit B, symétrique de A par rapport à (d), et H, intersection de (AB) et (d) (voir figure). Pour n'importe quel point P de (d) : On sait que AB<AP+PB (inégalité triangulaire). En effet, le plus court chemin entre A et B et le segment [AB]. Passer par P est forcément plus long. Or AB=2 AH et AP=PB (propriété de la symétrie par rapport à (d)) On a donc 2 AH<2PA, qui équivaut à AH<PA Conclusion : quelle que soit la position de P sur (d), on a montré que AH<AP. La plus petite distance que l'on peut trouver entre A et les points de (d) est bien AH. 9.2 Tangente à un cercle Preuve de la propriété 4 (preuve un peu difficile) On note T A la tangente à C en A. Supposons qu'il existe un autre point commun à C et T A : B On aurait alors OA=OB=R car A et B sont sur le cercle C. Donc OAB serait isocèle, et Or par définition, ÔAB = ÂBO. ÔAB =90 puisque l'angle entre les tangentes et leur rayon est droit. On aurait donc d'après la propriété de somme des angles dans un triangle : ÂOB =180 90 90=0 Au final, OA=OB et l'angle entre (OA) et (OB) étant nul, on aurait nécessairement A=B. A est donc le seul point commun de T A et C v.dujardin - v1.1 11

9.3 Bissectrices Preuve de la propriété D6 : Soient trois points A, O, B. Soit aussi M tel que (OM) est la bissectrice de l'angle en O. Dans les triangles OMH et OMK, on a deux angles égaux : celui en O car (OM) est la bissectrice, et celui en H et M qui est droit. Le troisième angle est donc aussi égal dans les deux triangles. Puisque l'on a aussi un côté commun, les deux triangles ont les mêmes mesures. On a donc en particulier MH=MK. Preuve de la propriété D7 Soient trois points A, O, B. Soit aussi M à égale distance de (OA) et (OB) On définit K et H, projetés orthogonaux de M sur (OA) et (OB) (voir figure). Dans les triangles OMH et OMK, on a deux côtés de même mesure : [OM] commun [MK] et [MH] car MK=MH. On a aussi un angle droit dans chaque. Les deux triangles ont donc les mêmes mesures, et en particulier les angles ĤOM et MOK. (OM) est donc bien la bissectrice. 9.4 Théorème de Pythagore Voir http://www.mathkang.org/swf/pythagore.html 9.5 Réciproque du théorème de Pythagore Soit ABC tel que BC 2 =AB 2 +AC 2 On construit D sur la perpendiculaire à (AB) passant par A tel que AD=AC et D C (voir figure) ABD rectangle est en A donc BD 2 =AB 2 +AD 2 AC=AD donc BD 2 =AB 2 +AC 2 (Pythagore) On peut affirmer que BD 2 =BC 2 car les deux sont égaux à AB 2 +AC 2 Or BC>0 ainsi que BD>0 car ce sont des distances, donc BD=BC. Au final, puisque AC=AD et BC=BD, (AB) est la médiatrice de [CD] Conclusion : (AB) (AC) v.dujardin - v1.1 12