Master Actuariat-Finance Master Actuariat-Prévoyance Sociae Prof ABDELKADER SALMI 2012
Actuaire L étymoogie du mot "actuaire" est atine (comptabe, rédacteur des ivres de comptes acta), ce terme n'apparaît qu'au XVIII sièce, repris de 'angais"actuary". Le dictionnaire Larousse e définit ainsi: Actuaire : "spéciaiste qui fait des cacus statistiques pour es assurances". Les mots "actuariat" ("fonction d'actuaire. Corps des actuaires") et "actuarie" ("cacu effectué par des actuaires") se définissent par rapport à ceui d'actuaire. De façon un peu pus arge et moderne, es actuaires canadiens proposent: "Spéciaiste de 'anayse et du traitement des impacts financiers durisque". 2
Actuaire DéfinitiondeL AIA: «Les actuaires sont des penseurs stratégiques puridimensionnes, formés à a théorie et à appication des mathématiques, des statistiques, de économique, des probabiités et des finances. On es appee des architectes financiers et des mathématiciens sociau parce qu is utiisent eur combinaison particuière d aptitudes anaytiques et administratives pour reever une diversité croissante de défis d ordre financier et socia partout dans e monde.» 3
Actuaire Sur e sitewww.beanactuary.orgon trouve une définition de actuaire qui peut se traduire ainsi : «Les actuaires sont des eperts pour évauera probabiité d événements futurs, concevoir de façon créative des mesures pour réduirea probabiité d événements indésirabes, et amenuiser impact des événements indésirabesqui surviennent. Les actuaires sont des professionnes de premier pan pour trouver des façons de gérer e risque.» ass vie 1 4
Actuariat L actuariat comprend pusieurs métiers: Conception/adaptation de produits. définition de produits: anayser es risques-définir es garanties-éaborer es ois de mortaité ou de rachat- concevoir es tarifs-définir es méthodes de cacu et es procédures. Adaptation de produits: concevoir es outis d anayseréaiser es études techniques -évauer évoution des risques-proposer des adaptations en termes de tarification et/ou de garanties-évauer évoution des résutats. Marketing: ciber es produits-segmenter a cientèe. ass vie 1 5
Actuariat Gestion des contrats. Contrats: assurer e suivi et anayse technique-définir et assurer e suivi du portefeuie- epoiter es résutats techniques-définir es cahiers des charges techniques et informatiques-surveier e portefeuie, déterminer es mesures de redressement. Portefeuie: actuaiser es barèmes de provisionnementdéfinir es besoins de réassurance-cacuer e montant des réserves obigatoires-vérifier es équiibres techniqueséaborer des modèes de rentabiité -mettre en pace des outis de suivi des résutats-contrôer es prévisions de résutats. 6
Actuariat Gestion de bian. Comptes: mettre au normes es comptes-réaiser et suivre es comptes mensues -provisionner es engagements. Contrôe de gestion: éaboré des modèes de rentabiité - faire des études de rentabiité -anayser a rentabiité. Actif/passif: suivre évoution des provisions mathématiques -évauer es fonds propres -anayser/suivre des pacements -évauer es portefeuies -concevoir des modèes de prévision -réaiser des scenarios de résutats -proposer des stratégies de gestion, anayser es risques. 7
Actuariat Finances. Etudes: anayser es tendances des différents marchésévauer es portefeuies -concevoir des systèmes de piotage -éaborer es outis de suivi. 8
Actuariat La majorité des actuaires travaient dans es assurances En France: 9
Actuariat La majorité des actuaires travaient dans es assurances Au Canada: 10
Définitions de assurance L assurance est généraement définie comme opération par aquee une personne, assureur, s engage à eécuter une prestation au profit d une autre personne, assuré, en cas de réaisation d un événement aéatoire, e risque (ou sinistre), en contrepartie du paiement d une somme, a prime ou cotisation. 11
Définitions de assurance La technique assurantiee réside dans a mutuaisation des risques, c'est-à-dire une division du coût des conséquences de sa survenue entre pusieurs. A ce stade, es définitions évoquées ci-dessus sont suffisamment arges pour incure dans e champ de assurance es régimes de sécurité sociae obigatoires qui ne seront pourtant pas traités dans e présent cours (cours de prévoyance sociae). ass vie 1 12
Bases de assurance Besoin de sécurité La sécurité est un des besoins fondamentau de être humain. La vie comporte toutefois des risques et des dangers qui peuvent menacer a santé, a vie et es biens que on possède. C est a raison pour aquee es êtres humains ont, depuis toujours, eu recours à assurance pour se protéger contre ce qui pouvait eur arriver. De nos jours, vivre sans assurances dans un pays industriaisé n est pas concevabe. 13
Bases de assurance En Suisse, par eempe, hommes et femmes, sont très soucieu de eur sécurité. Chaque habitant suisse consacre pus de 7 109 francs (environ 50 000 dhs) au assurances privées (assurances sociaes non comprises), ce qui représente e montant e pus éevé au niveau mondia. 14
Bases de assurance Soidarité L assurance repose sur e principe de a soidarité. Un grand nombre de personnes ou d entreprises, eposées au mêmes risques, versent eurs primes à une caisse commune qui doit, en cas de sinistre, fournir a prestation contractueement convenue à assuré qui en est victime. 15
Bases de assurance Loi des grands nombres De nos jours, es statistiques fondées sur es mathématiques sont es ééments es pus importants de assurance. La théorie des probabiités et e traitement statistique d un grand nombre de cas particuiers d assurance permettent d étabir certaines certitudes de réguarité, soit a fréquence avec aquee is vont se produire. La oi des grands nombre (LGN) peut être epiquée enprenantejeudedéspoureempe: erésutatd un seu coup de dés dépend du hasard. Mais, si es dés sont jetés un grand nombre de fois, une certaine réguarité se manifeste. 16
Bases de assurance Loi des grands nombres LaLGN, neditpas qui seravictimed un événement bien déterminé, mais seuement combien de membres d une communauté e seront. Le hasard en tant que facteur provoquant des dommages assurés devient ainsi une vaeur moyenne pouvant être chiffrée statistiquement. 17
Bases de assurance Contrat d assurance Un contrat d assurance offre une couverture d assurance. Cette dernière couvre es conséquences financières d un événement dommageabe. La caractéristique de événement dommageabe est que on ne sait en généra pas s i surviendra et quand i se produira. Dans e contrat d assurance, des choses et des personnes peuvent être assurées contre des événements dommageabes (assurance de choses ou de personnes). ass vie 1 18
Bases de assurance Surveiance des assurances La surveiance des assurances a pour objectif principa a protection des assurés. Les entreprises privées d assurances sont pacées sous e contrôe de autorité pubique qui déivre autorisation d opérer et eerce par aieurs des contrôes permanents portant sur eurs activités d assureurs. Ainsi, a protection d assurance et a sovabiité des compagnies d assurances seraient garanties à avenir. 19
Bases de assurance Primes/ prestations Toutes es personnes qui font partie d une communauté de risques s acquittent de eur contribution afin de pouvoir venirenaideàceuquisontvictimesd undommage. Cette contribution est a prime qui comprend es ééments suivants: Le risque : cette partie de a prime est cacuée sur des bases mathématiques, des statistiques d assurance, ainsi que des vaeurs empiriques. Cette partie de a prime doit suffire à réger tous es sinistres. Ee se fonde sur a moyenne d une période de ongue durée. 20
Bases de assurance Primes/ prestations Les frais : e consei à a cientèe, a concusion de assurance et e traitement des sinistres occasionnent des frais qui sont répartis entre a communauté des assurés. L épargne : pour es assurances-vie de capitaisation, vient s ajouter objectif de épargne. Une part de a prime vient financer a prestation en espèces convenue pour a fin du contrat. L autre part donne ieu à des intérêts crédités par a compagnie d assurances jouant ici un rôe particuièrement important dans e déveoppement de investissement. 21
Bases de assurance Lorsque e cas couvert par assurance survient, a compagnie d assurance doit verser a prestation convenue, à savoir: Prestations en espèces : versements en capita, rentes, indemnités journaières, dédommagements de toute nature. Prestations de services : mesures de défense contre es prétentions injustifiées de tiers à encontre des assurés (en assurance responsabiité civie notamment), protection juridique, consei, aide en cas de sinistre, assistance, ass vie 1 22
Cassification de assurance On distingue deu branches principaes au sein du secteur de assurance: Branche vie - Assurances vie ou décès - Assurance de personnes Branche non-vie - Assurance dommages -IARD (Incendie Automobie et Risques Divers) -Assurance des biens I suffit, en effet, d ajouter assurance santé à assurancevie pour aboutir à assurance de personnes. 23
Opérations viagères Définition Par opération viagère, on entend une opération dont es fu (montants et / ou échanges des capitau) dépendent de a survie ou du décès d une ou pusieurs personnes. 24
Opérations viagères Eempes 1) en contrepartie d une prime fiée, une compagnie d assurance s engage à payer au moment du décès d une personne X une somme fiée à un bénéficiaire désigné Y. 2) en contrepartie d un capita payé à Y, X acquière e droit d entrer en possession au moment du décès de Y d un immeube appartenant à Y. 25
Opérations viagères Les opérations viagères dépendent donc de quantités aéatoires à savoir es durées de vie d une ou de pusieurs personnes. Nous nous imiterons dans ce cours au opérations pour esquees a durée de a vie humaine est e seu éément aéatoire. 26
Assurance-vie Définition On appee assurance sur a vie (ou assurance-vie) une opération viagère pour aquee es risques iés à a durée aéatoire de a vie humaine sont pris en charge par un organisme spéciaisé (e pus souvent une compagnie d assurance sur a vie) qui es mutuaise dans un ensembe suffisamment étendu d opérations simiaires, de sorte qu on puisse appiquer a oi des grands nombres. Le terme d assurance sur a vie recouvre donc une gamme d opérations pus restreinte que ceui d opération viagère. 27
Assurance-vie Eempe L opération décrite dans eempe 1) ci-dessus est une assurance-vie dans a mesure où un des contractants est une compagnie d assurance mutuaisant es risques viagers dans un portefeuie de nombreu contrats simiaires. Par contre, opération décrite dans eempe 2)ci-dessus n est pas une assurance sur a vie puisque, iant deu particuiers, ee n est pas intégrée dans un portefeuie de nombreu contrats simiaires au sein duque es risques viagers seront mutuaisés. ass vie 1 28
Assurance-vie Cette théorie a des appications directes en assurance et a des iens étroits avec d autres théories et modèes actuaries et financiers. Le cours présente essentie de a théorie et des techniques actuariees reatives à évauation des contrats d assurance-vie et des rentes viagères. Ces techniques se trouvent sous une forme ou une autre dans un grand nombre de règes, méthodes et ois que es actuaires appiquent tous es jours. 29
Assurance-vie «Contrat d'assurance sur a vie : contrat par eque, en contrepartie de versements uniques ou périodiques, 'assureur garantit des prestations dont 'eécution dépend de a survie ou du décès de 'assuré». Dahir n 1-02-238 du 25 rejeb1423 (3 octobre 2002) portant promugation de a oi n 17-99 portant code des assurances. ass vie 1 30
Assurance-vie I eiste différents types d assurance-vie tes que: assurance en cas de décès, assurance en cas de vie, assurance «mite» (ce type de contrat combine es deu types précédents) Sur e pan pratique, pour appréhender a survenance et importance d un risque futur, es sciences actuariees font usage des mathématiques, de a statistique et du cacu des probabiités. 31
Assurance-vie En assurance-vie à travers e cacu de réserves ou de primes d assurances, es actuaires font appe : A a démographie (risque de mortaité) Au mathématiques financières éémentaires (tau composé, actuaisation, capitaisation) A a finance (ALM, AssetLiabeityManagement ou DFA, DynamicFinancia Anaysisou encore en français, Gestion Actif-Passif) 32
LA MORTALITE 1. Tabes de mortaité brutes 2. Probabiités de survie et de décès 3. Espérance de vie 4. Tau instantané de mortaité 5. Tabes de Gompertzet de Makeham 6. Probabiités sur 2 têtes 7. Tabes règementaires 8. Ajustement de tabes 9. vers des tabes prospectives 33
1. Tabes de mortaité brutes Principe : à partir d une cohorte initiae à a naissance on suit année après année e nombre de survivants nombre de survivants à ' age 0 1.000.000 ( par convention!!) Age utime : premier âge où pus de survivants ω 0 (par eempe 110 ans en France ) 34
1. Tabes de mortaité brutes EXEMPLE: Age () Tabe () 0 1.000.000 1 999.415 10 994.002 40 965.973 70 767.741 71 750.022 35
1. Tabes de mortaité brutes La fonction est positive et décroissante. La tabe donne es vaeurs de pour des âges entiers. On distingue : - es tabes de mortaité brutes : résutant de observation ( recensement à un moment) ( par eempe RGPH 2004) - es tabes de mortaité ajustées : tabe ajustée anaytiquement - es tabes d epérience : tabes tenant compte de epérience d un assureur 36
1. Tabes de mortaité brutes On distingue aussi : -es tabes de mortaité périodiques : suppose que a mortaité va rester stabe dans e futur - es tabes de mortaité prospectives : intègre une évoution future attendue de a mortaité Dans e suite on travaiera avec des tabes périodiques. 37
1. Tabes de mortaité brutes Nombre de décès à âge : d 1 EXEMPLE: 70 71 767.741 750.022 d 70 17.719 38
2. Probabiités de survie et décès - Probabiité annuee de décès - quotient de mortaité Probabiité étant en vie à âge de décéder dans année d 1 q EXEMPLE : probabiité à 70 ans de décéder dans année q 17.719 767.741 70 0,023 39
2. Probabiités de survie et décès Les principau facteurs epicatifs des quotients de mortaité sont : - âge - e see - époque - e ieu ( probématique de a segmentation versus a discrimination) 40
2. Probabiités de survie et décès Infuence de âge, du see et de époque Hommes (Begique) Âge () 1880-1890 1928-1932 1968-1972 2001-2003 q 2001-2003/q 1880-1890 0 0,17262 0,10075 0,023911 0,004067 2,4% 30 0,00759 0,00444 0,001486 0,000928 12,2% 50 0,01817 0,01165 0,007900 0,005125 28,2% 80 0,15003 0,14408 0,121685 0,075884 50,6% Femmes (Begique) Âge () 1880-1890 1928-1932 1968-1972 2001-2003 q 2001-2003/q 1880-1890 0 0,14554 0,07855 0,017632 0,003189 2,2% 30 0,00716 0,00415 0,000728 0,000394 5,5% 50 0,01216 0,00914 0,00452 0,002602 21,4% 80 0,13649 0,1267 0,091933 0,044578 32,7% 41
2. Probabiités de survie et décès Infuence du ieu Les enquêtes statistiques ont toujours donné des probabiités de décès qui différent d un pays à un autre. La différence est à attribuer certainement au infuences cimatiques et au déveoppement des systèmes de santé. Comparaison entre a Suisse (1958/63) et a France (1960/64) 1000q Âge () Hommes Femmes Suisse France Suisse France 0 24,48 24,28 18,6 18,49 11 0,48 0,39 0,29 0,25 20 1,67 1,35 0,51 0,62 40 2,65 3,58 1,62 1,98 60 19,35 22,3 10,12 9,84 65 30,19 32,96 16,97 15,85 70 46,25 48,57 29,29 26,94 42
2. Probabiités de survie et décès Remarque - Ces tau différent mais restent proches. - En revanche, a différence est très significative orsque a comparaison concerne es tau de pays industriaisés et ceu des pays en déveoppement. - L assureur doit adapter e choi de a tabe de mortaité au conditions du pays où i fait ses affaires. - Dans certains pays des tabes de mortaités sont éaborées par régions. Mais dans es cacus de assurance sur a vie, i n est pas usue de tenir compte des variations régionaes de a mortaité. Une même tabe de mortaité est appiquée pour tout un pays. 43
2. Probabiités de survie et décès Infuence de état civi Les études ont montré que es tau de mortaité varient seon état civi des personnes mises en observation. En cassant es états civis par ordre croissant des probabiités de décès, on trouve : marié, veuf, céibataire, divorcé. Les assureurs ne tiennent pas compte en généra de état civi de assuré. En cas de survie on appique des fois des tabes spécifiques au veuves pour e cacu des pensions. 1000q Âge () Marié veuf céibataire Divorcé Ensembe 30 2,16 4,88 4,24 4,89 2,89 40 3,56 7,93 7,26 7,64 4,32 50 8,85 12,9 14,14 18,98 9,81 60 21,48 28,86 28,89 35,86 23,43 70 51,79 62,27 66,47 82,06 56,81 44
2. Probabiités de survie et décès Infuence de a profession I est évident que certaines professions présentent pus de risques que d autres. Face à cette surmortaité iée à eercice d une profession dangereuse, es assureurs peuvent adopter des positions pus au moins prudentes seon a poitique d acceptation des risques : refuser d assurer (cas etrême); assurer avec certaines restrictions; assurer à des conditions pus onéreuses; assurer sans tenir compte du risque. 45
2. Probabiités de survie et décès Infuence spécifique à assurance Séection médicae : Pour contracter une assurance décès, assureur procède en généra soit à un eamen médica de a personne à assurer, soit pour e moins ui faire rempir un questionnaire de santé. Le candidat est : soit accepté si son état physique est jugé bon; soit refusé si son état physique est jugé compromettant; soit assuré tout en procédant à des restrictions; soit accepté mais à des conditions pus onéreuses. Les personnes choisies après contrôe médica présentent des probabiités de décès beaucoup pus faibes par rapport à a popuation générae : on pare aors de séection médicae. 46
2. Probabiités de survie et décès Infuence spécifique à assurance Anti-séection : I y a des contrats qui prévoient e paiement de prestations en cas de survie. De tes contrats sont putôt concus par des personnes de bonne santé. I y a aors une séection non pus de a part de assureur mais de a part de assuré ui-même : on pare aors d anti-séection. 47
2. Probabiités de survie et décès Infuence spécifique à assurance Invaidité : Certains contrats d assurance sur a vie ne concernent que des personnes qui sont cassées soit actifs soit invaides. L assureur doit utiiser a tabe de mortaité spécifique à chaque popuation. La différence de mortaité est très nette comme e montre eempe suivant : Tabe de mortaité de a caisse Fédérae d'assurance EVK 1970 (Suisse) Âge () 1000q Hommes Femmes actifs invaides actifs invaides 20 0,75 30,00 0,60 15,00 30 0,85 39,50 0,98 15,00 40 1,50 46,00 1,61 14,00 50 3,95 49,50 3,05 8,50 60 10,45 50,24 6,90 7,00 48
2. Probabiités de survie et décès Probabiité annuee de survie Probabiité étant en vie à âge d être encore en vie à âge 1 p 1 1 q EXEMPLE: probabiité à 70 ans d atteindre 71 ans p 750.022 767.741 70 0,977 49
2. Probabiités de survie et décès Probabiité de survie dans n années : Probabiité étant en vie à âge d être encore en vie à âge n ( ou de décéder après âge n) n p n p p 1 p 2... p n 1 EXEMPLE: probabiité à 40 ans d atteindre 70 ans 767.741 965.973 30 p40 0,795 50
2. Probabiités de survie et décès Probabiité de décès dans es n années Probabiité étant en vie à âge de décéder avant âge n n q n 1 EXEMPLE : probabiité à 40 ans de décéder avant 70 ans 965.973 767.741 965.973 30 q40 n p 0,205 51
2. Probabiités de survie et décès Probabiité de décès dans n années Probabiité étant en vie à âge de décéder dans n années entre es âges (n) et (n1) n n n 1 q np q n EXEMPLE : probabiité à 40 ans de décéder entre 70 et 71 ans 767.741 750.022 965.973 q 30 40 0,018 52
3. Espérance de vie Définition de espérance de vie à âge : Moyenne à âge du nombre d années restant à vivre Espérance de vie abrégée : (décès en début d année): e ω t q ω t t 1 t 1 t d t Espérance de vie compète : (décès en miieu d année): 0 e e 1 2 53
3. Espérance de vie Autre forme de espérance de vie : t t e p ω 1 Dém. : 1 t t t t d t e 54......) ( 1...) 3 2 2 ( 1 3 2 3 2 1 3 3 2 2 1 1 t t t t t p p p t d t e
3. Espérance de vie Autre forme de espérance de vie : t t e p ω 1 Dém. : 1 t t t t d t e 55......) ( 1...) 3 2 2 ( 1 3 2 3 2 1 3 3 2 2 1 1 t t t t t p p p t d t e
3. Espérance de vie Eempes d espérance de vie : ( INS Begique) Tabe À 0 ans À 25 ans À 65 ans H1880 43,4 37,3 10,6 H2000 75,1 51,2 15,9 F1880 46,6 39,9 11,6 F2000 81,4 57,2 20,1 56
3. Espérance de vie Epression en fonction de a variabe aéatoire «durée de vie future» T() variabe aéatoire durée de vie future d un individu d âge T() âge au décès L espérance de vie est espérance mathématique de cette variabe aéatoire. 57
3. Espérance de vie Reations d équivaence : e E ([ T ( ) ]) 0 e E ( T ( )) e 1 2 k p P ( T ( ) > k ) 58
4. Tau instantané de mortaité La mortaité est un phénomène continu dans e temps Passer à une écriture en temps continu : [ 0, ω] R La fonction est supposée continue et dérivabe ( à vaeurs entières!) Quotients de mortaités sur un intervae : (0 <h <1) h q h 0 si h 0 59
4. Tau instantané de mortaité Si a fonction est dérivabe : 1 h im h 0 h q im h 0 h h 1 d d n d d µ tau instantané de mortaité 1 60
4. Tau instantané de mortaité Reation entre probabiité de survie et tau instantané de mortaité : µ t Donc : d n dt t n µ 0 t n dt n [ n ] n t n p n 0 (n n n ) 61
4. Tau instantané de mortaité Donc: p n ep( µ n t 0 dt ) On a aussi : q 1 µ 0 1 p 1 ep( ds) s 62
5. Tabes de Gompertzet Makeham Ajustement anaytique de tabes brutes de mortaité suivant un modèe epicatif des causes de mortaité. 2 causes principaes de mortaité : ACCIDENT MALADIE Hyp.: indépendant de âge Hyp.: croit eponentieement avec âge 63
5. Tabes de Gompertz et Makeham 3 modèes cassiques: - modèe accident: - tau instantané constant - modèe maadie GOMPERTZ (1825) - tau instantané eponentie - modèe accident- maadie MAKEHAM (1860) -tau instantané constant eponentie 64
5. Tabes de Gompertzet Makeham Modèe accident : µ A d d n A k e A Popuation décroissant eponentieement 65
5. Tabes de Gompertz et Makeham Modèe maadie de GOMPERTZ : µ B c d d n Bc k e Bc n c Popuation décroissant doubement eponentieement 66
5. Tabes de Gompertz et Makeham Modèe de MAKEHAM : µ A B c d d n k e ( A A e Bc n c Bc Popuation décroissant sous deu effets ) 67
5. Tabes de Gompertz et Makeham Modèe de MAKEHAM ( 2) : Ecriture canonique : Avec: s g k k e te k e A B nc que < 1 s < 1 0 1.000.000 g g c 1.000.000 c > 1.000.000 > 1 68
5. Tabes de Gompertz et Makeham EXEMPLE de TABLE Makeham : Tabe MR Bege ( tabes hommes rentes) k 1.000.266,63 s 0,999441704 g 0,999733441 c 1,101077536 69
5. Tabes de Gompertz et Makeham Avantages et inconvénients de a tabe de MAKEHAM : : ogique epicative : dépend de 4 paramètres : faciité d utiisation ( cf. 2 têtes voir pus oin) - : ne capture pas des phénomènes tes que : - mortaité infantie - bosse des accidents à 20 ans - comportement au grands âges Reste un standard en Begique. 70
5. Tabes de Gompertzet Makeham Aternative : doube tabe de Makeham : prendre en compte a ongévité des rentiers µ A B c ( 0 0 µ D E f ( 0 ) < ω) ( par eempe prendre f < c ) 71
5. Tabes de Gompertz et Makeham Modèe de HELIGMAN- POLLARD : Objectif : prendre en compte a mortaité infantie et a bosse des accidents. Modéisation directe du q ( à vaeurs dans (0,1)!!): q /(1 q ) A ( B) C De E(n n F) 2 G H Mortaité en bas âge Bosses des accidents Mortaité normae 72
6. Probabiités sur 2 têtes Probabiités reatives à un coupe de personnes d âge et y : Hypothèse ( discutabe ) : indépendance des durées de vie a) Probabiité pour que es 2 têtes soient encore en vie dans n années: n p y n p n p y 73
6. Probabiités sur 2 têtes b) Probabiité pour qu au moins une des 2 têtes soit encore en vie dans n années : n p y n p n p y n p y c) Probabiité pour que es 2 têtes soient décédées dans n année : n q y 1 n p y 74
6. Probabiités sur 2 têtes Notion d âge moyen : Substituer à un coupe d âges et y un coupe de même âge et ayant a même probabiité de survie (Objectif : rempacer une tabe à doube entrée par une tabe à une entrée ). n p mm n p y En généra, m dépend non seuement de et de y mais aussi de n. 75
6. Probabiités sur 2 têtes Cas particuier : Tabe de MAKEHAM Montrons que dans ce cas âge moyen ne dépend que des deu âges de départ. n n c n g k s 76 ( 1) n c c n c c n n n g s g k s g k s p 1) ( 1) ( 2 1) ( ) ( n y n n m c c n c c n c c n g s g s g s m est aors soution de équation :
6. Probabiités sur 2 têtes C est à dire : c m c m n( 2 c c y c 2 y ) / n c On a aussi dans Makeham : µ m µ 2 µ y 77
7. Tabes régementaires (beges) - Tabes de Makeham utiisées en assurance avec distinction : - Hommes / Femmes - Phénomène d antiséection : tabes différentes tenant compte du comportement de assuré à a souscription d un contrat d assurance Opérations de genre vie Opérations de genre décès 78
7. Tabes régementaires beges H F VIE MR MR-5 FR FR-5 DECES MK FK FK (1992) 79
7. Tabes régementaires beges Tabes hommes : MK k 1.000.450,59 s 0,999106875782 g 0,999549614043 c 1,103798111448 MR k 1.000.266,63 s 0,999441703848 g 0,999733441115 c 1,101077536030 MR-5 : rajeunissement de 5 ans sur MR 80
7. Tabes régementaires beges Tabes femmes : FK k 1.000.097,39 s 0,999257048061 g 0,999902624311 c 1,118239062025 FK c 1,122000000000 FR k 1.000.048,56 s 0,999669730996 g 0,999951440172 c 1,116792453830 FR-5 : rajeunissement de 5 ans sur FR 81
8. Ajustement de tabes Passage d une tabe de mortaité brute ( observations brutes issue d un recensement) à une tabe ajustée ( par eempe un ajustement de Makeham). Différentes techniques eistent : - Méthode de King et Hardy et variantes - Méthode des moindres carrés Objectif : obtenir des estimateurs des constantes de Makeham ( k,s,g,c) à partir des observations des. 82
8. Ajustement de tabes Méthode des moindres carrés : ˆ brut k s g c??? Dans une tabe de Makeham, on a : 1 1 1 c c g p s 1 1 α n( p ) ns c ( c 1 1)n( ) g 83
8. Ajustement de tabes En posant : On a : α a ( c 1) n(1/ g) b n s b a c En passant une seconde fois au ogarithme : n( α b) n ac na nc 84
8. Ajustement de tabes Méthode des moindres carrés sur es observations : S N 0 (n(ˆ α b) na nc) -Pour chaque vaeur de b ( c est à dire de s), a procédure moindres carrés donne une estimation des paramètres de régression n a et n c ainsi qu un coefficient de corréation. - On choisit a vaeur de b donnant e meieur coefficient de corréation 2 85
9. vers des tabes prospectives Les tabes de mortaité cassiques supposent impicitement que a mortaité future sera identique à cee observée aujourd hui. Par eempe pour quequ un ayant aujourd hui 20 ans en 2012 et qui aura 60 ans en 2052, si on doit cacuer sa probabiité de mourir entre 60 et 61 ans, on utiise es probabiités correspondantes de quequ un ayant aujourd hui 60 ans que on projette à identique. 86
9. vers des tabes prospectives Evoution du q à 60 ans ( H) ( tabes brutes INS) : 1880-1890 0,033620 1928-1932 0,024120 1959-1963 0,023040 1968-1972 0,022108 1988-1990 0,014979 1994-1996 0,011875 2001-2003 0,011266 87
9. vers des tabes prospectives Tabes prospectives : tabes introduisant une améioration progressive de a mortaité. Les tau de mortaité ne dépendent pus seuement de âge mais aussi de a date de naissance. Deviennent des fonctions de 2 variabes (,t) µ (t) tau instantané de mortaité de quequ un ayant âge au temps t 88
9. vers des tabes prospectives (0) µ Tau de mortaité observé à instant initia ˆ µ ( t) Projection pour estimer es tau futurs de mortaité. Par eempe, améioration eponentiee de a mortaité identique à chaque âge et partant d une tabe de Makeham : µ ( t) ( A Bc ) e βt 89
9. vers des tabes prospectives Pour un individu d âge initia en t, a probabiité de survie après n années (en tn) est aors donnée par : n ds s t t p ) ) ( ep( ) ( µ 90 n s s s t n s t s s n ds e B c Ae e ds e B c A ds s t t p 0 0 ) ( 0 ) ) ( ep( ) ) ( ep( ) ) ( ep( ) ( β β β β µ
9. vers des tabes prospectives Aternative : convergence vers une tabe imite : βt βt µ (t) (A Bc ) e (1 e )(C Df ) Tabe initiae Tabe asymptotique 91