ère S Limites de fonctions () Calculs de ites Les calculs de ites déduites des ites des fonctions de référence sont codifiés par des règles de calcul précises. Propriétés des ites et calculs de ites Le but est de comprendre comment ça marche pr les calculs de ites. I. Règles d opérations algébriques sur les ites (admises sans démonstration) a désigne soit un réel, soit +, soit. m et n sont deu réels. ) Limite d une somme Si f ( ) m m m + + a Si g( ) n + + a Alors f ( ) g( ) a ) Limite d un produit m + n + + FI Si f ( ) m m > 0 m < 0 m > 0 m < 0 + + 0 a Si g( ) n + + + a Alors f ( ) g( ) a + m n + + + + FI II. Compréhension des tableau Les trois tableau du paragraphe précédent ne nécessitent pas vraiment de mémorisation particulière. Les résultats des trois tableau sont admis mais se retrvent intuitivement très facilement comme ns allons le voir sur des eemples. ) Limite d une somme Eemples : Si f ( ) et g( ) a Si f a Si f a a, alors f g ( ) ( ) 5. a et g, alors f g a a. et g, alors f g a ) Limite d un produit Eemples : Si f a Si f a Si f a a. et g, alors f g a 6. a et g, alors f g a a. et g, alors f g a Si f et g a a ) Limite d un quotient Eemples : a., alors f g a. ) Limite d un quotient Si f ( ) m m + + a Si g( ) a Alors f ( ) a g ( ) n 0 m n + n > 0 n < 0 n > 0 n < 0 m > 0 + positif m > 0 + négatif m < 0 positif m < 0 négatif 0 + + + + FI N.B. Dans les trois lignes de chaque tableau, doit tendre vers la même chose. + + 0 0 F I Si f a Si f a Si f a Si f a +»). Si f a et g et g f g f, alors a a g a et g a., alors 0 («sur un très grand nombre ça fait 0»). a f, alors 0. a g f et g 0, alors ( sur un nombre positif très proche de 0, ça fait a a g f et g 0, alors. a a g
III. Formes indéterminées ) Eamen Si f ( ) et g( ), alors les règles sur la ite d une somme ne permettent pas de donner a a f g a ; on dit que l on a une forme indéterminée une indétermination du type. Pr déterminer la ite, il faut transformer l écriture de f () + g () pr voir le terme qui tend le plus vite vers + (croissance comparée). Si f 0 a et g a, alors les règles sur la ite d un produit ne permettent pas de donner f g ; on dit que l on a une forme indéterminée une indétermination du type «0». a N.B. : On apprend que «0 n importe quoi ça fait 0». Cela dit le n importe quoi en question doit être un nombre (et non pas + qui ne sont pas des nombres). Si f ( ) et g( ), alors les règles sur la ite d un quotient ne permettent pas de donner a a f ( ) ; on dit que l on a une forme indéterminée une indétermination du type «a g ( )». Si f ( ) 0 et g( ) 0, alors les règles sur la ite d un quotient ne permettent pas de donner a a f ( ) ; on dit que l on a une forme indéterminée une indétermination du type «0 a g ( ) 0». ) Bilan : 4 types de FI qu on écrit symboliquement «+» «0» «0 0» IV. Eemples de calculs de ites ) Eemple Déterminer On sépare :. donc par ite d une somme (tableau ) ) Eemple Déterminer.. donc par ite d'une somme (tableau ). 0 ) Eemple Déterminer 0. 0 0 0 donc par ite d'une somme (tableau ) 0. 0 0 0 4 ) Eemple 4 5 Déterminer 0. 0 ) Commentaires À noter «+» est bien une F.I. mais pas (n est pas une F.I.). Lorsque l on rencontre une F.I., on ne peut pas déterminer la ite à partir des opérations algébriques. 0 0 0 5 donc par ite d'une somme (tableau ) 5 0. 0 0 0 Pr lever l indétermination, on doit utiliser des méthodes particulières (croissance comparée pr une somme par eemple). Les F.I. seront étudiées en T ale. 4
5 ) Eemple 5 Déterminer. donc par ite d un produit (tableau ) (On pense mais on ne l écrit pas!) 6 ) Eemple 6 4 Déterminer. 4 4 donc par ite d un quotient (tableau ) V. Limite à droite ; ite à gauche 4 0. ) Tendre vers un nombre par valeurs supérieures inférieures C est plus-moins (règle des signes) Ns verrons dans la suite du crs, que l on doit parfois faire tendre vers un réel a par valeurs supérieures par valeurs inférieures. On a déjà vu cette notion pr la ite en 0 de la fonction inverse ; on a vu qu il y avait deu cas suivant que tendait vers 0 par valeurs positives par valeurs négatives. ) Eemple On peut faire tendre vers par valeurs supérieures on peut faire tendre vers par valeurs inférieures. ) Significations des écritures < > à gauche à droite < >,9 ;,99 ;,999, ;,0 ;,00 Attention : le + et le ne signifient pas positif négatif ici. a signifie a a signifie a a a 5 On retiendra que l on peut écrire ss deu formes «tend vers a par valeurs supérieures» : a plus simplement a a De même, on peut écrire ss deu formes «tend vers a par valeurs inférieures» : a plus simplement a a Par eemple, on peut écrire ss deu formes : plus simplement. on peut écrire ss deu formes : plus simplement. 4 ) Remarque Attention à la présence de parenthèses lorsque le a : est précédé d un signe Eemples : s écrit s écrit est écrit comme une somme, un produit, un quotient : Eemples : s écrit s écrit (présence de parenthèses obligatoires). (présence de parenthèses obligatoires). Attention : le + et le ne signifient pas positif négatif dans une écriture telle que a + a sauf lorsque a est nul (dans les écritures 0 + 0 ). En fait, on met des parenthèses comme pr les puissances (Thomas Delamarre le 7--04). VI. Signe d une quantité qui tend vers 0 («signe du 0») ) Principe Lorsque le résultat d une ite est 0, on va parfois préciser «son signe». L écriture f 0 signifie que : a ) f () tend vers 0 quand tend vers a ; ) la fonction f prend des valeurs positives pr proche de a. Signification analogue pr l écriture : f 0 (la fonction f prend des valeurs négatives pr proche a de a). 6
Ns verrons dans le paragraphe l utilisation et l importance de cette précision. ) Eemples simples ➀ 0 0 ➁ ➂ (écriture symbolique) 0 (un carré est tjrs positif) 0 ; 0 ) Eemples plus compliqués ; utilisation d un tableau de signes ➀ Déterminer et On a : 0. Donc au début, on se contente d écrire 0 et On fait le tableau de signes de. 0. On complète ensuite après avoir observé le tableau : 0 et ➁ Déterminer 4 et Pr l instant, on se contente d écrire 4. On fait un tableau de signes de 4. 0 4 0 et 4 0. + Signe de 4 + 0 0 + On complète ensuite après avoir observé dans le tableau (on regarde le signe immédiatement avant et immédiatement après ). 4 0 et 4 0 Danger : ne pas associer le + de ( ) + au signe de 0. C est pr ça qu il faut faire un tableau de signes. + Signe de 0 + 7 4 ) Remarque Si le résultat d une ite est un nombre autre que 0, il est inutile de connaître davantage de précision sur le résultat de cette ite. Si f ( ), cela ne sert à rien de savoir si c est (on peut l écrire mais on ne s en sert pas). Thomas Delamarre signale cependant le 7--04 que cela prrait servir à connaître la positon locale d une crbe par rapport à une asymptote horizontale verticale au voisinage de +. VII. Une technique particulière pr les quotients ) Cas d un quotient où la ite du dénominateur est nulle : rappel du tableau Si f ( ) a m 0 + m 0 + m 0 m 0 Si g( ) positif négatif positif négatif 0 a f ( ) Alors + + FI a g ( ) ) Moyen mnémotechnique Dans ce paragraphe, on s intéresse au cas de la ite d un quotient dans le cas particulier où : - le numérateur tend vers un nombre (non nul) - le dénominateur tend vers 0. On sait d après le tableau que le résultat de la ite sera égal à +. (Retenir qu «un nombre sur un truc qui tend vers 0, ça fait l».) Le signe est déterminé par la règle des signes (signe de la ite du numérateur et signe du 0 pr la ite du dénominateur) : c est pr cela qu il est important de savoir si c est 0 + 0 (voir eemple). ) Eemple Étudier la ite quand tend vers de 5 f ( ). Il s agit de la ite d un quotient ; on étudie séparément la ite du numérateur et la ite du dénominateur. Numérateur : 5 7 (7 a un signe défini) Dénominateur : 0 (0 n a pas de signe défini donc il faut trver son signe ; en fait, c est 0 0 ). tableau de signes du dénominateur On fait le tableau de signes de. 0 8
Comme il y a un changement de signe au niveau de la valeur, il y a deu ites à faire. On étudie la ite de f de part et d autre de. On va faire avec et. Lorsqu on trve 0 au dénominateur, on doit faire un tableau de signes. (C est uniquement quand on trve 0 qu on doit faire un tableau de signes). 5 7 0 donc par ite d'un quotient f. (On détermine le signe en fonction des deu signes + et + : donc on obtient +). Eplication pr les deu ites : On remplace par dans chacune des deu epressions. Le 0 + signifie que l epression est positive lorsque est au voisinage de l à droite. 5 7 0 donc par ite d'un quotient f. (On détermine le signe en fonction des deu signes + et : donc on obtient ). Il y a deu résultats à donner. Il y a deu ites : une ite à droite et une ite à gauche et elles sont différentes. On voit bien ici l intérêt de la notation symbolique : 0 + et 0. 4 ) Retenir + Signe de 0 + On retiendra que lorsqu il y a un changement de signe au niveau de la valeur d annulation du dénominateur, il y a deu ites à faire : une ite à droite et une ite à gauche. VIII. Limite des fonctions polynômes et rationnelles en + en ) Règles sur les monômes de plus haut degré Règle La ite d une fonction polynôme non nulle + en est égale à la ite de son monôme de plus haut degré. Règle La ite d une fonction rationnelle non nulle en + en est égale à la ite du quotient simplifié de ses monômes de plus haut degré. Un polynôme non constant tend vers + en +. ) Eemples f : D f = f est une fonction polynôme non nulle (de degré ). Donc d après la règle, f f 5 f : D f = \{ } f est une fonction rationnelle non nulle. Donc d après la règle, 5 f 5 Ne pas s arrêter là Il faut absolument écrire la ite avec le quotient simplifié. 9 0
5 f 5 ) Récapitulatif Attention : La règle ne s applique que pr des fonctions polynômes et rationnelles non nulles en en. La règle ne s applique eclusivement qu à des fonctions polynômes en + en. Limite d une fonction rationnelle non nulle En + en : on applique la règle En a a : on décompose ; on prend séparément le numérateur et le dénominateur. 4 ) Justification de la règle des polynômes sur un eemple f : D f = On cherche f. On rencontre une forme indéterminée du type. Méthode : on factorise par ce qui tend «le plus vite» vers +. * f ( ) on «force» la factorisation donc par ite d'un produit f ( ) 0 0 IX. Commentaires ) Limites et ensemble de définition On n étudie pas les ites en un nombre de l ensemble de définition pr la bonne raison que la ite sera égale à l image. (Par eemple, la ite de f en est égale à f ; ça ne sert à rien). D f = [ ; + [ On devra étudier la ite en + uniquement (pas en qui est une borne fermée). ) Où mettre les ites dans un tableau de variations? On les place au etrémités des flèches. Dbles barres et ites. Eemples : ite en +. En gros c est quand égale +. + : c est plus de ; eclu. Dans le tableau, c est à partir du jusqu à l etrémité du tableau. Faire un tableau de variations seulement sur un intervalle de l ensemble de définition. Eemple : sur ] ; + [ Où doit-on mettre une dble barre? ) Précision des signes On ne précise 0 0 pr le résultat d une ite que pr les étapes intermédiaires. Par contre, on ne le fait jamais si c est un nombre autre que 0 (eemple : on ne précise jamais pr le résultat d une ite). Dans ts les calculs de ites, on utilise de manière implicite le fait que si f est définie sur un intervalle I f f a. contenant a, alors a Cette propriété est à relier à la notion de fonction continue en un réel. Il est à noter que les logiciels de calcul formel scientifique permettent d obtenir des ites. Quelles ites doit-on calculer pr une fonction? Ns n aurons à étudier que les ites de fonctions au bornes vertes de leurs ensembles de définition. Eemples : D f = \ ; ;. On devra étudier les ites en, +, et.