Plan (1/2) Mathématique Élémentaire Introduction à l algèbre linéaire Support au cours S. Bridoux Université de Mons-Hainaut 1 L espace R N Vecteurs de R N et opérations Produit scalaire de deux vecteurs de R N Norme d un vecteur Droites de R 2 Droites de R 3 Plans de R 3 Quelques systèmes Matrices de type n p Matrices particulières S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 2 / 44 Plan (2/2) Notations Matrices échelonnées Transformations élémentaires Inverse d une matrice 1 L espace R N Vecteurs de R N et opérations Produit scalaire de deux vecteurs de R N Norme d un vecteur Méthode des cofacteurs Propriétés des déterminants S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 3 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 4 / 44
Vecteurs de R N et opérations Opérations sur les vecteurs de R N Notre cadre de travail : R N où N 1 R N = { (x 1,x 2,...,x N ) : x 1,x 2,...,x N R } On dit que x est un vecteur de R N et on note x R N ssi x = (x 1,x 2,...,x N ) pour certains x 1,x 2,...,x N R. Soient x,y R N, k R. Posons x = (x 1,x 2,...,x N ) et y = (y 1,y 2,...,y N ). Alors, x + y := (x 1 + y 1,x 2 + y 2,...,x N + y N ) kx := (kx 1,kx 2,...,kx N ) Propriétés des opérations x,y,z R N, α,β R, on a : 1 x + y = y + x 2 (x + y) + z = x + (y + z) 3 x + 0 = x = 0 + x 4 x + ( x) = 0 5 α(βx) = (αβ)x 6 α(x + y) = αx + αy 7 (α + β)x = αx + βx S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 5 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 6 / 44 Produit scalaire Soient x = (x 1,x 2,...,x N ) et y = (y 1,y 2,...,y N ) deux vecteurs de R N. Le produit scalaire de x et y, noté (x y), est défini par (x y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x N y N. Propriétés Soient x,y,z R N et λ R. On a : 1 (x y) R 2 (x y) = (y x) 3 (x y + z) = (x y) + (x z) 4 (x + y z) = (x z) + (y z) 5 (λx y) = λ(x y) 6 (x x) 0 Produit scalaire orthogonalité Soient x,y R N. On dit que x et y sont orthogonaux si (x y) = 0. Dans R 2 et R 3, cette notion coïncide avec la notion de perpendicularité. S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 7 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 8 / 44
Norme d un vecteur Soit x = (x 1,x 2,...,x N ) un vecteur de R N. La norme de x, notée x, est définie par x = x1 2 + x 1 2 + + x N 2. Propriétés Soient x R N, λ R. On a : 1 x R + 2 (x x) = x 2 3 x = 0 ssi x = 0 4 λx = λ x 1 L espace R N Droites de R 2 Droites de R 3 Plans de R 3 Quelques systèmes S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 9 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 10 / 44 Droites de R 2 Droites de R 3 Équation paramétrique d une droite D de R 2 passant par le point (x 0,y 0 ) et dont un vecteur directeur est (x 1,y 1 ) : Équation paramétrique d une droite D de R 3 passant par (x 0,y 0,z 0 ) et dont un vecteur directeur est (x 1,y 1,z 1 ) : D (x,y) = (x 0,y 0 ) + λ(x 1,y 1 ), pour λ R D (x,y,z) = (x 0,y 0,z 0 ) + λ(x 1,y 1,z 1 ), pour λ R Équation cartésienne d une droite D de R 2 : D ax + by = c, où (a,b) (0,0). Le vecteur (a,b) est un vecteur normal de la droite D. Si b 0, la pente de D vaut a/b. Système d équations cartésiennes d une droite D de R 3 : D x x 0 x 1 = y y 0 y 1 = z z 0 z 1 où x 1 0,y 1 0 et z 1 0. (Cas particuliers x 1 = 0, y 1 = 0 ou z 1 = 0 traités en exercices.) S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 11 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 12 / 44
Plans de R 3 Quelques systèmes Équation paramétrique d un plan α de R 3 passant par (x 0,y 0,z 0 ) et dont deux vecteurs directeurs sont (x 1,y 1,z 1 ) et (x 2,y 2,z 2 ) : α (x,y,z) = (x 0,y 0,z 0 ) + λ(x 1,y 1,z 1 ) + µ(x 2,y 2,z 2 ), pour λ,µ R. Équation cartésienne d un plan α de R 3 : ax + by + cz = d où (a,b,c) (0,0,0). Le vecteur (a,b,c) est un vecteur normal du plan α. Systèmes de 2 équations linéaires à 2 inconnues Forme générale : { ax + by = c a x + b y = c Le nombre ab a b est le déterminant du système. Systèmes de 2 équations linéaires à 3 inconnues Forme générale : { ax + by + cz = d a x + b y + c z = d S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 13 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 14 / 44 Matrices de type n p 1 L espace R N Matrices de type n p Matrices particulières Une matrice A de type n p est un tableau de la forme a 11 a 12... a 1p a 21 a 22... a 2p...... a n1 a n2... a np Notation : A = (a ij ) 1 i n,1 j p a ij est l élément situé à l intersection de la i e ligne et de la j e colonne. S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 15 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 16 / 44
Matrices particulières Matrices de type n n ou matrices carrées : a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a n1 a n2... a nn Matrices triangulaires supérieures et inférieures : a 11 a 12... a 1n a 11 0... 0 0 a 22... a 2n a 21 a 22... 0.......... 0 0... a nn a n1 a n2... a nn Matrices particulières Matrices diagonales : a 11 0... 0 0 a 22... 0..... 0 0... a nn Matrices de type 1 n ou matrices lignes : ( a 1 a 2... a n ) Matrices de type n 1 ou matrices colonnes : a 1 a 2. a n S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 17 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 18 / 44 Soient A = (a ij ) 1 i n,1 j p et B = (b ij ) 1 i r,1 j s. Les matrices A et B sont égales ssi elles sont de même type et si leurs leurs éléments correspondants sont égaux. Égalité de deux matrices A = B ssi (n = r et p = s) et i = 1,...,n, j = 1,...,p, a ij = b ij La somme des matrices A et B s obtient en additionnant les éléments correspondants de A et B. Addition de deux matrices La matrice C = A + B est définie par i = 1,...,n, j = 1,...,p, c ij = a ij + b ij Soient A = (a ij ) une matrice de type n p et λ R (ou C). La multiplication de A par un scalaire λ s obtient en multipliant tous les éléments de la matrice A par λ. Multiplication par un scalaire La matrice B = λa est définie par i = 1,...,n, j = 1,...,p, b ij = λa ij S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 19 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 20 / 44
Le produit de deux matrices A et B s obtient en multipliant les lignes de A par les colonnes de B. Si A est de type n p, alors B doit être de type p r pour que le produit AB soit défini. a 11... a 1p.. A = a i1... a ip.. a n1... a np b 11... b 1j... b 1r et B =... b p1... b pj... b pr Remarques : Le produit matriciel n est pas commutatif Le produit matriciel n est pas simplifiable, çàd AB = AC B = C AB = 0 A = 0 ou B = 0 Produit matriciel La matrice C = AB est définie par i = 1,...,n, j = 1,...,p, c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ip b pj = p k=1 a ik b kj S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 21 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 22 / 44 Propriétés A + B = B + A A + (B + C) = A + (B + C) A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC (B + C)A = BA + CA α(a + B) = αa + αb (α + β)a = αa + βa α(ab) = (αa)b = A(αB) α(βa) = (αβ)a Soit A une matrice de type n p. La transposée de A, notée A t, s obtient en interchangeant les lignes et les colonnes de A. Ainsi, la première ligne de A devient la première colonne de A t,... Si A est de type n p, alors A t est de type p n. La transposée de A est la matrice A t = (a ij ) définie par a ij = a ji. Propriétés (A t ) t = A (A + B) t = A t + B t (AB) t = B t A t S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 23 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 24 / 44
1 L espace R N Notations Matrices échelonnées Transformations élémentaires Inverse d une matrice Notations Système de n équations linéaires à p inconnues : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1p x p = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2p x p = b 2. a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a np x p = b n Écriture matricielle : a 11 a 12... a 1p x 1 b 1 a 21 a 22... a 2p x 2.... = b 2. a n1 a n2... a np x p b n Écriture abrégée : Ax = b avec A R n p, x R p 1 et b R n 1. S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 25 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 26 / 44 Notations Matrices échelonnées introduction Matrice augmentée du système : a 11 a 12... a 1p b 1 a 21 a 22... a 2p b 2 [A b] =.... a n1 a n2... a np b n Résolvez les systèmes suivants : 2x + y z = 1 x + y + z = 6 x y + z = 0 et x + y + z = 6 y + 3z = 11 z = 3 Que constatez-vous? Lequel des deux systèmes est le plus simple à résoudre? Idée : Pour résoudre un système de n équations linéaires à p inconnues, on remplace le système donné par un nouveau système dont l ensemble des solutions est le même que le système initial mais qui est plus simple à résoudre. S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 27 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 28 / 44
Matrices échelonnées Matrices échelonnées Une matrice échelonnée est une matrice qui possède les caractéristiques suivantes : Si une ligne ne contient pas que des zéros, alors le premier élément non nul de cette ligne, appelé pivot, est 1. Les lignes qui ne contiennent que des zéros sont groupées au bas de la matrice. Dans chaque ligne, le premier élément non nul est situé à droite du premier élément non nul de la ligne précédente. Toute matrice peut être transformée par des opérations élémentaires en une matrice échelonnée. Si on transforme la matrice augmentée [A b] d un système Ax = b en une matrice échelonnée [A b ], on obtient les équations d un nouveau système A x = b qui possède le même ensemble de solutions que le système initial. S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 29 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 30 / 44 Transformations élémentaires sur les lignes d une matrice Permuter les lignes L i et L j. Notation : L i L j Multiplier tous les éléments de la ligne L i par un réel α non nul. Notation : L i αl i Ajouter à la ligne L i un multiple non nul de la ligne L j. Notation : L i L i + αl j Ignorer les éventuelles premières colonnes de zéros. 0 0 2 4 2 0 3 6 9 3 0 2 1 0 1 0 1 0 1 4 Faire apparaître un élément non nul sur la 1 re ligne de la 1 re colonne non nulle en permutant les lignes. 0 3 6 9 3 L 1 L 2 0 0 2 4 2 0 2 1 0 1 0 1 0 1 4 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 31 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 32 / 44
Diviser la 1 re ligne par son premier élément non nul. 0 1 2 3 1 L 1 L 1 /3 0 0 2 4 2 0 2 1 0 1 0 1 0 1 4 Ajouter aux autres lignes un multiple convenable de la 1 re ligne pour amener des zéros dans la première colonne non nulle. 0 1 2 3 1 0 0 2 4 2 0 0 3 6 1 L 3 L 3 2L 1 0 0 2 4 5 L 4 L 4 + L 1 Répéter les opérations 1, 2, 3 et 4 sur les lignes suivantes. 0 1 2 3 1 0 0 1 2 1 L 2 L 2 /2 0 0 3 6 1 0 0 2 4 5 0 1 2 3 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 2 L 3 L 3 + 3L 2 0 0 0 0 3 L 4 L 4 2L 2 0 1 2 3 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 L 3 L 3 /2 0 0 0 0 1 L 4 L 4 /3 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 33 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 34 / 44 Inverse d une matrice 0 1 2 3 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 L 4 L 4 L 3 Soient A R n n. L inverse de A est, si elle existe, la matrice notée A 1 telle que AA 1 = 1 = A 1 A. Matrice d une transformation élémentaire sur les lignes Appliquer une transformation élémentaire sur les lignes d une matrice A revient à calculer TA où la matrice T est l identité 1 dans laquelle on a effectué la même transformation. S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 35 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 36 / 44
Méthode de la matrice compagnon 1 L espace R N A et 1 au départ. Après la première transformation, nous avons : A 1 := T 1 A et I 1 := T 1 1 où T 1 est la matrice de cette première transformation, Après la deuxième transformation, nous avons : A 2 := T 1 A 1 et I 2 := T 2 1 où T 2 est la matrice de la transformation 2, etc. Après la n e transformation, nous avons : 1 = T n A n 1 et I n = T n I n 1 où T n est la matrice de la transformation n. On a 1 = T n T n 1 T 1 A et I n = T n T n 1 T 1 1. Donc 1 = I n A, d où A 1 = I n. Méthode des cofacteurs Propriétés des déterminants S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 37 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 38 / 44 Méthode des cofacteurs Méthode des cofacteurs Rappel : soit la matrice ( ) a b A = c d A est inversible ssi ad bc 0 et on a A 1 = 1 ( ) d b déta c a Mineurs et cofacteurs Soit A une matrice de type n n. Le mineur de l élément a ij, noté M ij, est le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la i e ligne et la j e colonne de A. Le cofacteur de l élément a ij, noté C ij, est le nombre ( 1) i+j M ij. Soit A une matrice de type n n. On a : déta = a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in si on développe suivant la i e ligne de A ; déta = a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a nj C nj si on développe suivant la j e colonne de A. S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 39 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 40 / 44
Matrice adjointe Soit A une matrice de type n n. La matrice adjointe de A, notée adja, est définie par C 11 C 12... C 1n C 21 C 22... C 2n adja =... C n1 C n2... C nn Lien entre déterminant et inversibilité Soit A une matrice de type n n. A est inversible ssi déta 0 et on a A 1 = 1 déta adja. t Systèmes de Cramer Soit Ax = b un système de n équations linéaires à n inconnues tel que déta 0. Alors, le système possède une unique solution (x 1,x 2,...,x n ) donnée par x i = déta i déta pour i = 1,...,n où A i est la matrice A dans laquelle on a remplacé la j e colonne par les éléments de la matrice b. S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 41 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 42 / 44 Propriétés des déterminants Soit A une matrice carrée. Si A contient une ligne ou une colonne de zéros, alors déta = 0. Soit A une matrice carrée. Alors, déta = déta t. Propriétés des déterminants Soit A une matrice carrée. 1 Si B est la matrice obtenue en multipliant une ligne ou une colonne de A par un réel k, alors détb = k déta. 2 Si B est la matrice obtenue en permutant deux lignes ou deux colonnes de A entre elles, alors détb = déta. 3 Si B est la matrice obtenue en ajoutant à une ligne de A un multiple d une autre ligne ou en ajoutant à une colonne de A un multiple d une autre colonne, alors détb = déta. Soit A une matrice carrée contenant deux lignes proportionnelles ou deux colonnes proportionnelles. Alors dét A = 0 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 43 / 44 S. Bridoux (UMH) Mathématique Élémentaire 44 / 44