deux matrices de M n,p (K) et λ K. On définit

CHAPITRE 6 MATRICES Dans tout le chapitre, K désignera R ou C 1 Matrices à éléments dans K 11 Algèbre des matrices Définition 61 Soient n, p N On appelle matrice de taille (n, p) à coefficients dans K un tableau d éléments de K à n lignes et p colonnes Si A est une matrice (n, p) et que l on note (a i, j ) 1 i n ses coefficients, on a : 1 j p A = (a i, j ) 1 i n 1 j p a 1,1 a 1,p = a n,1 a n,p a i, j (avec 1 i n et 1 j p) est appelé le coefficient (ou élément) en i-ème ligne et j-ème colonne de A C est un élément de K Deux matrices sont égales si elles ont même taille et mêmes coefficients On note M n,p (K) l ensemble des matrices à coefficients dans K de taille (n, p) On note 0 Mn,p (K) la matrice de taille (n, p) dont tous les coefficients sont nuls Les matrices de taille (n, 1) sont appelées matrices colonnes Les matrices de taille (1, p) sont appelées matrices lignes Définition 62 Soient A = (a i, j ) 1 i n et B = (b i, j ) 1 i n 1 j p 1 j p A + B = (a i, j + b i, j ) 1 i n 1 j p λa = (λa i, j ) 1 i n 1 j p deux matrices de M n,p (K) et λ K On définit s L addition de matrices se fait donc coefficient par coefficient Pour additionner deux matrices, il faut qu elles soient de même taille (même nombre de colonnes et même nombre de lignes) On notera A pour ( 1)A et A B pour A + ( B) Lycée du Parc 851 1

Chapitre 6 Matrices Proposition 63 Soient n, p N, A, B M n,p (K) et λ, µ K λ(a + B) = λa + λb λa + µa = (λ + µ)a A + B = B + A (l addition est commutative) (A + B) + C = (A + B) + C (l addition est associative) Définition 64 Soient n, p, q N, A M n,p (K) et B M p,q (K) On définit AB = (c i,l ) 1 i n avec c i, j = p a i,k b k, j AB est une matrice (n, q) 1 j q k=1 j b 1,1 b 1, j b 1,q k b k,1 b k, j b k,q b p,1 b p, j b p,q a 1,1 a 1,k a 1,p c 1,1 c 1, j c 1,q i a i,1 a i,k a i,p c i,1 c i, j c i,q a n,1 a n,k a n,p c n,1 c n, j c n,q s Le produit de deux matrices est donc défini si et seulement si le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la deuxième Le produit AB peut donc être défini sans que BA le soit Même si AB et BA sont tous les deux définis, il n y a aucune raison qu ils soient égaux : la multiplication matricielle n est pas commutative On peut très bien avoir AB = 0 avec A 0 et B 0 Exercice 61 Effectuer les produits suivants : ( ) ( ) 1 2 2 0 3 1 ; 1 1 2 0 1 ( ) 1 1 2 2 2 2 0 0 0 ; 3 ( ) ( ) 2 0 3 3 1 2 ; 1 1 2 ( ) 3 4 1 2 3 4 1 Exemple 62 ( ) ( ) 1 1 0 2 1 Soient A = et B = AB et BA sont bien définis, mais AB BA 0 3 1 0 ( ) ( ) 0 2 4 7 2 Soient A = et B = On a AB = 0 alors que A et B sont non nulles 0 0 0 0 Lycée du Parc 851 2

Proposition 65 Soient n, p, q, r N Soient A M n,p (K), B M p,q (K) et C M p,q (K) A(B + C) = AB + AC Soient A M n,p (K), B M n,p (K) et C M p,q (K) (A + B)C = AC + BC Soient A M n,p (K), B M p,q (K) et C M q,r (K) A(BC) = (AB)C Proposition 66 Sous réserve que les multiplications soient bien définies, on a : C x 1 1 C n = x 1C 1 + + x n C n ; x n ( ) x 1 x n A C 1 L 1 L n A = L 1 = ( ) x 1 L 1 + + x n L n ; L n C n = AC 1 AC n ; L 1 A L n A On en déduit que : si A a une ligne nulle, alors AB a une ligne nulle ; si B a une colonne nulle, alors AB a une colonne nulle Définition 67 Soient n, p N et (i, j) 1, n 1, p On note E i, j (n, p) (ou simplement E i, j s il n y a pas d ambiguïté) la matrice de M n,p (K) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d indice (i, j) qui vaut 1 Ces matrices E i, j sont appelées matrices élémentaires Exemple 63 E 1,2 (2, 3) = ( ) 0 1 0, E 0 0 0 3,2 (3, 2) = 0 0 0 0 0 1 Proposition 68 Soit A = (a i, j ) M n,p (K) On a A = 1 i n 1 j p a i, j E i, j Lycée du Parc 851 3

Exemple 64 ( ) 1 3 = 1 2 0 Exercice 65 ( ) 1 0 3 0 0 ( ) 0 1 + 2 0 0 ( ) 0 0 + 0 1 0 ( ) 0 0 = E 0 1 1,1 3E 1,2 + 2E 2,1 Soient n, p, q N Calculer suivant les valeurs de i, j, k et l le produit E i, j (n, p) E k,l (p, q) 12 Transposition Définition 69 Soient n, p N et A = (a i, j ) M n,p (K) On appelle transposée de A, et l on note t A, la matrice (b i, j ) 1 i p M p,n (K) vérifiant : 1 j n (i, j) 1, p 1, n, b i, j = a j,i Les lignes de t A sont les colonnes de A et inversement Exemple 66 La transposée de ( ) ( ) 1 2 3 1 2 2 0 4 est 2 0 3 4 Proposition 610 Soient n, p, q N, λ K, A, B M n,p (K) et C M p,q (K) On a t ( t A) = A t (λa) = λ t A t (A + B) = t A + t B t (AC) = t C t A Plus généralement, si les produits sont bien définis, on a t (A 1 A k ) = t A k t A 1 13 Matrices carrées Définition 611 Pour n N, on note M n (K) l ensemble des matrices à n lignes et n colonnes à coefficients dans K, dites matrices carrées de taille n Autrement dit, M n (K) est simplement une abréviation pour M n,n (K) Définition 612 Soit n N On appelle matrice identité (de taille n), et l on note I n, la matrice de M n (K) dont les coefficients a i, j vérifient : 0 si i j a i, j = 1 si i = j Lycée du Parc 851 4

Autrement dit, la matrice identité est constituée de 1 sur la diagonale (principale) et de 0 ailleurs Proposition 613 Soient n, p N et A M n,p (K) On a I n A = AI p = A Définition 614 Soient n N et A M n (K) On définit par récurrence A p pour p N par : A 0 = I n Pour p N, A p+1 = A A p = A p A Proposition 615 Soient n N, A M n (K) et p, q N A p+q = A p A q (A p ) q = A pq t (A k ) = ( t A) k Proposition 616 Soient n N, A, B M n (K) et p N On suppose que A et B commutent, ie que AB = BA On a alors (AB) p = A p B p (A + B) p = p k=0 ( p ) k A k B p k (formule du binôme) Exercice 67 ( ) ( ) 0 1 3 1 Soient J = et A = 0 0 0 3 1 Calculer J n pour n N 2 En déduire A n pour n N 14 Inverse d une matrice carrée Définition 617 Soient n N et A M n (K) On dit que A est inversible s il existe B M n (K) telle que AB = BA = I n Dans ce cas, B est unique, appelée inverse de A et notée A 1 On note GL n (K) l ensemble des matrices inversibles de M n (K) La propriété 66 montre que si une matrice a une ligne ou une colonne nulle, alors elle n est pas inversible Lycée du Parc 851 5

Proposition 618 Soient n N et A, B M n (K) Si P GL n (K), alors PA = PB A = B AP = BP A = B s Pour éviter les «simplifications» abusives, il faut toujours penser en termes de multiplication : par exemple, pour passer de PA = PB à A = B, on multiplie à gauche par P 1, ce qui n est possible que si P est inversible Cette propriété peut être utilisée pour montrer qu une matrice n est pas inversible (voir exemple 68) Exemple 68 ( ) ( ) ( ) 3 0 0 3 1 1 Soient A =, B = et C = 0 0 0 0 1 1 ( ) 3 3 On a AC = BC = et A B, donc C n est pas inversible 0 0 Proposition 619 Soient n N, A, B GL n (K), λ K et p N I n est inversible, et In 1 = I n λa est inversible, et (λa) 1 = 1 λ A 1 A 1 est inversible et (A 1 ) 1 = A AB est inversible et (AB) 1 = B 1 A 1 A p est inversible et (A p ) 1 = (A 1 ) p t A est inversible et ( t A) 1 = t (A 1 ) Les contraposées peuvent être utiles : par exemple, si A p n est pas inversible, alors A non plus Exercice 69 On considère le polynôme P = X 3 2X 2 + 5X 1 et une matrice A M n (K) telle que P(A) = 0 (ie A 3 2A 2 + 5A I n = 0 M n(k) ) Montrer que A est inversible et déterminer un polynôme Q tel que A 1 = Q(A) Proposition 620 Soient a, b, ( c, d ) K a b La matrice est inversible ssi ad bc 0 c d Dans ce cas, on a ( ) 1 ( ) a b 1 d b = c d ad bc c a 15 Matrices semblables Définition 621 Soient n N et A, B M n (K) A est dite semblable à B si P GL n (K), A = P 1 BP Lycée du Parc 851 6

Proposition 622 Soient n N et A, B, C M n (K) A est semblable à A Si A est semblable à B, alors B est semblable à A On pourra donc plus simplement écrire que A et B sont semblables Si A est semblable à B et B semblable à C, alors A est semblable à C Si A est semblable à I n, alors A = I n Les trois premiers points peuvent se reformuler (dans l ordre) en disant que la relation de similitude est réflexive, symétrique et transitive Exercice 610 Soit P K[X] et A, B M n (K) Montrer que si A et B sont semblables, alors P(A) et P(B) le sont aussi 2 Pivot de Gauss 21 Opérations élémentaires n désigne un entier strictement positif et i et j des éléments de 1, n Définition 623 Si i j, on pose S n,i, j = I n E i,i E j, j + E i, j + E j,i (échange) Si α K, on pose D n,i (α) = I n + (α 1)E i,i (dilatation) Si β K et i j, on pose T n,i, j (β) = I n + βe i, j (transvection) Ces matrices sont appelées matrices d opérations élémentaires Proposition 624 Si i j, S n,i, j est inversible et S 1 n,i, j = S n, j,i = S n,i, j Si α K, D n,i (α) est inversible et ( D n,i (α) ) 1 = D n,i ( 1 α) Si i j, T n,i, j (β) est inversible et ( T n,i, j (β) ) 1 = Tn,i, j ( β) Soit A M n,p (K) S n,i, j A s obtient en échangeant les i-ème et j-ème lignes de A (opération que l on notera L i L j ) AS p,i, j s obtient en échangeant les i-ème et j-ème colonnes de A (opération que l on notera C i C j ) D n,i (α)a s obtient en multipliant la i-ème ligne de A par α (ce que l on notera L i αl i ) AD p,i (α) s obtient en multipliant la i-ème colonne de A par α (ce que l on notera C i αc i ) T n,i, j (β)a s obtient en effectuant sur A l opération L i L i + βl j AT p,i, j (β) s obtient en effectuant sur A l opération C j C j + βc i On ne mentionnera presque jamais les matrices d opérations élémentaires de manière explicite Il faut cependant comprendre qu effectuer une opération élémentaire sur les lignes (respectivement sur les colonnes) d une matrice, c est la multiplier à gauche (respectivement à droite) par la matrice d opération élémentaire qui correspond Quand on enchaîne plusieurs opérations, on multiplie successivement par plusieurs matrices d opérations élémentaires ou, ce qui revient au même, on multiplie une fois par le produit de ces matrices Lycée du Parc 851 7

Comme les matrices d opérations élémentaires sont toutes inversibles et que le produit de matrices inversibles est inversible, effectuer une série d opérations élémentaires sur les lignes de A revient donc à multiplier A à gauche par une certaine matrice inversible P Si les opérations se font sur les colonnes, alors la multiplication sera à droite On s autorisera une opération supplémentaire pour simplifier les calculs : L i αl i + βl j, où i j et α 0 (ainsi que l opération analogue sur les colonnes) On vérifie sans peine que cette opération se décompose en L i αl i puis L i L i + βl j 22 Matrices échelonnées Définition 625 Une matrice de M n,p (K) est dite échelonnée si ses lignes commencent par un nombre strictement croissant de zéros (avec éventuellement plusieurs lignes nulles à la fin) On appelle alors pivots les premiers coefficients non nuls des lignes de A Exemple 611 2 1 3 0 2 1 n est pas échelonnée 0 7 0 2 1 3 0 2 1 est échelonnée et a trois pivots 0 0 7-1 2 0 0 0 0 3 5 est échelonnée et a deux pivots 0 0 0 0 Proposition 626 Soit A M n,p (K) Il existe P GL n (K) telle que PA soit échelonnée La méthode qui permet d échelonner A (par une suite d opérations élémentaires) s appelle méthode du pivot de Gauss C est un algorithme extrêmement important On procède colonne par colonne, en commençant par la première Si elle est nulle, il n y a rien à faire, on passe à la colonne suivante Sinon, on s assure que le coefficient en haut de la colonne est non nul (éventuellement en échangeant la première ligne avec une autre ligne) On annule ensuite tous les autres coefficients de la colonnes grâce à des opérations élémentaires Quand on a terminé de traiter la dernière colonne, la matrice est échelonnée Exemple 612 0 3 2 1 1 4 2 2 3 2 0 1 2 3 1 0 L 1 L 2 Lycée du Parc 851 8

1 4 2 2 0 3 2 1 3 2 0 1 2 3 1 0 L 3 L 3 3L 1 L 4 L 4 2L 1 1 4 2 2 0 3 2 1 L 3 3L 3 + 10L 2 0 10 6 5 L 4 3L 4 + 5L 2 0 5 5 4 1 4 2 2 0 3 2 1 L 4 2L 4 + 5L 2 0 0 2 25 0 0 5 17 1 4 2 2 0 3 2 1 0 0 2 25 0 0 0-159 23 Inversion d une matrice carrée Proposition 627 Soient A M n (K) et P GL n (K) AP inversible PA inversible A inversible Attention, ces équivalences ne sont valables que si l on sait déjà que P est inversible On remarque que si l on a une matrice carrée échelonnée dont les coefficients diagonaux sont non nuls, il est possible de la transformer en I n à l aide d opérations élémentaires On en déduit : Proposition 628 Soit A M n (K) échelonnée A est inversible ssi ses coefficients diagonaux sont non nuls s Attention, c est bien sûr faux si A n est pas supposée échelonnée Il revient au même de dire qu une matrice carrée échelonnée est inversible ssi elle n a pas de ligne nulle Par conséquent, on peut déterminer si une matrice est inversible en l échelonnant grâce au pivot de Gauss et en regardant si ses coefficients diagonaux sont non nuls Considérons une matrice A GL n (K) On peut transformer A en I n à l aide d opérations élémentaires sur les lignes Soit P la matrice (inversible) associée à cette suite d opérations élémentaires, on a donc PA = I n En multipliant par A 1 à droite, on obtient P = A 1 Déterminer A 1 revient donc à déterminer P Or P = PI n, et en interprétant le membre de droite en termes d opérations élémentaires, on voit que P est la matrice obtenue en appliquant à I n la même suite d opérations élémentaires qui transforme A en I n Exemple 613 1 2 1 Considérons A = 1 1 0 1 3 1 Lycée du Parc 851 9

1 2 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 3 1 0 0 1 1 2 1 1 0 0 0 3 1 1 1 0 0 5 2 1 0 1 1 2 1 1 0 0 0 3 1 1 1 0 0 0 1 2 5 3 L 2 L 2 L 1 L 3 L 3 + L 1 L 3 3L 3 + 5L 2 L 2 L 2 + L 3 L 1 L 1 L 3 On peut déjà affirmer que A est inversible 1 2 0 3 5 3 0 3 0 3 6 3 L 2 1 3 L 2 0 0 1 2 5 3 1 2 0 3 5 3 0 1 0 1 2 1 L 1 L 1 2L 2 0 0 1 2 5 3 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 2 1 0 0 1 2 5 3 1 1 1 Donc A 1 = 1 2 1 2 5 3 Proposition 629 Soient A, B M n (K) Si AB est inversible, alors A et B sont inversibles Si AB = I n, alors A et B sont inversibles, BA = I n et A = B 1 Attention à bien vérifier (et préciser) que A et B sont carrées quand on utilise cette propriété Sans cette condition, c est faux : ( 3 2 1 1 2 2) 0 1 ( ) 1 0 1 2 = 0 1 1 1 Exercice 614 0 1 1 2 1 1 ( ) 3 2 1 = 1 2 2 1 6 5 5 6 5 4 2 3 Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles et, le cas échéant, calculer leur inverse : 0 1 0 1 A = 1 1 1 2 1 0 2 2 2 2 B = 1 2 2 1 2 3 2 1 3 3 C = 1 3 1 3 1 7 Lycée du Parc 851 10

3 Matrices particulières Dans toute cette partie, n désigne un entier strictement positif 31 Matrices diagonales Définition 630 Une matrice A = (a i, j ) M n (K) est dite diagonale si i, j 1, n, i j a i, j = 0 s Autrement dit, une matrice est diagonale si tous ses coefficients, sauf éventuellement ceux situés sur la diagonale principale, son nuls On notera Diag(λ 1,, λ n ) la matrice diagonale telle que a 1,1 = λ 1,, a n,n = λ n : λ 1 (0) Diag(λ 1,, λ n ) = Proposition 631 (0) λ n Soient λ 1,, λ n, µ 1,, µ n K Diag(λ 1,, λ n ) Diag(µ 1,, µ n ) = Diag(λ 1 µ 1,, λ n µ n ) Si P K[X], P(Diag(λ 1,, λ n )) = Diag(P(λ 1 ),, P(λ n )) En particulier, si k N, Diag(λ 1,, λ n ) k = Diag(λ k 1,, λk n) Proposition 632 Soient λ 1,, λ n K et A = Diag(λ 1,, λ n ) une matrice diagonale A est inversible ssi k 1, n, λ k 0 Dans ce cas, on a A 1 = Diag ( 1 λ 1,, 1 λ n ) 32 Matrices triangulaires Définition 633 Soit A = (a i, j ) M n (K) A est dite : triangulaire supérieure si i, j 1, n, i > j a i, j = 0 a 1,1 a 1,n A = (0) triangulaire inférieure si i, j 1, n, i < j a i, j = 0 a 1,1 a n,n (0) A = a n,1 a n,n Lycée du Parc 851 11

Proposition 634 Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure Le produit de deux matrices triangulaires inférieures est une matrice triangulaire inférieure Dans les deux cas, les coefficients diagonaux du produit sont égaux au produit des coefficients diagonaux Proposition 635 Une matrice triangulaire A est inversible ssi ses coefficients diagonaux sont non nuls Dans ce cas, son inverse est triangulaire supérieure si A est triangulaire supérieure, triangulaire inférieure si A est triangulaire inférieure De plus, les coefficients diagonaux de l inverse sont les inverses des coefficients diagonaux de A 33 Matrices symétriques Définition 636 Une matrice A M n (K) est dite symétrique si t A = A antisymétrique si t A = A On note S n (K) l ensemble des matrices symétriques de M n (K) et A n (K) l ensemble des matrices antisymétriques de M n (K) s A est symétrique ssi i, j 1, n, a i, j = a j,i A est antisymétrique ssi i, j 1, n, a i, j = a j,i A est symétrique si elle est «symétrique par rapport à sa diagonale» Les coefficients diagonaux d une matrice antisymétrique sont nécessairement nuls Exemple 615 Les matrices diagonales sont symétriques 1 2 1 0 2 0 2 0 3 est symétrique, 2 0 3 antisymétrique 1 3 5 0 3 0 Exercice 616 Montrer que M M n (K)!(S, A) S n (K) A n (K), M = S + A Exercice 617 Soient A, B S n (K) Montrer que AB est symétrique ssi A et B commutent 4 Systèmes linéaires 41 Forme matricielle d un système linéaire Soit (S ) un système linéaires à n équations et p inconnues x 1,, x p dans K : a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + + a 1,p x p = b 1 (S ) a n,1 x 1 + a n,2 x 2 + + a n,p x p = b n Lycée du Parc 851 12

On peut associer à ce système les matrices A = (a i, j ) M n,p (K), X = et B = Le système (S ) est alors équivalent à l équation matricielle AX = B d inconnue X M p,1 (K) Définition 637 Soit (S ) : AX = B un système linéaire On appelle système homogène associé à (S ), et l on note (S H ), le système (S H ) : AX = 0 Mn,1 (K) (S ) est dit homogène si (S ) = (S H ) (ie si B = 0) x 1 x p b 1 b n Proposition 638 Soient (S ) un système linéaire, (S H ) le système homogène associé et X 0 M p,1 (K) une solution de (S ) Pour tout X M p,1 (K), X est solution de (S ) ssi X X 0 est solution de (S H ) 42 Méthode de résolution Si P GL n (K), on a AX = B PAX = PB On peut donc utiliser des opérations élémentaires sur les lignes (simultanément sur A et sur B) pour résoudre un système Pour faciliter cela, on travaillera sur la matrice (A B) obtenue en concaténant A et B On échelonne A via des opérations sur les lignes On obtient (A B ) avec A échelonnée Le système a des solutions ssi les lignes nulles de A sont les lignes nulles de (A B ) Dans ce cas, on appelle inconnues principales les inconnues qui correspondent à un pivot de A, inconnues secondaires les autres On continue à opérer sur les lignes de A de manière à rendre les pivots égaux à 1 et à mettre des 0 au dessus des pivots S il n y a pas d inconnues secondaires, le système a une unique solution que l on peut lire directement Sinon, on donne l ensemble des solutions en exprimant les inconnues secondaires en fonction des inconnues principales Exemple 618 On considère le système suivant, d inconnues x, y, z K : On met sous forme matricielle et on échelonne : 2 3 1 5 3 1 2 2 L 2 2L 2 3L 1 1 4 1 1 L 3 2L 3 L 1 2 3 1 5 0-11 1 11 0 11 1 3 L3 L 3 L 2 2 3 1 5 0-11 1 11 0 0 0 8 2x + 3y + z = 5 3x y + 2z = 2 x 4y + z = 1 La dernière ligne s interprète 0x + 0y + 0z = 8, ce qui est impossible : le système n a pas de solution Lycée du Parc 851 13

Exemple 619 On considère le système suivant, d inconnues x, y, z, t K : x +2y +z +t +u = 3 ; x +3y +3z +4u = 1 ; x 2y z +t +3u = 1 ; 2x +4y +2z +2t +2u = 6 1 2 1 1 1 3 1 3 3 0 4 1 1 2 1 1 3 1 2 4 2 2 2 6 1 2 1 1 1 3 0 1 2 1 3 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0 0 0 0 L 2 L 2 L 1 L 3 L 3 + L 1 L 4 L 4 2L 1 L 3 1 2 L 3 Le système a des solutions (la seule ligne nulle de A correspond bien à un 0 dans B) On a 3 inconnues principales x, y, t et 2 inconnues secondaires z, u : on passe à l étape suivante 1 2 1 1 1 3 L 1 L 1 2L 2 0 1 2 1 3 4 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 1 0 3 3 5 11 L 1 L 1 3L 3 0 1 2 1 3 4 L 2 L 2 + L 3 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 1 0 3 0 11 5 0 1 2 0 5 2 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 On exprime alors les inconnues principales en fonction des inconnues secondaires : x = 5 + 3z + 11u y = 2 2z 5u t = 2 2u À chaque choix de valeurs pour les inconnues secondaires u et z correspondent donc d uniques valeurs de x, y et t telles que (x, y, z, t, u) soit solution du système On peut alors donner l ensemble des solutions sous forme paramétrique : { (5 + 3z + 11u, 2 2z 5u, z, 2 2u, u), (z, u) K 2 } 43 Systèmes de Cramer Définition 639 Un système linéaire (S ) : AX = B est dit de Cramer s il admet une unique solution Lycée du Parc 851 14

Proposition 640 Soit (S ) : AX = B un système linéaire (S ) est de Cramer ssi A est inversible Dans ce cas, l unique solution est donnée par X = A 1 B (S ) est de Cramer ssi le système homogène (S H ) associé est de Cramer Lycée du Parc 851 15

Travaux dirigés Exercice 620 ( ) cos θ sin θ Pour θ R, on pose R θ = sin θ cos θ 1 Montrer que pour tous θ, θ R, R θ R θ = R θ+θ Exercice 621 2 En déduire la valeur de 1 2 3 2 3 2 1 2 2011 Une matrice de M n (R) est dite stochastique si ses coefficients sont positifs ou nuls et que la somme de chacune de ses lignes vaut 1 Montrer que le produit de deux matrices stochastiques est stochastique Exercice 622 ( ) 1 1 Soit A = 1 1 1 Déterminer A n pour n N 2 Soient x 0, y 0 R On définit deux suites (x n ) n N et (y n ) n N par x n+1 = x n y n n N y n+1 = x n + y n Pour n N, on pose X n = ( ) xn y n a Pour n N, exprimer X n+1 en fonction de A et de X n b En déduire les expressions de x n et y n en fonction de x 0, y 0 et de n N Exercice 623 4 2 2 0 0 0 4 2 2 Soient A = 0 0 0, B = 3 4 3 et C = 3 4 3 4 2 2 3 4 3 1 2 1 1 Calculer AB et BA 2 Calculer A 2 et en déduire la valeur de A n pour n N 3 Calculer B 2 et en déduire la valeur de B n pour n N 4 Déduire de ce qui précède la valeur de C n pour n N Exercice 624 0 1 1 On considère un réel a et les matrices J = 0 0 1, B = ai 3 et A = J + B 0 0 0 1 Calculer B n et J n pour n N 2 En déduire la valeur de A n pour n N Lycée du Parc 851 16

Exercice 625 3 1 1 1 1 1 On considère les matrices A = 1 3 1 et B = 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 Calculer B n pour n N Exercice 626 2 En déduire que pour n N, A n = 2 n I 3 + 5n 2 n 3 B Déterminer si c est possible l inverse des matrices suivantes 1 2 1 2 1 2 4 1 2 5 3 2 3 1 1 1 3 3 1 7 Exercice 627 1 0 2 1 Soit A = 1 2 2 1 1 1 Exercice 628 a Calculer A 3 4A 2 + A + 6I 3 1 0 1 2 0 1 2 3 3 1 2 3 4 2 3 4 5 1 2 1 0 1 2 2 3 4 0 1 1 1 2 3 2 3 b En déduire que A est inversible et exprimer son inverse en fonction de A 2 Généralisation : Soit A M n (K) et P = d c k X k K[X] tel que P(A) = 0 (on dit que P est un polynôme annulateur de A) Montrer que si c 0 0, alors A est inversible Soit A = (a i, j ) M n (K) On appelle trace de A, et l on note Tr A le scalaire k=0 Tr A = Autrement dit, la trace d une matrice carrée est la somme de ses coefficients diagonaux 1 Montrer que pour tous A, B M n (K) et λ K, Tr(A + λb) = Tr(A) + λ Tr(B) Exercice 629 n k=1 a k,k 2 Montrer que pour tous A, B M n (K), on a Tr(AB) = Tr(BA) 3 En déduire que deux matrices semblables ont la même trace Soit (u n ) n N la suite définie par u 0 = 0, u 1 = 1, u 2 = 2 et n N, u n+3 = 6u n+2 11u n+1 + 6u n 0 1 0 1 1 1 On pose A = 0 0 1 et P = 1 2 3 6 11 6 1 4 9 1 Montrer que P est inversible et calculer P 1 AP 2 En déduire la valeur de A n pour n N 3 Calculer u n pour n N Lycée du Parc 851 17

Exercice 630 On cherche à déterminer les matrices A M n (K) telles que B M n (K), AB = BA 1 Soit A M n (K) Calculer AE k,l et E k,l A pour l, k 1, n 2 Conclure Exercice 631 Résoudre les systèmes linéaires suivants : 1 2 3x y + z = 5 2x + y z = 1 x y + z = 2 4x + y + z = 3 2x + y z = 1 3x + 3y z = 2 2x + 4y = 2 3 4 5 2x + y + z = 1 x y z = 2 4x y z = 5 x + y + z t = 1 x y z + t = 2 x y z t = 3 2x + y iz = 1 ix y + z = 2 4x + y + z = 3 Exercice 632 Discuter suivant les valeurs des paramètres réels λ et m les solutions dans R des systèmes suivants 1 x y + z = λx x + y + z = λy x + y + z = λz 2 x my + m 2 z = 2m mx m 2 y + mz = 2m mx + y m 2 z = 1 m Exercice 633 m 1 1 On considère la matrice A = 1 m 1, où m R 1 1 m Déterminer les valeurs de m pour lesquelles A est inversible, et calculer dans ce cas son inverse Lycée du Parc 851 18

Études Exercice 634 0 a b 1 On se donne une matrice A A 3 (R) que l on écrit sous la forme A = a 0 c b c 0 On pose α = a 2 + b 2 + c 2 Exercice 635 a Montrer que A 3 = αa b En déduire que A n est pas inversible c Montrer que n N, A 2n+1 = ( α) n A d En déduire que, s il existe un entier n N tel que A n = 0 Mn (R), alors A = 0 Mn (R) 2 On se donne maintenant S S n (R), où n N a Montrer que si S 2 = 0 Mn (R), alors S = 0 Mn (R) On pourra s intéresser aux coefficients diagonaux de S 2 b Montrer que, pour tout entier k N, on a S 2k = 0 Mn (R) S = 0 Mn (R) c En déduire que, s il existe p N tel que S p = 0 Mn (R), alors S = 0 Mn (R) Soit n N, n 2 On s intéresse aux matrices de M n (R) dont le carré vaut 0 n On note F n = { } M M n (R) ; M 2 = 0 n et M 0 n 1 a Déterminer si ( ) ( ) 0 1 0 0 et 1 1 1 1 sont dans F2 b La somme de deux éléments de F 2 est-elle nécessairement dans F 2? c Le produit de deux éléments de F 2 est-il nécessairement dans F 2? d La transposée d un élément de F 2 est-elle nécessairement dans F 2? 2 Quelques résultats généraux a Montrer que tout élément de F n est non inversible b Soient C, D F n Montrer que (C + D) F n (CD + DC = 0 n et C + D 0 n ) c Soit A F n On pose B = A + I n i Exprimer B 2 comme combinaison linéaire de B et I n En déduire que B est inversible et déterminer son inverse ii Soit k N Exprimer B k comme combinaison linéaire de A et I n iii Soit p N Exprimer p B k comme combinaison linéaire de A et I n k=0 ( ) 1 1 3 d Soit A = 2 2 6 1 1 3 i A-t-on A F 3? ii Déterminer (A + I 3 ) 1 3 Étude du cas n = 2 a Déterminer F 2 On posera M = ( ) a b c d, on distinguera les cas b = 0 et b 0 et l on exprimera M en fonction d un ou deux paramètres selon les cas b Soit A = ( 2 1 4 2 ) Déterminer l ensemble des B F2 telles que A + B F 2 Lycée du Parc 851 19

Exercice 636 a b b Soient a, b K et M = b a b b b a Calculer M n pour n N Exercice 637 Pour n N, on pose A n = Déterminer A n n Exercices supplémentaires ( ) 1 1 n 1 n 1 Exercice 638 0 1 0 Soit J = 1 0 1 0 1 0 1 Montrer qu il existe trois suites u, v, w telles que, pour tout n N, on ait u n v n u n J n = v n w n v n u n v n u n Exercice 639 On précisera les relations de récurrence que vérifient ces suites 2 Trouver une relation entre u n et u n+2 pour n N 3 En déduire les termes généraux de (u n ), (v n ) et (w n ) Soit n N et A = (a i, j ) la matrice de M n (R) telle que pour i, j 1, n, on ait a i, j = i j Déterminer A 2 puis A p et (I n + A) p pour p N Exercice 640 Soient n N et A, B M n (K) Montrer que si A + B = AB, alors I n A est inversible Exercice 641 2 + b 0 2 Soient b R et M = 0 b 0 2 0 2 + b Exercice 642 1 Donner une condition nécessaire et suffisante sur b pour que M soit inversible 2 Calculer M n pour n N Soit A M n (R) telle que A t AA = I n Montrer que A S n (R) Lycée du Parc 851 20

Exercice 643 Pour n N, on considère la matrice A = (i + j) 1 i, j n de M n (R) Déterminer, suivant la valeur de n, si A est inversible Exercice 644 Soient n N et A, B M n (R) On suppose que A, B et A B sont inversibles Montrer que A 1 B 1 est inversible et déterminer son inverse Lycée du Parc 851 21