CORRECTION DU BREVET BLANC N 2 EXERCICE 1 (5,5 POINTS) 1) La vitesse moyenne d un coureur parcourant 18 km en une heure est égale à celle d une voiture télécommandée qui parcourt 5 m par seconde : VRAI car 5m/s = 5 x3600 m /h = 18 000 m /h = 18 km/h 2) (3x - 5) 2 = 9x 2 25 FAUX car (3x - 5) 2 = (3x) 2 2 x 3 x x5 + 5² = 9 x ² - 30 x + 25 3) PGCD (18 ; 36) = 9 FAUX car PGCD (18 ; 36) = 18 ( en effet, 18 x 2 =36) 4) Le double de est. VRAI car 5) = 13 FAUX car EXERCICE 2 (4 POINTS) On considère le programme de calcul suivant : Choisir un nombre. Calculer le carré de ce nombre. Multiplier par 10. Ajouter 25. Ecrire le résultat. 1) Erwann a choisi 2 comme nombre de départ et il obtenu 65. Vérifier par un calcul que son résultat est exact. 2² = 4 ou bien 2² x 10 + 25 = 4 x 10 + 25 4 x 10 = 40 = 40 + 25 40 + 25 = 65 = 65 Avec on trouve 65. 2) On choisit comme nombre de départ. Que trouve-t-on comme résultat? ou bien x 10 + 25 = 2x 10 + 25 2 x 10 = 20 = 20 + 25 20 + 25 = 45 = 45 Avec on trouve 45. 3) Ronan affirme que si le nombre de départ est un nombre entier pair alors le résultat est pair. A-t-il raison? Ronan a tort puisque 2 est un nombre entier pair mais le résultat qui correspond est 65 qui est impair. 4) Samuel affirme que le résultat est toujours positif quel que soit le nombre choisi au départ. A-t-il raison? Samuel a raison car quel que soit le nombre de départ, son carré sera toujours positif. Ensuite on ajoute 25 qui est aussi positif, donc le résultat sera aussi positif! 6
EXERCICE 3 (6 POINTS) On considère les fonctions f : x f ( x ) = 5x² + x 7 et g : x g ( x ) = 2x 7 1. Calculer l image de ( 3) par la fonction f. On a f ( x ) = 5x² + x 7 donc f ( 3 ) = 5 ( 3)² + ( 3) 7 = 5 9 3 7 = 45 3 7 = 35 Donc l image de 3 est 35 2. Calculer l antécédent de ( 15) par la fonction g. On a g ( x ) = 2x 7 = 15 2x 7 = 15 2x = 15 + 7 2x = 8 x = Donc l antécédent de -15 par g est -4 3. On donne le tableau ci dessous obtenu à l aide d un tableur : a) Lire l image de 2 par la fonction f. f ( 2 ) = 15 b) Lire l antécédent de ( 9) par la fonction g. g ( 1 ) = 9 c) Quelle formule doit on saisir dans la cellule B3? = 2 * B1 7 4. a) Déduire de la feuille de calcul une solution de l équation 5x² + x 7 = 2x 7. 5x² + x 7 = 2x 7 si x = 0 car pour on a bien la même valeur pour f et g b) Cette équation a t elle une autre solution que celle trouvée avec le tableur? Si oui, laquelle? On résout l équation : 5x² + x 7 = 2x 7 5x² + x 2x = 7 + 7 5x² x = 0 x ( 5x 1 ) = 0 un produit est nul si au moins l un de ses facteurs est nul. Donc on a x = 0 ou 5x 1 = 0 5x = 1 x =15 L équation admet deux solutions x 1 = 0 et x 2 =15 EXERCICE 4 (3 POINTS) Quand un avion n est plus très loin de l aéroport de Toulouse, le radar de la tour de contrôle émet un signal bref en direction de l avion. Le signal atteint l avion et revient au radar 0,000 3 seconde après son émission. 1) Sachant que le signal est émis à la vitesse de 300 000 kilomètres par seconde, vérifier qu à cet instant, l avion se trouve à 45 kilomètres du radar de la tour de contrôle. 7
Sachant que le signal est émis à la vitesse de 300 000 kilomètres par seconde, vérifier qu à cet instant, l avion se trouve à 45 kilomètres du radar de la tour de contrôle. Méthode 1: formule de la vitesse donc avec un produit en croix : Méthode 2: avec un tableau de proportionnalité Distance en kilomètres 300 000 Temps en secondes 1 0, 0003 Et par un produit en croix, on obtient : On trouve 90km mais, le signal faisant un aller-retour, l avion se trouve bien à 45km du radar! 2) La direction radar-avion fait un angle de 5 avec l horizontale. ( L angle mesure 5 ) Calculer l altitude de l avion à cet instant. On arrondira à la centaine de mètres près. On négligera la hauteur de la tour de contrôle. Le triangle AIR est rectangle en I, Donc Donc l avion est à 3,9km d altitude arrondi au mètre près. EXERCICE 5 (4 POINTS) David est élève de 3 ème d un collège. Il mesure 1,80 m et lors d un cours d EPS sur le terrain de rugby, il a fait une petite expérience. Il a d abord posé sur le sol, à partir du poteau de rugby, des plots coniques régulièrement espacés à chacun de ses pas, jusqu à la limite de l ombre du poteau sur le sol. Puis il s est placé exactement comme indiqué sur le croquis ci-dessous, au niveau du 7 ème plot (pour que le haut de sa tête soit à la limite de l ombre). Calculer la hauteur des poteaux en expliquant clairement la démarche. Les poteaux et David sont supposés perpendiculaires au sol. Comme les poteaux et David sont supposés perpendiculaires au sol, on peut considérer que (SR) et (KL) sont perpendiculaires à (SL). Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Donc (SR) et (KL) sont parallèles. Et les droites (RK) et (SL) sont sécantes en A. Donc d après le théorème de Thalès on a : Ce qui donne : Avec un produit en croix, on obtient : Les poteaux mesurent donc 6m. = 6m AL = 3 écarts de plots et AS = 10 écarts 8
EXERCICE 6 (5,5 POINTS) Dans cet exercice, on utilisera et on complètera la figure de l annexe 1. Il faudra ensuite la coller dans votre copie. Un après-midi, Juliette observe son poisson Roméo en se plaçant au dessus de son aquarium de forme sphérique. Elle remarque le drôle de manège de son poisson nageant à la surface : - Il part d une paroi de l aquarium et nage 12 cm avant d atteindre à nouveau la paroi. - Il change alors de direction et nage encore 5 cm avant d atteindre à nouveau la paroi se trouvant alors en un point diamétralement à son point de départ. - Il rejoint directement son point de départ. Le poisson effectue chaque déplacement en ligne droite. 1) Compléter la figure de l annexe 1 en représentant le déplacement de Roméo à la surface de l eau vue de dessus. 2) Quelle est la nature de la figure parcourue par Roméo? Justifier. Le parcours de Roméo est le triangle DAB. Ce triangle est inscrit dans le cercle et son côté [BD] est un diamètre. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle et pour hypoténuse ce diamètre. Donc DAB est un triangle rectangle en A. 3) Calculer la distance totale parcourue par Roméo. On applique la propriété de Pythagore dans le triangle ABD rectangle en A : BD² = AD² + AB² donc BD² = 12² + 5² BD² = 144 + 25 = 169 BD = = 13 Périmètre de ABD : AD + AB + BD = 12 + 5 + 13 = 30 cm La distance totale parcourue par Roméo est 30 cm. EXERCICE 7 (4 POINTS) Une famille de quatre personnes hésite entre deux modèles de piscine. Elle regroupe des informations afin de prendre sa décision. Information 1 : Voici les deux modèles de piscine : Information 2 : La construction d une piscine de surface au sol de moins de 10 m² ne nécessite aucune démarche administrative. Information 3 : Surface minimale conseillée par baigneur : 3,40 m². Information 4 : Aire d un octogone régulier : A octogone = 2 x R² où R est le rayon de l octogone. 1) Chacun des modèles proposés impose-t-il des démarches administratives? 9
La piscine «ronde» a une emprise au sol de : π R²=π 1,7 2 9,08 m² soit moins de 10 m² donc il n y a pas de formalité. La piscine «octogonale» a une emprise au sol de : 2 R²=2 2,2 2 13,69 m² soit plus de 10 m²: il faudra une démarche administrative. 2) Les quatre membres de la famille veulent pouvoir se baigner en même temps. Expliquer pourquoi la famille doit dans ce cas choisir la piscine octogonale. Pour quatre baigneurs il est conseillé une surface minimale de 4 3,4= 13,6m², donc la piscine «ronde» est trop petite et la piscine «octogonale» est juste suffisante car 13,69 > 13,6. Il faut donc choisir la piscine «octogonale». EXERCICE 8 (4 POINTS) Lise fait des bracelets avec de la pâte à modeler. Ils sont tous constitués de 8 perles rondes et 4 perles longues. Cette pâte à modeler s achète par blocs qui ont tous la forme d un pavé droit dont les dimensions sont précisées sur le croquis ci-contre. La pâte se pétrit à volonté et durcit ensuite à la cuisson. Informations perles : Une perle ronde a la forme d une boule de 8 mm de diamètre Une perle longue à la forme d un cylindre de 16 mm de hauteur et de 8 mm de diamètre. Lise achète deux blocs de pâte à modeler : - un bloc de pâte à modeler bleu pour faire les perles rondes. - un bloc de pâte à modeler blanche pour faire les perles longues. Combien de bracelets peut-elle ainsi espérer réaliser? Volume du pavé de pâte à modeler : V= h x l x L Volume d une perle ronde : V = 2 x 6 x 6 = 72 cm 3 = 72 000 mm 3 Volume d une perle cylindrique : 8 268,08 Nombre de bracelets obtenus avec la pâte à modeler bleu : 72 000 : 8 72 000 : 33,5 Avec la pâte bleu, on pourrait faire 33 bracelets, mais seulement 22 avec la blanche. Donc elle ne pourra faire que 22 bracelets. Nombre de bracelets obtenus avec la pâte à modeler blanche : 72 000 : 4 = 72000 : (4 x 256 3216,9 10