1 Afin de décrire le mouvement d un solide, il faut : Thème : Lois et modèles Partie : Temps, mouvement et évolution. Cours 16 : Cinématique - Mouvement d un point au cours du temps. Comment décrire le mouvement d un solide? - choisir un système (généralement le solide en mouvement). - choisir un repère d espace et de temps (référentiel). - effectuer le bilan des forces extérieures qui s exercent sur ce solide (voir le cours sur les lois de Newton) - définir le vecteur de position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération. - déterminer sa trajectoire. I. Notion de système. En cinématique, on s intéresse au mouvement d un objet dans un référentiel donné. Cet objet constitue le système étudié. Le système peut être indéformable (solide) ou déformable (pâte à modeler). Dans les études cinématiques suivantes, les systèmes sont assimilés à des points. On assimilera un solide à un point matériel qui est confondu avec le centre d inertie du solide et dont la masse est celle du solide considéré. Exemples : Le système est le {ballon} qui peut être assimilé à un solide indéformable. Le système peut-être également assimilé à un point. Ce point est le centre d inertie du ballon. Le système est {homme-parachute} qui peut être «assimilé» à un solide indéformable. Le centre d inertie est le point ayant la trajectoire la plus simple (rectiligne, parabolique). II. Choix du référentiel d étude. Un référentiel est un repère d espace et de temps. Référentiel héliocentrique Référentiel géocentrique Référentiel terrestre Origine du repère : Centre du Soleil Axes du repère : Axes dirigées vers trois étoiles lointaines considérées fixes. Applications : Etude des mouvements des planètes, des comètes Origine du repère : Centre de la Terre Axes du repère : Axes dirigées vers trois étoiles lointaines considérées fixes. Applications : Etude des mouvements de la Lune et des satellites artificiels. Origine du repère : Origine choisi dans le laboratoire Axes du repère : Axes orthonormés. Applications : Etude des mouvements sur Terre, au laboratoire. L ensemble de ces référentiels sont supposés galiléens. Un référentiel est dit galiléen si le principe d inertie est applicable dans celui-ci.
2 III. Bilan des forces. Il est essentiel de faire le bilan des forces afin de déterminer si le mouvement sera uniforme (les forces se compensent) ou varié (accéléré ou ralenti) (les forces ne se compensent pas). Cas de la chute d un parachutiste soumis à 3 forces : - Le poids P d expression P = m g Direction : verticale, sens : vers le bas, norme P = mg, point d application : centre d inertie G. - La poussée d Archimède d expression π = ρ V g u où u est un vecteur unitaire dirigé vers le bas. Direction : verticale, sens : de bas en haut, norme = Vg, point d application : centre d inertie du système immergé. est la masse volumique du fluide et V le volume du fluide déplacé. - La force de frottement d expression (pour les vitesses faibles) f = k v u avec u vecteur unitaire vertical vers le bas. k est le coefficient de frottement. f (direction : celle du mouvement, sens : opposé au mouvement, norme : f =kv, point d application : le point de contact entre le support et le système. Schéma 1 Schéma 2 Schéma 3 Dans quelle(s) situations(s) a-t-on un mouvement rectiligne uniforme? Un mouvement rectiligne accéléré? IV. Description du mouvement d un point au cours du temps : vecteurs position, vitesse et accélération dans le cas des mouvements rectilignes. 1. Caractéristiques des mouvements rectilignes. 1.1. La trajectoire. La trajectoire d un point M animé d un mouvement rectiligne est une droite. La position de l objet est déterminée à chaque instant par son abscisse. Le vecteur position est : OM = xi 1.2. Le vecteur vitesse v 1.2.1. La vitesse instantanée. On distingue la vitesse moyenne de la vitesse instantanée. La vitesse moyenne est calculée sur une longue durée, tandis que la vitesse instantanée est définie sur un intervalle de temps très court. v = lim [ x 2 x 1 t 2 t 1 ] quand t2 tend vers t1. La vitesse instantanée d un point donne des renseignements plus précis que la vitesse moyenne.
3 1.2.2. Le vecteur vitesse d un objet animé d un mouvement rectiligne est défini par : v = dom Comme OM = xi alors v = dom = dx i, dx nous pouvons écrire que vx = Caractéristiques du vecteur vitesse d un point animé d un mouvement rectiligne. - Direction : celle de la trajectoire (trajectoire et tangente sont confondues dans ce cas). - Sens : celui du mouvement (déterminé par le signe de vx) - Intensité : v = vx On remarque que la vitesse peut être positive ou négative selon l orientation du vecteur vitesse par rapport à l orientation de l axe (Ox) choisi. On dit que la vitesse est une grandeur algébrique. 1.3. Le vecteur accélération a. Le vecteur accélération d un objet animé d un mouvement rectiligne est défini par : a = dv Comme v = v x i alors a = dv = dv x i Nous pouvons écrire que ax = dv x Caractéristiques du vecteur accélération d un point animé d un mouvement rectiligne. - Direction : celle de la trajectoire (trajectoire et tangente sont confondues dans ce cas). - Sens : déterminé par le signe de ax. - Intensité : a = ax
4 2. Le mouvement rectiligne uniforme. 2.1. Définition. Dans un repère donné, un point est animé d un mouvement rectiligne uniforme si son vecteur vitesse reste constant (ce qui signifie que le sens, la direction et l intensité du vecteur vitesse ne varient pas). 2.2. Caractéristiques d un mouvement rectiligne uniforme. 2.2.1. Le vecteur vitesse v. v = v x i alors vx = constante. 2.2.2. L équation horaire d un mouvement rectiligne uniforme. Question : Quelle est la fonction du temps x(t) qui, dérivée une fois par rapport au temps t, donne une constante? Réponse : C est une fonction du premier degré. L équation horaire du mouvement rectiligne uniforme est donc : x = vxt + x0 x0 est une constante qui précise l abscisse du mobile à l instant t = 0. Généralement, on peut écrire x = vxt. 2.2.3. Le vecteur accélération a. Question : Quelle est la valeur de l accélération? Réponse : ax = 0 ou a = 0 (expression du vecteur accélération). 3. Le mouvement rectiligne uniformément varié. 3.1. Définition. Dans un repère donné, un point est animé d un mouvement rectiligne uniformément variée si son vecteur accélération reste constant (ce qui signifie que le sens, la direction et l intensité du vecteur accélération ne varient pas). Ce qui peut se traduire également par le fait que la vitesse varie de manière uniforme (sans à coup). Elle augmente ou diminue régulièrement. 3.2. Caractéristiques d un mouvement uniformément varié. 3.2.1. Le vecteur accélération a. a = constante ax = dv x = constante
5 3.2.2. Le vecteur vitesse v. Question : Quelle est la fonction du temps v(t) qui, dérivée une fois par rapport au temps t, donne une constante? Réponse : C est une fonction du premier degré. L équation horaire du mouvement rectiligne uniforme est donc : vx (t)= ax t + v0x v0x est une constante qui précise la vitesse du mobile à l instant t = 0. 3.2.3. L équation horaire. Nous avons deux relations qui permettent de calculer la vitesse vx vx (t) = dx et vx (t) = axt + v0x Question : Quelle est la fonction du temps v(t) qui, dérivée une fois par rapport au temps t, donne une fonction du premier degré de t? Réponse : C est une fonction du second degré. L équation horaire du mouvement rectiligne uniformément varié est donc : x(t) = 1 2 a xt 2 + v ox t + x 0 x0 est une constante qui précise l abscisse du mobile à l instant t = 0. 3.3. Mouvement rectiligne uniformément accéléré et ralenti. Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré si les vecteurs accélération a et vitesse v sont dans le même sens. M a v Le produit scalaire a v > 0 Le mouvement est rectiligne uniformément ralenti si les vecteurs accélération a et vitesse v sont dans des sens opposés. Le produit scalaire a v < 0 M a v Le mouvement sera uniforme si a v = 0
6 V. Description du mouvement d un point au cours du temps : vecteurs position, vitesse et accélération dans le cas des mouvements circulaires. 1. Caractéristiques des mouvements circulaires. 1.1. La trajectoire. La trajectoire est un cercle de centre O et de rayon R. La position de l objet est déterminée à chaque instant par : - son abscisse curviligne notée s = M 0 - ses coordonnées cartésiennes x et y. - la mesure de l angle appelé abscisse angulaire. La relation liant s, R et est s = R s et R sont exprimés en mètre et en radian (sans dimension). Un cercle de rayon R 1 a un périmètre L 1. Un cercle de rayon R 2 a un périmètre L 2. On a : L 1 R 1 = L 2 R 2 = 2π De même on a : s R = θ 1.2. Le vecteur vitesse v Nous pouvons écrire que v = ds v est appelée vitesse linéaire. Caractéristiques du vecteur vitesse d un point animé d un mouvement circulaire - Direction : tangente à la trajectoire. - Sens : celui du mouvement. - Intensité : v = vx = constante.
7 1.3. La vitesse angulaire et vitesse linéaire. Pour une trajectoire circulaire, on a s = R Dérivons par rapport au temps. ds = d(rθ) = R dθ = Rω = dθ Alors v = R 1.4. Le vecteur accélération a. Prenons le cas d un vecteur accélération quelconque. Cas d un mouvement circulaire uniforme : Il y a-t-il une accélération? Oui! Prenons pour exemple le mouvement de La Terre considéré circulaire autour du Soleil. La vitesse linéaire peut être alors considérée constante. Donc a = 0, mais pourtant il existe la force gravitationnelle attractive. Le vecteur a a deux composantes dans la base dite de «Frenet» - La composante vectorielle tangentielle : a τ = dv - La composante vectorielle normale : a n = v2 R On a vu en 1 ère S que l on peut écrire F = ma. Alors il existe une accélération normale an dirigée vers le centre du Soleil.
8 2. Le mouvement circulaire uniforme et non uniforme 2.1. Définition. Dans un repère donné, un point est animé d un mouvement circulaire uniforme si les caractéristiques du vecteur accélération sont les suivantes : Caractéristiques du vecteur accélération d un point animé d un mouvement circulaire uniforme. - Direction : celle du rayon OM. Le vecteur accélération est radial. - Sens : Toujours de M vers O car an est toujours positif. Le vecteur accélération est centripète. - Intensité : a = an = v2 R avec v = constante. Autres expressions de l accélération normale : an = v2 = (Rω)2 = Rω 2 = ωv R R 2.2. Exemple de mouvement circulaire uniforme. On peut considérer selon quelques approximations que le mouvement de la Terre autour du Soleil est circulaire uniforme. Question : Quelles sont ces approximations? Réponse : la nature elliptique de la trajectoire, la variation de vitesse linéaire en fonction de sa distance au Soleil. 2.3. Exemple de mouvement circulaire non uniforme. 2.3.1. Mouvement circulaire uniformément accéléré. Le mouvement est circulaire uniformément accéléré quand les vecteurs accélération tangentielle a τ et vitesse v G sont dans le même sens. Base de Frenet : vecteurs unitaires tangentiel et normal. 2.3.2. Mouvement circulaire uniformément ralenti. Le mouvement est circulaire uniformément ralenti quand les vecteurs accélération tangentielle a τ et vitesse v G sont dans le sens opposé.
9 VI. Graphiques représentant des mouvements de mobiles. Attribuer à chaque graphique, les situations proposées. (Source des graphiques : wikipedia). Figure n 1 Figure n 2 Figure n 3 Figure n 4 Figure n 5 Figure n 6 Situations : Situation A : Une voiture roule à vitesse constante sur une route droite. Situation B : Un objet tombe en chute libre verticalement. Situation C : Une pierre accrochée à une fronde en rotation uniforme.
10 Réponses : Les graphiques n 1, 3 et 4 correspondent à la situation A. La distance parcourue est proportionnelle au temps. La vitesse est constante. L accélération est nulle. Les graphiques n 2, 5 et 6 correspondent à la situation B. La distance parcourue est une fonction du second degré du temps. La vitesse est proportionnelle au temps. L accélération est constante et positive. Les graphiques n 1, 3 et 5 correspondent à la situation C. La distance parcourue est proportionnelle au temps. La vitesse est constante. L accélération est constante (accélération normale). (graphique n 1). (graphique n 3). (graphique n 4). (graphique n 6). (graphique n 2). (graphique n 5). (graphique n 1). (graphique n 3). (graphique n 5).
11 VII. Comment reconnaître si un mouvement est uniforme, uniformément accéléré ou uniformément ralenti? La méthode consiste à étudier le signe du produit scalaire des deux vecteurs a et v Rappel : a v = a v cos ( a ; v ) Si a v > 0 le mouvement est uniformément accéléré Si a v < 0 le mouvement est uniformément ralenti Si a v = 0 le mouvement est uniforme Question : - Indiquer dans chaque cas la nature du mouvement - Représenter dans chaque la résultante F des forces extérieures qui s appliquent sur le solide ponctuel. (la grandeur du vecteur F est qualitative) - Proposer des exemples de situations dans la vie courante où l on retrouve chacun de ces cas. cas n 1 cas n 2 cas n 3 cas n 4 Réponse : cas n 1 cas n 2 cas n 3 cas n 4 a v > 0 a v = 0 a v < 0 a v = 0 mouvement mouvement mouvement mouvement uniformément uniforme uniformément uniforme accéléré ralenti circulaire