THEME 6: Enoncés des exercices

Thèe 6 : Enoncés des exercices Page 1 sur 10 THEME 6: Enoncés des exercices Création : février / ars 2005 Dernière odification : OBJECTIFS : Positions et réflexions équivalentes. Multiplicité Facteur de structure Utilisation du Prograe de Cristallographie POUDRIX Rappel 01 : Table de ultiplication d un groupe Rappel 02 : Multiplicité des réflexions d un diagrae de diffraction ( poly cristal ) Rappel 03 : Génération des équivalentes dans l espace direct Rappel 04 : Génération des équivalentes dans l espace réciproque Rappel 05 : Multiplicité des réflexions h k l pour chacun des 11 groupes de LAUE LISTE des EXERCICES : Exeples de déterination des positions et des réflexions équivalentes dans différents groupes d espace : T6_01 : Groupe d espace P 2/ T6_02 : Groupe d espace P 4 T6_03 : Groupe d espace P 3 T6_04 : Groupe d espace P 23 Références : Tables Internationales de Cristallographie

Thèe 6: Enoncés des exercices Page 2 sur 10 Rappel - 01 : Table de ultiplication d un groupe On considère un groupe de syétrie G : G { E, A, B, C, } =, chaque éléent représente une opération de syétrie, E est l éléent neutre qui laisse inchangée la figure sur laquelle il agit. Il est coode d établir la table de ultiplication de groupe ( si le nobre d éléents reste petit : 48 au axiu pour la cristallographie classique ) : c est un tableau carré où le produit AB est placé à l intersection de la ligne de A et de la colonne de B : E A B C... E E A B C... A A A 2 AB AC... B B BA B 2 BC... C C CA CB C 2... Dans le produit BA, la preière opération ( la colonne ) est écrite à droite,la seconde ( la ligne ) à gauche. Rappel 02 : Multiplicité. Application aux réflexions d un diagrae de diffraction de poudre. A notre échelle, un cristal est un solide liité par des faces planes. Par le jeu des opérations de syétrie, une face pourra se reproduire plusieurs fois. L enseble de la face et de ses iages obtenues par les opérations de syétrie s appelle une fore notée { hkl} si les indices ( h k l ) désigne une face de l enseble. Le nobre total de faces appartenant à une fore est sa ultiplicité. En adoptant le point de vue de la diffraction, on dira que la ultiplicité { } hkl de la fore hkl est égale au nobre de failles ( h k l ) générées par toutes les opérations de syétrie du groupe de Laue du cristal. Ces hkl failles ( h k l) étant équivalentes, la distance inter réticulaire D hkl et le odule du facteur de structure F( hkl ) sont identiques., Tous les plans ( h k l ) de la fore { hkl } contribuant égaleent à l intensité diffractée, celle-ci est proportionnelle au produit de la ultiplicité diffractée I ( hkl ) par une faille de plans ( h,k,l ). hkl et de l intensité

Thèe 6 : Enoncés des exercices Page 3 sur 10 Exeple de raie ultiple : Dans certains groupes de Laue (cubique,trigonal quadratique ), il existe plusieurs ( en général 2 ) fores { hkl } dont les plans ( h k l ) ont la êe distance inter réticulaire, ais ont des intensités différentes. Par exeple, dans le groupe de Laue 3, la ultiplicité des fores { hk0} et { kh 0} est de 12, ais les intensités sont différentes. L intensité de la raie coposée est la soe : 12 I( hk0) + 12 I( kh0) Cas particulier : réseau cubique, groupe 3 : Par exeple, les failles de plans ( h k l ) des fores { 300 } et { 221 } ont les êes espaceents ( correspondant est la soe : 2 2 2 h + k + l = 9 ). L intensité de la raie de poudre située à l angle de Bragg 6I(300) + 24I(221) 6 et 24 étant la ultiplicité des fores { 300} et{ 221 }, I (300) et I (221) l intensité diffractée par les plans (3 0 0) et (2 21). 2 2 2 Autre exeple : h + k + l = 41 L intensité de la raie de poudre est la soe : 48I(621) + 24I(540) + 24I(443) Rappel 03 : Génération des équivalentes dans l espace direct ( A ) est la atrice de rotation rapporté à la base( abc,, ) chapitre 7. 3 : ( a', b', c') = ( a, b, c)( A) (1 ) ( Oabc,,, ) est le repère initial ' ' ' ( Oa,, b, c) est le repère transforé par O.S. de atrice (A) En expriant a ' en fonction de abc,,, b ' et c ' atrice (A) de êe..., on déterine la Si r est un vecteur ayant pour coordonnées x y z coordonnées dans ( Oabc,,, ) vecteur transforé r ' ' ' ' conserve les coordonnées x y z dans le repère ( Oa,, b, c) x y z cordonnées du vecteur r ' transforé dans ( Oabc,,, ) x' x y ' ( A) y = z' z, le

Thèe 6: Enoncés des exercices Page 4 sur 10 Rappel 04 : Génération des équivalentes dans l espace réciproque ( Oabc,,, ) ' ' ' ( Oa,, b, c) est le repère initial est le repère transforé par l opération de syétrie ( O.S. ) de atrice (A) ( A ) atrice de rotation rapporté à la base( abc,, ) : ( a ', b ', c ') = ( a, b, c )( A ) ( h k l) coposantes d un vecteur réciproque dans ( Oa, *, b*, c*) le repère réciproque associé au repère direct ( Oabc,,, ) Soit un vecteur r ayant pour coordonnées x y z dans ( Oabc,,, ), le vecteur transforé r ' ' ' ' conserve les êes coordonnées dans le repère ( Oa,, b, c), dans ( Oabc,,, ) rapporté à l espace initial, il a pour coordonnées x y z L extréité du vecteur r se trouve dans un plan de cote C le long de la rangée [ hkl,, ]* Le vecteur transforé x' C = ( h k l ) y ' z ' r ' ' ' ' conservant les êes coordonnées dans le repère( Oa,, b, c) la cote de son extréité le long de la rangée [ h', k', l ']* transforée devient : ( h k' l ) C ' = ' ' x y z ( h k l ) sont les coposantes du vecteur réciproque transforé par l opération de syétrie de atrice( A) : Si l opération de syétrie laissé les cotes C et C invariantes C = C, d où la relation générant les plans ( h k l ) équivalents : ( hkl ' ' ') = ( hkl)( A) Rearque : Coordonnées directes x y z : atrice colonne, réciproques h k l :atrice ligne

Thèe 6 : Enoncés des exercices Page 5 sur 10 Rappel 05 : Table de la ultiplicité des réflexions h k l Systèe cristallin Groupe ponctuel Groupe de LAUE Triclinique hkl 1;1 1 2 Mono clinique hkl h0 l 0k 0 2; ;2/ 2/ 4 2 2 Ortho rhobique 222; 2; hkl 0 kl h0 l hk 0 h 00 0k 0 00l 8 4 4 4 2 2 2 Trigonal hk. l hh. l 0 k. l hk.0 hh.0 0 k.0 00.l 3;3 3 4 6 2 6 2 6 2 6 6 6 2 3 ;32;3 3 2 12 12 2 6 12 6 6 2 Quadratique hkl hhl 0 kl hk 0 hh 0 0k 0 00l 4;4; 4/ 4/ 2 8 8 8 2 4 4 4 2 422 ; 4 ; 4 42 ; 4 16 8 8 8 4 4 2 Hexagonal hk. l hh. l 0 k. l hk.0 hh.0 0 k.0 00.l 6;6; 6/ 6/ 2 12 12 12 2 6 6 6 2 622 ; 6 ; 6 62 ; 6 24 12 12 12 6 6 2

Thèe 6: Enoncés des exercices Page 6 sur 10 Cubique hkl hhl 0 kl 0 kk hhh 00l 23 ; 3 3 2 24 24 2 12 12 8 6 432;432; 3 3 48 24 24 12 8 6 Une indication telle que 2 24 signifie qu il existe, au êe angle de Bragg, 2 séries de réflexions ayant chacune une ultiplicité de 24, et des intensités différentes.

Thèe 6 : Enoncés des exercices Page 7 sur 10 T6_01 : Groupe d espace P2/ : positions et réflexions équivalentes. 1 - : Dresser la table de ultiplication des opérations de syétrie coposant le groupe et donner leur représentation atricielle 2 - : Déteriner les coordonnées des positions équivalentes à la position x,y,z dans la aille 3 - : Déteriner les indices des réflexions équivalentes à la réflexion ( h k l) coposant la fore { hkl }. Indiquer la ultiplicité de cette fore. 4 - : Donner l expression générale du facteur de structure F( hkl ). On suppose que l unité asyétrique est coposée d un seul atoe de facteur de diffusion a situé en x,y,z. p+ q p q Pour éoire : cos p+ cos q= 2cos cos 2 2 Application : vérifier que les plans coposant la fore { hkl } ont le êe facteur de structure. T6_02 : Groupe d espace P4 : positions et réflexions équivalentes On a effectué, exercice T2-06, le dénobreent des plans ( h k l ) ayant le êe espaceent. Maintenant il s agit de déteriner le nobre de plans équivalents au plan ( h k l) Ces plans équivalents ont êe espaceent et êe odule du facteur de structure F( hkl ). 1 - : Dresser la table de ultiplication des opérations de syétrie coposant le groupe et donner leur représentation atricielle. 2 - : Déteriner les coordonnées des positions équivalentes à la position x,y,z dans la aille. 3 - : Déteriner les indices des plans ( h k l) coposant la fore { hkl }. Indiquer la ultiplicité de cette fore. Mêe question pour la fore{ khl }. Indiquer les indices des plans ( h k l ) coposant les fores { 2,1,1 } et { } ultiplicité ; de êe pour les fores { 2,1,0 } et { 1, 2, 0 }. 1, 2,1, et leur 4 - : Donner l expression générale du facteur de structure F( hkl ). On suppose que l unité asyétrique est coposée d un seul atoe de facteur de diffusion a situé en x,y,z. p+ q p q Pour éoire : cos p+ cos q= 2cos cos 2 2 o 4 1 : Application : déteriner l expression du facteur de structure pour les réflexions ( h k l) et ( k h l ) de la fore { hkl }. Conclusion.

Thèe 6: Enoncés des exercices Page 8 sur 10 o 4 2 : Application : déteriner l expression du facteur de structure pour les réflexions ( h k l) et ( k h l ) appartenant respectiveent aux fores { khl } et { } o de la fore { hh 0}.Multiplicité de cette fore. hkl. Conclusion 4 3 : Application : déteriner l expression du facteur de structure pour les réflexions 5 - : Prograe POUDRIX appliqué à la recherche des réflexions survenant au êe angle 2θ ais ayant des intensités différentes : o Réseau de Bravais quadratique priitif : a = b = 5,0 A c = 5,5 A o Groupe d espace : P 4 o Unité asyétrique : un atoe de Fer en x = 0,24 y = 0,28 z = 0,36 o Neutrons, λ = 1, 20A Rechercher dans la liste des réflexions celles qui apparaissent au êe angle 2θ T6_03 : Groupe d espace P 3 On considère le groupe d espace P 3 1 - : Dresser la table de ultiplication des opérations de syétrie du groupe d espace P 3 ; donner leur représentation atricielle. 2 - : Déteriner les coordonnées des positions équivalentes à la position x,y,z dans la aille. 3 : On dispose d une poudre ( supposée parfaite ) cristallisant dans une aille hexagonale de paraètres : a = b = 4,20 A ; c= 3,60 A Groupe d espace P-3 Le rayonneent X incident ayant une longueur d onde λ = 1,5406 A, son diagrae de diffraction présente des raies aux angles indiqués dans le tableau T6_03 : 2 Thêta < 75 h k l 1 24,45 0 1 0 2 24,71 0 0 1 3 35,04 1 0 1 4 43,04 1 1 0 5 50,12 2 0 0 6 50,26 1 1 1 7 50,67 0 0 2 8 56,66 2 0 1 9 57,04 0 1 2 10 68,15 2 1 0 11 68,62 1 1 2 12 73,71 2 1 1 13 74,04 2 0 2 14 78,89 3 0 0 15 79,87 0 0 3 Tableau T6_03 : Position et indexation des réflexions du diagrae de poudre

Thèe 6 : Enoncés des exercices Page 9 sur 10 Pour exploiter les intensités diffractées, on a besoin de connaître la ultiplicité des réflexions. 3 A : Déteriner la ultiplicité des fores { hkl} et { hk l} fores { khl} et { kh l} 3 B : Multiplicité des fores { 0 kl } et { k 0 l } 3 C : Multiplicité des fores { hk 0} et { kh 0} 3 D : Multiplicité des fores { hhl } et { hh 0} 3 E : Multiplicité des fores { 0k 0} et { k 00} 3 F : Multiplicité de la fore { 00l }. Mêe question pour les 4 - : Copléter le tableau T6_03 en indiquant la ultiplicité et les indices des différentes fores { hkl } qui contribuent à la raie. 5 - : Donner l expression générale du facteur de structure F( hkl ), sachant que l unité asyétrique est coposé d un seul atoe de facteur de diffusion a situé en x,y,z. 5 A : Application : déteriner l expression du facteur de structure pour les réflexions ( h k l), ( h k l), ( k h l ), (k h l ) Conclusion. 5 B : Application : déteriner l expression du facteur de structure pour les réflexions ( h k 0) et ( k h 0 ) Conclusion 5 C : Application : déteriner l expression du facteur de structure pour les réflexions ( h h l) et ( h h -l ) Conclusion. 5 D : Application : vérifier que l expression du facteur de structure des réflexions ( h k l ) coposant la fore{ 110 } est identique. 6 - : Prograe POUDRIX appliqué à la recherche des réflexions survenant au êe angle 2θ ais ayant des intensités différentes : o Réseau de Bravais :trigonal : a = b = 4,2 A c = 3,6 A o Groupe d espace : P 3 o Unité asyétrique : un atoe de Fer en x = 0,24 y = 0,28 z = 0,33 o Neutrons, λ = 1, 20A Rechercher dans la liste des réflexions celles qui apparaissent au êe angle 2θ

Thèe 6: Enoncés des exercices Page 10 sur 10 T6_04 : Groupe d espace P 23 Le atériau poly cristallin ( fictif ) appartient au groupe d espace P 23, qui suppose, Chap.8.4. : o une aille cubique, o 4 axes ternaires notés : 3111,3 111,3 1 11,311 1, suivant 4 les diagonales de la aille o 3 axes binaires suivant les 3 directions orthogonales supportant les vecteurs de base de la aille L origine de la aille est prise sur le point d intersection de ces axes. 1 - : Donner la représentation atricielle, rapportée à la base de réseau cubique, de ces opérations de syétrie. 2 - : Déteriner les positions équivalentes à la position x, yz, 3 - : Déteriner les réflexions équivalentes à la réflexion hkl,, 4 - : Calculer le facteur de structure F( hkl ) Pour éoire : p+ q p q p+ q p q cos p+ cos q= 2cos cos cos p cosq= 2sin sin 2 2 2 2 p+ q p q sin p+ sin q= 2sin cos 2 2 5 - : Caractériser la fore { khl } : ultiplicité, facteur de structure 6 - : Prograe POUDRIX appliqué à la recherche des réflexions survenant au êe angle 2θ ais ayant des intensités différentes : o Réseau cubique : a = b = c = 4,5 A o Groupe d espace : P 23 o Unité asyétrique : un atoe de Fer en x = 0,24 y = 0,28 z = 0,33 o Neutrons, λ = 1, 20A Rechercher dans la liste des réflexions celles qui apparaissent au êe angle 2θ