3 Fonctions dérivées Échauffez-vous! est la courbe représentative d une fonction f définie sur [ 3 ; 2]. 2 et sont les tangentes à au points d abscisses 2 et. Les tangentes et à au points d abscisses et sont parallèles à l ae des abscisses. 3 2 2 2 2 Cochez la case correspondant à la réponse eacte. a) Le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse 2 est : 3 9 On en déduit que le nombre dérivé f ( 2) de f en 2 est : 3 9 b) Le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse est : 3 9 On en déduit que le nombre dérivé f () de f en est : 3 9 c) Le nombre dérivé de f en et en est : 3 9 8 6 4 2 4 6 8 2 4 2 Reliez chaque tangente à son équation. 2 y = 3 y = y = 3 + y = 9 + 7 y Aide Nombre dérivé de f en A C est le coefficient directeur de la tangente au point A, d abscisse A, à la courbe représentative de f. Il est noté f ( A ). 34 34 39
Fonctions dérivables, dérivées. Connaître les dérivées des fonctions usuelles Une fonction f, définie sur un intervalle I, est dérivable sur I lorsqu elle admet en tout de I un nombre dérivé, f (). On appelle alors dérivée de f la fonction, notée f, qui, à tout de I, associe le nombre dérivé f (). Les fonctions usuelles sont dérivables. Les intervalles sur lesquels elles sont dérivables, ainsi que leurs dérivées, sont donnés dans le tableau suivant : Fonction définie sur : Epression de la fonction : f() = a + b Fonction dérivable sur : Epression de la dérivée : f () = a f() = b (constante) f () = c() = 2 c () = 2 ] ; + [ ou ] ; [ q() = 3 q () = 3 2 s() = ] ; + [ ou ] ; [ s () = 2 [ ; + [ r() = ] ; + [ r () = 2 Activité. Complétez. (Utilisez le tableau précédent.) a) c ( 3) = 6 ; c ( ) = 2 ; c () = ; c () = 2 ; c (3) = 6. b) q ( 3) = 27 ; q ( ) = 3 ; q () = ; q () = 3 ; q (3) = 27. c) s ( 2) = 4 ; s ( ) = ; s (,5) = 4 ; s () = ; s (2) = 4. d) r (,6) =,25 ; r () =,5 ; r (4) =,25 ; r (25) =,. 2. Pour chaque cas, en utilisant la question., donnez deu nombres et 2 pour lesquels : a) q ( ) = q ( 2 ); = ; 2 =. b) c ( ) = c ( 2 ); = 3 ; 2 = 3. c) s ( ) = 4s ( 2 ); =,5 ; 2 =. 3. On note t c, t q, t s et t r les tangentes respectives au courbes représentatives des fonctions c, q, s et r, au point d abscisse. Reliez chaque tangente à son coefficient directeur. (Utilisez la question..) t c 3 t q t s 2 t r,5 4 35
2. Comment déterminer l équation réduite de la tangente en un point à la courbe représentative d une fonction? Méthode On veut déterminer l équation réduite de la tangente à la courbe représentative d une fonction f au point A, d abscisse A. Étape Calculer f ( A ). Étape 2 Écrire l équation réduite sous la forme y = f ( A ) + b. Étape 3Calculer f( A ), puis résoudre l équation f ( A ) A + b = f( A ), d inconnue b, et écrire l équation réduite de la tangente. Étape 4 Contrôler le résultat en réalisant un tracé sur écran de calculatrice.. Soit s la fonction définie sur [ ; 3] par s() =. Déterminez l équation réduite de la tangente à la courbe représentative de s au point d abscisse 2. Solution Étape s () = 2. Ainsi, s (2) = 4. Étape 2 L équation réduite de la tangente est donc de la forme y = 4 + b. Étape 3 s(2) = 2. On résout l équation 4 2 + b = 2, d inconnue b, pour obtenir b =. L équation réduite de est donc y = 4 +. Étape 4 On donne un tracé de la courbe, issu d un tableur ; tracez la tangente. 2. Soit r la fonction définie sur [ ; 2] par r() =. Déterminez l équation réduite de la tangente à la courbe représentative de r au point d abscisse. Solution Étape r () = 2. Ainsi, r () = 2. Étape 2 L équation réduite de est de la forme y = 2 + b. Étape 3 r() =. On résout l'équation = + b, d inconnue b. 2 On obtient b = 2. L équation réduite de est donc y = 2 + 2. Étape 4 On donne un tracé de la courbe, issu d un tableur ; tracez la tangente.,5,5,5,5,5 36 CHAPITRE 3 FONCTIONS DÉRIVÉES 36 4
2 Opérations sur les dérivées. Connaître la dérivée d une somme ou d une différence, du produit par un nombre réel On considère une fonction f, définie sur un intervalle I. Le tableau suivant donne des égalités permettant de calculer des dérivées. u et v sont des fonctions définies et dérivables sur I Si f() s écrit alors f est dérivable sur I et f () est égal à Somme u + v f() = u() +v() f () = u () +v () Différence u v f() = u() v() f () = u () v () Produit ku par un nombre réel k f() = ku() f () = ku () Activité Soit u et v les fonctions définies sur [ ; 2,7] par u() = 2 et v() = 2 +,5.. a) Rayez les encadrés ineacts. u () = 2 / 2 /, donc u () = / 2 / et u (2) = 2 / 4 /. v () =,5 / 2 /, donc v () =,5 / 2 / et v (2) =,5 / 2 / 2. b) Complétez. u () + v () = ; u (2) + v (2) = 2. 2. Rayez les encadrés ineacts. a) On donne ci-contre un tracé de la courbe représentative de la fonction f définie sur [ ; 2,7] par f () = u() + v() = 2 2 +,5 et de ses tangentes et 2 au points d abscisses et 2. Par lecture graphique des coefficients directeurs de et de 2, on constate que f () = 2 / /,5 / et que f (2) = 2 / /,5 /. b) On donne ci-contre un tracé de la courbe représentative 2 de la fonction f 2 définie sur [ ; 2,7] par f 2 () =,5u() =,5 2 et de ses tangentes et 2 au points d abscisses et 2. Par lecture graphique des coefficients directeurs de et de 2, on constate que f 2 () = / / / 2 et que f 2 (2) = / / / 2. 3. a) Complétez avec l un des signes «=» ou. (Utilisez. et 2..) f () = u () + v () et f 2 () =,5u () et b) Rayez l encadré ineact. f (2) = u (2) + v (2). f 2 (2) =,5u (2). Pour les fonctions u et v précédentes et pour = et = 2, on vient de vérifier les re / 2 e / 3 e égalités de l encadré. 3,5 3 2,5 2,5 y 2,5,5 2 3 y,5,5,5 2 2,5 3 3,5 2 2 3 2 42 37
2. Comment déterminer la dérivée d une fonction f? Méthode 2 Étape On identifie la forme de f() : somme u() + v(), différence u() v(), produit ku(), combinaison des trois (où u et v sont des fonctions usuelles). Étape 2 On calcule les dérivées de chacun des éléments formant f() :u (), v (),, avec les résultats sur les dérivées des fonctions usuelles (voir p. 56). Étape 3On calcule f (), avec les résultats des opérations sur les dérivées (voir p. 58), puis on simplifie l écriture de la dérivée obtenue, si nécessaire.. Soit f la fonction définie sur [ 3 ; 6] par f() = 5 3. Calculez f (). 2. Soit g la fonction définie sur [,5 ; 4] par g() = 4 3 + 2 2 5. Calculez g (). 3. Soit h la fonction définie sur ] ; 5] par h() = 2 3 + 3. Calculez h (). Solution. Étape f() s écrit ku(), avec k = 5 et u() = 3. Étape 2 On utilise le résultat sur la dérivée de la fonction usuelle «cube» : u () = 3 2. Étape 3 On utilise le résultat sur le produit par un nombre réel : f () = ku () = 5 3 2 = 5 2. 2. Étape g() s écrit k u() + k 2 v() w(), avec k = 4, k 2 = 2, u() = 3, v() = 2 et w() = 5. Étape 2 On utilise les résultats sur les dérivées des fonctions usuelles (ici «cube», «carré» et «constante») : u () = 3 2, v () = 2 et w () =. Étape 3 On utilise les résultats sur le produit par un nombre réel et sur la somme et la différence : g () = k u () + k 2 v () w () = 2 2 + 4 = 2 2 + 4. 3. Étape h() s écrit k u() + k 2 v(), avec k = 2, k 2 = 3, u() = 3 et v() =. Étape 2 On utilise les résultats sur les dérivées des fonctions usuelles (ici «cube» et «inverse») : u () = 3 2 et v () = 2. Étape 3 On utilise les résultats sur le produit par un nombre réel et sur la somme : h () = 6 2 3 2. 38 CHAPITRE 3 FONCTIONS DÉRIVÉES 38 43
3 Sens de variation et etremums d une fonction. Déterminer le sens de variation avec le signe de la dérivée Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et J un intervalle inclus dans I. Si, pour tout de J, f (), alors f est strictement croissante sur J. Si, pour tout de J, f (), alors f est strictement décroissante sur J. Activité Soit f la fonction définie sur [ ; 4] par f() = 2 2 + 5 + 4.. Rayez l encadré ineact. a) f () est égal à : 4 + 5 / 4 + 5. b) La solution de l équation f () = est :,25 /,25. c) Le tableau de signe de f () est : d) Le tableau de variation de f est :,25 4,25 4 f () + f () +,25 4,25 4 f () + f () + 4 8 7,25 7,25 4 8 2. Tracez la courbe représentative de f sur calculatrice et contrôlez les résultats précédents. 2. Visualiser ce qu est un etremum d une fonction Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Lorsque, dans l intervalle I, autour d un nombre, le tableau de variation de f se présente sous l une des formes suivantes, on dit que f a un etremum en. f () + f () + f( ) f( ) Minimum en, égal à f( ) Maimum en, égal à f( ) Activité 2 Rayez l encadré ineact.. Le tableau de variation la fonction f de l activité permet d affirmer qu elle a un etremum en,25. Il s agit d un minimum / maimum, égal à 7,25. 2. Un tracé de la courbe et le tableau de variation, autour de, de la fonction cube q, définie par q() = 3 sont donnés ci-contre. Cet eemple permet d affirmer que lorsque la dérivée d une fonction est nulle pour un nombre, elle a / n a pas forcément un etremum en. q () + + q () 44 39
3. Comment étudier le sens de variation d une fonction f et déterminer ses éventuels etremums? Méthode 3 Étape Calculer f (). Étape 2 Étudier le signe de f (), en résolvant s il y a lieu l équation f () =. Étape 3 Déduire du signe de f () le sens de variation de f et dresser le tableau de variation de f. (Le contrôler avec un tracé de la courbe représentative de f sur calculatrice.) Étape 4 Lire dans ce tableau de variation les éventuels etremums de f. Soit f la fonction définie sur [, ; 4] par f() = + 4. Étudiez le sens de variation de f et dressez son tableau de variation, puis déterminez ses etremums. Solution Étape f() s écrit u() + kv(), avec u() =, k=4 et v() =. On a u () = et v () = 2, donc f () = 4 2. Étape 2 On étudie le signe de f () ; pour cela on factorise : 4 2 = 2 4 ( + 2) ( 2) 2 = 2. + 2 Pour appartenant à [, ; 4], puisque 2, f () a le signe de 2, d où son tableau de signe :, 2 4 2 + f () + Étape 3 D après le tableau de signe précédent : pour appartenant à [, ; 2[, f () <, donc f est strictement décroissante sur [, ; 2[ ; pour appartenant à ]2 ; 4], f () >, donc f est strictement croissante sur ]2 ; 4]., 2 4 f () + 4, 5 4 (Tableau à contrôler avec un tracé de la courbe représentative de f sur calculatrice.) Étape 4 fonction a un minimum en 2, égal à 4. 4 CHAPITRE 3 FONCTIONS DÉRIVÉES 4 45
. f () = 2 2. f (2) =,25 et f(2) =,5. L équation de la tangente est de la forme y =,25 + b ; on résout alors l équation d inconnue b :,5 =,25 2 + b, soit b =. Ainsi, : y =,25 +. 3. Tracé sur l écran de la calculatrice. 2 f () = 3². f ( ) = 3 ( )² = 3 ; f ( ) = 3 ² = 3. Les coefficients directeurs des tangentes à au points d abscisses et sont égau, donc ces tangentes sont parallèles. 3. Vrai. 2. Fau. g () = 3², donc g ( 2) = 2. Le coefficient directeur de la tangente à g au point d abscisse 2 est 2. 3. Vrai. 4. Fau. f () = 2, donc f ( ) = 2 <. 5. Fau. g () = 3 2, donc g'() =. 6. Fau. f'() = 2, donc f'( ) = 2 <. 4 a) f () = 2. b) f () =. c) f () = 3 2. d) f () = 2 2. e) f () = 4 2 2. 5 a) f () = 4 + 4. b) f () = 3² + 2. c) f () = 2² 7. d) f () = ² 4 + 4. e) f () = 4 2 4. 6 a) f () = + 8. b) f () = 6² 2. c) f () = 2² 2. d) f () = 5² 4 2. e) f () = 4 +. 2 7 a) f () = 8 +. f () > pour tout de I, donc f est strictement croissante sur I. 5 f () + 5 fonction n'a pas d'etremum. b) f () = 2 + 4. f () = équivaut à = 8. Pour appartenant à [ ; 8 [, f () >, donc f est strictement croissante sur [ ; 8 [ ; pour appartenant à ] 8 ; 4 ], f () <, donc f est strictement décroissante sur ] 8 ; 4 ]. 8 4 f () + 93 64 7 4 2 fonction a un etremum en, égal à 93. Cet etremum est un maimum. 8 64 c) f () = 3² 2 = 3( 4). f () = équivaut à = ou = 4. En traçant sur l'écran d'une calculatrice la courbe représentative de la fonction f', on voit que cette courbe est au-dessous de l'ae des abscisses pour tout de l'intervalle ] ; 4[ et au-dessus de l'ae des abscisses pour tout des intervalles [ ; [ et ]4 ; 6]. La fonction f est donc strictement croissante sur les intervalles [ ; [ et ]4 ; 6] et strictement décroissante sur l intervalle ] ; 4[. 4 6 f () + + 6 3 fonction a deu etremums : un maimum en, égal à et un minimum en 4, égal à 3. 4 CHAPITRE 3 FONCTIONS DÉRIVÉES 4
d) f () = 6² + 6 = 6( + ). f () = équivaut à = ou =. En traçant sur l écran d une calculatrice la courbe représentative de la fonction f, on voit que cette courbe est au-dessus de l ae des abscisses pour tout de l intervalle ] ; [ et au-dessous de l ae des abscisses pour tout des intervalles [ 2 ; [ et ] ; 3]. La fonction f est donc strictement croissante sur l intervalle ] ; [ et strictement décroissante sur les intervalles [ 2 ; [ et ] ; 3]. 2 3 f () + 27 28 fonction a deu etremums : un maimum en, égal à et un minimum en, égal à. 8 a) f () = 4 2 + = 2 4 = ( 2)( + 2) 2 2. ( + 2) 2 > sur I, donc, f () a le signe de ( 2), d où son tableau de signe : 2 6 2 + f () + f est strictement décroissante sur [ ; 2[ et strictement croissante sur ]2 ; 6]. 2 6 f () + 5 2 3 4 fonction a un etremum en 2, égal à 4. Cet etremum est un minimum. b) f () = 4 2 = 42 2 = (2 )(2 + ) 2. Pour tout de I, (2 ) < et (2 + ) <, donc (2 )(2 + ) >. De plus, ² >, donc f () > pour tout de I et f est strictement croissante sur I. 4 f () + 5 6,25 fonction n a pas d etremum. c) f () = > ; f est strictement croissante sur I. 2,5 4 f () + 2,75 fonction n a pas d etremum. d) f () = 2 < ; f est strictement décroissante sur I. 2 f () 9,8 fonction n a pas d etremum. 9 a) f () = 3². Signe de f () : 2 2 3 2 f est strictement décroissante sur [ 2 ; 2]. 2 2 f () 6 fonction n a pas d etremum. b) f () = 3² 6 + 3 ; f () est un polynôme du second degré : Δ =, f () s annule donc en = b 2a =. En traçant sur l écran d une calculatrice la courbe représentative de la fonction f, on voit que cette courbe coupe l ae des abscisses en et est au-dessus ou sur cet ae pour tout de l intervalle [ 3 ; 2]. La fonction f est donc strictement croissante sur l intervalle [ 3 ; 2]. 3 2 f () + + 5 6 fonction n a pas d etremum. 42
c) f () = 3² + 2 + ; f () est un polynôme du second degré : Δ = 6, f () s annule en = et en =. 3 En traçant sur l écran d une calculatrice la courbe représentative de la fonction f, on voit que cette courbe est audessus de l ae des abscisses pour tout de l intervalle ] 3 ; [ et au-dessous de l ae des abscisses pour tout des intervalles [ 3 ; 3 [ et ] ; 3]. La fonction f est donc strictement croissante sur l intervalle ] 3 ; [ et strictement décroissante sur les intervalles ] 3 ; 3 [ et ] ; 3]. 3 3 3 f () + 32 32 27 6 9 f () + 3. Le nombre 3 est le minimum de la fonction f sur [ 2 ; 2]. 2. Le nombre 3 étant le minimum de f, on en déduit que pour tout de [ 2 ; 2], on a f() 3. Ainsi, l inéquation f() < n a pas de solution. 2. Le nombre 2 est le maimum de la fonction f sur [ ; ]. 2. Le nombre 2 étant le maimum de f, on en déduit que pour tout de [ ; ], on a f() 2. Ainsi, tous les nombres réels de l intervalle [ ; ] sont solutions de l inéquation f() <. fonction a deu etremums : un maimum en, égal à et un minimum en, égal à 32 3 27. d) f () = 6² + ; f () est un polynôme du second degré : Δ = 25, f () s annule donc en = 2 et en = 3. En traçant sur l écran d une calculatrice la courbe représentative de la fonction f, on voit que cette courbe est audessus de l ae des abscisses pour tout des intervalles [ 3 ; 2 [ et ] 3 ; 4 ] et au-dessous de l ae des abscisses pour tout de l intervalle ] 2 ; 3 [. La fonction f est donc strictement croissante sur les intervalles [ 3 ; 2 [ et ] 3 ; 4 ] et strictement décroissante sur l intervalle ] 2 ; 3 [. 3 2 3 f () + + 3 8 46,5 54 4 32 fonction a deu etremums : un maimum en 2, égal à 3 8 et un minimum en, égal à 3 54. f () = ; f () >, donc f est strictement croissante 2 sur [ ; 9]. 3. a) et b) Tracé de la courbe,6,4,2,8,6,4,2 y,5,5 2 Les solutions de l équation = sont les abscisses des points d intersection de la courbe et de la droite d équation y =, soit le nombre. Les solutions de l inéquation < sont les abscisses des points de la courbe situés au-dessous de la droite d équation y =, soit les nombres de l intervalle [,5 ; [. Les solutions de l inéquation > sont les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de la droite d équation y =, soit les nombres de l intervalle ] ; 2]. 2. a) f () =. b) f () = équivaut à =, soit successivement = ; = ; =. En utilisant la question., on obtient =. f () > équivaut à >, soit successivement > ; > ; <, car >. En utilisant la question., on obtient les nombres de l intervalle [,5 ; [. 43 CHAPITRE 3 FONCTIONS DÉRIVÉES 43
f est strictement croissante sur [,5 ; [ et strictement décroissante sur ] ; 2].,5 2 f () + 2 5,5,5 2 2 2 Le tableau de variation de f permet d'affirmer que f a un etremum en, égal à. Cet etremum est un maimum. 4 Partie A. f () = 9 3² = 3(3 ). f () s annule pour = et pour = 3. Pour tout de [ ; 45], 3, donc f () a le même signe que (3 ). D où son tableau de signe : 3 45 3 + f () + 2. 3 45 f () + 3. Tableau de valeurs 3 5 2 25 3 35 4 45 f() 35 25 35 225 8 4. Tracé sur l écran d une calculatrice. Partie B. Le nombre de personnes malades est maimal le 3 e jour ; le nombre maimum de malades est alors égal à 3 5. 2. La droite d équation y = coupe la courbe au points d'abscisses 2 et 38. a) Le premier jour où le nombre de personnes malades a dépassé est le 2 e jour. b) Le premier jour où le nombre de personnes malades est redevenu inférieur à est le 38 e jour. 5 Partie A. f () = 9 2 = 2 9 2 = ( + 3) ( 3) 2. 2. Pour tout de [6 ; 6], signe que ( 3). D où le tableau de signe : ( + 3) 2 >, donc f () a le même 6 3 6 3 + f () + 6 3 6 f () + 26 3. Tableau de valeurs 25 6 5 2 25 f() 26 5 25 5 3 4 45 5 6 f() 2,5 5 8 25 4. Tracé de la courbe représentative de f sur l écran d une calculatrice. Partie B. Le coût unitaire moyen lorsque l artisan fabrique 5 meubles est 25 ; le coût unitaire moyen lorsque l artisan fabrique 4 meubles est 2,5. 2. L artisan doit fabriquer 3 meubles pour que le coût unitaire moyen soit minimal ; le coût unitaire moyen correspondant est. 6. a) f (t) = 5t² + 45t 3 24. b) f (t) est un polynôme du second degré : Δ = 8, f (t) s annule donc en t = 2 et en t = 8. En traçant sur l écran d une calculatrice la courbe représentative de la fonction f, on voit que cette courbe est au-dessus de l ae des abscisses pour tout t de l intervalle [2 ; 8] et au-dessous de l ae des abscisses pour tout t des intervalles [ ; 2] et [8 ; 2]. D où le tableau de signe : t 2 8 2 f (t) + c) Tableau de variation de f t 2 8 2 f (t) + 35 67 f (t) 3 2. a) Tableau de valeurs 45 t 2 4 6 8 2 f(t) 35 3 27 53 67 45 44
b) Tracé de la courbe représentative de f 75 y 7 65 6 55 5 45 4 35 3 25 2 5 5 t 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 22 3. Le nombre d hôtesses de caisse doit être maimal afin de fluidifier la sortie des clients à 8 h. 7 Partie A. f () = + 24. 2. Tableau de signe 24 3 f () + Tableau de variation de f 24 3 f () + 6 3. Tableau de valeurs 28 5 5 2 24 3 f() 6 525 3 875 2 28 4. Tracé de la courbe représentative de f 6 4 2 8 6 4 2 2 4 6 8 2 4 6 8 y 2 4 6 8 2 4 6 8 2 22 24 26 28 3 32 Partie B. Le nombre de buffets pour lequel le restaurant atteint un bénéfice maimum est 24. Le montant de ce bénéfice maimum est alors de 28. 2. La courbe représentative de f est située au-dessus de l ae des abscisses pour > 8 ; le restaurateur va réaliser un bénéfice à partir de 9 buffets. 8. Tracés sur tableur 2. a) R() = 35 est l epression d une fonction linéaire ; la recette est donc proportionnelle au nombre de robes vendues. b) Le montant des coûts fies est C() = 25, soit 25. c) Les cellules B2 et C2 permettent de déterminer le coût total de production de robes et la recette de la vente de ces robes, soit 27 5 et 35. Le bénéfice réalisé est alors de 35 27 5 = 7 5. 3. Le styliste réalise un bénéfice lorsque les recettes sont supérieures au coûts. Graphiquement, on cherche les valeurs de pour lesquelles la courbe représentative de la fonction R est située au-dessus de celle de la fonction C, soit pour 5 < < 25. Le styliste réalise un bénéfice lorsqu il vend entre 6 et 24 robes. 4. a) B() = R() C() = 35 (² + 5 + 25) = ² + 3 25. b) B () = 2 + 3. c) B () s annule en 5. D où le tableau de signe : 5 35 2 + 3 + B () + D où le tableau de variation de B : 5 35 B () + B () 25 3 d) Le styliste réalise un bénéfice maimal pour 5 robes vendues. e) Tracé sur tableur 45 CHAPITRE 3 FONCTIONS DÉRIVÉES 45
f) La courbe représentative de la fonction B est située au-dessus de l ae des abscisses pour 5 < < 25, ce qui correspond à un bénéfice pour le styliste. 9 Partie A. f () = 3² 8 + 2 7 = 3(² 6 + 9) = 3( 3)². 2. f () s annule en = 3 ; pour tout nombre réel de [ ; 7], f (). 3. Tableau de variation de f 3 7 f () + + 9 4. Courbe représentative de f 3. a) h() = 9 (³ 9² + 2 7) = ³ + 9² 8 b) h() = équivaut à g() f() =, soit g() = f() ; les solutions de l équation h() = sont donc les abscisses des points d intersection des courbes représentatives des fonctions f et g. On lit =, = 3 et = 6. c) ( 3) (6 ) = (6 ² 8 + 3) = ( ² + 9 8) = ³ + 9² 8 = h(). h() = équivaut à ( 3) (6 ) =, soit = ou ( 3) = ou (6 ) =. Les solutions sont donc, 3 et 6, ce qui vérifie le résultat précédent. 4. Sur les intervalles ] ; 3[ et ]6 ; 7], la courbe représentative de f est située au-dessus de celle de g, donc pour tout nombre de ces intervalles, h() < ; sur l intervalle ]3 ; 6[ la courbe représentative de f est située audessous de celle de g, donc pour tout nombre de cet intervalle, h() >. 3 6 7 h () + Pour que l entreprise réalise un bénéfice journalier strictement positif, il faut que appartienne à l intervalle ]3 ; 6[. Partie B. g() = 9. 2. 46
COMME À L ÉCRAN Déterminer la courbe représentative d une fonction à partir de celle de sa dérivée On sait que la dérivée d une fonction f, définie sur [ ; 2], est définie par f () = ( ). On a obtenu à l aide d un tableur un tableau de valeurs et un tracé de la courbe représentative de f :. a) Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule B2, puis recopiée jusqu en B8? On a saisi la formule =A2*(A2 ). b) À partir du tableau de valeurs et de la courbe de f, étudiez le signe de f () et complétez ci-contre le tableau de variation de la fonction f, en y portant les valeurs des solutions de l équation f () =. 2. Parmi les tracés suivants, déterminez celui de la courbe représentative de f. y,8,6,4,2,5,2,5,5 2,4,6,8 A 2 f () + + f() y,8,6,4,2,5,2,5,5 2,4,6,8 B 2,6 y 2,4 2,2 2,8,6,4,2,8,6,4,2,5,5,5 2,2 C Il s'agit de la courbe C. 2,6 y 2,4 2,2 2,8,6,4,2,8,6,4,2,5,5,5 2,2 D 5 47
Évaluation Nom Prénom Classe Date Eercice 4 points. Soit f et g les fonctions définies sur [,5 ; 5] par f() = 3 2 2 2 + 3 et g() = 3 + 2 + 4. Calculer f () et g (). f'() = 3 2 2 + = 3 2. 2 g () = 3 ( ) 2 + 2 2 + = 3 2 +. Eercice 2 6 points Soit f la fonction définie sur [ 6 ; 3] par f() = 3 3 + 3 2 2 + 3.. Calculer f (). f'() = 3 32 + 3 2 2 + = 2 + 3. 2. a) Étudier le signe de f () ; en déduire le sens de variation de f. f () = ( + 3). f'() s'annule en et en 3. En traçant sur l'écran d'une calculatrice la courbe représentative de la fonction f', on voit que cette courbe est au-dessus de l'ae des abscisses pour tout des intervalles [ 6 ; 3[ et ] ; 3] et au-dessous de l'ae des abscisses pour tout de l'intervalle ] 3 ; [. f est strictement croissante sur les intervalles [ 6 ; 3[ et ] ; 3] ; elle est strictement décroissante sur ] 3 ; [. b) Compléter le tableau de variation 6 3 3 de f. f () + + 7,5 25,5 f(),5 3 3. Déterminer les etremums de f. Le tableau de variation de f permet d'affirmer que cette fonction a deu etremums : un maimum en 3, égal à 7,5 et un minimum en, égal à 3. 48 CHAPITRE 3 FONCTIONS CHAPITRE VECTEURS DÉRIVÉES 48 5
Eercice 3 points Chaque jour, une petite entreprise fabrique centaines de cartons d emballage, avec 2. La recette journalière issue de la vente de tous ces cartons, en euros, est donnée par la fonction R définie par R() = 3 + 2 2 26.. Calculer R (). R'() = 3 2 + 24 = 3( + 8). 2. Étudier le signe de R (). R'() s'annule en et en 8. R'() a le même signe que + 8, car pour tout de [ ; 2], 3. Ainsi, R'() sur [ ; 8] et R'() sur [8 ; 2]. 3. Dresser le tableau de variation de la fonction R. 8 2 R () + 3 R() -26 26 4. Déterminer le nombre de cartons à fabriquer et vendre chaque jour pour obtenir une recette journalière maimale. Quelle est cette recette maimale? Le maimum de la fonction R est 3, atteint en 8. La recette maimale journalière est donc 3 pour 8 cartons fabriqués et vendus. 5. Pour contrôler les résultats obtenus au questions précédentes, on veut tracer sur tableur la courbe représentative de la fonction R. On entre dans la cellule A et dans la cellule A2 ; on sélectionne ces deu cellules, puis on tire la poignée de remplissage jusqu en A3. a) Donner une formule à écrire dans la cellule B et à recopier jusqu à la cellule B3 pour obtenir un tableau de valeurs de la fonction B. On écrit la formule = *A^3+2*A^2 26. b) Quelle formule obtient-on alors en cliquant dans la cellule B8? On obtient la formule = *A8^3+2*A8^2 26. c) L assistant graphique a permis d obtenir le tracé ci-contre. Retrouver graphiquement les réponses à la question 4. (Faire apparaître les tracés utiles à la lecture.) 3 Le point le plus haut de la courbe a pour coordonnées (8 ; 3), donc le maimum de la fonction est obtenu en 8 et est égal à 3. 52 49