Introduction à la Simulation Numérique Jérémie Gressier Septembre 21 1 / 41 Plan 1 Présentation 2 Différences Finies 3 Intégration d un problème de Cauchy 4 Conclusion 2 / 41
Simulation numérique, contexte étude Physique modélisation Modèle continu discrétisation Modèle discret validation Présentation Pourquoi la simulation numérique? 4 / 41 Discrétisation Discrétisation Représentation d un problème continu (dim ) en problème de dimension finie Quelques méthodes de représentation : valeurs en N points (Différences Finies) projection sur une base à support réduit (Éléments Finis, Volumes Finis) projection sur une base à support étendu (spectral, Fourier, Chebyshev,...) x x x Présentation Pourquoi la simulation numérique? 5 / 41
Types de problèmes physiques problème d évolution Problème à condition initiale (Pb de Cauchy, IVP: Initial Value Problem) problème d équilibre Problème à conditions limites (Pb stationnaire, Pb évolution à contrainte, BVP: Boundary Value Problem) condition d existence d une solution problème aux valeurs propres Présentation Pourquoi la simulation numérique? 6 / 41 Cadre du cours Équation différentielle ordinaire (une coordonnée x ou t) Problème à valeur initiale (évolution) Une (scalaire) ou plusieurs variables (vectoriel) (U de dimension d) Linéaire ou non-linéaire Présentation Pourquoi la simulation numérique? 7 / 41
Calcul discret de dérivées Définition : du dx (x u(x i + x) u(x i ) i) = lim x x Différences finies : «du dx i u(x i+1) u(x i ) x i+1 x i erreur? Développement de Taylor : (de u i±1 en x i ) «du u i±1 = u i ± + dx i x 1 «d 2 u x 2 + O( x 3 ) 2 dx 2 i Différences Finies Principes de discrétisation 9 / 41 Dérivées du premier ordre u i±1 = u i ± «du + dx i x 1 «d 2 u x 2 + O( x 3 ) 2 dx 2 i Différence décentrée aval (ordre 1) «du dx i = u i+1 u i x + O( x) Différence centrée (ordre 2) «du dx i = u i+1 u i 1 2 x + O( x 2 ) Différences Finies Principes de discrétisation 1 / 41
Interprétation géométrique u(x) u i 1 u i décentrée amont dérivée exacte décentrée aval u i+1 x i 1 x i x i+1 x Différences Finies Principes de discrétisation 11 / 41 Interprétation géométrique u(x) u i 1 u i dérivée exacte centrée u i+1 x i 1 x i x i+1 x Différences Finies Principes de discrétisation 11 / 41
Méthodologie générale x n 1 x n x n+1 x n+2 «1 d k u Choix du support de calcul pour obtenir à l ordre p dx k x n x 2 Développement de Taylor de chaque u n+i à l ordre k + p en x n 3 Écrire une combinaison arbitraire des u n+i X i,support a i u n+i = α u n + où α m sont des combinaisons linéaires des a i X m=1,k+p «d m u x α m dx m x n m! 4 Déterminer les a i à l aide des k + p équations : α m,m k = et α k = 1 m Pour une évaluation de dérivée d ordre k à un ordre de précision p, il faut (en général) un schéma à k + p points. Différences Finies Principes de discrétisation 12 / 41 Exemple: dérivée première, au 2 nd ordre, décentré à gauche 1/2 1 choix du support x n 2 x n 1 x n x 2 développement de Taylor «du u n 2 u n 2 x + 4 x «2 d 2 u dx x n 2 dx 2 «du u n 1 u n x + x «2 d 2 u dx x n 2 dx 2 3 écriture des combinaison des u n+i X a i u n+i = (a 2 + a 1 + a ) u n i= 2, +( 2a 2 a 1 ) x +(4a 2 + a 1 ) x 2 2 x n «du dx x n «d 2 u dx 2 x n x n Différences Finies Principes de discrétisation 13 / 41
Exemple: dérivée première, au 2 nd ordre, décentré à gauche 2/2 1 choix du support x n 2 x n 1 x n x 2 développement de Taylor 3 écriture des combinaison des u n+i 4 identification 8 < a 2 + a 1 + a = α 2a 2 a 1 = α 1 : 4a 2 + a 1 = α 2 «5 du pour obtenir à l ordre 1, il faut α = et α 1 = 1 ( té solutions) dx x «n 6 du pour obtenir à l ordre 2, il faut α =, α 1 = 1 et α 2 = dx x n «du = u n 2 4u n 1 + 3u n dx x n 2 x + O( x 2 ) Différences Finies Principes de discrétisation 14 / 41 Synthèse des dérivées du premier ordre ordre x n 2 x n 1 x n x n+1 x n+2 décentré gauche 1-1 1 /h décentré droite 1-1 1 /h décentré gauche 2 1-4 3 /2h décentré droite 2-3 4-1 /2h centré 2-1 1 /2h centré 4 1-8 8-1 /12h extension du support de calcul (stencil) avec l ordre de précision pas h ou x supposé constant (maillage régulier) Différences Finies Principes de discrétisation 15 / 41
Synthèse des dérivées du second ordre ordre x n 3 x n 2 x n 1 x n x n+1 x n+2 x n+3 décentré gauche 1 1-2 1 /h 2 décentré droite 1 1-2 1 /h 2 centré 2 1-2 1 /h 2 décentré gauche 2-1 4-5 2 /h 2 décentré droite 2 2-5 4-1 /h 2 centré 4-1 16-3 16-1 /12h 2 extension du support de calcul (stencil) avec l ordre de précision support de calcul plus important que pour la dérivée première pas h ou x supposé constant (maillage régulier) Différences Finies Principes de discrétisation 16 / 41 Synthèse des dérivées centrées d ordre élevé du dx ordre x n 3 x n 2 x n 1 x n x n+1 x n+2 x n+3 2-1 1 /2h 4 1-8 8-1 /12h d 2 u 2 1-2 1 /h 2 dx 2 4-1 16-3 16-1 /12h 2 d 3 u 2-1 2-2 1 /2h 3 dx 3 4 1-8 13-13 8-1 /8h 3 d 4 u 2 1-4 6-4 1 /h 4 dx 4 4-1 12-39 56-39 12-1 /6h 4 extension du support de calcul (stencil) avec l ordre de dérivation pas h ou x supposé constant (maillage régulier) Différences Finies Principes de discrétisation 17 / 41
Formulation matricielle Exemple : équation de Poisson sur le domaine ]; L[ u = d 2 u dx 2 + conditions aux limites en x = et x = L = f (x) Soit U, vecteur des n + 1 points u i équi-répartis en x i = i x sur le domaine [; L] (avec n x = L) Discrétisation à l ordre 2 : 1 B @ u u 1. u i. u n 1 u n = A U = 1 x 2 C B A @? 1 2 1......... 1 2 1......... 1 2 1? 1 C B A @ u u 1. u i. u n 1 u n 1 = C B A @? f 1.. f i. f n 1? 1 C A Différences Finies Principes de discrétisation 18 / 41 Formulation matricielle Discrétisation à l ordre 2 :? 1 2 1. A U = 1........ x 2 1 2 1. B........ @ 1 2 1? 1 C B A @ u u 1. u i. u n 1 u n 1 = C B A @? f 1.. f i. f n 1? 1 C A écriture des conditions aux limites sous forme discrète résolution par inversion matricielle (conditionnement?) matrice creuse (selon support de la formule de dérivation) Différences Finies Principes de discrétisation 18 / 41
Résumé sur la méthode des Différences Finies calcul sur un ensemble de points (maillage) propriétés de convergence uniquement en ces points formules établies pour maillage uniforme perte des propriétés de précision sur autre maillage support de calcul important avec ordre (dérivée et précision) coût de calcul traitement des frontières Différences Finies Principes de discrétisation 19 / 41 Problème de Cauchy 8 < : du dt = F (U, t) U() = U problème d évolution (équation d évolution + condition initiale) équation différentielle ordinaire du premier ordre U de dimension d Théorème de Cauchy-Lipschitz si F (U, t) est lipschitzienne M, i, j {1..d}, df «i du j < M alors il existe une solution unique sur R + Intégration d un problème de Cauchy Formulation et notations 21 / 41
Réduction de l ordre du problème Si l ordre de dérivation maximal k est supérieur à un, on se ramène au problème de Cauchy précédent en définissant des variables supplémentaires, dérivées des premières. réduction à un problème d ordre 1 augmentation de la dimension du problème (k d) conditions initiales : valeurs et dérivées supplémentaires introduites Intégration d un problème de Cauchy Formulation et notations 22 / 41 Réduction de l ordre : exemple Système masse/ressort avec frottement visqueux m d 2 x dt 2 + c dx dt + k x = Rq : problème linéaire scalaire, ordre 2 Réduction de l ordre par création de variables dérivées Problème équivalent d dt x v «= 1 k/m c/m «x v «Rq : système linéaire de dim 2, ordre 1 (x v) espace d états ou espace des phases Intégration d un problème de Cauchy Formulation et notations 23 / 41
Intégration temporelle des EDP U t = H(U, t) U est un vecteur d état à d variables d état H est un opérateur différentiel sur U(x, y, z, t) Méthodes de discrétisation des EDP (cours 2A) : (Différences Finies, Éléments Finis, Volumes Finis) discrétisation du vecteur d état U sur un maillage (N points) (dim N d) discrétisation de l opérateur différentiel H(U) intégration d une EDO de dimension N d H(U) Intégration d un problème de Cauchy Formulation et notations 24 / 41 Intégration temporelle des EDP : exemples Exemples : Avion complet (fuselage+voilure+nacelles) Navier-Stokes : N 5 1M, d 5 7 Chambre de combustion (NS+réactif) : N 5 1M, d 1 Intégration d un problème de Cauchy Formulation et notations 25 / 41
Euler explicite du dt = F (U, t) écriture en t = t n, discrétisation du terme temporel décentré à droite U n+1 U n t + O( t) = F (U n, t n ) Euler explicite U n+1 U n + tf (U n, t n ) calcul direct, explicite de U n+1 erreur d ordre 1 à chaque pas de temps Intégration d un problème de Cauchy Intégration explicite et implicite 26 / 41 Euler explicite : exemple d intégration d 2 u dt 2 du + 11 dt + 1u = avec u() = 1, du dt () = On reformule le problème d dt u v «1 = 1 11 «u v «u(t) solution t =.1 t =.21 t Intégration d un problème de Cauchy Intégration explicite et implicite 27 / 41
Euler explicite : analyse de stabilité U n+1 = U n + t A U n Hypothèses : problème linéaire et A diagonalisable W n+1 = W n + t Λ W n On obtient, par composante, W n+1 i = (1 + t λ i )W n i L intégration est stable si i, 1 + t λ i < 1 t Im(λ) -1 t Re(λ) condition de stabilité sur t si λ réel, t < 2 λ exemple: 2 valeurs propres { 1; 1} t max =.2 si λ imaginaire pur, inconditionnellement instable si problème non-linéaire, λ = λ(u) pas adaptatif Intégration d un problème de Cauchy Intégration explicite et implicite 28 / 41 Euler implicite (backward Euler) du dt = F (U, t) écriture en t = t n+1, discrétisation du terme temporel décentré à gauche U n+1 U n t + O( t) = F (U n+1, t n+1 ) Euler implicite U n+1 tf (U n+1, t n+1 ) U n Remarques : si problème non linéaire, difficulté à résoudre (itératif) si problème linéaire, inversion matricielle (dim d) Intégration d un problème de Cauchy Intégration explicite et implicite 29 / 41
Euler implicite linéarisé Forme linéarisée U n+1 = U n + t " I t «# 1 F F (U n ) U U n Remarques : Stabilité W n+1 i = calcul de la matrice jacobienne (coût, difficulté) coût de l inversion, erreur due au conditionnement (si t est grand) erreur de linéarisation Remarques : 1 1 t λ i W n i stabilité inconditionnelle pour tout λ i C Re(λ i < ) schéma inconditionnellement stable attention, seulement précis au premier ordre t arbitrairement grand Intégration d un problème de Cauchy Intégration explicite et implicite 3 / 41 Autres formes implicites schéma de Cranck-Nicholson U n+1 U n = t F (Un ) + F (U n+1 ) 2 inconditionnellement stable (marginal sur l axe imaginaire) précis au second ordre schéma de Gear 3U n+1 4U n + U n 1 = 2 t F (U n+1 ) inconditionnellement stable précis au second ordre nécessite de mémoriser un pas antérieur (multi-step) Intégration d un problème de Cauchy Intégration explicite et implicite 31 / 41
Prédicteur/correcteur point milieu du dt = F (U, t) u(t) Euler explicite U = U n + t 2 F (Un, t n ) U n+1 = U n + tf U, t n + t «2 prédicteur RK2 t 2 pas, 2 évaluations de F méthode d ordre 2 rapport coût O1/O2 à précision égale : N 2 /2N Intégration d un problème de Cauchy Intégration multi-étapes 32 / 41 Méthodes de Runge et Kutta Généralisation des méthodes p multi-étapes (multi-stage) Xi 1 U i = U n + t α ij F `U j j= px U n+1 = U n + t β j F `U j j= Tableau de Butcher associé γ = γ 1 α 1, γ i α i, α i,i 1 γ p α p, α p,j α p,p 1 1 β...... β p prédicteurs U i estimés au temps t n + γ i t consistance γ i = P i 1 j= α i,j et P p j= β j = 1 Intégration d un problème de Cauchy Intégration multi-étapes 33 / 41
Tableaux de Butcher : exemples RK ordre 1 RK ordre 2 RK ordre 3 RK ordre 4 Euler 1 point milieu 1/2 1/2 1 1 1 1/2 1/4 1/4 1/6 1/6 2/3 1/2 1/2 1/2 1/2 1 1 1/6 1/3 1/3 1/6 trapèze 1 1 1/2 1/2 Intégration d un problème de Cauchy Intégration multi-étapes 34 / 41 Diagramme de stabilité linéaire des méthodes Runge-Kutta t Im(λ) t Re(λ) extension du domaine de stabilité extension significative sur l axe imaginaire (RK3 et RK4) adaptées aux systèmes faiblement amortis Intégration d un problème de Cauchy Intégration multi-étapes 35 / 41
Propriétés des méthodes numériques 1 CONSISTANCE : le modèle continu est approché avec une erreur d ordre connu cette erreur dépend des pas caractéristiques de discrétisation l ordre de précision quantifie la variation de cette erreur (//pas) la solution discrète théorique converge vers la solution continue 2 STABILITÉ : un schéma est stable si la solution du calcul est effectivement la solution du problème discret toute perturbation numérique est amortie 3 CONVERGENCE : la solution discrète converge vers la solution continue lorsque les pas tendent vers Théorème de Lax un schéma consistant et stable est convergent Intégration d un problème de Cauchy Validation et exploitation 36 / 41 Calcul d erreur 1 Intégration du dt = u : erreur relative à t = 1 selon nombre de pas.1.1.1.1 1e-5 1e-6 1e-7 1e-8 1e-9 1e-1 RK1 RK2 RK4 1e-11 1e-12 1 1 1 1 Intégration d un problème de Cauchy Validation et exploitation 37 / 41
Convergence de la méthode Soit On a m(h) une mesure de la solution discrète associée au pas caractéristique h, p l ordre de précision du schéma de discrétisation m la mesure de la solution exacte du problème continu m(h) = m + ε(h) ε(h) = O(h p ) On effectue 3 calculs (m 1, m 2, m 3 ) de pas (h 1, h 2, h 3 ) de ratios r. On calcule l ordre de la méthode selon p = 1 ln r ln m 3 m 2 m 2 m 1 Remarque : Ce calcul peut être sensible au comportement réellement asymptotique de la méthode Intégration d un problème de Cauchy Validation et exploitation 38 / 41 Extrapolation de Richardson À partir de m(h 1 ) = m + k h p 1 + O(hp+1 1 ) m(h 2 ) = m + k (rh 1 ) p + O(h p+1 1 ) On peut calculer m = r p m 1 m 2 r p 1 = m 1 + m 1 m 2 r p 1 qui est une estimation d ordre p + 1 de m Exemple : résolution de du dt = u avec un RK2 1 en 256 pts, m 2 = u(1) = 4.5519 1 5 (erreur de 1.1%) 2 en 512 pts, m 1 = u(1) = 4.54292 1 5 (erreur de.26%) 3 r = 2 et p = 2, on estime m = 4.53993 1 5 (erreur de.14%) une précision équivalente aurait nécessité 3 pts Intégration d un problème de Cauchy Validation et exploitation 39 / 41
Conclusion Différences Finies méthode basée sur les développements de Taylor utilisable pour les EDP (plusieurs coordonnées) support de calcul potentiellement étendu (coût, traitement des frontières) sensibilité à la qualité de la répartition des points Problème à valeur initiale discrétisation Différence Finies de l opérateur temporel méthodes explicites, précision et stabilité attention aux problèmes raides (vp très différentes) et peu amortis méthodes implicites coût de calcul (si d 1) et en non-linéaire attention à la précision classe de méthodes utilisées pour l intégration des EDP (instationnaires) Conclusion 41 / 41