BREVET BLANC Vendredi 18 Avril 2014 Mathématiques Durée de l épreuve : 2 heures 9h à 11h Les calculatrices sont autorisées Conseils : Dans un même exercice, fais les questions dans l ordre. N oublie pas que les justifications sont plus importantes que le résultat final 4 points sont réservés pour le soin, la rédaction, l orthographe et la présentation de la copie. La feuille Annexe (Page 6/6) est à rendre avec la copie Page 1/6
Exercice 1 ( 4 points) Le tableau ci-dessous est un Questionnaire à Choix Multiples (Q.C.M.). Chaque ligne possède une seule bonne réponse parmi les 4 proposées. Une bonne réponse donne, une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne sera pas pénalisée. Pour chaque question, écris sur la feuille annexe la lettre correspondant à la réponse choisie. A B C D 1. La représentation graphique des solutions de l inéquation est 2. La forme factorisée de est 3. Les droites (AB) et (CD) sont sécantes en E. Les droites (AC) et (BD) sont parallèles. Alors 4. Le couple système est solution du Exercice 2 ( 2 points) Pour chacune des affirmations suivantes, précise si elle est vraie ou fausse, en justifiant ta réponse. Affirmation 1 : «est un multiple de» Affirmation 2 : «Pour, l expression est égale à» Exercice 3 ( 2,5 points) Le même jour, à la caisse d un cinéma un adulte et deux enfants payent, deux adultes et trois enfants payent. Trois adultes et trois enfants vont au cinéma ce jour-là, et le caissier leur réclame trompez!» s exclame un des enfants. A-t-il raison? Justifie ta réponse.. «Vous vous Page 2/6
Exercice 4 ( 3 points) 1. Les nombres et sont-ils premiers entre eux? Justifie ta réponse sans calculer de. 2. Calcule en utilisant la méthode de ton choix. 3. Trouve la fraction irréductible égale à, en justifiant ta réponse. Exercice 5 ( 5,5 points) Données : A est le centre du cercle ; 1. Complète les égalités suivantes (on ne demande pas de justifier) 2. Que peux-tu en déduire sur le triangle? On suppose que. 3. Calcule alors les longueurs et, arrondies au mm près. Exercice 6 ( 7,5 points) - La figure sera construite en vraie grandeur sur la feuille donnée en annexe. 1. Trace un segment de de longueur puis un demi-cercle de diamètre. Place le point sur ce demi-cercle tel que le segment mesure. 2. Démontre que le triangle est rectangle. 3. Calcule la longueur. On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au mm. Place le point sur tel que et le point sur tel que. 4. Démontre que les droites et sont parallèles. Exercice 7 ( 2 points) - Tu laisseras les traits de construction pour justifier ta réponse. Construis sur la feuille donnée en annexe le triangle équilatéral de centre et de sommet. Page 3/6
Exercice 8 ( 2 points) est un rectangle tel que et. On colorie aux quatre coins du rectangle quatre carrés identiques en gris. On délimite ainsi un rectangle central que l on colorie en noir. Sabri utilise un tableur pour trouver la mesure des côtés des carrés gris lorsque l aire du rectangle noir vaut la somme des aires des 4 carrés gris. On donne à droite une copie d écran de ce qu il obtient après avoir entré ses formules. 1. D après la feuille de calcul, combien doit mesurer le côté des carrés gris pour que l aire du rectangle noir soit égale à la somme des aires de tous les carrés gris? Les réponses aux questions qui suivent sont à écrire dans les cellules du tableau fourni sur la feuille annexe. 2. Dans la cellule, quelle formule a écrit Sabri pour que l ordinateur calcule la longueur du rectangle noir? 3. Dans la cellule, quelle formule écrire pour que l ordinateur calcule la somme des aires des quatre carrés gris? 4. Ecris ensuite, toujours sur la feuille annexe, les formules des cellules et. Page 4/6
Exercice 9 ( 7,5 points) On propose les deux programmes de calcul suivants PROGRAMME A Choisis un nombre, Ajoute 1, Calcule le carré du résultat obtenu, Soustrais 9 au résultat. PROGRAMME B Choisis un nombre, Multiplie-le par 2, Soustrais 3 au résultat obtenu, Multiplie le résultat par le nombre choisi au départ. Puis soustrais 2 au résultat obtenu. Partie I : calcul numérique (Tu détailleras les étapes de calcul) 1. Montre que l on obtient comme résultat final avec le programme A en partant de. 2. Montre que l on obtient comme résultat final avec le programme B en partant de. 3. Montre que les deux programmes de calcul conduisent au même résultat si on part de. Partie II : calcul littéral Maintenant, on appelle le nombre de départ. Le but est de trouver toutes les valeurs possibles qui conduisent au même résultat avec les deux programmes de calcul. 4. Résultats finaux obtenus avec les programmes de calcul a) Prouve que le résultat final obtenu avec le programme A peut s écrire. b) Prouve que le résultat final obtenu avec le programme B peut s écrire. 5. Forme factorisée des résultats finaux a) Factorise l expression obtenue pour le résultat final du programme A. b) Vérifie que le résultat final obtenu avec le programme B peut s écrire. 6. On part de l égalité a) Que signifie cette égalité dans le cadre de ce problème? b) A l aide d une factorisation, transforme cette égalité en équation produit. c) Déduis-en toutes les valeurs de départ qui conduisent au même résultat avec les deux programmes de calcul. Page 5/6
Annexe à rendre avec la copie Numéro de candidat : Exercice 1 q. 1 q. 2 q. 3 q. 4 Exercice 6 Exercice 7 Figure de l exercice (Laisse les traits de construction) Triangle équilatéral de centre et de sommet. (Laisse les traits de construction) Exercice 8 A B C D E 1 Côté d'un carré gris Longueur du rectangle noir Largeur du rectangle noir Aire des 4 carrés Aire du rectangle 2 1,5 3 9 18 3 1,6 5,8 2,8 10,24 4 1,7 5,6 11,56 14,56 5 1,8 5,4 2,4 12,96 12,96 6 1,9 5,2 2,2 14,44 11,44 7 2 5 2 10 Page 6/6
Correction Brevet Blanc du 18 Avril 2014 Exercice 1 ( 4 points) Le tableau ci-dessous est un Questionnaire à Choix Multiples (Q.C.M.). Chaque ligne possède une seule bonne réponse parmi les 4 proposées. Une bonne réponse donne, une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne sera pas pénalisée. Pour chaque question, écris sur la feuille annexe la lettre correspondant à la réponse choisie. A B C D 1. La représentation graphique des solutions de l inéquation est 2. 3. La forme factorisée de est Les droites (AB) et (CD) sont sécantes en E. Les droites (AC) et (BD) sont parallèles. Alors 4. Le couple système est solution du Exercice 2 ( 2 points) Pour chacune des affirmations suivantes, précise si elle est vraie ou fausse, en justifiant ta réponse. Affirmation 1 : «est un multiple de» On développe et on réduit l expression Comme est un multiple de, l affirmation 1 est vraie. Affirmation 2 : «Pour, l expression est égale à» On ne va pas calculer, mais on va factoriser l expression pour remplacer ensuite par. En remplaçant par, on obtient que, et on en déduit que l affirmation 2 est vraie. Page 7/6
Exercice 3 ( 2,5 points) Le même jour, à la caisse d un cinéma un adulte et deux enfants payent, deux adultes et trois enfants payent. Trois adultes et trois enfants vont au cinéma ce jour-là, et le caissier leur réclame des enfants. A-t-il raison? Justifie ta réponse. On va utiliser un système d équations pour trouver le prix d une place puis on calculera le prix de trois adultes et trois enfants. En appelant le prix d une place adulte et le prix d une place enfant, on obtient le système suivant Système que l on résout en utilisant la méthode par substitution. «Vous vous trompez!» s exclame un adulte et d une place enfant, On résout alors l équation, qui est une équation du 1 er degré à une inconnue Puis on remplace par dans l équation Donc le prix d une place adulte est de et le prix d une place enfant est de. Par conséquent, 3 adultes et 3 enfants paieront car. L enfant à raison!!! Exercice 4 ( 3 points) 1. Les nombres et sont-ils premiers entre eux? Justifie ta réponse sans calculer de. Les deux nombres sont divisibles par 9 d après les critères de divisibilité (la somme de leurs chiffres vaut 9). Comme ils ont un diviseur commun autre que 1, ils ne sont pas premiers entre eux. 2. Calcule en utilisant la méthode de ton choix. On va utiliser l algorithme d Euclide Le dernier reste non nul est Donc Page 8/6
3. Quelle est la fraction irréductible égale à Pour rendre irréductible une fraction, il suffit de la simplifier par le dénominateur. de son numérateur et de son On va donc simplifier par qui est égal à. On a alors et la fraction irréductible égale à est. Exercice 5 ( 5,5 points) Données : A est le centre du cercle ; 1. Complète les égalités suivantes (on ne demande pas de justifier) 2. Que peux-tu en déduire sur le triangle? Comme l angle mesure, le triangle est un triangle rectangle en, d hypoténuse. On suppose que 3. Calcule alors les longueurs et, arrondies au mm près. Pour répondre à cette question, on peut utiliser la trigonométrie car le triangle est un triangle rectangle en On a Donc En utilisant le produit en croix, on obtient que et et et En conclusion, mesure environ et mesure environ, arrondies au mm. Exercice 6 ( 7,5 points) 1. Trace un segment de de longueur puis un demi-cercle de diamètre. Place le point sur ce demi-cercle tel que le segment mesure. Page 9/6
2. Démontre que le triangle est rectangle. est inscrit dans le demi-cercle de diamètre. Or, «Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés, Alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est le diamètre du cercle» Donc est rectangle en, et son hypoténuse est 3. Calcule la longueur. On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au mm. est rectangle en, et son hypoténuse est. D après le théorème de Pythagore, «Si un triangle est rectangle, Alors le carré de l hypoténuse est égale à la somme des carrés des deux autres côtés» Donc, et. Par conséquent,, donc et Conclusion : mesure exactement, soit environ arrondie au mm. Place le point sur tel que et le point sur tel que. 4. Démontre que les droites et sont parallèles. Les droites et sont sécantes en. De plus, les points,, et,, sont alignés dans le même ordre. On compare avec On a et donc. D après la réciproque du théorème de Thalès, les droites et sont parallèles. Exercice 7 ( 2 points) - Tu laisseras les traits de construction pour justifier ta réponse. Construis le triangle équilatéral de centre et de sommet. Page 10/6
Exercice 8 ( 2 points) Toutes les parties sont indépendantes est un rectangle tel que et. On colorie aux quatre coins du rectangle quatre carrés identiques en gris. On délimite ainsi un rectangle central que l on colorie en noir. Sabri utilise un tableur pour trouver la mesure des côtés des carrés gris lorsque l aire du rectangle noir vaut la somme des aires des 4 carrés gris. On donne à droite une copie d écran de ce qu il obtient après avoir entré ses formules. 1. D après la feuille de calcul, combien doit mesurer le côté des carrés gris pour que l aire du rectangle noir soit égale à la somme des aires de tous les carrés gris? En remarquant que la somme des aires des 4 carrés gris est égale à l aire du rectangle noir à la ligne 5 de la feuille de calcul, on en déduit que les côtés des carrés gris mesurent alors 1,8cm. Les réponses aux questions qui suivent sont à écrire dans les cellules du tableau fourni sur la feuille annexe. 2. Dans la cellule, quelle formule a écrit Sabri pour que l ordinateur calcule la longueur du rectangle noir? 3. Dans la cellule, quelle formule écrire pour que l ordinateur calcule la somme des aires des quatre carrés gris? Page 11/6
4. Ecris ensuite, toujours sur la feuille annexe, les formules des cellules et. A B C D E 1 Côté d'un carré gris Longueur du rectangle noir Largeur du rectangle noir Aire des 4 carrés Aire du rectangle 2 1,5 3 9 18 3 1,6 5,8 2,8 10,24 4 1,7 5,6 11,56 14,56 5 1,8 5,4 2,4 12,96 12,96 6 1,9 5,2 2,2 14,44 11,44 7 2 5 2 10 Exercice 9 ( 7,5 points) On propose les deux programmes de calcul suivants PROGRAMME A Choisis un nombre, Ajoute 1, Calcule le carré du résultat obtenu, Soustrais 9 au résultat. PROGRAMME B Choisis un nombre, Multiplie-le par 2, Soustrais 3 au résultat obtenu, Multiplie le résultat par le nombre choisi au départ. Puis soustrais 2 au résultat obtenu. Partie I : calcul numérique 1. Montre que l on obtient comme résultat final avec le programme A en partant de. 2. Montre que l on obtient comme résultat final avec le programme B en partant de. 3. Montre que les deux programmes de calcul conduisent au même résultat si on part de. Programme A : Programme B : Donc les deux programmes conduisent bien à si on part de. Page 12/6
Partie II : calcul littéral Maintenant, on appelle le nombre de départ. Le but est de trouver toutes les valeurs possibles qui conduisent au même résultat avec les deux programmes de calcul. 4. Résultats finaux obtenus avec les programmes de calcul a) Prouve que le résultat final obtenu avec le programme A peut s écrire. b) Prouve que le résultat final obtenu avec le programme B peut s écrire. 5. Forme factorisée des résultats finaux a) Factorise l expression obtenue pour le résultat final du programme A. b) Vérifie que le résultat final obtenu avec le programme B peut s écrire. On développe et on vérifie que l'on retombe bien sur l expression. La double distributivité permet d écrire On a donc bien vérifié que le résultat final obtenu avec le programme B peut s écrire. 6. On part de l égalité a) Que signifie cette égalité dans le cadre de ce problème? Elle signifie que les résultats des deux programmes de calcul sont identiques quand on part du nombre. b) A l aide d une factorisation, transforme cette égalité en équation produit. Et est une équation produit. c) Déduis-en toutes les valeurs de départ qui conduisent au même résultat avec les deux programmes de calcul. Ces valeurs sont les solutions de l équation produit précédente est une équation produit. Or «Si un produit est nul, Alors une des facteurs est nul» Donc ou ou Les solutions de l équation sont et qui sont donc les valeurs conduisant au même résultat avec les deux programmes de calcul. Page 13/6