Leçon 69 : Les différents types de raisonnement en mathématiques

Leçon 69 : Les différents types de raisonnement en mathématiques 1 er avril 01 En mathématiques, pour démontrer divers propriétés ou théorèmes, nous avons besoin d appliquer rigoureusement un raisonnement Il existe cependant divers types de raisonnements Certaines sont plus efficaces que d autres Il convient d utiliser le raisonnement le plus approprié selon le type de problème 1 Quelques définitions Si utiliser un raisonnement approprié est la clé pour démontrer une propriété, il est important de bien poser le problème, et pour cela, nous allons rappeler quelques définitions Définition 11 On appelle proposition, toute phrase P dont on peut dire si elle est vraie ou fausse Lorsque l énoncé d une proposition porte sur une variable x, nous pouvons la noter P(x) Tous les nombres sont pairs est une proposition fausse Pour tous nombres strictement positif, ln(x) > 0 est une proposition vraie pour x > 1, fausse sinon La plupart du temps, on a recours à des phrases mathématiques exprimées à l aide de quantificateurs, pour exprimer une proposition Les quantificateurs sont introduits petit à petit au lycée En classe de BTS, l utilisation est systématique Définition 1 (Quantificateurs) Le signe placé devant une variable x signifie Quelque soit x Le signe placé devant une variable x signifie Il existe x Le signe! placé devant une variable x signifie Il existe un unique x x R, x 0 se traduit par Quelque soit x appartenant à R, x est positif x ]0; + [, x 6x + 1 = 0 se traduit par Il existe x appartenant à ]0; + [ tel que x 6x + 1 = 0!n N, n(n+1) = 3 se traduit par Il existe un unique entier n tel que n(n+1) = 3 De manière général, ( x, y, P(x, y)) et différent de ( y, x, P(x, y)) La proposition x R, n Z, n x < n + 1 est une proposition vraie (c est la définition de la partie entière de x) La proposition n Z, x R, n x < n + 1 est une proposition fausse (cela affirme que tout les réels sont compris entre deux entiers fixés) 1

DIVERS TYPES DE RAISONNEMENT Afin de représenter le calcul propositionnel, on utilise des connecteurs logiques On pourra se référer aux tables de vérités ou aux lois de De Morgan pour plus d informations A partir d une proposition P, on peut exprimer son contraire que l on note non(p) Le quantificateur devient alors et vice versa De plus les inégalités changent de sens Divers types de Raisonnement Au départ, on choisit un certain nombre de propositions dont on admet sans démonstration qu elles sont vraies : ce sont les axiomes, ou postulats L ensemble des axiomes ainsi choisis fondent une branche des mathématiques et s appelle l axiomatique de cette branche A partir des axiomes et en utilisant les règles de logique usuelle, (que l on peut expliciter de diverses manières, et avec lesquelles il est difficile de ne pas être d accord) on démontre des théorèmes Un théorème est une proposition qu on a démontré être vraie, suivant le principe : si P est vraie, et si (P Q) est vraie, alors Q est vraie Regardons maintenant les différents types de raisonnements utilisés en mathématiques 1 Montrer une équivalence La première méthode à laquelle on va s intéresser est comment montrer une implication Dire que P est équivalent à Q se traduit souvent par P si et seulement si Q Méthode 1 L équivalence (P Q) signifie la double implication : (P Q) et (Q P) Il s agit d une erreur fréquente de montrer une implication mais pas l autre P Q se dit P implique Q, ou encore Si P alors Q On privilégiera cette méthode lorsque les arguments permettant d établir l une des deux implications sont différentes de ceux permettant d établir l autre Comment montrer une proposition par implication? C est ce qu on fait la plupart du temps : on procède par implication (sans se sentir obligé d utiliser le symbole ) en construisant un raisonnement direct Soit deux réels a et b Montrer que : ( n N a n + b3 n = 0) (a = b = 0) Établissons une implication : Si pour tout n de N, on a a n + b3 n = 0, alors : { a 0 + b3 0 = 0 a 1 + b3 1 = 0 Ce système s écrit : { a = 0 D où b = 0 { a + b = 0 a + 3b = 0 et on en déduit : { b = a a 3a = 0 Inversement, si a = b = 0, a n + b3 n = 0 n + 0 3 n = 0 On peut aussi s intéresser au cas suivant : montrer une égalité Méthode Pour démontrer que deux ensembles E et F sont égaux, on montre que E F et que F E

3 DIVERS TYPES DE RAISONNEMENT Soit f une fonction bijective de E dans F On veut montrer que A, B E, f(a B) = f(a) f(b) On va donc procéder par double inclusion Si x est un élément de f(a B), il possède par f un antécédent y de l élément A B, donc de A et de B Ainsi x est un élément de f(a) et f(b), donc de f(a) f(b) D où la première inclusion : f(a B) f(a) f(b) Si x est un élément de f(a) f(b), en tant qu élément de f(a), il possède par f un antécédent y A élément de A De plus, en tant qu élément de f(b), il possède par f un antécédent y B élément de B L injectivité de f permet d affirmer que y A = y B, donc que l antécédent unique de x par f appartient à A B Ainsi, x est élément de f(a B) D où la deuxième inclusion : f(a) f(b) f(a B) On en conclut l égalité f(a B) = f(a) f(b) On peut adapter ce raisonnement pour des nombres : pour montrer que x = y, on montre que x y et que y x (c est en fait la définition de l égalité) Raisonnement par analyse-synthèse Le raisonnement par analyse-synthèse est un type de raisonnement mathématique permettant de démontrer l existence et l unicité d un objet vérifiant des propriétés données Il se décompose en deux parties Méthode 3 1 l analyse : on suppose que l objet existe et on essaie de trouver des conditions nécessaires que doit vérifier cet objet Ce faisant, on prouve que si l objet existe, alors il est nécessairement égal à un certain objet O 0 (ceci assure l unicité) la synthèse : on considère l objet O 0 identifié dans la partie analyse, et on vérifie qu il a bien les propriétés voulues (ceci assure l existence) On souhaite prouver que toute fonction f définie sur R s écrit de manière unique comme somme d une fonction paire et d une fonction impaire Analyse : On suppose que f = g + h où g est une fonction paire et h une fonction impaire Fixons x R, on calcule f( x) : f( x) = g( x) + h( x) = g(x) h(x) Comme g est paire et h est impaire, on a : f(x) = g(x) + h(x) Ainsi, f(x) + f( x) = g(x) Et, f(x) f( x) = h(x) Ainsi, si g et h existe, ils s écrivent comme ci-dessus Ceci montre l unicité d une décomposition, si elle existe, mais on n a pas encore prouvé l existence Synthèse : On pose : g(x) = h(x) = Alors : f = g + h g est paire, en effet : g( x) = f( x)+f(x) = g(x) h est impaire, en effet : h( x) = f( x) f(x) = h(x) f(x) + f( x) f(x) f( x)

4 DIVERS TYPES DE RAISONNEMENT 3 Raisonnement par l absurde On s intéresse maintenant au raisonnement par l absurde On effectue l hypothèse de départ non(p) Si on réussit à démontrer grâce à cette hypothèse un résultat faux, on arrive à une absurdité Cela signifie que l assertion non(p) est fausse, et donc P est vraie Méthode 4 Pour montrer qu une implication est vraie, il suffit de supposer l hypothèse vraie et la conclusion fausse, puis en déduire une contradiction Cette méthode est utilisée par exemple pour montrer que est irrationnel Montrons par l absurde que si un entier n est tel que n est pair, alors n est pair L hypothèse est n est pair que l on suppose vraie, et on va supposer que n est impair Il existe un entier naturel k tel que n = k + 1 On a donc : n = (k + 1) = 4k + 4k + 1 = (k + ) + 1 On pose k = k +, k est bien un entier naturel Ainsi, n = k + 1 Ceci prouve que n est impair, ce qui contredit l hypothèse de départ En conclusion, n est pair Le raisonnement par l absurde se voit déjà au collège Voici un exercice pour une classe de cinquième Exercice 5 Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent 4cm, 6cm et 11cm? 4 Raisonnement par contraposée La contraposition est un type de raisonnement logique consistant à affirmer une implication ( si A alors B ) et à poser ensuite la négation du conséquent ( or, non B ) pour en déduire la négation de l antécédent ( donc non A ) En d autres termes, puisque la cause d une implication engendre la conséquence, alors l absence de la conséquence implique automatiquement l absence de la cause Méthode 6 Pour montrer que P implique Q, on montre que non(q) implique non(p) Démonstration : On utilise les lois de Morgan résumées par le tableau suivant : A B A B A B A B 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 La définition logique de l implication est la suivante : A B A B On obtient donc : A B A B A B B ( A) 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1

5 DIVERS TYPES DE RAISONNEMENT Ainsi, nous avons : A B A B B ( A) B A Soit x un nombre réel tel que ɛ > 0, x ɛ On veut montrer que x 0 Nous allons démontrer sa contraposée : (x > 0) ( ɛ > 0, x > ɛ) On choisit ɛ = x Comme x est strictement positif, on a bien l existence de ɛ et x < x = ɛ Exercice 7 Soit f une fonction qui n est pas continue Est-elle dérivable? 5 Contre-exemple La recherche d un contre-exemple est une méthode utilisée pour prouver que certaines affirmations, prétendant à un certain caractère de généralité, sont fausses Quand un énoncé commence par Pour tout, il suffit, pour prouver qu il est faux, de trouver un élément ( Il existe ) qui réalise les conditions imposées dans l hypothèse sans que ne soit vérifiée la conclusion Méthode 8 Pour prouver non( x E, P(x)), il suffit de trouver un seul élément x E qui vérifie non(p(x)) Conjecture de Fermat : Tous les nombres F n = n + 1 sont premiers Pour n = 5, on a : F 5 = 49496797 Mais 49496797 = 641 6700417 Ainsi, F 5 n est pas premier La conjecture est donc fausse 6 Raisonnement par récurrence Le raisonnement par récurrence est souvent utilisé pour montrer une propriété qui dépend d une variable n Méthode 9 (Principe de Récurrence) Soit n 0 un entier naturel On veut montrer que P(n) est vraie pour tout entier n à partir de n 0 Initialisation : on vérifie que P(n 0 ) est vraie Hérédité : on considère un entier n fixé supérieur ou égal à n 0 tel que P(n) est vraie En utilisant P(n), on montre qu alors P(n + 1) est encore vraie Conclusion : P(n) est vraie pour tout n supérieur ou égal à n 0 On considère la suite (u n ) n N définie par : { u0 = 1 n N, u n+1 = 3un u n On veut montrer que (u n ) n N est constante et égale à 1 On commence à noter, pour n entier naturel, P(n) : u n = 1 Initialisation : P(0) est vraie par choix de de u 0

6 DIVERS TYPES DE RAISONNEMENT Hérédité : on suppose P(n) vraie, c est-à-dire u n = 1 pour un entier n fixé On a alors : u n+1 = 3 1 1 = 1 Ceci montre que P(n + 1) est vraie En conclusion : on a bien montré par récurrence que : n Nu n = 1 Exercice 10 (Raisonnement par récurrence en géométrie) On veut calculer le nombre de diagonale d un polygone convexe en fonction du nombre n de ses sommets 1 Donner le nombre de diagonales d un quadrilatère, d un pentagone, d un hexagone On note d n le nombre de diagonale d un polygone convexe à n sommets, pour n supérieur ou égal à 4 Que valent d 4, d 5, d 6? 3 Montrer à l aide d une figure la relation suivante : d n+1 = d n + n 1 4 Montrer par récurrence que d n = n 3n 5 Combien de diagonales possèdent un polygone convexe à 100 sommets Il est parfois nécessaire, dans des raisonnements par récurrence, d utiliser une version plus forte pour l hérédité Pour cela, on utilise la récurrence forte Méthode 11 (Récurrence forte) Soit P(n) une propriété définie sur N Si : P(n 0 ) est vraie, avec n 0 N [ n 0 k n P(k)] P(n + 1) Alors P(n) pour tout entier n N Donc pour démontrer la propriété au rang suivant on peut la supposer vraie pour tous les rangs inférieurs (pour cette raison, cette forme de récurrence est parfois appelée récurrence cumulative) Exercice 1 Démontrer que tout entier naturel supérieur ou égal à possède un diviseur premier Il est possible d adapter le principe par récurrence si la récurrence est d ordre Il s agit d une récurrence forte particulière On peut généraliser au cas d une récurrence d ordre 3 ou plus

7 DIVERS TYPES DE RAISONNEMENT Exercice 13 On considère la suite (u n ) n N définie par : { u0 = u 1 = 1 n N, u n+ = 5u n+1 6u n Montrer que : n N, u n = 3 n n+1 7 Raisonnement par disjonction de cas Le raisonnement auquel on s intéresse maintenant est le raisonnement par disjonction de cas Méthode 14 Pour démontrer qu une propriété est vraie pour tout élément d un ensemble E, on peut démontrer successivement que cette propriété est vraie pour les éléments de sous-ensembles disjoints de E dont la réunion est E Cette méthode est utilisée par exemple pour démontrer le théorème de l angle au centre Exercice 15 (théorème de l angle au centre) On veut montrer le théorème suivant : Dans un cercle, un angle inscrit est égal à la moitié de l angle au centre interceptant le même arc Considérer les 3 cas suivant : 1 le centre du cercle est intérieur à l angle inscrit un des côtés de l angle inscrit est un diamètre 3 le centre du cercle est extérieur à l angle inscrit