MÉTHODES DE CONVERSION D UNE RENTE EN UN CAPITAL

SUR LES MÉTHODES DE CONVERSION D UNE RENTE EN UN CAPITAL ANTOINE DELWARDE & MICHEL DENUIT Institut des Sciences Actuarielles Université Catholique de Louvain 20 janvier 2005 Résumé Cette note est consacrée au problème de la conversion d une rente en un capital, tel que rencontré dans le domaine de la capitalisation des dommages et intérêts en droit commun et de la conversion de l usufruit du conjoint survivant. Nous examinerons aussi le problème semblable de conversion d un capital en rente lors de la cession d immeubles en viager. Contrairement aux calculs effectués par les actuaires, nous verrons que plusieurs méthodes de conversion sont envisageables dans les cas évoqués plus haut. De plus, le choix des tables de mortalité à utiliser lors de la conversion est loin d être simple, tant les différences de longévité entre les différentes catégories de la population sont importantes. Cette note n entend pas apporter pas de réponse mais plutôt susciter la réflexion des juristes autour des problèmes liés à la conversion d une rente en capital. 1

1 Introduction En cas d accident entraînant le décès de la victime, ou une incapacité permanente engendrant une perte de revenus, le responsable doit réparer le préjudice matériel ainsi occasionné. Si ce préjudice matériel consiste en une perte effective de revenus ou en dépenses périodiques futures, la réparation devrait se substituer aux revenus perdus, et donc revêtir la forme d une rente périodique versée à la victime ou à ses ayants droit. L usage consistant à substituer à cette rente un capital versé immédiatement à la victime ou à ses ayants droit s est cependant généralisé. Le plus souvent, ce capital est déterminé comme le serait une prime unique pure en assurance. Par une fiction mathématique, on fait tenir le rôle d assureur à la victime ou à ses ayants droit, et celui d assuré au responsable qui s acquitte de sa dette en versant à l assureur une prime unique. Nous verrons que cette manière de procéder n est pas la seule approche possible: contrairement aux calculs de primes effectués par les actuaires, la conversion d une rente en un capital peut s envisager de différentes manières et conduire à des montants différents. Nous discuterons plus en détail une alternative à la méthode actuarielle (que nous qualifierons d équitable), qui s avèrera proche de la méthode de la médiane proposée par Schryvers (2000). Quelle que soit la méthode utilisée pour calculer le montant de capital correspondant à une rente donnée, le choix des paramètres (à savoir le taux des intérêts et la table de mortalité) doit faire l objet d un examen soigné. Nous traiterons ici exclusivement des tables de mortalité. Celles qui sont utilisées habituellement pour la capitalisation des dommages sont les tables dressées par l Institut National de Statistique (INS) et les tables dites MR et FR. L INS publie régulièrement des tables de mortalité relatives à la population du Royaume. Elles tiennent donc compte de la mortalité de toutes les couches de la population. Les tables MR et FR ont été établies il y a plus de dix ans afin de fournir aux assureurs des bases de calcul prudentes de leurs engagements. Il s agit des tables réglementaires prévues par arrêtés royaux relatifs à l activité d assurance sur la vie des 17 décembre 1992 et 14 novembre 2003, dits arrêtés-vie (qui prévoient, à plus de dix ans d intervalle, la même table de mortalité). Elles sont basées sur la mortalité mesurée par l INS (table de mortalité INS 1988-1990) mais rallongent artificiellement l espérance de vie afin de générer une marge de sécurité garantissant que les assureurs seront en mesure d honorer leurs obligations. Techniquement, les tables de mortalité MR et FR sont basées sur un modèle de Makeham. Le remplacement d une suite de paiements par un capital se retrouve également dans d autres domaines juridiques. Ainsi, le droit successoral permet aux nus-propriétaires de racheter l usufruit du conjoint survivant pour une somme d argent. Plusieurs tables de mortalité ont été utilisées à cet effet, notamment les tables INS et les tables MR/FR. Ces dernières sont à la base de la méthode Ledoux, du nom de son auteur, très utilisées par le notariat car permettant une conversion uniforme de l usufruit. En matière de conversion de l usufruit du conjoint survivant, il s agit, comme en matière de réparation du préjudice en droit commun, de transformer une rente, à savoir le produit de l usufruit, en capital. Dans la vente en viager, au contraire, un capital, à savoir le prix de vente convenu, déduction faite du bouquet, est converti en rente viagère. La méthode de calcul est toutefois similaire, et repose généralement sur les mêmes tables de mortalité INS, MR et FR. Ici, l usage de tables rallongeant la durée de vie des individus (comme les tables MR et FR par rapport aux tables INS) est à l avantage de l acheteur (puisqu augmenter la longévité du vendeur conduit à une mensualité moins élevée). Dans cet article, nous estimons la longévité propre à certaines catégories d individus: fonctionnaires, enseignants, titulaires d une police d assurance vie souscrite à titre individuel ou bénéficiaires d un contrat d assurance de groupe. Nous verrons que les tables INS, MR et FR conduisent à une sous-évaluation parfois importante des capitaux quelle que soit la méthode de calcul. De la même manière, la valeur de rachat de l usufruit sera sous-évaluée et la mensualité 2

payée par l acheteur en viager sera surestimée. Afin d évaluer ces montants plus précisément, il convient d utiliser des tables de mortalité adaptées à la longévité de la victime ou de ses ayants droit en droit commun, du conjoint survivant en matière d usufruit et du vendeur en viager. Notre propos s articulera comme suit. La Section 2 montrera comment adapter une table de mortalité relative à la population générale (en l occurrence, la table INS 2000-2002) afin de refléter une espérance de vie restante donnée. La Section 3 proposera une manière alternative de capitaliser les dommages et intérêts en droit commun, en garantissant que chaque partie a une chance sur deux de gagner sur l autre. Nous verrons que cette manière de procéder fournit des valeurs fort proches de celles obtenues à l aide de la méthode de la médiane, exposée entre autres dans Schryvers (2000). Nous conclurons enfin cette note, avant de fournir quelques références. 2 Ajustement d une table de mortalité de référence à une espérance de vie donnée Les Belges sont loins d être égaux en matière de survie. Pour s en convaincre, nous avons calculé l espérance de vie restante (en 2002) d un individu de 50 ans, selon qu il fait partie de la population générale, qu il détient une police d assurance sur la vie, conclue à titre individuel, qu il bénéficie d un contrat d assurance de groupe, qu il est fonctionnaire ou qu il est enseignant, en distinguant comme de coutume les hommes et les femmes. Les chiffres proviennent d une étude réalisée sur base des données de l Administration des Pensions du Ministère des Finances, et du site internet de la Commission Bancaire, Financière et des Assurances (CBFA). Deux types de tables de mortalité ont été utilisées pour les calculs. Tout d abord, nous avons considéré des tables de mortalité classiques, aussi appelées statiques ou transversales (nous conserverons cette dernière appellation dans la suite de cet article). L approche transversale est sans nul doute la plus connue. Dans ce cadre, les individus sont observés pendant une période variant de un à cinq ans en général, et fournissent les estimations des quotients de mortalité. La table de mortalité ainsi obtenue mélangera donc de nombreuses générations, et ne décrira la mortalité d aucune d elles. En particulier, les indicateurs démographiques qui en découlent (comme l espérance de vie, par exemple) n ont aucun sens concret, ne correspondant à aucune génération d individus. Ensuite, nous avons considéré des tables de mortalité prospectives, aussi appelées dynamiques ou longitudinales (nous conserverons cette dernière appellation dans la suite de cet article). Dans l approche longitudinale, on anticipe l évolution probable de la mortalité des individus. On tente ici de suivre les différentes générations, ce qui oblige bien entendu l actuaire à prédire la mortalité future des cohortes non éteintes. Pour les produits où le risque viager est fort important, comme les rentes, il s agit de la seule approche fournissant une tarification réaliste (dans le cas de figure où la mortalité évolue significativement, comme ce fut le cas au cours du 20ème siècle). Les tables longitudinales ont deux entrées: l âge de l assuré et l année calendaire. Elles donnent pour chaque âge la probabilité de décéder au cours d une certaine année. Elles sont dressées à partir de modèles statistiques estimant les tendances de la mortalité, et les extrapolant dans le futur. Il va sans dire que de telles tables doivent être fréquemment revues, à la lumière des nouvelles statistiques de mortalité que l actuaire peut se procurer. Le modèle utilisé pour dresser les tables longitudinales ayant servi à obtenir les valeurs numériques de cet article est celui développé à l UCL de Louvain-la-Neuve. Cette approche consiste à éclater les taux de mortalité en deux composantes, l une propre à l âge et l autre tendancielle. La composante tendancielle est alors extrapolée dans le futur (grâce à des modèles de série temporelle), afin de fournir les projections de mortalité. Les valeurs reprises au Tableau 1 ont été calculées en vision transversale (indiqué par T ), 3

c est-à-dire sur base de la mortalité du moment sans tenir compte de l accroissement probable de longévité dans le futur, et en vision longitudinale (indiqué par L ), c est-à-dire en anticipant la baisse attendue de la mortalité à l avenir. La vision transversale pour la population générale en 2002 consiste à utiliser la table INS 2000-2002, ce qui fournit une espérance de vie restante à 50 ans de 27.70 années pour les hommes et de 33.02 années pour les femmes. Les valeurs correspondantes pour les quatre catégories d individus présentées plus haut peuvent se lire dans les autres cases du Tableau 1. Il est frappant de constater combien les tables INS 2000-2002 sous-estiment l espérance de vie à 50 ans pour toutes ces catégories d individus. Hommes Femmes T L T L Population générale 27.70 30.40 33.02 38.05 Assurance individuelle 36.72 38.46 40.68 43.56 Assurance groupe 31.11 33.12 35.09 37.95 Fonctionnaire 28.84 31.97 33.45 38.13 Enseignant 30.47 33.71 34.85 38.63 Tab. 1 Espérances de vie à 50 ans, selon les tables INS 2000-2002 et en fonction de différents profils socio-économiques. Il est cependant possible d adapter la table de mortalité INS 2000-2002 à la longévité des différentes catégories d individus considérées plus haut. Cette table est donc corrigée afin de produire les espérances de vie de la Table 1. Le résultat est visible à la Figure 1. On peut y lire en ordonnée le pourcentage d individus de 50 ans atteignant l âge renseigné en abscisse selon qu ils sont titulaires d une police d assurance vie individuelle, qu ils bénéficient d un contrat d assurance de groupe, qu ils sont fonctionnaires ou enseignants. En trait plein, on peut lire ces pourcentages pour la table INS 2000-2002. L intérêt de cette démarche, dont les aspects techniques sont exposés en détail dans Delwarde & Denuit (2005), est que nous disposons à présent d une table de mortalité pour chacune des catégories socio-professionnelles considérées plus haut (en vision transversale comme en vision longitudinale). 3 Une nouvelle méthode de capitalisation 3.1 Quelques commentaires sur la méthode actuarielle Lorsque la gestion du risque passe par sa mutualisation sur un grand groupe d agents économiques (c est-à-dire lorsque les risques sont non corrélés, semblables et suffisamment nombreux), la prime pure coïncide avec le coût moyen (ou espéré) que représente la police pour l assureur. Le concept de moyenne (ou d espérance mathématique), introduit par Blaise Pascal dans sa correspondance avec le Chevalier de Méré, correspondait au gain moyen d un joueur sur une infinité de parties: c est le montant qui devait être ristourné à chaque joueur en cas d interruption du jeu. Dans le contexte de l assurance, le calcul de la prime pure par l espérance mathématique est justifié par la loi des grands nombres. On considère donc que l assureur entame une longue série de parties d un jeu avec ses assurés, jeu consistant pour l assureur à payer les sinistres causés par les assurés qu il couvre, tout en conservant la prime payée par ceux-ci. La prime s apparente alors au prix à payer par l assuré pour prendre part au jeu. A la lecture de ce qui précède, on comprend que l usage du concept d espérance mathématique ne s impose pas dans le contexte de la réparation des dommages subis par une victime. Si jeu il y a, il ne sera joué qu une seule fois, et la caution probabiliste est donc perdue. 4

Table initiale INS 2000 02 Assurance individuelle Assurance groupe Fonctionnaire Enseignant Table initiale INS 2000 02 Assurance individuelle Assurance groupe Fonctionnaire Enseignant 50 60 70 80 90 100 50 60 70 80 90 100 Age Age Table initiale INS 2000 02 Assurance individuelle Assurance groupe Fonctionnaire Enseignant Population générale Table initiale INS 2000 02 Assurance individuelle Assurance groupe Fonctionnaire Enseignant Population générale 50 60 70 80 90 100 50 60 70 80 90 100 Age Age Fig. 1 Courbes de survie modifiées selon les espérances de vie transversales (en haut) et longitudinales (en bas) du Tableau 1. Les hommes sont à gauche et les femmes à droite. 5

Examinons à présent les conséquences de la méthode actuarielle de capitalisation des dommages et intérêts. Dans ce cas, le dommage est converti en capital à l aide de la valeur actuelle moyenne (c est-à-dire la prime unique pure) d une rente viagère ou temporaire. Si la victime est âgée de 50 ans au moment des faits et qu il s agit de réparer une perte de revenus professionnels à hauteur de 1e par an, ceci donne les sommes suivantes, selon qu on les calcule avec les tables INS ou MR/FR: Homme Femme INS 2000-2002 MR INS 2000-2002 FR 11.49 11.62 11.77 11.87 Ces valeurs sont calculées sur base d une rente mensuelle de 1e par an (donc avec paiement de 1/12 e à la fin de chaque mois) cessant à 65 ans, avec un taux d intérêt de 3% et sans indexation des paiements. Le Tableau 2 évalue la proportion de victimes qui survivent à leur capital en fonction de leur mortalité réelle. Nous entendons par là le pourcentage d individus qui, puisant chaque mois de quoi réparer leur perte de revenus dans le capital qui leur a été alloué, ce capital portant intérêt à hauteur de 3%, tomberont à cours de ressources. Vision transversale Population générale 87.82 87.46 93.34 86.98 Assurance individuelle 98.96 98.91 99.62 98.83 Assurance groupe 93.87 93.65 96.10 93.36 Fonctionnaire 90.10 89.79 93.98 89.37 Enseignant 92.91 92.66 95.81 92.33 Vision longitudinale Population générale 92.80 92.55 98.61 92.22 Assurance individuelle 99.53 99.51 99.95 99.47 Assurance groupe 96.35 96.20 98.55 96.01 Fonctionnaire 95.03 94.84 98.66 94.59 Enseignant 96.94 96.81 98.92 96.64 Tab. 2 Rente viagère temporaire entre 50 et 65 ans: proportion (en %) des individus survivant à leur capital calculé selon la méthode actuarielle sur base de la table INS 2000-2002 ou des tables MR/FR. Les pourcentages repris au Tableau 2 montrent qu une écrasante majorité des victimes survivent au capital supposé réparer leur préjudice professionnel. Si la mortalité des individus est conforme aux tables INS, 87.42% des hommes et 93.34% des femmes survivront à leur capital (calculé à l aide des tables INS). Ces chiffres passent à 87.46% des hommes et 86.98% des femmes si la mortalité est conforme aux tables INS et que le capital a été calculé sur base des tables MR et FR. Ces pourcentages sont encore bien plus élevés pour les quatre sous-populations considérées dans cet article, quelles que soient les tables INS, MR ou FR utilisées dans le calcul. Il conviendrait donc de remplacer la rente viagère temporaire par une rente certaine 1. En l espèce, ceci reviendrait à substituer un montant de 12.10e aux sommes mentionnées plus haut. Bien entendu, le taux des intérêts à utiliser lors de la capitalisation reste sujet à débat. 1. Notez que grâce aux efforts de Jacques Schryvers, les tribunaux du nord du pays recourent à présent à des tables d annuités certaines pour réparer le préjudice pendant la vie lucrative. 6

Si le préjudice consiste en une diminution de la pension (au prorata des cotisations qui ne seront pas versées à la Sécurité Sociale), celui-ci est réparé par une rente viagère (différée) débutant à 65 ans. La capital constitutif d une rente versée à un individu de 65 ans calculé selon la méthode actuarielle s élève à Homme Femme INS 2000-2002 MR INS 2000-2002 FR 11.88 13.31 14.41 15.22 Nous pouvons à présent évaluer la proportion des individus qui survivent à leur capital. Ceci fournit les valeurs reprises au Tableau 3. Nous y constatons que, bien que les pourcentages soient beaucoup plus faibles que pour la rente temporaire examinée plus haut, une large majorité des individus se trouvent lésés par ce mode de conversion de la rente en capital lorsqu on tient compte de l allongement prévisible de la durée de la vie humaine (en vision longitudinale, donc). Le recours à une rente certaine ne se justifie néanmoins plus, de sorte qu il s agit de proposer une méthode de capitalisation des dommages moins défavorable à la victime et à ses ayants droit. Ce sera l objet de la section suivante. Vision transversale Population générale 54.78 44.44 57.88 29.73 Assurance individuelle 83.56 76.07 84.54 61.64 Assurance groupe 65.26 55.22 64.56 39.5 Fonctionnaire 58.17 47.85 59.22 32.71 Enseignant 63.21 53.05 63.73 37.46 Vision longitudinale Population générale 62.99 52.82 75.08 37.24 Assurance individuelle 88.62 82.51 92.96 69.68 Assurance groupe 71.81 62.34 74.72 46.53 Fonctionnaire 68.04 58.20 75.37 42.38 Enseignant 73.79 64.55 77.21 48.81 Tab. 3 Rente viagère à 65 ans: proportion (en %) des individus survivant au capital calculé selon la méthode actuarielle sur base de la table INS 2000-2002 ou des tables MR/FR. 3.2 Une manière équitable de capitaliser les dommages et intérêts en droit commun Une méthode équitable de transformation d une rente en capital, ou inversement, d un capital en rente, pour des individus reviendrait à garantir que chacun d eux a une probabilité de 50% de gagner sur l autre. Plutôt que d octroyer à chacun d eux leur gain moyen, comme dans la méthode actuarielle reposant sur la loi des grands nombres, les sommes qu ils reçoivent correspondent aux gains médians 2. On voit donc la valeur actuelle des sommes perçues par la victime comme une variable aléatoire (car la durée de paiement, à savoir la durée de vie de la victime, est inconnue), et on exige que cette variable aléatoire excède le capital versé par le responsable dans 50% des cas. Revenons à la rente viagère octroyée à un individu de 65 ans (pour 2. Notez que l usage de la médiane en tarification de produits d assurance conduirait la plupart du temps à une prime nulle. 7

réparer une diminution du montant de la retraite). Si le montant mensuel de la rente s élève à 1/12e, cette approche conduit aux montants suivants: Homme Femme INS 2000-2002 MR INS 2000-2002 FR 12.58 14.19 15.38 16.35 On constate que les capitaux obtenus excèdent ceux déduits de la méthode actuarielle (consistant à prendre la moyenne de la variable aléatoire décrite plus haut). On peut voir à la Figure 2 la fonction de répartition de la valeur actuelle des sommes perçues par la victime (âgée de 65 ans) de son vivant. On y lit donc en ordonnée la probabilité que la valeur actuelle des mensualités dont bénéficie le rentier de son vivant soit inférieure au seuil donné en abscisse. Les deux verticales correspondent à la moyenne (méthode actuarielle) et à la médiane (méthode équitable) de cette variable aléatoire. En fixant le capital à la médiane, on garantit donc que ne seront lésés que 50% des victimes. La méthode proposée ci-dessus donne des résultats fort proches de celle basée sur la durée de vie médiane décrite dans Schryvers (2000). Par souci d équité, les paiements sont effectués pendant une période correspondant à la durée de vie médiane de l individu. En l espèce, la méthode de la médiane fournirait les valeurs suivantes: Homme Femme INS 2000-2002 MR INS 2000-2002 FR 12.58 14.18 15.36 16.28 Les différences avec les valeurs renseignées plus haut sont insignifiantes. Remarque 3.1. Notons que, si les paiements étaient effectués continûment, la méthode de la médiane et la méthode équitable proposée ici donneraient exactement le même capital. De légères différences apparaissent cependant lorsque les paiements ont lieu mensuellement. Si on calcule le pourcentage de victimes survivant au capital calculé par la méthode équitable décrite plus haut, on obtient les valeurs reprises au Tableau 4. On constate qu une minorité d individus sont lésés par cette méthode lorsque leur mortalité est conforme à celle de la table INS 2000-2002 (au maximum 49.64%, soit moins de la moitié). Le pourcentage de lésés augmente cependant drastiquement pour les quatre catégories d individus considérés. Ceci montre bien l importance de prendre en compte la longévité propre à certaines catégories d individus. 4 En guise de conclusion... Dans cet article, nous avons d abord présenté une alternative à la méthode actuarielle de conversion d une rente en capital. Ensuite, nous avons montré que certains groupes sociaux ont une mortalité sensiblement différente de celles décrite par les tables INS, MR ou FR. Lorsqu on tient compte de leur longévité propre, les méthodes de capitalisation donnent des résultats largement insuffisants. Une réflexion autour de ces questions serait sans doute souhaitable. Remerciements Les auteurs tiennent à remercier Jacques Schryvers et Jean-François Walhin pour une lecture critique d une version antérieure de ce texte. Antoine Delwarde remercie le FRIA qui lui a octroyé une bourse de recherche permettant la réalisation de ce travail. Références Schryvers, J. (2000). Le Tour des Tables pour l An 2000. Kluwer. 8

Fonction de répartition Moyenne Médiane Fonction de répartition Moyenne Médiane 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 Capital constitutif Capital constitutif Fonction de répartition Moyenne Médiane Fonction de répartition Moyenne Médiane 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 Capital constitutif Capital constitutif Fig. 2 Rente viagère à 65 ans: fonction de répartition du capital consitutif selon les tables INS (en haut) et MR-FR (en bas). Les hommes sont à gauche et les femmes à droite. 9

Vision transversale Population générale 49.64 37.68 49.33 21.53 Assurance individuelle 80.06 70.02 78.37 51.03 Assurance groupe 60.37 48.2 56.14 29.94 Fonctionnaire 53.07 40.95 50.68 24.04 Enseignant 58.24 46.04 55.29 28.14 Vision longitudinale Population générale 58.01 45.81 67.43 27.95 Assurance individuelle 85.82 77.27 89.06 59.51 Assurance groupe 67.26 55.41 67.04 36.32 Fonctionnaire 63.27 51.18 67.76 32.52 Enseignant 69.36 57.7 69.82 38.45 Tab. 4 Rente viagère à 65 ans: proportion (en %) des individus survivant au capital calculé selon la méthode équitable. Delwarde, A., & Denuit, M. (2005). Construction de Tables de Mortalité Statiques et Prospectives. Sous presse. 10