Analyse : Chapitre 4 I Généralités sur les séries Définitions Séries numériques Définition Soit u une suite réelle. On appelle série de terme général u n, et on note u n, la suite (S n ) n N définie par S n = S n s appelle la somme partielle d indice n. Définition 2 On dit que la série u n converge si la suite (S n ) n N est convergente. La limite de cette suite est alors appelée somme de la série et on la note Si la série ne converge pas, on dit qu elle diverge. u n Déterminer la nature d une série signifie qu il faut déterminer si la série est convergente ou divergente. u k Définition 3 Si la série u n converge on appelle reste d indice n le réel : R n = u k u k = u k k=n+ 2 Propriétés Propriété Soit u n une série convergente. Alors la suite (u n ) n N converge vers 0 Application : Cette propriété est très utile pour prouver qu une série diverge. En effet, si le terme général de la série ne converge pas vers 0, on peut tout de suite affirmer que la série ne peut pas converger. Attention la réciproque de cette propriété n est pas vraie. Ce n est pas parce que le terme général tend vers 0 que la série converge : Contre-exemple la série n. Analyse : Chapitre 4 Page Séries numériques
Propriété 2 Soient u n et v n deux séries. - Pour tout réel λ 0, les séries λu n et u n sont de même nature et si les séries convergent, on a : λu n = λ u n - Si les deux séries u n et v n sont convergentes alors la série (u n +v n ) est convergente et : (u n +v n ) = u n + v n Attention la réciproque de la deuxième propriété est fausse donc assurez-vous bien de la convergence de toutes les séries avant d écrire 3 Lien entre suite et série Soit (u n ) n N une suite réelle. (u n +v n ) = Propriété 3 Soit (u n ) n N une suite réelle. La suite u est convergente ssi la série de terme général u n+ u n converge et, en cas de convergence, on a : u n + v n. (u n+ u n ) = lim n + (u n) u 0 La somme partielle d indice n de la série de terme général u n+ u n est une somme télescopique et on a : S n = (u k+ u k ) = u n+ u 0 () On voit sur cette relation l équivalence entre la convergence de la suite (u n ) n N et de la suite (S n ) n N et en passant à la limite on a l égalité annoncée dans la propriété. Analyse : Chapitre 4 Page 2 Séries numériques
II Séries de références Série géométrique et ses dérivées Propriété 4 Soit q R. La série q n s appelle la série géométrique de raison q. Cette série est convergente ssi q < et on a alors : q n = q Supposons q <. On sait que q n = qn+ q. Or, comme q <, on a qn+ 0 donc les sommes partielles convergent vers et donc la série est convergente et sa somme q vaut q. Propriété 5 La série nq n s appelle la série dérivée première de la série géométrique de raison q. Cette série converge si et seulement si q < et on a nq n = ( q) 2 La série n(n )q n 2 s appelle la série dérivée seconde de la série géométrique de raison q. Cette série converge si et seulement si q < et on a n(n )q n 2 = 2 ( q) 3 2 Séries de Riemann Théorème Soit α un réel. La série converge ssi α >. Ces séries sont appelées les séries de Riemann. nα Ce résultat sera démontré dans un chapitre sur les intégrales. 3 Série exponentielle Théorème 2 Pour tout réel x, la série xn n! converge et on a : Cette série est appelée série exponentielle. x n n! = ex Analyse : Chapitre 4 Page 3 Séries numériques
4 Série harmonique Propriété 6 La série n est appelée série harmonique. La série harmonique est une série divergente. On notes n la somme partielle d indice n decette série et onconsidère la fonctionf définie sur ]0;+ [ par f(x) = ln(x). On a f (x) = x et donc pour tout x [k;k+], 0 < f (x) <. Ainsi, d après l inégalité k des accroissements finis, pour tout k entier naturel non nul : ln(k +) ln(k) k. On somme alors ces inégalités et on obtient, pour tout entier naturel n non nul : (ln(k +) ln(k)) k= k= k = S n Or on a (ln(k +) ln(k)) = ln(n+), donc S n ln(n+) et donc S n +. k= La série harmonique est donc une série divergente. Cette série est un très bon outil pour trouver des contre-exemples. III Séries à terme positifs - critères de convergence Dans toute cette partie u n désigne une série à termes positifs, c est-à-dire que pour tout n, u n 0. Un premier critère Propriété 7 La suite des sommes partielles est une suite croissante. On a S n S n = u n 0 donc la suite (S n ) n N est bien croissante Théorème 3 Une série à termes positifs est convergente ssi ses sommes partielles sont majorées. Si la série diverge alors elle diverge vers +. 2 Utilisation des relations d ordre et de comparaison Théorème 4 Soient u n et v n deux séries telles qu à partir d un certain rang, 0 u n v n. Alors : - Si v n converge alors u n converge. - Si u n diverge alors v n diverge. Analyse : Chapitre 4 Page 4 Séries numériques
Théorème 5 Soient u n et v n deux séries à termes positifs telles que u n = o(v n ). - Si v n converge alors u n converge. - Si u n diverge alors v n diverge. Théorème 6 Soient u n et v n deux séries à termes positifs telles que u n v n. Alors les séries u n et v n sont de même nature. Application : Pour utiliser ces critères, il faut vérifier que la suite est bien à termes positifs et l idée est ensuite de se ramener par équivalent, négligeabilité ou inégalité à des séries de références, le plus souvent série géométrique ou de Riemann. Exemple : Déterminer la nature de la série de terme général u n = ( ( ) ) exp n n On remarque tout d abord que pour tout n, u n 0, on va donc chercher à utiliser un critère de comparaison. ( ) On sait que e x x, et comme lim = 0 on a exp. On peut donc en déduire x 0 n + n n n + n que u n n 2. La série est une série de Riemann convergente car 2 >. n2 Grâce aux critères de comparaison on peut donc dire que la série u n converge. 3 Convergence absolue un n est plus forcément une série à termes positifs. Définition 4 Soit u n une série. On dit que la série converge absolument ou est absolument convergente si la série u n est convergente. Propriété 8 Soit u n une série. Si la série u n est absolument convergente alors elle est aussi convergente Attention, encore une fois la réciproque de cette propriété est fausse. Exemple 2: Dansl exercice 8duchapitre3,onamontréquelasériedetermegénéral u n = ( )n est convergente. n On remarque ici que u n = n donc la série u n est convergente mais pas absolument convergente. Remarque : Si une série u n est telle que le signe de u n n est pas constant alors on s intéresse à u n qui est une série à termes positifs. Si cette série converge alors on peut dire que u n converge mais si la série des valeurs absolues diverge on ne peut rien dire sur u n. Analyse : Chapitre 4 Page 5 Séries numériques