CHAPITRE 2 : L ENSEMBLE C DES NOMBRES COMPLEXES 1. Insuffisance dans R Résoudre dans R, l équation ax² + bx + c = 0 Le calcul de = b² - 4ac suggère les cas suivants : 1 er cas : 0, l équation a des racines réelles distinctes ( 0) ou égales ( = 0) 2 ème cas : 0, l équation n admet pas des racines réelles Pour ce, on se propose de construire un ensemble contenant R dans lequel une telle équation a toujours des solutions. Ce nouvel ensemble est C. 2. Corps C des nombres complexes a) Un nombre complexe Z est tout couple (a, b) des nombres réels. On note Z = (a, b) b) C est l ensemble des nombres complexes. C = {(a, b)} } c) En considérant les opérations +, x et définies dans R², on a : (a, b), (c, d) R², R (a, b) + (c, d) = (a + c, b +d) (a, b) + (c, d) = (ac bd, ad + cd).(a, b) = (. a,. b) d) On peut vérifier que: (C, +, x) est un corps commutative (C, +,.) est un R-espace vectoriel. 3. Forme algébrique d un complexe et opérations dans C a) Un nombre complexe Z, couple (a, b) des réels s écrit de manière unique sous forme algébrique ou cartésienne Z = a +bi avec i² = -1 - Le réel a est appelé «partie réelle», et notée (Z) - Le réel b est appelé «partie imaginaire», et notée M (Z) - Z = a + bi s écrit aussi Z = = (Z) + i M(Z) - Si a = 0, Z = bi est appelé «complexe imaginaire par» - Si b = 0, Z = a est un réel Ainsi, tout réel est un nombre complexe ( C) b) Les opérations + et x définies dans R² restent valable dans C, ainsi pour tout Z1 = a + bi et Z2 = c + di, on a :
Z1 + Z2 = (a + c) + (b + d)i Z1. Z2 = (ac bd) + (ad + cd)i En particulier : - 0 est le neutre de + dans C - 1 est le neutre de x dans C - - a bi est l opposé de a + bi - - est l inverse de a + bi ou le symétrique de a + bi pour x. c) L ensemble C des nombres complexes n est pas ordonné. L utilisation des symboles :,, et n est pas de sens dans C. d) Deux nombres complexes Z1 = a + bi et Z2 = c + di sont égaux ssi ils ont les mêmes parties réelles et les mêmes parties imaginaires. (Z1 = Z2) (a = c et b = d) Exercices a) Déterminer Z1 x Z2 et Z1 + Z2 sachant que Z1 = 4 - i et Z2 = 2i 5 b) Trouver la forme cartésienne, l opposé du nombre complexe Z = (3 + i)² - (2 + 3i)(-1-3i) Résolution a) Z1 + Z2 = 4 - i + 2i 5 = -1 + (2 - )i Z1 Z2 = (4 - i) 2i + 5 = 4 - i 2i + 5 = 9 ( + 2)i Z1. Z2 = (4 - i)(2i 5) = (4 - i)(-5 + 2i)
= (-20 + 2 ) + (8 + 5 )i b) Z = 9 + 6i + i² - (-2-6i 3i 9i²) = 9 + 6i 1 7 + 9i = 1 + 15i -Z = -1 15i = - = - i 4. Conjugué d un nombre complexe Module d un nombre complexe Soit Z = a + bi un nombre complexe. a) Le conjugué du nombre complexe Z est le complexe noté Z = a bi Z = a + bi et Z = a bi sont conjugués l un de l autre. En particulier : - Z + Z = 2 (Z) - Z - Z = 2iM(Z) - Z. Z = a² + b² - Z est réel ssi Z = Z - Z est imaginaire pur ssi Z = Z Ainsi pour diviser un nombre complexe Z1 = a + bi par un nombre complexe Z2 = c + di, on multiplie Z1 et Z2 par le conjugué de Z2 et on effectue. Exemple : = ( )( ) ( )( ) = ( )( ) = + i
Propriétés : P1 : Z1 = Z1 P2 : = + P3 : =. P4 : = (Z2 0) b) Le module du nombre complexe Z = a + bi est le réel positif nul noté : = En conséquence - = = - = ( ) ssi Z esr réel ( ) ssi Z est imaginaire pur - et - = -1 = Exercices 2 : 1) Trouver le conjugué est le module du nombre complexe a) Z = 3 i (7 3i) + 4i 2 b) Z = 2) Calculer a) Le conjugué de l opposé de l inverse de Z = b) Le module de l inverse du conjugué de Z = ( ) Résolution 1) a) Z = -6 + 6i b) Z = = -6 + 6i = = = = 6 = ( )( ) ( )( )
= + i = = = 2) a) Z = ; - = -( + ) = = - - = + - = - + b) Z = ( ) = - Le conjugué de Z est est + L inverse de est = = Le module de l inverse du conjugué de Z est = ( ) = 5. Représentation géométrique d un nombre complexe Il existe entre les ensembles R² et C un lien appelé isomorphisme h d espaces vectoriel ou simplement bijection h. h : R² ------------> C (a, b) -------> a + bi Ainsi, un nombre complexe Z = a + bi peut être représenté par un point P(a, b) dans le plan muni d un repère orthonormé. Dans ce cas :
- Le point P(a, b) qui repère le nombre complexe Z = a + bi est appelé image de Z ; - Le nombre complexe Z représenté par P est appelé affixe du point P ; - Le plan rapporté à un repère orthonormé et identifié à C est appelé plan complexe ou plan Grauss - Dans le plan de Grauss, l axe des abscisses est l axe de réel et l axe des ordonnées est l axe imaginaire. Y d Q (c, d) Axe des imaginaires b P (a, b) d 0 i c a Axe des réels X La position de l image de z est fixée par la longueur du vecteur appelé module de Z et par la mesure de l angle orientée appelé argument de Z et noté Arg Z. 6. Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul Soit Z = a + bi représenté dans le plan de Grauss. Y B P (a, b) On sait que : - = - Le triangle rectangle OPA renseigne Z a = et b = 0 A X Ainsi, Z = a + bi = + i
= ( + i ) Donc Z = ( + i ) ou Z = r ( + i ) C est la forme trigonométrique d un nombre complexe. En abrégé : Z = r. (notation anglo-saxon) En posant = + On a : Z = ou Z = r C est la forme polaire de Z. Pour déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe Z = a + bi, On calcule : a) Le module r = = b) L argument par les formules = et = ou par la formule = (ici, tenir compte du quadrant dans lequel se situe le point image de Z) En conséquence : - Un nombre complexe Z est a) Réel ssi Arg Z = b) Imaginaire pur ssi Arg Z = si M(Z) - Tous les nombres complexes dont les points images se trouvent sur la demi-droite OP possèdent un même argument. 7. Opérations et forme trigonométrique d un complexe non nul 1) Produit de deux complexes non nuls Soit Z1 = r1 ( ) et Z2 = r2 ( ) deux nombres complexes non nuls. Z1. Z2 = r1. r2 [( ) + i( + )] = r1. r2 [ ( ) + i ( )] Ainsi a) = r1.r2 b) Arg (Z1. Z2) = 1 + 2 =. = Arg + Agr
En général, Si Z1, Z2,, Zn sont des complexes non nuls alors : - =.. = r1. r2 rn - Arg (Z1. Z2 Zn) = Arg Z1 + Arg Z2 + Arg Z3 + + Arg Zn En particulier si Z1 = Z2 = Z3 = --- = Zn = Z alors = Arg(Z1. Z2. Z3 Zn) = Arg Z n = ² = n Arg Z \{0,1} 2) Puissance d un complexe Soit Z = r( + i ) un nombre complexe non nul. Comme = n et Arg Z n = n. arg Z alors a) Z n = n ( + i ) b) Z n = n ( + i ) n Des (a) et (b), on a: ( + i ) n = + i. C est la formule de Moivre. 3) Quotient de deux nombres complexes non nuls Soit Z1 = r1 ( + i ) et Z2 = r2 ( + i ) = [ ( + ) + i ( - )] Ainsi: = et Arg( ) = arg Z1 Arg Z2. Exercices 1) Déterminer la formule trigonométrique et la forme exponentielle de : a) Z = 1 - i b) Z = (1 + i)(1 - i )
c) Z = ( ) 2) Soit Z = 3 +2i Représenter géographiquement et dire ce que vous constatez a) Z b) Z c) Résolution 1) a) r = = 2 = - ème quadrant = = 300 ou = Z = 2( + i ) ou Z = b) Soit Z1 = 1 + i et Z2 = 1-3 et Z = Z1. Z2 Pour Z1 Pour Z2 r1 = Z2 = 2( + i er quadrant = 45 = Z1 = ( + i ) = Arg Z = Arg Z1. Z2 =. = + D ou = 2 = Z = 2 ( + i c) Soit Z1 = - i et Z2 = 1 + i = 2 = = - = = 330 ou = = = = Z = = =
= ( ) = Arg Z = Arg Z1 Arg = Arg Z1 3 Arg Z2 = - - 3. = - Z = [ ( ) + i )] Y 4 2) 3 Z = 3 + 2i 2 A -Z = -3 2i = 3 2i 1-3 -2-1 0 1 2 3 4 X -1 A -2 P - Les points-images de Z est Z sont symétriques par rapport à l origine des axes. - Les points-images de Z et sont symétriques par rapport à l axe des réels. - Les points-images de Z et sont symétrique par rapport à l axe Y.
Branche : ALGEBRE Classe : 6 ème SC Sujet : Structure de groupe : Définition Exemples Propriétés Objectif spécifique : A la fin de la leçon, l élève doit être capable de : - Définir et reconnaitre la structure d un groupe - Dégager les propriétés d un groupe Référence : Maîtriser les maths 6 ; les maths 4 ; savoir et savoir faire en maths 4 Introduction Matière Méthodes et procédé Méthode intérrogative R/1. L opération * dans G peut être : - Interne : - Associative : - Commutative : R/2. * peut admettre un élément neutre e, des éléments symétriques, des éléments involutifs, idempotents et/ou réguliers, absorbant. R/3. (G, *) est une structure algébrique lorsque * vérifie quelques propriétés et admette quelques éléments remarquable dans G. Annonce du sujet et motivation Nous étudions la structure de groupe Développement 1. Définition Soit G, * une loi de composition interne définie dans G. (G, *) est un groupe ssi : i) * est associative : ii) * admet un élément neutre e : x iii) * admet des éléments symétriques : : x * x = e et x * x = e 1. Quelles sont les différentes propriétés d une opération * définie dans un ensemble g non vide? 2. Citer quelques éléments que peut admettre une loi de composition interne * dans G? 3. A quelles conditions dit-on que l ensemble G muni d une loi * est une structure algébrique? Annonce du sujet et motivation Par assemblage des propriétés Méthode expo-interrogation A quelle conditions la loi * confère-t-elle la structure de groupe à G.
Si de plus, * est commutative dans G alors le groupe (G, *) est dit commutatif ou abélien. Qu est-ce que c est un groupe commutatif? 2. Exemples et contre*exemples - (Z, +) ; (Q, +) ; (R, +) ; (Q*,.) et (R*,.) sont des groupes abéliens. - (P(G), ) est un groupe commutatif - (T, o) est un groupe commutatif T : ensemble des translations du plan o : composition des applications 3. Exercices Vérifier que (Z, *) est un groupe abélien sachant que a * b = a + b + 7. Résolution - * est une addition dans Z. Elle est donc interne. - * est commutative. En effet, a * b = a + b + 7 = b + a + 7 (car + est commutatif dans Z) = b * a - * est associative : a, b, c (a * b) * c = (a + b + 7) * c (définition de *) = a + b + 7 + c + 7 (définition de *) = a + (b + c + 7) + 7 (commutativité et associativité de + dans Z) = a * (b + c + 7) (définition de *) = a * (b * c) (définition de *) - * admet un neutre : : (e * a = -7) (e + a + 7 = a) (e = -7) - * admet des éléments symétriques : a Z, a Z : a * a = -7 = a * a (a * a = -7) (a + a + 7 = -7) (a = 14 a) 4. Propriétés P1: Dans tout groupe (G, *), l élément neutre est unique. P2 : Dans tout groupe (G, *), le symétrique d un élément a est unique P3 : Quelques soient les éléments a et b du groupe (G, *), les équations x * a = b et a * x = b ont Quelle structure les lois + et. confèrent-elles aux ensembles N, Z, Q et R? Quels critères doit vérifier * pour que (Z, *) soit un groupe abélien? Justifier le passage d une étape à une autre. Pourquoi résolu-t-on seulement l équation e * a = a? Quelles sont les propriétés des éléments remarquables dans un groupe?
chacune une solution unique. P4 : Dans tout groupe (G, *), tout les éléments sont simplifiables (Réguliers) P5 : Dans un groupe (G, *), le neutre est le seul élément idempotent. Remarque : Dans un groupe, il n ya pas d élément idempotent. Application 1. Dans R, on définit la loi * par x * y = x + y + xy 2. Vérifier que M = {a \ a = 10 x loi définie par : a b = a. b, est un groupe abélien. Méthode interrogation 1. A quelle condition * admet-elle un élément neutre?