XIII. LES MIROIRS SPHERIQUES

XIII. LES MIROIRS SPHERIQUES Exercices de niveau A Dans ces exercices, les écueils sont les mêmes que pour les lentilles : d une part, l utilisation des valeurs algébriques et des unités ; d autre part, le traitement des cas où objet ou image sont à l infini. Si ces difficultés subsistent vous pouvez aussi vous reporter aux exercices sur les lentilles. La nouvelle difficulté réside dans le discernement des rayons incident et réfléchi car tous deux se situent avant le miroir. (Dans le cas des lentilles, le rayon émergent faisait suite au rayon incident.) Exercice XIII-A a) On utilise un miroir sphérique convexe de rayon R =, m. Quelle est la valeur algébrique de son rayon? Quelle est la distance focale du miroir? Quelle est la position de l objet dont l image est virtuelle, droite et deux fois plus petite que l objet? Quelle est la nature de l objet? b) On considère un miroir sphérique concave de rayon R =, m. Quelle est la valeur algébrique de son rayon? Quelle est la distance focale du miroir? Quelle est la position de l objet dont l image est réelle, droite et deux fois plus petite que l objet? Quelle est la nature de l objet? a) Par définition : R SC, m L étude des miroirs a montré que : R 0,6 m Le miroir convexe est divergent. L image est droite et deux fois plus petite que l objet donc i) D après le grandissement de Newton : FS FA FS, m FA SF FA 0,6, 0,6 m 0,6 m L objet est réel car situé avant le miroir. ii) D après les relations au ' ' ' SC SC SC 0,6 m ' 0,3 m iii) D après les relations au centre : ' ' ' CS CS CS 3,8 m SC,,8 0,6 m A A' F C b) Par définition : R SC, m L étude des miroirs a montré que : R 0,6 m Le miroir concave est convergent. L image est droite et deux fois plus petite que l objet donc i) D après le grandissement de Newton : FS FA FS, m FA SF FA 0,6, 0,6 m 0,6 m L objet est virtuel car situé après le miroir. ii) D après les relations au ' ' ' SC SC SC 0, 6 m ' 0, 3 m

iii) D après les relations au centre : ' ' ' CS CS CS 3,8 m SC,,8 0,6 m C F A' A Exercice XIII-A : miroir de dentiste On imagine la scène chez un dentiste : un petit miroir placé à d une dent en donne une image agrandie cinq fois. Quelle est la nature de l image? Quelle est la nature du miroir? Quel est son rayon? D après les conditions d observation, l objet est réel et l image est virtuelle et agrandie. D où trois conclusions : le miroir est concave, l objet est entre le foyer et le sommet, l image est droite. Les relations avec origine au sommet s imposent ici car la position de l objet est donnée par rapport au miroir. ' ' 5 ' SC 5 SC R SC 5,5 ' 5 Exercice XIII-A3 : image du Soleil On forme l image du Soleil, de diamètre angulaire 3 (3 minutes d angle) grâce à un miroir sphérique convergent de focale 900 mm. Où se trouve cette image? Quelle est sa taille? L objet est à l infini donc l image est dans le plan focal image. F' A' D après la construction : A' B ' F ' B ' tan 3 A' B ' 900 tan mm 60 C A' B ' 8,4 mm L image est renversée. Exercices de niveau C Le sujet des trois exercices C à C3 est l association de deux miroirs sphériques. Dans ce cas plusieurs réflexions ont lieu et la difficulté consiste à bien les appréhender puis à les traduire correctement. Les deux exercices C4 et C5 traitent de modélisations des télescopes de Newton et de Cassegrain. (En réalité les formes des miroirs s écartent de la sphère pour obtenir un meilleur stigmatisme.) Exercice XIII-C : deux réflexions successives Un miroir sphérique concave et un miroir sphérique convexe de même rayon R = 30 ont leurs faces réfléchissantes en regard, leurs sommets étant distants de 60. Un objet de 6 de hauteur est placé à 4 du miroir concave, perpendiculairement à l axe. Déterminer la position et la grandeur de l image donnée par les miroirs en envisageant d abord une réflexion sur le miroir concave puis une réflexion sur le miroir convexe. (Bien entendu la

lumière continue à se réfléchir mais on ne considère que ces deux premières réflexions. Voir aussi l exercice XIII-C.) Les réflexions successives produisent les images suivantes : M M AB A B A B ' ' Pour le premier miroir, d après les relations au S A S A S C S A S C S A 30 4 4 5 3 30 4 4 5 0 40 S A 40 40 5 4 3,7 L image intermédiaire est renversée et agrandie. Pour le second miroir, d après les relations au S A' S A S C S A S S S A 60 40 0 S A' S C S A 30 0 3 7 ' 30 0 3 60 60 S A' 8,6 7 ' 60 3 0,43 7 0 7 L image est droite et réduite par rapport à l image intermédiaire. Le grandissement total s écrit : 5 3 5 0,7 3 7 7 L image est renversée et réduite par rapport à l objet. B C A S A' S A C B Un rayon issu de B se réfléchit sur M en passant par B puis sur M en semblant provenir de B. Le rayon tracé est très incliné sur l axe et l objet n est pas à la même échelle que le rayon des miroirs. En réalité le rayon peut ensuite se réfléchir sur M et encore sur M et ainsi de suite. Exercice XIII-C : suite de XIII-C Reprendre l exercice précédent en envisageant d abord une réflexion sur le miroir convexe et ensuite une réflexion sur le miroir concave. Les réflexions successives produisent les images suivantes : M M AB A B A B '' '' D abord pour le miroir M, d après les relations au S A S A S C S A S S S A 60 4 36 S A S C S A 30 36 6 5 7 30 6 36 5 80 80 0,6 7 a 80 5 7 36 7 0,7 L image intermédiaire est droite et réduite. Puis pour le miroir M, d après les relations au S A'' S A S C 80 00 SS S A 60 7 7

7 S A'' S C S A 30 00 40 7 63 '' 30 40 00 00 400 400 '' 9,0 '' 400 7 7 b 0,7 00 63 L image est renversée et réduite par rapport à l image intermédiaire. Le grandissement total s écrit : 5 7 5 ' a b 0,08 7 63 63 L image est renversée et réduite par rapport à l objet. B A'' C B S ' A S A C Un rayon issu de B se réfléchit sur M en semblant provenir de B puis sur M en passant par B. Le rayon tracé est très incliné sur l axe et l objet n est pas à la même échelle que le rayon des miroirs. En réalité le rayon peut ensuite se réfléchir sur M et encore sur M et ainsi de suite. Certaines armoires de toilette ou des penderies permettent de voir ces successions d image mais leurs miroirs étant plans les images sont toutes de la même taille. Exercice XIII-C3 : équivalence d un système de deux miroirs Un miroir sphérique concave de rayon R reçoit la lumière émise par un objet ponctuel A situé sur son axe optique. La lumière réfléchie frappe un deuxième petit miroir sphérique convexe de rayon R. Les deux miroirs sont concentriques (leurs centres sont confondus en un point O). La lumière émergente sort du système par une petite ouverture réalisée autour du sommet du premier miroir. On note A l image intermédiaire et A l image finale. Etablir la relation de conjugaison du système en prenant O comme origine. Etablir de même l expression du grandissement. Commenter le résultat. Les réflexions successives produisent les images suivantes : M M AB AB A' B ' Les relations de conjugaison avec origine au centre donnent : () OA OA OS R () OA' OA R OS On obtient en soustrayant () de () : R R OA' OA R R R R Les relations de grandissement avec origine au centre donnent : OA OA' OA' OA OA OA Ce sont les relations de Descartes (conjugaison et grandissement) pour une lentille sphérique mince de distance focale image : RR R R Cette distance est positive. Le système est équivalent à une lentille sphérique mince convergente, placée en O. A O A S A' S

Exercice XIII-C4 : télescope de Newton Un télescope de Newton est constitué d un miroir sphérique concave de rayon 800 mm (c est l objectif du système), d un petit miroir plan qui sert uniquement à renvoyer la lumière sur le côté de l instrument et d un oculaire, en général un doublet de lentilles, simplifié ici en une lentille sphérique mince convergente de distance focale image f = 9 mm. Le télescope est pointé vers Mars dont le diamètre angulaire est alors = 0 (ce diamètre dépend de la distance Terre-Mars qui est très variable). Calculer la taille de l image intermédiaire, le diamètre angulaire de l image finale et le grossissement du télescope. F ' F F '' F est le foyer image du miroir sphérique concave. F en est l image donnée par le petit miroir plan. F est le foyer objet de l oculaire. Le trajet d un rayon lumineux incident parallèle à l axe optique du miroir concave montre le fonctionnement du télescope. Il émerge parallèlement à l axe optique de l oculaire. i) Image intermédiaire : L objet (Mars) est à l infini donc son image intermédiaire se forme dans le plan focal image de l objectif. C F' A' F A' O ' Dans le triangle A B C rectangle en C, par définition de la tangente, il vient : AB ' ' tan d ' où A' B ' CF ' tan CF ' CF ' 0 0 avec 0''. 60.60 60.60 80 rad et R CF ' 900 mm 0 d où A' 900. mm 60.60 80 soit A' 8,7.0 mm. D après le schéma, l image intermédiaire est renversée. ii) Image finale : L image intermédiaire est située au foyer objet de l oculaire lorsqu il est réglé. L image finale est donc rejetée à l infini. Dans le triangle A B O rectangle en O, par définition de la tangente, il vient : A' B ' A' B ' CF ' tan ' soit ' OF OF OF α 9,7.0-3 rad 33 D après le schéma, l oculaire ne redresse pas l image. L image finale reste renversée. iii) Par définition du grossissement du télescope : ' G avec : ' 900 d où : G G 00 9

Exercice XIII-C5 : télescope de Cassegrain Un télescope de Cassegrain est constitué d un miroir sphérique concave de rayon 3000 mm, de sommet S et d un petit miroir sphérique convexe de rayon 000 mm, de sommet S. Le miroir principal est percé en son sommet d une petite ouverture qui laisse passer la lumière émergente. L observateur est placé derrière cette ouverture et observe l image donnée par les miroirs à l aide d un oculaire. Quelle doit être la distance S S pour que l image A se situe en S? Il s agit d un télescope donc l objet observé se trouve à l infini! L image intermédiaire se forme donc dans le plan focal image du premier miroir. Ce qui se résume par le diagramme : M A A F ' L image intermédiaire sert d objet pour le second miroir qui doit en donner une image située en S. Ce qui se résume par le diagramme : M A F ' S La relation de conjugaison avec origine au sommet donne alors : SS SF ' SF S S S S S F ' S F Pour alléger les notations, posons : SF f SF ' f SS x x x f f x f x x f f f x f x x f x f f x f f 0 x 0,500 x 0, 750 0 avec x en m Résolvons cette équation du second degré : 0, 50 3, 000 3, 50,803 x,5 ou 0, 654 D après la géométrie du problème, seule la solution positive convient : S S,5 m F F S S