Géométrie analytique dans l espace.

Chapitre 15 Géométrie analytique dans l espace. Dans tout le chapitre, l espace est rapporté à un repère(o; i; j; k), sauf mention du contraire. I Points et vecteurs de l espace. 1 Points alignés et vecteurs colinéaires. Définition deux vecteurs u et v sont colinéaires s il existe un réelk tel que v = k. U. Avec les points, on sait que trois points A, B et M sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AM sont colinéaires. B M A 2 Points coplanaires et vecteurs coplanaires. On sait que trois points non alignés définissent un unique plan de l espace. Définition Si les points A,B, C et M appartiennent à un même plan, on dit que ces quatre points sont coplanaires. Exercice 1. On considère le cubeabcdefgh. E H F G Donner un point coplanaire aux points A, D et F. Les points A, F,Get H sont-ils coplanaires? D C 165 A B

166 CHAPITRE 15. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L ESPACE. Définition Quand les points A, B, C et M sont coplanaires, on dit que les vecteurs u = AB, v = AC et w = AM sont coplanaires. Propriété Dans ce cas, on peut remarquer sur l illustration que le vecteur w s écrit comme combinaison linéaire des vecteurs u et v. Il existe deux réelst 1 et t 2 tels que : w = t 1 u+t 2 v Remarque Quand les points A, B, C et M ne sont pas coplanaires, on dit que les vecteurs AB, AC et AM ne sont pas coplanaires. Exercice 2. Avec le cube précédent, on note I le centre du rectangleadgf. Pourquoi le vecteur AI est-il coplanaire avec les vecteurs AF et AD? Écrire le vecteur AI comme combinaison des vecteurs AF et AD. Exercice sur le livre : faire l exercice n 43 page 326.

II. DROITES DE L ESPACE. 167 3 Coordonnées de points et de vecteurs. Définition Quand trois vecteurs i, j et k ne sont pas coplanaires, quel que soit le point O de l espace, (O, ı, j, k)est un repère de l espace. On admet alors que, pour tout point A de l espace, il existe trois nombres x, y et z tels que OA = x i +y j +z k. Ces nombres forment les coordonnées du point A, on note comme dans le plana(x;y;z). Propriété SiA(x A ;y A ;z A ) etb(x B ;y B ;z B ) sont des points de l espace donnés par leurs coordonnées, alors : ( xa +x B I ; y A +y B ; z ) A +z B est le milieu du segment [AB] ; 2 2 2 x B x A AB(xB x A ;y B y A ;z B z A ) ou bien AB y B y A. z B z A Exercices sur le livre : faire les exercices n 35, n 36 et n 37 page 325. faire l exercice n 41 page 325. faire les exercices n 44 à n 48 page 326. II Droites de l espace. Dans cette partie, l espace est rapporté à un repère(o; i; j; k). Si D est une droite de l espace passant par le point A et de vecteur directeur U, alors un point M de l espace appartient à D si et seulement si AM et u sont colinéaires. 1 Représentation paramétrique d une droite. Soit D une droite de l espace passant par le point A(a;b;c) et de vecteur directeur u(x 1 ;y 1 ;z 1 ). Soit M(x;y;z) un point de l espace. M A u AM = t u M D M D AM et u sont colinéaires il existe un réelttel que AM = t u Il ne reste plus qu à traduire cette propriété avec les coordonnées de l espace. Si donc A(a;b;c), u(x 1 ;y 1 ;z 1 ) etm(x;y;z). On calcule les coordonnées du vecteurs AM : ( ) AM ; ;

168 CHAPITRE 15. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L ESPACE. M D il existe un réel t tel que = t = t = t x = M D il existe un réel t tel que y = z = Définition L ensemble des relations x = a+tx 1 y = b+ty 1 s appelle représentation paramétrique de la droite D. z = c+tz 1 Remarque On obtient des points de la droite D en donnant des valeurs au paramètret. Chaque droite possède une infinité de représentations paramétriques. Exercices sur le livre : exercices n 50, n 51 et n 52 page 326. 2 Position relative de deux droites de l espace. Deux droites D 1 et D 2 sont données par une représentation paramétrique. D 1 : x = a 1 +tx 1 y = b 1 +ty 1 z = c 1 +tz 1 D 1 passe para 1 (a 1 ;b 1 ;c 1 ) et a pour vecteur directeur u 1 x 1 y 1 z 1. D 2 : x = a 2 +t x 2 y = b 2 +t y 2 z = c 2 +t z 2 D 2 passe para 2 (a 2 ;b 2 ;c 2 ) et a pour vecteur directeur u 2 x 2 y 2 z 2. Ici, trouver la position de deux droites de l espace peut être rendu plus délicate à cause du problème de la coplanarité. Les différentes situations sont résumées dans le tableau ci dessous :

II. DROITES DE L ESPACE. 169 D 1 et D 2 sont parallèles (éventuellement confondues) Les vecteurs u 1 et u 2 sont colinéaires D 1 A 1 u 1 A 2 D 2 v 1 D 1 et D 2 sont sécantes Les vecteurs u 1 et u 2 ne sont pas colinéaires et les droites ont un point d intersection D 1 A 1 u1 v 1 A 2 D 2 D 1 et D 2 ne sont pas coplanaires A 1 D 1 u 1 Les vecteurs u 1 et u 2 ne sont pas colinéaires et les droites n ont aucun point d intersection v 1 A 2 D 2 Une fois qu on sait que deux droites ne sont pas parallèles, pour savoir si elles sont ou non sécantes, il suffit de résoudre le système formé par les six équations contenues dans les deux représentations paramétriques. Ceci permet de voir s il y a ou pas un point d intersection. Exercices sur le livre : faire les exercices n 53 et n 55 page 327.

170 CHAPITRE 15. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L ESPACE. III Plans de l espace. 1 Représentation paramétrique d un plan. P est un plan de l espace qui passe par le point A et qui contient les vecteurs non colinéaires u et v. Un point M est un point du plan P si et seulement si les vecteurs AM, u et v sont coplanaires. Ainsi, il existe des réels t 1 et t 2 tels que : AM = t 1. u+t 2. v Si les points et les vecteurs sont données par leurs coordonnées, A(a;b;c) et de vecteur directeur u(x 1 ;y 1 ;z 1 ), v (x2 ;y 2 ;z 2 ). Soit M(x;y;z) est un point de l espace. t 2 v v A u P t 1 u M M P M P AM, u et v sont coplanaires il existe deux réels t 1 ett 2 tel que AM = t 1 u+t 2 v Il ne reste plus qu à traduire cette propriété avec les coordonnées de l espace. Si donc A(a;b;c), x a = M P il existe deux réelst 1 et t 2 tel que y b = z c = M P il existe deux réelst 1 et t 2 tel que x = y = z = Ce dernier système est la représentation paramétrique du plan passant par A et dirigé par les vecteurs non colinéaires u et v. Exemple u(1; 1;2) et v(0;1; 3). On donne le point A(3; 2;2), les vecteurs Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires, car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Le plan passant paraet dirigé par les vecteurs non colinéaires u et v a pour représentation paramétrique le système ci-contre : x = 3 + t 1 y = 2 t 1 + t 2 z = 2 + 2t 1 3t 2

IV. LE THÉORÈME DU TOIT. 171 Exercice 3. 1. Déterminer de même une représentation paramétrique du plan P passant par A(3;1; 1) et dirigé par les vecteurs non colinéaires u(0; 1; 0) et v(2; 1; 1). 2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D qui passe par le point B(1; 0; 0) et de vecteur directeur w(2; 2; 1). 3. Cette droite est-elle une droite du plan P? Exercice 4. Déterminer une représentation paramétrique du plan P parallèle au plan P de l exercice précédent et passant par le point C(3;4; 1). Remarque Deux plans dirigés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont des plans parallèles. IV Le Théorème du toit. Théorème Les plans P 1 et P 2 sont sécants. On note D leur droite d intersection. Si la droite d 1 incluse dans le plan P 1 et la droite d 2 incluse dans le plan P 2 sont parallèles, alors elles sont aussi parallèles à la droite D. D d 2 P 1 d 1 P 2 Preuve: On note u un vecteur directeur de d 1 et de d 2. On note v un vecteur directeur de la droite D. On va faire un raisonnement par l absurde. On suppose que D n est pas parallèle àd 1 et d 2. On peut alors dire que v est un vecteur qui n est pas colinéaire à u. On en déduit que le plan P 1 est dirigé par les vecteurs non colinéaires u et v. Il en est de même pour le plan P 2. Ces deux plans sont des plans parallèles, c est la contradiction. Ainsi, la droite D est parallèle à la droited 1 et à la droited 2.

172 CHAPITRE 15. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L ESPACE. Exercice 5. On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est un point situé en dehors du plan(adgf). 1. Pourquoi les points A,D eti ne sont-ils pas alignés? On admettra qu il en est de même pour les points F,Get I. 2. Tracer sur la figure l intersection des plans (ADI) et (FGI).

IV. LE THÉORÈME DU TOIT. 173 Exercice 6. On considère un cubeabcdefgh. Le point I est le milieu du segment [HG] et le point J est le milieu du segment [BC]. 1. Pourquoi les points F, I et J ne sont-ils pas alignés? On admettra qu il en est de même pour les points F,Aet I. 2. Tracer sur la figure l intersection du plans (FIJ) avec les faces du cube. C est une section du cube par un plan. 3. Tracer l intersection du plan(abcd) avec le plan(af I).