BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE CORRIGÉ BAC BLANC 03 MATHÉMATIQUES STID Toutes options Durée de l épreuve : heures Coefficient : Ce sujet comporte pages numérotées (celle-ci comprise) L usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve Un formulaire officiel de mathématiques ( pages) est joint au sujet Le candidat doit traiter les eercices La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l appréciation des copies Page sur 6
EXERCICE (5 points = +0,5*8) Le plan complee est rapporté au repère orthonormal (O ; I ; J) d'unité graphique cm On note i le complee de module et d'argument ) Résoudre l équation z( i 3)= où z est un nombre complee Écrire cette solution sous sa forme algébrique z= i 3 = (+i 3) (+i 3) (+i 3) = = ( i 3)(+i 3) +( 3) +3 ) Soit z =+i 3 et z =z e i On note A le point d affie z et B le point d affie z a) Mettre sous forme eponentielle le nombre z z = +( 3) = +3= = cos(θ )= a ρ = d où θ = π 3 ou π 3 sin(θ )= b ρ = 3 d'où θ = π 3 Ona donc z = e i π 3 b) En déduire z sous sa forme eponentielle π π = (+i 3) =+i 3 z =z e i π = e i π3 e i π =e i ( π 3 + i π ) =e 5 i π 6 c) Sur papier millimétré, placer les points A et B dans le repère (O ; I ; J) d) Calculer la longueur AB AB= z z = +i 3 (cos(5 π 6 )+i sin(5 π 6 )) = +i 3 ( 3 + i ) = +i 3+ 3 i AB= + 3+i ( 3 ) = (+ 3) +( 3 ) = + 3+3+3 3+= 8= e) Montrer que le triangle OAB est rectangle et isocèle en O On sait que OA= z = et OB= z =,donc AOB est isocèle eno Ona aussi OA +OB = + = +=8 et que AB =( ) =8 Le triangle OAB vérifie la relation de Pythagore, donc il est rectangle en O 3) Soit z 3 le nombre tel que z 3 = z + z a) Écrire z sous forme algébrique puis en déduire la forme algébrique de z 3 + i )= 3 +i Donc z 3 =+i 3 3+i= 3+i (+ 3) b) Ajouter le point C d affie z 3 sur la figure c) Déterminer la nature du quadrilatère OACB BC= z 3 z = 3+i (+ 3)+ 3 i = +i 3 = z = AC = z 3 z = 3+i (+ 3) i 3 = 3+i = z = OACB est donc un losange, et comme il a un angle droit, c est un carré z = (cos(θ )+i sin(θ ))=( 3 Page sur 6
EXERCICE ( 5 points = 0,5++++0,5+) On dispose de plaques d un verre teinté de telle façon qu un rayon lumineu perd 3 % de son intensité lumineuse en les traversant ) On appellera I 0 l intensité lumineuse du rayon avant la traversée du verre, et I celle du rayon après Eprimer la valeur de I en fonction de I 0 I =I 0 3 00 I 0 ) On superpose n plaques de verre identiques On note I n l intensité du rayon à la sortie de la n ième plaque a) Comment peut-on calculer I n+ à partir de I n? Indiquer la formule de calcul I n+ = I n 3 00 I = I 3 n n ( 00 )=0,77 I n b) Quelle est la nature de la suite (I n )? Préciser son premier terme et sa raison La formule ci-dessus prouve que c est une suite géométrique de raison 0,77 Son premier terme est I 0 c) En déduire l epression de I n en fonction de I 0 et de n La formule du terme général d une suite géométrique nous donne I n = I 0 0,77 n 3) Quelle est l intensité initiale I 0 d un rayon d intensité 5 après la traversée de plaques? I = I 0 0,77 =5 d'où I 0 = 5 0,77 soit I,67 ) Quel est le nombre minimum de plaques que le rayon doit traverser pour que son intensité lumineuse soit divisée par? Il faut avoir 0,77 n =/=0,5 soit en passant au logarithmes, n ln(0,77 )=ln(0,5) ou encore n= ln(0,5) ln(0,77 ) d où n 5,3 On aura donc I < I 0 n dès que n > 5 Page 3 sur 6
EXERCICE 3 ( points = *) Étude graphique d une fonction f Voici la courbe C représentant la fonction f, définie sur l intervalle I = ]0 ; + [ : Par simple lecture graphique, répondre au questions suivantes : ) Dresser le tableau de variation de f sur l intervalle I - + f() - 0? ) Tracer la tangente à C en = Que vaut f (), et que vaut f ()? F() semble être égal à, et être un maimum, donc f () doit être égal à 0 3) Estimer les limites de f () en 0 et en + En 0, la limite semble être -, et en +, elle semble être 0 (sans certitude) ) Estimer la valeur de la solution de l équation f () = 0 Il semble qu il y ait une solution unique, entre 0,3 et 0, Page sur 6
EXERCICE (6 points = 0,5* + + 0,5*8) Étude d une fonction Soit f la fonction définie sur I=]0 ; [ par f ( )= +ln Remarque : C est la courbe déjà vue dans l eercice ) a) En mettant en facteur, déterminer la limite de f () en 0 f ( )= ( +ln( )), or lim 0 ( On en déduit par produit que lim ( 0 b) En déduire une asymptote de C =+, et lim ) 0 +ln( ) ) = et C sa courbe (ln( ))= donc lim (+ln( ))= 0 Il y a donc une asymptote verticale d équation = 0 : c est l ae des ordonnées ) Transformer l epression de f () en une somme de deu fractions, et en déduire ainsi la limite de f () en et une seconde asymptote de C f ( )= + ln() Or lim + ( ln( ) ) =0 et lim + ( ) =0 donc lim ( f ( ))=0 + Il y a donc une asymptote horizontale en + d équation y = 0 (c est l ae des abscisses) 3) a) Déterminer sa dérivée f ' et montrer qu elle est du signe de ln() sur I f ( )= (+ln( )) ln( ) ln( ) = = Elle est donc du signe de ln( ) puisque >0 pour tout > 0 b) En déduire le signe de f '() pour tout réel appartenant à I Ayant le signe opposé de ln(), f () sera positive entre 0 et, et négative de à + c) Dresser le tableau de variation de f 0 + f () + 0 - f() - 0 ) Déterminer l équation de la tangente (T) à la courbe C au point d abscisse et tracer cette tangente f ()= ln() et f ()= +ln() Donc l équation est y= ln() D où l équation y= ln() ( )+ +ln() = ln() + ln() +ln() = ln() Page 5 sur 6
5) Résoudre l équation f () = 0 f ( )=0 +ln( )=0 ln( )= =e = e 0,368 6) Vérifier que les résultats obtenus sont compatibles avec ceu de l eercice 3 Ils sont en effet bien compatibles 7) On se propose de chercher les primitives de la fonction f Pour cela, soit H ( )= (ln( )), fonction définie sur I=]0; [ a) Calculer H () H ()= ln( ) ln( ) = b) En déduire les primitives F de la fonction f sur I H() est donc une primitive de ln( ) Or on a vu que f ( )= + ln() On sait aussi que ln() est primitive de Par conséquent les primitives de f() sont de la forme F ( )= (ln( )) +ln( )+c Page 6 sur 6