406 PUISSANCE Leçon 1

406 PUISSANCE Leçon 1 I. PUISSANCE DE 10 a) Définition Activité 1 : Les grands nombres. Un million = Un milliard = Un billion = Un trillion = Quelques exemples concrets : 1. Ecrire un milliard dans le tableau. Combien de zéros possède ce nombre?... 2. Ecrire mille milliards dans le tableau. Combien de zéros possède ce nombre?... 3. Le diamètre de notre galaxie est de un milliard de milliards de kilomètres. Placer ce nombre dans le tableau. Combien de zéros possède-t-il? 4. La masse de la planète Neptune est de 100 000 000 000 000 000 000 000 de tonnes. Placer ce nombre dans le tableau et l'écrire en Français: 5. Le Capitaine Haddock jurait "Mille milliards de mille sabords!". Ecrire ce nombre dans le tableau, puis reformuler le nombre de sabords avec moins de mots, de façon correcte. Question n 1. 2. 3. 4. 5. milliards d'unités millions d'unités milliers d'unités unités c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u La manipulation de ces nombres "infiniment" grands n'est pas toujours commode (nombre de chiffres limités sur l'écran d'une calculatrice, problèmes de lectures,...) Pour cela on utilise les puissances de dix. Activité 2 : Les puissances de 10. Rappel : 10 2 = 10 10 = 100 2zéros On dit que 10 2 est de 10 et que 2 est Compléter le tableau suivant sans calculatrice : 10 7 10 10 10 10 10 10 10 10000000 10 10 10 10 1000 10 2 10 1 10 0 Par convention 10 1 10 2 10 3 10 4

406 PUISSANCE Leçon 2 Conclusion : n désignant toujours un nombre entier positif non nul. On note 10 n le produit de n facteurs tous égaux à 10. 10 n = 10 10... 10 = 100...0 n facteurs égaux à 10 n zeros Par convention : 10 0 = 1 et 10 1 = 10 On note 10 -n l inverse de 10 n. 10 n = 1 10 = 1 n 10... 10 n facteurs égaux à 10 1 = = 0, 0...01 10...0 n zeros n décimales Exemples : 10 5 = 10 3 = 1 = b) Propriétés PRODUIT DE DEUX PUISSANCES Compléter le tableau suivant : 10 3 10 2 1000 100 100000 10 5 10 1 10 6 10 2 10 5 10 4 10 3 Pour multiplier deux puissances de 10, il suffit donc. QUOTIENT DE DEUX PUISSANCES Compléter le tableau suivant : 10 5 1000 00 10 2 100 10 6 10 3 10 4 10 2 10 6 10 1 1000 10 3 Pour diviser deux puissances de 10, il suffit donc.

406 PUISSANCE Leçon 3 PUISSANCE D UNE PUISSANCE Compléter le tableau suivant : ( 10 3 ) 2 10 3 10 3 10 6 ( 10 5 ) 2 ( 10 4 ) 3 ( 10 5 ) 4 Pour prendre la puissance d une puissance de 10, il suffit donc CONCLUSION : n et m désignant des entiers relatifs, 10 n 10 m = 10n 10 m = ( 10 n ) m = c) Notation scientifique Activité : Multiplier par une puissance de 10. Compléter : a. 54 321,098 76 10 2 = 5 432 109,876 b. 54 321,098 76 10-2 = c. 54 321,098 76 10 4 = d. 54 321,098 76 10-3 = e. 54 321,098 76 10 5 = f. 54 321,098 76 10-4 = g. 54 321,098 76 10-1 = h. 54 321,098 76 10 7 = i. 54 321,098 76 10-6 = j. 54 321,098 76 10 0 = a. 6,08 10 5 = 608 000 b. -87,52 10 3 = c. 8,0002 10 3 = d. 0,00875 10 7 = e. 67,04 10 1 = f. -965,297 10-2 = g. -6,153372 10 4 = h. 807,5 10-5 i. 953 000 000 10-5 = j. -41 765 300 10-2 = Règle :

406 PUISSANCE Leçon 4 Activité : plusieurs écritures pour un même nombre. Compléter : 12789 12,789 X 10 3 0,12789 X 10 5 1278900 X 10-2 0,00012789 X 10 8 451,7 45,17 X 4,517 X 4517 X 0,0004517 X 7945,12 X 10 2 X 10 3 X 10-2 X 10-5 0,031 0,31 X X 10-5 3,1 X X 10 0 0,12 12 X X 10-1 1200 X X 10 1 On dit qu un nombre est en ECRITURE SCIENTIFIQUE lorsqu il est de la forme «a 10 n» où a est un nombre compris entre 1 et 10 (strictement inférieur à 10) éventuellement précédé du signe. Parmi tous les nombres apparaissant dans le tableau, entourer tous ceux qui sont en écriture scientifique. Par exemple, le nombre 1 234,5 peut s écrire : 12 345 10-1 1 234,5 1 123,45 10 1 12,345 10 2 1,2345 10 3 0,12345 10 4 Ecriture scientifique de 1234,5 Applications : Compléter le tableau : ÉCRITURE DECIMALE ÉCRITURE SCIENTIFIQUE a. 540 000 000 000 5,4 10 11 b. 650 000 000 c. 0,000 000 006 d. 1 048 000 000 000 e. 0,000 002 64 f. 20 300 000 g. 673,185 h. 8 070 000 000 i. 4000,007 j. 0,700 600 000 Compléter le tableau : ÉCRITURE «a 10 n» ÉCRITURE SCIENTIFIQUE a. 6 300 10 4 6,3 10 7 b. 450 10 6 c. 0,000 67 10-5 d. 6 300 10 12 e. 0,012 500 10-14 f. 0,012 500 10-12 g. 0,012 500 10 15 h. 81 500 000 10 23 i. 81 500 000 10 13 j. 81 500 000 10-34 Méthode : 6300 x 10 4 = 6,3 x 10 3 x 10 4 = 6,3 x 10 7

406 PUISSANCE Leçon 5 Comparer des nombres en écriture scientifique : Classer du plus petit au plus grand les nombres suivants : 7,25! 10 4 ; 4,7! 10 5 ; 14,1! 10 "3 ; 10,49! 10 "2 ; 2,259! 10 4 ; 3! 10 5. Conclusion : Pour comparer deux nombres en écriture scientifique, - on commence par regarder les puissances : les nombres sont alors classés dans le même ordre que les exposants. - et si elles sont égales : les nombres sont classés dans le même ordre que leur coefficients. d) Calculatrice ATTENTION : Lorsque la calculatrice affiche : 8,25 03 cela signifie 8,25 10 3 soit 8250 et non pas 8,25 au cube (qui vaut environ 562). Pour entrer le nombre 3,654125 10 4 dans la calculatrice il suffit de taper : 3,654125 EXP 4 ou 3,654125 ψ 4 ou II. PUISSANCE ENTIERE D UN NOMBRE RELATIF a) Définition Activité 1 : Compléter en suivant le modèle puis vérifier avec votre calculatrice 4 3 = 4 x 4 x 4 = 64 (-5) 2 = (-7) 3 = 2 5 = -5 2 = -7 3 = 3 4 = (-3) 4 = 12 1 = 7 3 = -3 4 = 157 0 = Définition : si a désigne un nombre relatif et n un nombre entier positif différent de zéro : a n = a! a!...! a (pour n " 2) n facteurs a -n = 1 a avec a # 0 n Par convention : a 0 =1 (avec a 0) et a 1 =a Cas particuliers : 1 n =1, 0 n =0, a -1 = 1 a

406 PUISSANCE Leçon 6 b) Propriétés Les règles de calculs sont les mêmes qu avec les puissances de 10. a n! a m = a n+ m a n a m = an! m ( a n ) m = a n! m a n! b n = ( a! b) n c) Applications Donner le résultat des calculs suivants sous la forme «a n» : a. 5 2 5 4 = 5 6 b. 4-3 4 8 = c. (-6) -7 (-6) 2 = d. (-3) 7 (-3) -4 = e. 5-3 5-1 5 8 = f. 7 9 7-8 7-3 = g. (-8) 2 (-8) -5 (-8) -1 = h. 9 2 9-1 9-7 9-4 = 7 5 i. = 3 5! 4 7 j. = 3 7! 6 6) k. =! 1 6) 6 5) l. =!16 5)! 12 1) m. =! 8 1)! 14 23 n. =! 21 23 9 3)! o. = 6 3)! 3 2 p. = 3 2 ( ) 7 = r.!5 q. 3!2 (( )!7 )!1 = s. 2) 4 ( )!3 = t. 12 7 ( ) 3 = ( ) 8 = v.!9 u. 8!8 (( )!7 )!2 = w. 0,6)!11 ( )!3 = x. 7!8 ( ) 0 = Priorité des calculs Exemple : 10 + 20 2 3 = Dans une expression sans ( ), on effectue : D abord les puissances, Ensuite les multiplications et les divisions, Enfin les additions et les soustractions (en respectant l ordre des calculs) A vous : ( 15 2! 4 3) " # 1 & $ % 7 ' ( = 7 3! 2 5 16 =