Exercice 1 (5 points) Bac Blanc Terminale ES - Février 2013 Correction de l'épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Un producteur de fruits rouges propose en vente directe des framboises, des groseilles et des myrtilles. Le client peut acheter, soit des barquettes de fruits à déguster, soit des barquettes de fruits à confiture. Un client achète une barquette. On notera : C l évènement «le client achète une barquette de fruits à confiture», F l évènement «le client demande une barquette de framboises», G l évènement «le client demande une barquette de groseilles», M l évènement «le client demande une barquette de myrtilles». 1. Le producteur a remarqué que, parmi ses clients, 7 sur 10 achètent une barquette de fruits à C 1 p(c) 0,3. confiture donc p(c) 0,7 et p Lorsqu un client achète une barquette de fruits à confiture, la probabilité qu il demande une barquette de myrtilles est de 0,1 donc p C (M) 0,1 et la probabilité qu il demande une barquette de groseilles est de 0,4 donc p C (G) 0,4. Lorsqu un client achète une barquette de fruits à déguster, il ne demande jamais des groseilles donc p C (G) 0 et il demande des framboises dans 60 % des cas donc p C (F) 0,6. 2. a) La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud étant égale à 1, on en déduit que p C (F) 1 (0,1 0,4) 0,5. La probabilité que le client demande des framboises sachant qu il achète une barquette de fruits à confiture est donc égale à 0,5. b) La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud étant égale à 1, on en déduit que p C (M) 1 (0 0,6) 0,4. Le client ayant acheté une barquette de fruits à déguster, la probabilité qu il demande des myrtilles est égale à 0,4. 3. D'après la formule des probabilités totales, on a : p(f) p(f C) p F C p C (F) p(c) p C (F) p( C) 0,5 0,7 0,6 0,3 0,53 La probabilité que le client achète une barquette de framboises est égale à 0,53. 4. Le client achète une barquette de framboises. La probabilité que ce soit une barquette de fruits à confiture est donnée par : p F (C) p(f C) 0,5 0,7 35 p(f) 0,53 53 Le client ayant acheté une barquette de framboises, la probabilité que ce soit une barquette de fruits à confiture est égale à 35 53. 5. a) On note x i les valeurs possibles, en euros, du gain du producteur par barquette vendue et p i leur probabilité. Le producteur vend 5 euros la barquette de fruits à confiture, quel que soit le fruit donc p(x 5) p(c) 0,7. Il vend 2 euros la barquette de framboises à déguster donc p(x 2) p( C F) 0,6 0,3 0,18. Et il vend 3 euros la barquette de myrtilles à déguster donc p(x 3) p( C M ) 0,3 0,4 0,12. 1/7
On obtient : Valeur x i 2 3 5 Probabilité associée p i 0,18 0,12 0,7 On peut vérifier que la somme des probabilités est bien égale à 1. b) L espérance de cette loi de probabilité est donnée par : E p i x i 2 0,18 3 0,12 5 0,7 4,22. L'espérance de cette loi de probabilité est égale à 4,22. c) L'espérance calculée précédemment représente le gain moyen de ce producteur par barquette vendue. De plus : 4,22 150 633. Le producteur peut donc espérer un gain de 633 euros pour 150 barquettes vendues. Exercice 1 (5 points) pour les candidats ayant choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre d affaires du commerce équitable en France, exprimé en millions d euros. Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Rang de l année x i 1 2 3 4 5 6 7 8 Chiffre d affaires y i 12 21 37 70 120 166 210 256 (Source : M. H. leader du commerce équitable mondial) 1. On envisage un modèle parabolique d'équation y ax 2 bx c pour x 1 passant par les points M 1 (1 12) M 2 (2 21) et M 3 (3 37). a) Les coordonnées des points M 1, M 2 et M 3 doivent vérifier l'équation du modèle donc (a b c) est 12 a b c solution du système : 21 4a 2b c 37 9a 3b c b) On pose M 1 1 a 4 2 1, X b et B 21. Le système précédent peut alors s'écrire : M 9 3 1 c 37 X B. A la calculatrice, on vérifie que M est inversible. On a alors : M X B X M 1 B. On obtient : X 3,5 1,5 10 Le modèle parabolique passant par les points M 1 (1 12) M 2 (2 21) et M 3 (3 37) a donc pour équation : y 3,5x 2 1,5x 10. 2. En envisageant un modèle parabolique passant par les points M 2, M 3 et M 4, on a obtenu la parabole d'équation y 8,5x 2 26,5x 40. Pour comparer ces deux modèles, on complète le tableau suivant : Rang de l année x i 1 2 3 4 5 6 7 8 Chiffre d affaires y i 12 21 37 70 120 166 210 256 3,5x 2 1,5x 10 12 21 37 60 90 127 171 222 8,5x 2 26,5x 40 22 21 37 70 120 187 271 372 Aucun de ces deux modèles n'est plus pertinent que l'autre car le premier donne des valeurs très inférieures aux données et l'autre des valeurs très supérieures. 2/7
3. On se propose finalement de modéliser cette évolution par la parabole d équation y 3x 2 7x 4, x étant un nombre réel supérieur ou égal à 1. a) L'année 2010 a pour rang 10 et pour x 10, on a : y 3 10 2 7 10 4 366 Avec ce nouveau modèle, on peut donc estimer le chiffre d affaires du commerce équitable à 366 millions d'euros pour 2010 en France. b) On cherche x tel que y 400 3x 2 7x 4 400 3x 2 7x 404 0 On a à résoudre une inéquation du second degré avec b 2 4ac 7 2 4 3 ( 404) 4897 x 1 étant positif, le trinôme 3x 2 7x 404 admet deux racines : b 7 4897 soit x 1 12,8 et x b 2 2a 6 2a 7 4897 6 soit x 2 10,5. De plus, le coefficient de x 2 est positif, donc le trinôme est positif à l'extérieur de ses racines, soit sur [ x 2 [ puisqu'on a x 1. Le rang 11 correspondant à l'année 2011, on peut estimer que le chiffre d affaires du commerce équitable en France devrait dépasser 400 millions d'euros en 2011. 4. Le chiffre d affaires du commerce équitable en France a été de 303 millions d'euros en 2010 alors que l'estimation faite à la question 3.a) est de 366 millions d'euros avec 366 303 0,2079 303 L'erreur commise en prenant 366 au lieu de 303 est donc d'environ + 20 %. Exercice 2 (5 points) pour tous les candidats Un centre aéré, ouvert tous les mercredis après midi à partir du 1 er septembre, propose aux enfants de s inscrire chaque semaine à une activité. L une de ces activités est la natation. Le directeur se base sur les résultats de l année scolaire 2009/2010 pour prévoir l évolution des inscriptions pour l année scolaire 2010/2011. La première semaine de l année scolaire 2010/2011, 100 enfants se sont inscrits à la natation. On note u 0 le nombre initial d enfants inscrits à la natation, ainsi u 0 100. Pour tout entier naturel n, on note u n le nombre d enfants inscrits à la natation au bout de n semaines. 1. Une étude effectuée sur l année scolaire 2009/2010 montre que d une semaine sur l autre 15 % des enfants ne se réinscrivent pas à la natation, alors que dans le même temps 27 nouveaux enfants s y inscrivent. On a donc u 1 u 0 1 15 27 100 0,85 27 112, soit u 1 112. 100 2. En raisonnant comme dans la question précédente, on a pour tout entier naturel n : u n 1 u n 1 85 100 27 0,85u n 27, soit u n 1 0,85u n 27. 3. Pour tout entier naturel n, on pose a n u n 180, d'où : a n 1 u n 1 180 0,85u n 27 180 0,85u n 153 0,85u 153 n 0,85 0,85( u n 180) 0,85a n On a donc a n 1 0,85a n ce qui prouve que la suite (a n ) est une suite géométrique de raison q 0,85 et de premier terme a 0 u 0 180 100 180 80, soit a 0 80. On a donc, pour tout entier naturel n : a n a 0 q n, soit a n 80 0,85 n pour tout entier naturel n. De plus : a n u n 180 u n 180 a n donc u n 180 80 0,85 n pour tout entier naturel n. 4. u n 1 u n ( 180 80 0,85 n 1 ) ( 180 80 0,85 n ) 80 0,85 n 80 0,85 n 1 80 0,85 n (1 0,85) 80 0,85 n 0,15 12 0,85 n On a bien u n 1 u n 12 0,85 n pour tout entier naturel n. 3/7
12 et 0,85 n étant positifs, on en déduit que la différence u n 1 u n est toujours positive, soit u n 1 supérieur ou égal à u n pour tout entier naturel n : le nombre d enfants inscrits à la natation augmente toutes les semaines. On peut également constater que 0,85 étant strictement compris entre 0 et 1, la suite de terme général 12 0,85 n a pour limite 0, ce qui signifie que l'augmentation du nombre d'inscrits d'une semaine à l'autre va peu à peu se rapprocher de 0 et donc que le nombre d'inscrits va se stabiliser. 5. Le contexte restant le même, chercher au bout de combien de semaines le nombre d enfants inscrits à la piscine dépassera 175 revient à chercher le premier indice N tel que u N 175. On calcule donc les différents termes de la suite en incrémentant N tant que u N est inférieur ou égal à 175, soit : Sur Casio Sur TI On trouve N 18. Le nombre d enfants inscrits à la piscine dépassera 175 au bout de 18 semaines. Exercice 3 (4 points) pour tous les candidats On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ]0 [ par: f(x) 2x xln(x). On note f ' la fonction dérivée de la fonction f. 1. réponse b) f(3e) 2 3e 3e ln(3e) 6e 3e ln3 lne) 6e 3e ln3 1) 6e 3e ln3 3e 3e 3e ln3 f(3e) est donc égal à 3e(1 2. réponse b) ln3). f(x) 0 2x xln(x) 0 x(2 lnx) 0 La fonction f est définie sur ]0 [ donc x 0. On a donc : f(x) 0 2 lnx 0 lnx 2 x e 2 L'ensemble des solutions de l'équation f(x) 0 est donc S { e 2 }. 3. réponse b) f u v w donc f ' u' (v'w vw'), soit : f '(x) 2 1 ln(x) x 1 x Le nombre f '(e) est donc égal à : 1 lne 1 1 0 2 ln(x) 1 1 ln(x) 4. réponse a) La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1 a pour équation : y f '(1) (x 1) f(1) avec f(1) 2 1 1 ln1 2 et f '(1) 1 ln1 1 d'après la question 3. D'où : y 1(x 1) 2, soit y x 1. 4/7
Exercice 4 (6 points) PARTIE A Soit d la fonction définie sur l'intervalle [0 4] par d(x) e x 1,3. On note d' la fonction dérivée de la fonction d sur l'intervalle [0 4]. 1. d u 1,3 donc d' u'v uv' u(x) avec d'où : v v 2 v(x) e x u'(x) 3 v'(x) e x 3e x 3xe x 0,3e x ( 3 ) e x 3 e x 2 e x 2 e x 2 e x et donc d'(x) 3e x ()e x Pour tout réel x de l'intervalle [0 4], d'(x) 3x 2,7 e x. pour tous les candidats 2. On a d'(x) 3x 2,7 avec e x 0 pour tout réel x donc d'(x) est du signe de 3x 2,7 avec : e x 3x 2,7 0 3x 2,7 x 0,9. On a donc : x 0 0,9 4 signe de d' + 0 De plus : d(0) 3 0 0,3 e 0 1,3 0,3 1,3 1, d(0,9) 3 0,9 0,3 e 0,9 1,3 3e 0,9 1,3 et d(4) 3 4 0,3 e 4 1,3 12,3e 4 1,3 avec d(0,9) 0,08 et d(4) 1,07 On obtient : x 0 0,9 4 signe de d' + 0 3e 0,9 1,3 d 1 12,3e 4 1,3 3. Sur l'intervalle [0 4], la fonction d admet un maximum en 0,9 avec d(0,9) d(x) est strictement négatif sur [0 4]. 4. On a d'(x) soit d''(x) 3x 2,7, soit d' u e x v avec u(x) 3x 2,7 et v(x) e x u'(x) 3 d'où d'' v'(x) e x 3e x ( 3x 2,7)e x e x 2 e x 2 e x ( 3 3x 2,7)e x 3x 5,7 avec e x 0 pour tout réel x et 3x 5,7 0 3x 5,7 x 1,9. On obtient : x 0 1,9 4 signe de d''(x) 0 + On en déduit que d est concave sur [0 1,9] et convexe sur [1,9 4]. 0. On en déduit que u'v uv' v 2 PARTIE B Soient f et g les fonctions définies sur [0 4] par f(x) 3x 3,3 et g(x) e x 1,3x 5,97. On admet que les fonctions f et g sont décroissantes sur [0 4] ; la fonction f est représentée ci-dessous par la courbe C f et la fonction g par le segment de droite D. Soit h la fonction définie sur [0 4] par h(x) g(x) f(x). 5/7
1. a) f(x) f'(x) 3e x (3x 3,3)e x 3x 3,3 e x donc f u v donc f ' u'v uv' v 2 e x 2 e x 2 e x (3 3x 3,3)e x Et g(x) 1,3x 5,97 donc g'(x) 1,3. On obtient h'(x) g'(x) f'(x) 1,3 1,3 e x On a donc h'(x) d(x) pour tout x [0 4] u(x) 3x 3,3 avec et v(x) e x u'(x) 3 d'où : v'(x) e x e x ou encore h'(x) e x 1,3. b) D'après la partie A, d(x) est strictement négatif sur [0 4] donc h'(x) est strictement négatif sur [0 4]. On en déduit que h est strictement décroissante sur [0 4]. 2. a) La fonction h est continue et strictement décroissante sur [0 4] De plus : h(0) 1,3 0 5,97 3 0 3,3 e 0 5,97 3,3 2,67 et h(4) 1,3 4 5,97 3 4 3,3 e 4 0,77 15,3e 4, soit h(4) 0,49 On a donc h(0) 1 h(4). On en déduit que l'équation h(x) 1 admet une unique solution dans l'intervalle [0 4]. b) A la calculatrice, on obtient successivement : h(3) 1 h(4) donc 3 4 h(3,5) 1 h(3,6) donc 3,5 3,6 Une valeur approchée de à 10 1 près est donc 3,5 (ou 3,6). c) Soit M le point d'abscisse x de C f et P le point d'abscisse x de étant entièrement située au dessus de Cf, h(x) g(x) f(x) représente la longueur PM. α représente donc l'abscisse commune des points M de C f et P de tels que PM 1 PARTIE C Une entreprise prévoit de fabriquer et commercialiser mensuellement entre 1 et 4 tonnes d'un produit cosmétique. On suppose que toute la production est vendue. Pour x tonnes de produit fabriquées mensuellement (avec x [1 4]), on admet que f(x) désigne le coût de production par tonne ( en centaine de milliers d'euros) et g(x) le prix de vente par tonne (en centaine de milliers d'euros). 1. L'entreprise décide de produire 1 tonne par mois. f(1) 3 1 3,3 6,3 soit f(1) 2,31764 et g(1) 1,3 1 5,97 4,67 e 1 e Le coût de production de la tonne produite est donc de 231764 et son prix de vente de 467000. Le bénéfice mensuel est la différence entre prix de vente et coût de production soit h(x) g(x) f(x) et h(1) g(1) f(1) 235236 donc le bénéfice réalisé pour la tonne produite est de 235236. 2. L'entreprise souhaite réaliser un bénéfice par tonne d'au moins 100 000 euros. On cherche donc x tel que h(x) 1. D'après la partie B, h est strictement décroissante sur [1 4] avec h 1. On en déduit que l'ensemble des solutions de h(x) 1 est [1 ] avec 3,5. On en déduit que l'entreprise doit produire entre 1 et 3,5 tonnes par mois pour avoir un bénéfice mensuel d'au moins 100 000. 6/7
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