Université Claude Bernard Lyon 1 Licence Mathématiques et informatique Première année UE Math I-ALGEBRE Année 008-009 CHAPITRE 1 1 Réunion, intersection, différence, produit cartésien d ensembles Exercice 1 Soient A = {1,, 3} et B = {0, 1,, 3}. Décrire les ensembles A B, A B et A B. Exercice Soient A = [1, 3] et B =], 4]. Déterminer A B et A B. Exercice 3 1. Déterminer le complémentaire dans R des parties suivantes : A 1 = ], 0], A =], 0[, A 3 =]0, + [, A 4 = [0, + [, A 5 =]1, [ et A 6 = [1, [.. Soient A =], 1[ [, + [, B =], 1[ et C = [, + [. Comparer les ensembles suivants : C R A et C R B C R C. Exercice 4 Soient A, B, C trois parties d un ensemble E. Montrer que : 1. A (B C) = (A B) (A C).. A (B C) = (A B) (A C). Exercice 5 Soient E un emsemble et A et B deux parties de E. On suppose que On pose A B, A B E, A B et B A. A 1 = A B, A = A C E B, A 3 = B C E A et A 4 = C E (A B). 1. Montrer que A 1, A, A 3 et A 4 sont non vides.. Montrer que A 1, A, A 3 et A 4 sont deux à deux disjoints. 1
3. Montrer que A 1 A A 3 A 4 = E. Exercice 6 Soient A, B, C trois parties d un ensemble E. 1. Que pensez-vous de l implication ((A B) C) = (A C ou B C)? Justifier (on pourra utiliser la contraposée).. On suppose que l on a les deux inclusions suivantes : A B A C et A B A C. Montrer l inclusion B C. Exercice 7 Soient A et B deux parties d un ensemble E. suivantes : 1. C E (A B) = C E A C E B. Démontrer les égalités. C E (A B) = C E A C E B. Si A B, montrer que C E B C E A. Exercice 8 Soit E un ensemble et F et G deux parties de E. Démontrer que : 1. F G F G = G.. F G F C E G =. Exercice 9 Soit E un ensemble et soit P(E) l ensemble des parties de E. Pour A et B dans P(E), on appelle différence symétrique de A par B l ensemble, noté A B, défini par A B = (A B) \ (A B). 1. Montrer que A B = (A \ B) (B \ A).. Calculer A A, A et A E. 3. Montrer que pour tous A, B, C P(E), on a (A B) C = A (B C). Exercice 10 Soient E et F deux ensembles et soient A P(E) et B P(F ). Montrer que A B E F. Relations d equivalence et relations d ordre. Exercice 11 Dans N, on définit une relation << en posant m << n s il existe k N tel que n = km. 1. Montrer que << est une relation d ordre partiel sur N. On considère dans la suite de l exercice que l ensemble N est ordonné par la relation <<.. L ensemble N possède-t-il un plus grand élément? un plus petit élément? 3. Soit A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. L ensemble A possède-t-il un plus grand élément? un plus petit élément?
Exercice 1 Soit E un ensemble et soit A une partie de E. On définit dans P(E) la relation R en posant, pour tout couple (X, Y ) de parties de E : XRY A X = A Y. 1. Montrer que R est une relation d équivalence dans P(E).. Soit X une partie de E. On note Ẋ la classe d équivalence de X pour la relation R. Expliciter, Ė, A et C E A. 3. Montrer que si B = A X, alors B est l unique représentant de Ẋ contenu dans A. 4. On considère l application f : Ẋ A X défini de P(E)/R dans P(A). Montrer que f est bijective. Exercice 13 Soit E un ensemble et A une partie de E. On considère l ensemble C(A) des parties de E qui contiennent A. Expliciter une bijection entre C(A) et P(A). En déduire le cardinal de l ensemble suivant {(X, Y ) X Y E} P(E) P(E). Exercice 14 Soit P l ensemble des nombres premiers strictement supérieurs à. On considère la relation R entre deux éléments de P définie par : prq p + q P. La relation R est-elle réflexive, symétrique, transitive? Exercice 15 On définit dans N la relation << en posant pour tout (x, y) N N : x << y Il existe n N tel que y = x n. 1. Montrer que << est une relation d ordre (partiel) sur N.. Soit A = {, 4, 16}. Déterminer le plus grand élément et le plus petit élément de A. Exercice 16 Soit E un ensemble et R une relation réflexive et transitive sur E. 1. Montrer que la relation E définie sur E par est une relation d équivalence. a E b (a R b et b R a). Soit Q l ensemble quotient E/E. Sur Q, on définit une relation << par A << B s il existe a A et b B tels que a R b. Montrer que << est une relation d ordre sur Q. 3
3 Applications injectives, surjectives, bijectives Exercice 17 Dire (en justifiant) pour chacune des applications suivantes si elles sont injectives, surjectives, bijectives : f : R R f : R + R + f : [0, 1] [0, ] x x x x x x Exercice 18 Soit et soit f : N N n n g : N N n E ( ) n où E(x) désigne la partie entière de x. Les fonctions f et g sont-elles injectives, surjectives? Comparer f g et g f. Exercice 19 Soient E, F, G trois ensembles et soient f : E F et g : F G deux applications. 1. Montrer que si f et g sont injectives alors g f est injective.. Montrer que si f et g sont surjectives alors g f est surjective. 3. Que peut-on conclure sur g f si f et g sont bijectives? 4. Montrer que si g f est injective alors f est injective. 5. Montrer que si g f est surjective alors g est surjective. 6. Si à présent f : E F et g : F E, déduire de ce qui précède ce que l on peut dire dans les cas suivants : (a) g f = Id E. (b) f g = Id F. (c) f f = Id E. Exercice 0 Soit f une application de E vers F avec Card(E) = Card(F ) = n. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes : 1. f est injective.. f est surjective. 3. f est bijective. Exercice 1 Soient X et Y deux ensembles non vides et f une application de X dans Y. Une application s, de Y dans X, telle que f s = Id Y s appelle une section de f. 1. Montrer que si f possède une section alors f est surjective. 4
. Montrer que toute section de f est injective. Une application r, de Y dans X, telle que r f = Id X s appelle une rétraction de f. 3. Montrer que si f possède une rétraction alors f est injective. 4. Montrer que si f est injective alors f possède une rétraction. 5. Montrer que toute rétraction de f est surjective. 6. En déduire que si f possède à la fois une section s et une rétraction r, alors f est bijective et on a r = s(= f 1 par conséquent). dans 4 Image d une application et image réciproque Exercice Soient E et F deux ensembles et soit f une application de E dans F. Soient A et B deux parties de E. Montrer que 1. f(a B) = f(a) f(b).. f(a B) f(a) f(b). Donner un exemple où cette dernière inclusion est stricte. Montrer alors que f est injective si et seulement si pour toute partie A de E et pour toute partie B de E, on a f(a B) = f(a) f(b). Exercice 3 par 1. Soit f l application de l ensemble {1,, 3, 4} dans lui même définie f(1) = 4, f() = 1, f(3) =, f(4) =. Déterminer f 1 (A) lorsque A = {}; A = {1, }; A = {3}. Soit f l application de R dans R définie par f(x) = x. Déterminer f 1 (A) lorsque A = {1}; A = [ 1, ]. Exercice 4 Soient E et F deux ensembles et soit f une application de E dans F. Soient A et B deux parties quelconques de F, non vides. Montrer que 1. f 1 (A B ) = f 1 (A ) f 1 (B ).. f 1 (A B ) = f 1 (A ) f 1 (B ). Exercice 5 Soient E et F deux ensembles et soit f une application de E dans F. 1. Montrer, que pour toute partie A de E, on a A f 1 (f(a)).. Montrer, que pour toute partie B de F, on a f(f 1 (B)) B. 3. Montrer que f est injective si et seulement si pour toute partie A de E on a A = f 1 (f(a)). 4. Montrer que f est surjective si et seulement si pour toute partie B de F on a f(f 1 (B)) = B. 5