Cours de Topologie. Master 1. Année 2010/2011. Richard Zekri.

Cours de Topologie. Master 1. Année 2010/2011. Richard Zekri. 9 septembre 2010

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Table des matières 1 Rappels. 5 1.1 Topologies, ouverts, et voisinages................................ 5 1.2 Axiomes de séparation...................................... 5 1.3 Axiomes de dénombrabilité................................... 6 1.4 Treillis des topologies...................................... 6 1.5 Suites généralisées........................................ 7 2 Produits d espaces topologiques 11 2.1 Topologie produit........................................ 11 2.2 Propriétés de la topologie produit............................... 12 3 Espaces compacts. 15 3.1 Nets et filtres........................................... 15 3.2 Espaces compacts........................................ 16 3.3 Propriétés des espaces compacts................................ 17 4 Topologies initiales. 21 4.1 Définition et exemples...................................... 21 4.2 Propriétés............................................. 21 5 Topologie finales. 25 5.1 Définition et exemple...................................... 25 5.2 Relations d équivalence..................................... 25 5.3 Saturé d une partie d un ensemble............................... 26 6 Espaces connexes. 29 6.1 Définition et propriétés..................................... 29 6.2 Composantes connexes d un espace topologique........................ 30 7 Connexité par arcs. 35 7.1 Définitions............................................ 35 8 Groupe fondamental. 37 3

8.1 Homotopie et chemins...................................... 37 8.2 Le groupoïde fondamental de X................................ 37 8.3 Groupe fondamental et lacets.................................. 38 8.4 Propriétés fonctorielles du groupe fondamental........................ 39 8.5 Produits et rétractes....................................... 40 8.6 Calcul de π 1 (S 1 )......................................... 40 8.7 Indice d un lacet dans R 2.................................... 42 8.8 Théorème de Van Kampenn.................................. 42 4

Chapitre 1 Rappels. 1.1 Topologies, ouverts, et voisinages. Définition 1.1.1 [Topologie.] Une topologie τ, sur un ensemble X, est une famille de parties de X, qui contient {φ} et {X}, et qui est stable par réunions quelconques, et par intersections finies. Les éléments de τ sont appelés des ouverts de X. Le complémentaire d un ouvert de X est appelé un fermé. On dit que X, muni de τ, est un espace topologique. On le notera (X, τ). Définition 1.1.2 [Base d une topologie.] On appelle base d une topologie τ, toute famille F d ouverts, telle que tout ouvert de X est réunion d éléments de F. Remarque 1.1.3 Il est équivalent de dire que F est une base de la topologie τ, et que, pour tout point x X, et tout ouvert O x, contenant x, il existe un ouvert U F, tel que x U O x. Définition 1.1.4 [Voisinage.] Soit x un point de l espace topologique (X, τ). On appelle voisinage de x toute partie V, de X, contenant un ouvert qui lui-même contient le point x. Définition 1.1.5 [Base de voisinages.] Une famille F de sous ensembles d un espace topologique X est une base de voisinages en x X, si chaque N F est un voisinage de x, et si pour tout voisinage M, de x, il existe N F, tel que N M. Définition 1.1.6 [Intérieur et adhérence.] Soit A une partie quelconque de X. On appelle intérieur de A, et l on note A, le plus grand ouvert de X, contenu dans A. On appelle adhérence de A, et l on note A, le plus petit fermé de X, contenant A. On a la relation : X A = (X A). Les points de A sont dits adhérents à A. Remarque 1.1.7 Un point x X est adhérent à A si et seulement si tout ouvert contenant x contient également au moins un point de A. Définition 1.1.8 [Densité.] Soit X un espace topologique. Un sous-ensemble A, de X, est dit dense dans X, si tout ouvert non vide de X contient au moins un point de A. (Ceci est équivalent à A = X.) Définition 1.1.9 [Frontière.] Si A est un sous-ensemble de X, on appelle frontière de A, et l on note F r(a), l ensemble : F r(a) = A A. 1.2 Axiomes de séparation. Définition 1.2.1 Un espace topologique X est : 5

Un espace T 1 si pour tous x, y, points distincts de X, il existe un ouvert O, tel que y O, mais x / O Un espace T 2 (ou Hausdorff) si pour tous x, y, points distincts de X, il existe deux ouverts, O x, et O y, tels que x O x, y O y, et O x O y = φ. on dit que X est régulier si pour tout x X, pour tout fermé C X, x / C, il existe deux ouverts O x, et O C, contenant x, et C respectivement, tels que O x O C = φ. Un espace T 3 si X est T 1, et régulier. (On dit également Hausdorff régulier.) Un espace T 4 (ou normal) si X est T 1, et si, étant donnés deux fermés disjoints de X, C 1 et C 2, il existe deux ouverts disjoints O 1, et O 2, tels que C 1 O 1, et C 2 O 2. Evidemment, T 4 T 3 T 2 T 1. Les caractérisations suivantes sont également utiles : Lemme 1.2.2 1. Un espace X est T 1 si et seulement si les singletons {x} X sont des fermés. 2. Un espace est régulier si et seulement si les voisinages fermés de chaque point constituent une base de voisinages. Démonstration: 1- Soit {x} un singleton dans X. La propriété T 1 implique que chaque point du complémentaire de {x} est contenu dans un ouvert O, ne contenant pas x. Le complémentaire de {x} est donc ouvert. Inversement, si l on suppose que tout singleton est fermé, et x, y sont deux points distincts de X, alors le complémentaire de {x} est un ouvert contenant y, mais pas x. 2- Supposons que les voisinages fermés de chaque point constituent une base de voisinages dans X. Soient x, et C, comme dans (3). Le complémentaire X C, de C, est un ouvert contenant x, donc, d après l hypothèse, contient aussi un voisinage fermé, F, de x. On prend pour O C, le complémentaire de F, et pour O x, n importe quel voisinage ouvert de x, contenu dans F. Inversement, supposons que X est régulier. Soient x un point de X, et O un voisinage ouvert de X. La régularité de X implique qu il existe un ouvert U, contenant le complémentaire de O, et un ouvert V, contenant x, tels que U V = φ. Le complémentaire de U est un fermé contenant V, et contenu dans O Les axiomes le plus souvent utilisés en topologie sont T 2 et T 4. Par exemple R est un espace normal. Plus généralement, tout espace métrique est un espace normal. Habituellement, un espace de Hausdorff est appelé simplement un espace séparé (sans autres précisions.) 1.3 Axiomes de dénombrabilité. Définition 1.3.1 Un espace topologique S 1. Est séparable si S contient un sous ensemble dénombrable dense. 2. Satisfait le premier axiome de dénombrabilité (D1), si chaque point de S admet une base de voisinages, qui est dénombrable. 3. Satisfait le second axiome de dénombrabilité (D2), si la topologie de S est à base dénombrable. Tout espace métrique satisfait D1. Un espace métrique satisfait D2 si et seulement si il est séparable. Tout espace qui satisfait D2 est séparable. La réciproque est fausse : voir R, avec la topologie engendrée par les {[a, b[, a, b R}. 1.4 Treillis des topologies. 1.4.1 Comparaison des topologies. Définition 1.4.1 (Topologie plus fine.) Soient deux topologies τ 1, et τ 2 sur un ensemble X. On dit que τ 2 est plus fine que τ 1, si tout ouvert de τ 1 est aussi un ouvert pour τ 2. C est à dire, si τ 1 τ 2. Remarque 1.4.2 Deux topologies τ 1 et τ 2 ne sont pas obligatoirement comparables. La topologie la plus fine sur un ensemble est la topologie discrète (dans laquelle toute partie de X est un ouvert.) La 6

topologie la moins fine est la topologie grossière (qui ne contient que deux ouverts, X et φ.) On reviendra plus en détail sur ces notions par la suite. Définition 1.4.3 (Treillis des topologies.) Le treillis des topologies sur un ensemble X est la famille partiellement ordonnée des topologies de X. Dans ce treillis, deux topologies τ 1 et τ 2 admettent toujours un plus petit majorant, qui est la plus petite topologie contenant à la fois τ 1, et τ 2. Si X est un ensemble fini, ce treillis s explicite facilement (voir exercices.) 1.5 Suites généralisées. Dans un espace métrique X, l adhérence d une partie A, de X, peut se décrire comme l ensemble des limites des suites convergentes de points de A. Cela reste vrai, plus généralement, si l espace X satisfait l axiome D1. Dans le cas général, les suites ne sont plus suffisantes (voir exercices.) On utilise alors des suites généralisées, ou nets. La différence essentielle avec les suites étant que l ensemble des indices de la suite n est plus supposé dénombrable, ni totalement ordonné. Un ordre partiel reste cependant indispensable. Définition 1.5.1 [Ordre partiel.] Soit I un ensemble. Un ordre (partiel) sur I est la donnée d un sous ensemble G, de I I, satisfaisant les conditions suivantes : Pour tous i, i 1, i 2, éléments de I : 1. Transitivité : si (i 1, i 2 ) G, et (i 2, i 3 ) G, alors : (i 1, i 3 ) G 2. Reflexivité : pour tout i I, (i, i) G. 3. Antisymétrie : si (i 1, i 2 ) G, et (i 2, i 1 ) G, alors i 1 = i 2. L ensemble G est appelé un graphe. On considére le plus souvent la relation sur I, associée au graphe G. On note cette relation, avec i 1 i 2 (i 1, i 2 ) G. Définition 1.5.2 [Ordre filtrant croissant.] Soit (I, ) un ensemble partiellement ordonné. On dit que l ordre est filtrant croissant si pour toute paire (i 1, i 2 ), d éléments de I, il existe une élément i, de I, tel que i 1 i, et i 1 i. On dit que i est un majorant de {i 1, i 2 } Définition 1.5.3 [Nets] Soit X un espace topologique. Un net (ou suite généralisée) dans X est la donnée d un couple (x, I), dans lequel I est un ensemble muni d un ordre filtrant croissant, et x est une application de I dns X. On notera souvent x i l élément x(i), et (x i ) i I le net x. Définition 1.5.4 [Sous-net (définition simplifiée).] Soit (x i ) i I un net dans X. Un sous-net de (x i ) i I, est un net (y j ) j J dans X, dans lequel J I, avec l ordre hérité de I, et tel que pour tout i I, il existe j J, avec j i. On remarque que si I est l ensemble des entiers naturels, avec l ordre usuel, ces définitions coincident avec les définitions de suites et de sous-suites. Définition 1.5.5 [Convergence.] Un net (x i ) i I dans un espace topologique X converge vers un point x X, si quel que soit le voisinage V x, de x, il existe i 0 I, tel que, pour tout i, avec i 0 i, x i V x. Un point x X est appelé point d accumulation (ou valeur d adhérence) d un net (x i ) i I, si, quel que soit le voisinage V x, de x, et quel que soit i 0 I, il existe i I, avec i 0 i, tel que x i V x. C est à dire, s il existe un sous-net de (x i ) i I, convergeant vers x. Proposition 1.5.6 Soient X un espace topologique. Soit A une partie de X. Un point x est adhérent à A si et seulement si il existe un net dans A, convergeant vers x. 7

Démonstration: Supposons d abord que x est adhérent à A. Soit B x une base de voisinages en x. Soit V B x, un voisinage de x. Alors V contient (au moins) un point de A que l on notera a V. On ordonne B x par inclusion inverse. (C est à dire : V 1 V 2 V 2 V 1.) Le net (a V ) V Bx converge vers x. La réciproque est évidente. 8

Rappels - Exercices Exercice 1 Sur X = [0, 1[ R, on considére τ = {[0, α[, 0 < α 1} {φ}. Vérifier que τ est une topologie sur X. Décrire les fermés de (X, τ). Soit I = [a, b] X. Décrire l intérieur, l adhérence et la frontiére de I. X est-il un espace de Hausdorff?, un espace T 1? Exercice 2 Soit R = {(x, 0)/x R} R 2 la droite réelle, considérée comme le sous ensemble du plan, constituée des points dont l ordonnée est nulle. On définit X = R {a}, avec a = (0, 1), a R 2. On munit X de la topologie τ, dont les ouverts sont les parties de X qui sont contenues dans R, ou sont le complémentaire d un ensemble dénombrable : τ = {O P(X)/O R, ou : A dénombrable : O = X A} Montrer que a est dans l adhérence de R, mais qu aucune suite de points de R ne converge vers a. Quelles sont les suite de X qui admettent a comme valeur d adhérence? Quelle est la topologie induite par X sur R? Exercice 3 Une partie K, d un espace vectoriel E est dite convexe si quels que soient a 1 et a 2, éléments de K, et quels que soient les réels positifs λ 1, λ 2, avec λ 1 + λ 2 = 1, λ 1 a 1 + λ 2 a 2 K. Montrer l équivalence des propriétés suivantes : 1) K est convexe. 2) Pour tout ensembles fini {a 1, a 2,... a n } K, et pour toute famille finie {λ 1, λ 2,... λ n } de réels positifs, telle que n i=1 λ i = 1, on a : n i=1 λ ia i K. (On appelle ce type de some une combinaison convexe des a i.) Exercice 4 Trouver toutes les topologies d un ensemble à deux éléments (il en existe 4). Faire le treillis de ces topologies. Exercice 5 Soit X un ensemble ordonné. On définit, pour x X, les sous ensembles [x, ) = {y X/y x}, et (, x] = {y X, y x}. Les ensembles suivants de parties de X : A d = {[x, ), x X}, et : A g = {(, x], x X}, engendrent des topologies sur X notées τ d et τ g, et appelées respectivement topologie droite et topologie gauche. Montrer les assertions suivantes : 1) Les ensembles A d, et A g forment une base de τ d et τ g. 2) Pour les topologies τ d et τ g, toute intersection d ouverts est un ouvert. 3) Pour la topologie droite {x} = (, x]. Pour la topologie gauche {x} = [x, ). 4) Pour ces deux topologies, toute partie non vide finie possède un point isolé. 5) Si, pour τ d, la partie X est sans point isolé, alors tout ouvert est infini (de même pour τ g ). 6) Sup(τ d, τ g ) = U, la topologie discrète. Exercice 6 Pour a > 0 et b, c R, soit D a,b,c = {(x, y) R R/y ax + b, et y ax + c}. On note D l ensemble des D a,b,c, avec a > 0 et b, c R. 1) Représenter graphiquement les ensembles D a,b,c. Montrer que si A, B D, alors A B φ, et x A B, C x D tel que x C x A B 2) En déduire que A B est réunion d éléments de D. 3) Soit τ l ensemble des réunions quelconques ou vides d éléments de D. Montrer que (R 2, τ) est un espace topologique de base D. 4) Pour cette topologie τ montrer que tout ouvert non vide est partout dense. 5) Déterminer l intérieur et l adhérence de : A = {(0, 0)}; B = {(x, y), x 2 + y 2 < 1}; B = {(x, y), x 2 + y 2 1}; S = {(x, y), x 2 + y 2 = 1}; C = {(x, y), y > 0}; D = {(x, y), x > 0}; 9

E = {(0, y), y > 0}; R {0}; {0} R; Z Z. 6) Trouver les topologies induites sur R {0} ; et {0} R par τ. 7) Soit D = D E, où E = {E a,b, a, b R}, et E a,b = {(a, y), y b} a) Montrer que D est base d une topologie τ sur R 2. b) Démontrer que τ est strictement plus forte que τ. c) Quelles sont les topologies induites par τ sur {0} R et R {0}? d) Trouver les points isolés pour τ et τ de B, B et S. e) Est-ce que τ possède la propriété 4)? f) Calculer l intérieur et l adhérence de D, pour τ. Exercice 7 Soit (X, d) un espace métrique, et soit P X une partie de X. Soit x un point de X. 1) Montrer l équivalence des assertions a) et b) ci dessous : a) x est un point adhérent à P. b) Il existe une suite de points de P qui converge vers X. 2) En déduire que la topologie définie à l exercice 2 n est pas métrisable. Exercice 8 On reprend l espace X, de l exercice 2. Soit f : X {0, 1}, définie par f(x) = 0, si x R, et f(a) = 1. Montrer que f est séquentiellement continue, mais non continue sur X. (On dit qu une application f est séquentiellement continue sur X, si, pour tout x X, et pour toute suite (x n ) n N, convergeant vers x, dans X, la suite (f(x n )) n N converge vers f(x).) Exercice 9 Soit (X, τ) un espace topologique. On dit qu une partie A X est rare (ou nulle part dense) si A est d intérieur vide. Une réunion au plus dénombrable de parties rares est dite maigre. 1) Montrer que si A est rare, toute partie de A est rare. 2) Montrer que toute réunion dénombrable de parties maigres est maigre. 3) Montrer l équivalence de ii), et iii), et que i) implique ii) ci dessous : i) Toute partie maigre est rare. ii) Toute réunion dénombrable de fermés rares est d intérieur vide. iii) Toute intersection dénombrable d ouverts denses est dense. (Un espace qui satisfait ces propriétés est appelé espace de Baire.) 4) On munit R de la topologie τ, engendrée par les parties de R, dont le complémentaire est au plus dénombrable ; (R, τ) est il un espace de Baire? 5) Même question pour R muni de la topologie droite τ d ( ayant pour base les intervalles [x, + [). 10

Chapitre 2 Produits d espaces topologiques 2.1 Topologie produit. Définition 2.1.1 [Application ouverte, application fermée.] Soient X et Y deux espaces topologiques. Une application f : X Y est dite dite ouverte (resp.fermée) si l image par f d un ouvert (resp. d un fermé) de X est un ouvert (resp. un fermé) de Y. Définition 2.1.2 [Espace produit.] Soit (X i ) i I une famille d espaces topologiques (pouvant être finie, dénombrable ou non dénombrable). L espace produit X = i I X i est le produit cartésien des espaces X i, muni de la topologie engendrée par les ouverts élémentaires : O = i I O i, pour lesquels chaque O i est un ouvert de X i, et O i = X i, sauf pour un nombre fini d indices. Ces ouverts élémentaires constituent une base de la topologie produit. Note 2.1.3 Dans tout ce qui suit, nous supposerons que l espace produit X n est pas vide (i.e., aucun des X i est vide.) L exclusion de cas trivial permettra d alléger l énoncé des propositions et théorèmes. La topologie produit est donc constituée des réunions quelconques d ouverts élémentaires. Les ouverts élémentaires sont une base de la topologie produit, car i I O i i I U i = i I O i U i, pour tout couple ( i I O i, i I U i) d ouverts élémentaires. Notation 2.1.4 Un élément x, du produit X = i I X i, est une application x : I i I X i, telle que, pour tout i, élément de I, x(i) X i. On notera également l application x comme la famille (x i ) i I. Définition 2.1.5 (Projection canonique.) On note, pour chaque i I, la projection canonique p i : X X i, définie par p i ((x j ) j I ) = x i (ou encore : p i (x) = x(i).) Proposition 2.1.6 Chacune des projections p i est une application surjective, continue et ouverte. Démonstration: La surjectivité est évidente. Soit p i une projection. Soit O i un ouvert de X i. On a p 1 i (O i ) = O i j i X j, qui est un ouvert élémentaire ; p i est donc continue. Soit U = j I U j un ouvert élementaire. p i (U) = U i est un ouvert de X i ; p i est donc une application ouverte. Note 2.1.7 Les projections p i ne sont cependant en général pas fermées. Penser par exemple à R 2, avec le fermé F = {n>0, entier} [n, n + 1/2] [0, 1 1/n]. Proposition 2.1.8 La topologie produit est la topologie la moins fine sur X rendant toutes les projections p i continues. 11

Démonstration: On a déjà vu que les projections sont continues, si X est muni de la topologie produit. Soit τ une topologie sur X rendant chacune des projections p i continues. Soit O i un ouvert de X i. Alors p 1 i (O i ) = O i j i X j est un ouvert de τ. Les ouverts élémentaires sont des intersections finies de ce type d ouverts, donc appartiennent aussi à τ. Il en résulte que τ contitent la topologie produit. Note 2.1.9 On dit que la topologie produit est la topologie initiale de la famille d application (p i ) i I. Les topologies initiales seront étudiées de maniére plus systématique dans la suite du cours. 2.2 Propriétés de la topologie produit. Proposition 2.2.1 Si chacun des espaces X i est un espace de Hausdorff, le produit X = i X i est également un espace de Hausdorff. Inversement, si X est un espace séparé (au sens de Hausdorff), chacun des X i est également un espace de Hausdorff. Démonstration: Soient x et y deux points distincts de X. Il existe un indice i I, tel que x i y i. Soient O x et O y deux ouverts disjoints de X i, contenant respectivement x i et y i. Alors p 1 i (O x ), et p 1 i (O y ) sont deux ouverts disjoints de X, contenant respectivement x et y. Proposition 2.2.2 Soit (x ν ) ν J un net dans l espace produit X. Alors (x ν ) ν J converge vers x X si et seulement si pour chaque projection p i : X X i, le net (p i (x ν )) ν J converge vers vers p i (x). Démonstration: Il est clair que si (x ν ) ν J converge vers x, alors (p i (x ν )) ν J converge vers p i (x), par continuité des applications projections. Réciproquement, soit U x un ouvert élémentaire de X, contenant x. Ecrivons U x = j {j 1,j 2,...,j n} O j i/ {j 1,j 2,...,j n} X i. Il existe ν 0, tel que pour tout ν > ν 0, et pour tout j {j 1, j 2,..., j n }, p j (x ν ) O j. Alors, pour tout ν > ν 0, x n u U x. Théorème 2.2.3 [Théorème de Tychonov.] Soit X = i I X i. Alors X est compact si chacun des espaces X i est compact. si et seulement Démonstration: Si X est compact, chacun des X i = p i (X) est compact, car les projections p i sont continues. Inversement, supposons que chacun des X i est compact. La réciproque peut se démontrer de maniére simple pour un produit dénombrable d espaces métriques (voir les exercices.) La démonstration dans le cas général sera donnée dans un chapitre ultérireur, consacré aux propriétés et caractérisations des espaces compacts. Théorème 2.2.4 Si chacun des X i est connexe, l espace produit X = i I X i est également connexe. Démonstration: Voir le chapitre sur les espaces connexes. Note 2.2.5 On rappelle qu un espace topologique Y est dit compact si, de tout recouvrement ouvert de Y, on peut extraire un sous-recouvrement fini. Si Y est un espace métrique, alors Y est compact si et seulement si de toute suite de points de Y, on peut extraire une sous suite convergente dans Y (théorème de Bolzano-Weierstrass). Un espace topologique Y est dit connexe si les seules parties à la fois ouvertes et fermées de Y sont l ensemble vide, et Y lui-même. On étudiera cette notion de connexité en détail dans un chapitre ultérieur. 12

Produits d espaces topologiques - Exercices Exercice 10 Soit (X, d) un espace métrique. Montrer que d, définie par d(x, y) = d(x, y)/(1 + d(x, y)) est également une distance sur X, et que les topologies définies par d et d sont identiques. Exercice 11 Soit (X n, d n ) n N une suite d espaces métriques. On suppose que pour tout entier n, et pour tout couple (x n, y n ), d éléments de X n, on a d n (x n, y n ) < 1. 1. Soit X le produit des (X n ) n N. Montrer que d(x, y) = n N 2 n d n (x n, y n ) définit une distance sur X. 2. Montrer que chacune des projection p n : X X n est une application continue, lorsque X est muni de la distance d. 3. En déduire que la topologie de X, associée à la distance d, est plus fine que la topologie produit sur X. 4. Soient x X, et B(x, ɛ) une boule ouverte, centrée en x de rayon ɛ > 0 relative à la distance d. Montrer qu il existe un voisinage V, de x, pour la topologie produit, tel que V B(x, ɛ). 5. En déduire que la topologie produit sur X est identique à la topologie associée à la distance d. Exercice 12 Soit X un produit dénombrable d espaces métriques (X(l), d l ) l N. On suppose que chacun des (X(l)) l N est compact. Soit (x n ) n N une suite dans X. 1. Construire par récurrence, pour chaque q N, une suite x (q), telle que x (0) est une sous-suite de la suite (x n ) n N x (q) est une sous-suite de x (q 1), pour tout q 1 p q (x (q) ) est une suite de Cauchy dans X(q). 2. Soit (y q ) q N une suite construite en choisissant, pour chaque q, un point, x n(q) arbitrairement, dans la suite x (q), de telle sorte que : n(q + 1) > n(q). Montrer que la suite (y q ) q N est une sous-suite convergente de la suite (x n ) n N, dans X. 3. En déduire que X est compact. Exercice 13 Soit X = j J X J. Soient Y un espace topologique, et f : Y X une application. 1. Montrer que si f est continue, chacune des applications p j f : Y X j est continue. 2. Inversement, on suppose maintenant que chacune des p j f : Y X j est continue. Soient y Y, et O un ouvert élémentaire de X contenant f(y). Montrer que, pour chaque j J, il existe un voisinage ouvert U j, de y dans Y, tel que p j f(u j ) p j (O) 3. Montrer que l on peut choisir les U j de la question précédente, de telle sorte que leur intersection soit encore un ouvert de Y. 4. En déduire que, sous l hypothése de la question (2), f est continue. Exercice 14 Soit f : R R R, définie par f(x, y) = xy/(x 2 + y 2 ), si x 2 + y 2 0, et f(0, 0) = 0. Montrer que pour tout x R, l application partielle f x : y f(x, y) est continue, de R, dans R. Montrer de même que, pour y R fixé, l application partielle f y : x f(x, y) est continue, mais que f n est pas continue, de R 2, dans R Exercice 15 Montrer que les applications de R dans R : x sin(x), et x x 2 ne sont pas ouvertes. Exercice 16 1. Donner un exemple d application f : R R, qui soit continue, ouverte, et fermée. 2. Donner un exemple d application f : R R, qui soit continue et ouverte, mais non fermée. 3. Donner un exemple d application f : R R, qui soit continue et fermée, mais non ouverte. 4. Donner un exemple d application f : R R, qui soit continue, mais ne soit ni ouverte, ni fermée. 13

Exercice 17 Soit f : X Y une application entre deux espaces topologiques. 1. Montrer que f est ouverte si et seulement si, pour toute partie P X, f(p ) (f(p )). 2. Montrer que f est fermée si et seulement si, pour toute partie P X, f(p ) f(p ). Exercice 18 Soit X = i I X i. 1. On se donne, pour chaque i I, un fermé F i X i. Montrer que i I F i est un fermé de X. 2. Soit (A i X i ) i I une famille de parties des X i. Soit x X. Montrer que si, pour tout i I, p i (x) est adhérent à A i, alors, x est adhérent à i I A i. 3. En déduire que pour toute famille (A i X i ) i I de parties des X i, on a i I A i = i I A i. Exercice 19 Soit X = X 1 X 2... X n un produit fini d espaces topologiques. Montrer pour toute famille {A 1 X 1, A 2 X 2,... A n X n } de parties des X i, ( n i=1 A i) = n i=1 (A i). Cela reste-t-il vrai pour un produit infini? Exercice 20 [Exercice de révisions.] Soit f : X Y une application entre deux espaces topologiques. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : 1. Pour tout ouvert O, de Y, f 1 (O) est un ouvert de X. 2. Pour tout fermé F, de Y, f 1 (F ) est un fermé de X. 3. f est continue en chaque point x X (i.e : pour tout voisinage ouvert, O f(x), fr f(x) dans Y, il existe un voisinage ouvert O x, de x dans X, tel que f(o x ) O f(x). Une application satisfaisant ces conditions est dite continue sur X. 14

Chapitre 3 Espaces compacts. 3.1 Nets et filtres. Définition 3.1.1 [Eventuellement et finalement.] 1. Soient (x i ) i I un net dans un ensemble X, et A une partie de X. On dira que le net (x i ) i est fréquemment dans A si, quel que soit i 0 I, il existe i 1 I, i 0 i 1, tel que x i1 A. 2. Soient (x i ) i I un net dans un ensemble X, et A une partie de X. On dira que le net (x i ) i est finalement dans A s il xiste i 0 I, tel que pour tout i I, avec i 0 i, x i A. Note 3.1.2 On peut réecrire avec cette terminologie les notions de convergence déjà vues au chapitre précédent : Soit (x i ) i I un net dans X. Le net (x i ) i I converge vers x X si et seulement si (x i ) i I est finalement dans chacun des voisinages ouverts de x. Un point x X est un point d accumulation du net (x i ) i I, si et seulement si (x i ) i I est fréquemment dans chacun des voisinages ouverts de x. Lemme 3.1.3 Soit x : I X un net dans X. Soient A et B deux parties de X. Alors x est fréquemment dans A B si et seulement si x est fréquemment dans A, ou fréquemment dans B. Démonstration: Supposons que x est fréquemment dans A B, et que x n est fréquemment ni dans A, ni dans B. Il existe i A et i B, éléments de I, tels que pour tout i, élément de I, on ait : [i A i x i / A], et [i B i x i / B]. Il suffit alors de considérer un majorant de {i A, i B }, pour voir que x n est pas fréquemment dans A B. La réciproque est évidente. Définition 3.1.4 [Sous-net : définition généralisée.] Soit x : I X un net dans un espace X. Un sous-net de (x i ) i I est la donnée d un net y : M X, et d une application h : M I, telle que y = x h (i.e : (y m = x h(m) ) m M ), et telle que pour tout i, élément de I, il existe m M, tel que i h(m ), pour chacun des m M, majorant m Dans la plupart des cas, l application h pourra être choisie monotone croissante. Il suffira alors de vérifier que pour chaque i I, il existe m M, tel que i h(m). On est alors ramenés à la définition simplifiée, donnée au chapitre précédent. Définition 3.1.5 [Net universel.] Un net (x i ) i I, dans un espace X est dit universel si, pour toute partie A X, le net (x i ) i I est finalement dans A, ou est finalement dans X A. On remarque qu un net universel converge vers chacun de ses points d accumulation. Si X est un espace de Hausdorff, un net universel posséde au plus un point d accumulation, qui est alors sa limite. 15

Lemme 3.1.6 [Lemme technique.] Soit B une famille de parties de X, qui est filtrante croissante pour l inclusion inverse. Soit (x i ) i I un net qui est fréquemment dans chacune des parties B B. Il existe un sous-net (x h(µ) ) µ M, de (x i ) i I, qui soit finalement dans chacun des b B. Démonstration: Soit M = {(i, B) I B, /x i B}. On munit M de l ordre produit sur I B, c est à dire : (i 1, B 1 ) (i 2, B 2 ) si et seulement si i 1 i 2, et B 2 B 1. On vérifie que M, muni de cete ordre, est filtrant croissant. On définit h : M I, par h(i, B) = i, alors le net (x h(µ) ) µ M est finalement dans chacune des parties B B. Définition 3.1.7 [Filtre pour un net.] On appelle filtre pour le net (x i ) i I, une famille F, de parties non vides de X, telle que : 1. Si F 1 F, et F 2 F, alors F 1 F 2 F. (En particulier, F est une famille de parties de X qui est filtrante croissante pour l inclusion inverse.) 2. Si F F, et si G est une partie de X contenant F, alors G F. 3. Le net (x i ) i I est fréquemment dans chacun des F F. Les filtres pour un net (x i ) i I sont ordonnés partiellement par l inclusion. On dira que F 1 F 2, ou encore, que F 2 est plus fin que F 1, si F 1 F 2. L ensemble des filtres de (x i ) i I est non vide ({X} est toujours un filtre de (x i ) i I ). De plus, tout famille de filtres {F j, j J}, totalement ordonnée par l inclusion admet un majorant (la réunion des filtres {F j, j J} est encore un filtre pour (x i ) i I.) Par le lemme de Zorn, il existe donc un filtre maximal F, pour (x i ) i I. Lemme 3.1.8 [Lemme technique.] Tout net (x i ) i I admet un sous-net universel. Démonstration: Soit F un filtre maximal pour (x i ) i I. Fixons une partie Y X. Soient E F et F F. Le net (x i ) i I est fréquemment dans E F, car E F F. Comme E F = (E F Y ) (E (F Y )), le net (x i ) i I, est fréquemment dans E F Y, ou fréquemment dans E (F Y ). A fortiori, le net (x i ) i I est fréquemment dans dans E Y, ou fréquemment dans F Y. Il en résulte que (x i ) i I est fréquemment dans E Y, pour tout E F, ou fréquemment dans F Y, pour tout F F. Dans le premier cas, F = {G X/E Y G, E F} est un filtre pour (x i ) i I, contenant F. Par maximalité, on a F = F, et donc Y F. Dans le second cas (en remplaçant E Y par F Y ), on conclut de la même maniére que F Y F, ce qui implique X Y F. Appliquant le lemme technique précédent, avec B = F, on obtient un sous net (x µ ) µ de (x i ) i I, qui est finalement dans Y (premier cas), ou finalement dans X Y (second cas.) 3.2 Espaces compacts. Théorème 3.2.1 Soit (X, τ) un espace topologique. les conditions suivantes sont équivalentes : 1. Tout recouvrement ouvert de X contient un sous-recouvrememnt fini de X. 2. Si est une famille de fermés de X, telle que toute intersection finie d éléments de soit non vide, alors l intersection de tous les éléments de est non vide. 3. Tout net dans X posséde un point d accumulation. 4. Tout net universel dans X est convergent. 5. Tout net dans X admet un sous-net convergent. Démonstration: (1) (2). Soit comme dans (2), et supposons que F F = φ. Alors {X F, F } est un recouvrement ouvert de X. Par (1), on peut en extraire un sous recouvrement fini {X F 1, X F 2,..., X F n } de X. Alors, F 1 F 2... F n = φ, ce qui est une contradiction. 16

(2) (3). Soit (x i ) i I un net dans X. On définit, pour chaque i I, F i = {x j, i j}. Alors = {F i, i I} vérifie les conditions de (2). Soit x i I F i. Soit O x un voisinage ouvert x. Comme x est adhérent à chacun des sous ensembles {x j, i j}, lorsque i parcourt I, O x rencontre chacun de ces sous ensembles. Le net (x i ) i I est donc fréquemment dans O x. Comme cela est vrai quel que soit le voisinage ouvert de x, x est un point d accumulation de (x i ) i I. (3) (4). Un net universel converge vers chacun de ses points d accumulation. (4) (5). Utiliser le lemme technique 3.1.8. (5) (3). Evident. (3) (1). Soit σ un recouvrement ouvert de X, dont on ne peut extraire aucun sous-recouvrement fini. Soit λ un sous ensemble fini de σ. Il existe un point x λ X, n appartenant pas à {O λ}. On ordonne les sous ensembles finis λ σ par l inclusion (λ 1 λ 2 si tout ouvert appartenant à λ 1 appartient aussi à λ 2.) Cet ordre est filtrant croissant. Utilisant l axiome du choix, on peut donc former le net (x λ ) λ, indéxé par les parties finies λ, de σ. Par (3) (qui est une conséquence de (1)), (x λ ) λ possède un point d accumulation x X. Soit U σ. Soit O x un voisinage ouvert quelconque de x. Il existe λ 0, partie finie de σ, telle que x λ O x, pour toute partie finie, λ σ, contenant λ 0. En particulier, x λ0 {U} O x. A fortiori, X U O x φ. Ceci étant vrai pour tout voisinage ouvert O x, de x, on en déduit x X U (car X U est fermé.) En répétant l argument pour chacun des U σ, on conclut que x n appartient à aucun des ouverts de σ, et que σ ne recouvre donc pas X, ce qui est contradictoire. Définition 3.2.2 [Espace compact.] Un espace X satisfaisant les condition du théorème 3.2.1 sera dit compact. Note 3.2.3 On inclut parfois, dans la définition d un espace compact, la condition que X soit séparé (au sens de Hausdorff). Il existe cependant des exemples importants d espaces qui sont compacts (au sens ci-dessus), mais non séparés. De plus, l axiome de séparation ne simplifie pas substanttiellement les démonstrations. On adoptera donc la terminologie distinguant espace compact et espace compact séparé. 3.3 Propriétés des espaces compacts. Lemme 3.3.1 Soit X un espace compact. Soit C X, un fermé de X. Alors C est compact (pour la topologie héritée de X.) Démonstration: C est une conséquence de 3.2.1, (2). Comme C est fermé dans X, les fermés de C pour la topologie relative sont également des fermés de X. Proposition 3.3.2 Tout espace compact séparé est un espace T 3 (i.e. Hausdorff régulier.) Démonstration: Soit (X, τ) un espace compact séparé. Soit C un fermé dans X, soit x X C. Comme X est un espace de Hausdorff, on peut trouver, pour chacun des y C, deux voisinages ouverts U y, de y, et V y, de x, dont l intersection est vide. Comme C est compact, il existe un ensemble fini {y 1, y 2..., y n } de points de C, tel que {U y1, U y2..., U yn } recouvre C. Il suffit alors de prendre O C = {U y1, U y2..., U yn }, et O x = {V y1, V y2..., V yn }. Proposition 3.3.3 Si X est Hausdorff, et si C X est compact, alors, pour tout x X C, il existe deux ouverts disjoints O x, et O C, contenant respectivement x et C Démonstration: Identique à la démonstration précédente. Corollaire 3.3.4 Soit X un espace de Hausdorff. Soit C X. Si C est compact, alors C est fermé. 17

Démonstration: Soit x X, x C. La proposition précédente montre que x n est pas dans l adhérence de C. Corollaire 3.3.5 Soit X un espace compact séparé. Soit C X. Alors C est compact si et seulement si C est fermé. Démonstration: Utiliser 3.3.1 et 3.3.4 Théorème 3.3.6 Tout espace de Hausdorff compact est un espace normal. Démonstration: Soient C 1 et C 2 deux fermés disjoints dans X. Alors C 1 et C 2 sont compacts. Comme X est T 3, on peut trouver, pour chaque x C 2, deux ouverts disjoints O x et U x, contenant x, et C1 respectivement. Du recouvrement ouvert {O x, x C 2 }, on extrait un sous recouvrement fini {O x1, O x2,..., O xn }. On prend alors O C2 = {O x1, O x2,..., O xn }, et O C1 = {U x1, U x2,..., U xn }. Proposition 3.3.7 Soit f : X Y une application continue entre deux espaces topologiques X et Y. Si X est compact, f(x) est compact. Démonstration: Soit σ un recouvrement ouvert de f(x). Alors f 1 (σ) est un recouvrement ouvert de X. On extrait de f 1 (σ) un sous-recouvrement fini {O 1, O 2,..., O n } de X. Alors {f(o 1 ), f(o 2 ),..., f(o n )} est un recouvrement fini de f(x), extrait de σ. Théorème 3.3.8 [Théorème de Tychonov.] Soit X = j J X j. Si chacun des X j est compact, X est compact. Démonstration: Soit x un net universel dans X. Pour chaque j J, notons p j : X X j la projection. Alors, p j (x) est un net universel dans X j. Comme X j est compact, p j (x) est convergent. Il en résulte que x est convergent. 18

Espaces compacts - Exercices Exercice 21 On note K 3 l ensemble des réels de la forme x = n 1 α n3 n, avec, pour tout n, α n {0, 2}. La topologie de K 3 est la topologie héritée de la droite réelle (celle de la distance.) Montrer que K 3 est d intérieur vide, et que K 3 ne contient pas de point isolé. L espace K 3 s appelle l espace de Cantor. Exercice 22 Pour chaque entier n 0, on définit K 3 (n) par récurrence : K 3 (0) = [0, 1]. K 3 (n+1) est obtenu de K 3 (n) en enlevant le tiers central ouvert de chacun des intervalles composant K 3 (n). On note I(3) l intersection de tous les K 3 (n), n parcourant N. Montrer que I(3) est compact, non vide. Exercice 23 On reprend les espaces construits dans les exercices 21 et 22. Montrer que K 3 et I(3) sont les mêmes sous-ensembles de l intervalle [0, 1]. Exercice 24 Soit f : X Y une bijection continue entre deux espaces topologiques X et Y. Montrer que si X est compact, et Y est séparé, f est automatiquement une application ouverte. En déduire que la bijection réciproque f 1 est également continue. (Une bijection continue dont la réciproque est également continue s appelle un homéomorphisme.) Exercice 25 Soit f : X Y une application entre deux espaces de Hausdorff compacts. Montrer que si le graphe de f est fermé dans X Y, alors f est continue. Réciproque? Exercice 26 Montrer que si f : X Y est une bijection entre deux espaces compacts séparés, alors f est continue si et seulement si f est ouverte. Exercice 27 Montrer que K 3 est homéomorphe à n N E n, avec E n = {0, 2}, pour tout n. Exercice 28 [Plus difficile.] 1. Soit x K 3. Montrer qu il existe une base de voisinages de x, constituée de parties à la fois ouvertes et fermées de K 3. 2. Soit x K 3. Soit O x un ouvert de K 3 contenant x. Montrer que O x est la réunion de deux ouverts disjoints de K 3 Exercice 29 Soit X un espace métrique compact. Soit R un recouvrement ouvert de X. Montrer qu il existe un ɛ > 0 tel que toute boule ouverte de rayon ɛ soit contenue dans l un au moins des ouverts du recouvrement. (Le sup des ɛ satisfaisant cette condition est appelée le nombre de Lebesgue du recouvrement R.) Exercice 30 Soit X = ([ 1, 0] {0}) ([0, 1] {1}) [ 1, 1] {0, 1}. Vérifier que l application p : X R +, définie par p((x 1, i 1 ), (x 2, i 2 )) = x 1 x 2 satisfait l inégalité triangulaire. (On dit que p est une pseudo-distance sur X.) En déduire que l intersection de deux boules ouvertes (au sens de la pseudo-distance p) est une réunion de boules ouvertes (toujours au sens de la pseudo-distance.) En déduire que ces boules ouvertes constituent une base d une topologie τ, sur X. Montrer que la suite ((1/n, 1)) n>0 converge vers (0, 0), et vers (0, 1). Essayer de trouver une variante de cet exercice dans lequel X est T 1. Exercice 31 Soit (x i ) i I un net dans un espace X. Soit A X une partie de X. Montrer que le net (x i ) i I ne peut pas à la fois être finalement dans A, et finalement dans X A. 19

Exercice 32 1-Soit X un espace de Hausdorff. Soit (x i ) i I un net dans X, covergeant vers un point x 0 X. Soit y un point de X, distinct de x 0. Montrer qu il existe un voisinage ouvert, O y, de y, tel que (x i ) i I soit finalement dans X O y. En déduire qu un net universel dans X admet au plus un point d accumulation. 2-Réciproque : montrer que si X n est pas un espace de Hausdorff, on peut construire un net dans X convergeant vers deux points distincts x, et y, de X. (Choisir une base B x, de voisinages ouverts de x, une base B y, de voisinages ouverts de y. Indexer le net par les couples (O x B x, O y B y ), avec l ordre produit sur B x B y.) Exercice 33 [Lemme d Urysohn.] 1. Soit X un espace normal. Soient F O X deux parties de X, avec F fermée et O ouverte. Montrer qu il existe un ouvert U X, tel que F U U O. 2. Construire par induction une suite (U r ) r, indéxée par {r = m/2 n, avec : n 1, m < 2 n }, telle que pour tous r < r, on ait : F U r U r U r U r O. 3. Soit f : X [0, 1], définie par : f(x) = 1, si x / r U r, et f(x) = inf{r/x U r }, si x r U r. Soit t [0, 1]. Expliciter f 1 ([0, t[) et f 1 ([0, t]), pour t > 0. En déduire f 1 (]t, 1]), pour t < 1. Montrer que f est continue. 4. En déduire que si X est normal, et si E et F sont deux fermés disjoints de X, il existe une fonction f : X [0, 1], qui est continue, vaut 0 sur F, et vaut 1 sur E. (C est le lemme d Urysohn.) Exercice 34 [Tiré du livre de Georges Skandalis.] Soit X un espace topologique normal. Soit Φ = C(X, [0, 1]) l espace des applications continues, de X dans [0, 1]. On note Y = [0, 1] Φ, l ensemble des applications de Φ dans [0, 1], muni de la topologie produit. 1. Montrer que l application x X T x Y, avec T x (f) = f(x), pour toute fonction f Φ est continue. 2. Montrer que x T x est injective. (Utiliser le lemme d Urysohn.) 3. En déduire que pour tout espace compact séparé K, il existe un ensemble Φ, tel que K soit homéomorphe à une partie fermée de [0, 1] Φ Exercice 35 [Commentaires pour les curieux.] Soit K un compact de R. On dit que K est autosimilaire s il existe des similitudes de R, de rapport inférieur strictement à 1, s 1, s 2,..., s n, telles que K = n j=1 s j(k). Appelons r j le rapport de chaque similitude s j. L application D : R + R +, définie par D(t) = 1 i n rt i est strictement décroissante. Il existe donc un unique d H R, tel que D(d H ) = 1. On dit alors que la dimension fractale de K est plus petite ou égale à d H. Montrer que K 3 est auto-similaire, avec deux similitudes de rapport 1/3. En déduire que la dimension fractale de K 3 est ln(2)/ln(3). (Cette dimension fractale est ici un cas particulier de la dimension de Hausdorff, qui est en général difficile à calculer.) Soit E un espace métrisable séparable. On dit que la dimension topologique de E est 0 si E admet une base topologique constituée de parties à la fois ouvertes et fermées. On dit que E est de dimension au plus n si E admet une base topologique d ouverts dont la frontiére est de dimension au plus n 1. L espace K 3 est donc de dimension topologique 0. La définition originale d un fractal proposée par Benoit Mandelbrojt, est un espace métrique compact, dont la dimension de Hausdorff est strictement supérieure à la dimension topologique. L espace de Cantor K 3 satisfait bien cette condition. 20

Chapitre 4 Topologies initiales. 4.1 Définition et exemples. Définition 4.1.1 Soit (X i ) i I une famille d espaces topologiques, soit X un ensemble. On suppose donnée, pour chaque i I, une application f i : X X i. La topologie initiale de (X, (f i ) i I ), est la topologie la moins fine sur X, qui rende continues chacune des applications appartenant à {f i, i I}. Exemples 4.1.2 1. Soit X = i I X i. Notons, pour chaque i I, p i : X X i la projection. La topologie produit sur X est la topologie initiale de la famille (X, p i ) i I. 2. Soit X un espace topologique. Soit A X une partie de X. Notons j : A X l inclusion. La topologie induite par X sur A est la topologie initiale de (A, j). On appelle également cette topologie la topologie de A, héritée de X, ou encore, la trace (sur A) de la topologie de X. 3. Soient X un ensemble, et Y un espace topologique. Notons Y X l ensemble de toutes les applications de X dans Y. Pour chaque point x X, on définit l application d évaluation : ev x : Y X Y, par ev x (f) = f(x). La topologie de la convergence simple sur Y X est la topologie initiale de (Y X, (ev x ) x X ). 4. Soit B un espace de Banach. Soit B le dual topologique de B. On appelle topologie faible de B la topologie initiale de (B, B ). Cette topologie est aussi appelée topologie vague de B, et notée σ(b, B ). Cette topologie est en général strictement moins fine que la topologie de la norme sur B, et non métrisable (elle lui est identique si et seulement si B est de dimension finie). 5. Soit B un espace de Banach. Le dual topologique B, de B (muni de la norme usuelle sur les formes linéaires continues), est également un espace de Banach. Chaque x, élement de B définit une forme linéaire continue, notée aussi x, sur B, par x(ϕ) = ϕ(x), pour tout ϕ B. La topologie faible de B est la topologie initiale de (B, B). Elle est également notée σ(b, B). Cette topologie n est pas la topologie faible, σ(b, B ) de l espace de Banach B. Les topologies faible et faible de B coincident seulement si B est un espace réflexif (i.e, quand l inclusion de B dans son bidual est une isométrie surjective). 4.2 Propriétés. Proposition 4.2.1 La topologie initiale de (X, (f i ) i I ) est la topologie engendrée par les ensembles {f 1 i (O i ) : i I, O i ouvert de X i }. Démonstration: Appelons τ la topologie initiale de (X, (f i ) i I ). Soit i I. Comme τ contient les préimages de chacun des ouverts de X i, l application f i est bien continue, lorsque X est muni de la topologie τ. Réciproquement, si τ est une topologie sur X, rendant continue chacune des applications f i, τ contient les préimages par f i de chacun des ouverts de X i, et contient donc τ. 21

Proposition 4.2.2 Soient Y un espace topologique, et τ la topologie initiale d une famille (X, (f i ) i I ). Une application f : Y (X, τ) est continue si et seulement si chacune des compositions f i f : Y X i est continue. Démonstration: Supposons d abord f continue. Alors pour tout i I, f i f est continue. Inversement, supposons que chacune des applications f i f est continue. Soient y Y, et O un voisinage ouvert de f(y) dans X. On suppose que O = f 1 i 1 (O i1 ) f 1 i 2 (O i2 )... f 1 i n (O in ), avec O ij voisinage ouvert de f ij f(y), dans X ij, pour tout 1 j n. Comme chacune des f i f est continue, on peut trouver des voisinages ouverts U 1, U 2,... U n, de y dans Y, tels que f ij f(u j ) O ij, pour tout 1 j n. Alors, avec U = U 1 U 2... U n, on a : f(u) O. 22

Topologies initiales - Exercices Exercice 36 Soit H un espace hilbertien de dimension infinie ; notons (x y) le produit scalaire des vecteurs x et y, dans H. La topologie faible de H est la topologie initiale des applications (semi normes) : {p ξ, ξ H}, avec p ξ (x) = (x ξ). 1. Montrer que l adhérence faible de la sphére unité de H contient la boule unité fermée de H. (Elle est en fait égale à la boule unité fermée de H, d aprés le théorème de Hahn-Banach.) 2. Montrer que l intérieur faible de la boule unité ouverte de H est vide. 3. Montrer que tout ouvert faible contenant l origine dans H contient également une intersection finie d hyperplans (Un hyperplan est un sous espace de H, de codimension 1.) 4. (Question facultative.) Montrer qu il n existe aucun voisinage faible, faiblement borné de l origine dans H. 5. (Question facultative.) En déduire que la topologie faible de H n est pas normable (elle n est pas non plus métrisable). Ces résultats se généralisent sans difficulté à la topologie faible des espaces de Banach de dimension infinie en général. Exercice 37 Soit (α n ) n N une suite dans l 1, qui converge faiblement vers 0, c est à dire, pour la topologie σ(l 1, l ). On va montrer que (α n ) n N converge vers 0 fortement (i.e en. 1 ). (On dit que l 1 posséde la propriété de Schur.) On notera <.,. > le crochet de dualité, c est à dire : < x, y >= n x(n)y(n), pour tout x l, et tout y l 1. 1. Montrer que p N, α n (p) 0, n. 2. Soit X la boule unité fermée de l. On munit X de la topologie de la convergence simple (i.e, la topologie produit). Montrer que X est compacte. Montrer que cette topologie peut être décrite par la distance d(x, y) = i=0 x i y i /(1 + 2 i x i y i ). Il s ensuit que X, comme tout espace compact métrisable, est un espace de Baire (voir en analyse fonctionnelle). 3. Soit ɛ > 0. Pour n N, posons : Montrer que X est la réunion des F n. F n = {x X : k n, < x, α k > ɛ} 4. Montrer que si α l 1, et si (x n ) n converge vers x dans X, alors (α(x n )) n converge vers α(x). En déduire que chacun des F n est fermé (dans la topologie produit.) 5. Déduire de (2) et (4), que l un (au moins) des F n est d intérieur non vide (toujours pour la topologie de X). [Indication : la propriété de Baire implique que X n est pas une réunion dénombrable de fermés d intérieur vide.] 6. Soit N, tel que F N soit d intérieur non vide. Montrer qu il existe un entier M N, et δ > 0, tels que, quels que soit x X, ( i {1, 2... M}, x(i) δ) x F N. (Remarquer pour cela que F N est convexe et symétrique ; qu en est-il de son intérieur? Quel point remarquable contient-il?) 7. En choisissant, pour chaque k N, x(i) = 0, i M, et x(i) = phase(α k (i)), i > N, conclure que la suite ( α n 1 ) n converge vers 0. 23

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Chapitre 5 Topologie finales. 5.1 Définition et exemple. Définition 5.1.1 Soient X un ensemble, (Y i ) i I une famille d espaces topologiques. On suppose donnée, pour chaque i I, une application f i : Y i X. La topologie finale de (X, (f i ) i I ) est la topologie la plus fine de X, rendant continue chacune des applications appartenant à {f i, i I}. Exemple 5.1.2 Soit (Y i ) i I une famille d espaces topologiques. La réunion disjointe i I Y i est l ensemble des couples (y, i), avec i I, y Y i. Pour chacun des i I, on définit l inclusion j i : Y i i I Y i, définie par j i (y) = (y, i), pour tout y, élément de Y i. La topologie de i I Y i est la topologie finale de ( i I Y i, (j i ) i I ). C est la topologie engendrée par les couples (O i, i), avec i I, et O i ouvert de Y i. Proposition 5.1.3 Soient X, (f i ) i I, (Y i ) i I comme dans la définition 5.1.2. La topologie finale de (X, (f i ) i I ) est constiutée des parties O X, telles que pour tout i I, f 1 i (O) soit un ouvert de Y i. Démonstration: Notons τ = {O X / pour tout i élément de I, f 1 i (O) est un ouvert de Y i }. Il est facile de vérifier que τ est bien une topologie de X, et que τ rend continue chacune des applications f i. Soit τ une topologie de X, strictement plus fine que τ. Il existe un τ ouvert U, qui n appartient pas à τ. Il existe donc i I, tel que f 1 i (U) ne soit pas un ouvert de Y i, ce qui montre que f i n est pas τ continue. Corollaire 5.1.4 Soient X, (f i ) i I, (Y i ) i I comme dans la définition 5.1.2. Soit Z un espace topologique. Une application h : X Z est continue pour la topologie finale de (X, (f i ) i I ), si et seulement si chacune des compositions h f i : Y i Z est continue. Démonstration: Si h est continue, chacune des compositions h f i est évidemment continue. Réciproquement, supposons chacune des compositions h f i continue. Soit O un ouvert de Z. Alors, pour tout i I, (h f i ) 1 (O) est un ouvert de Y i, ce qui montre que h 1 (O) est un ouvert de X. 5.2 Relations d équivalence. Définition 5.2.1 1. Soit X un ensemble. On appelle relation d équivalence sur X, toute relation R, sur X, qui est reflexive (xrx, x X), symétrique (x 1 R x 2 x 2 R x 1, x 1, x 2 X), et transitive ([x 1 R x 2 et x 2 R x 3 ] x 1 R x 3, x 1, x 2, x 3 X). Le graphe de R est le sous espace de X X, constitué des couples (x 1, x 2 ), tels que x 1 R x 2. On le note G(R). La topologie de G(R) est la topologie héritée de la topologie produit de X X. 25

2. Soit x X. On appelle classe d équivalence de x (pour la relation R), l ensemble [x] R = {x X /x R x }. On note X/R l ensemble des classes d équivalence des éléments de X. 3. On note π R : X X/R l application quotient, définie par π R (x) = [x] R. L espace quotient X/R est muni de la topologie finale de (X/R, π R ). Si aucune confusion n est possible, on allégera les notations, en omettant l indice R. Ainsi, π R sera noté simplement π, etc... Exemples 5.2.2 1) Espace vectoriel quotient. Si X est un espace vectoriel, et Y X est un sous espace vectoriel de X, on définit la relation d équivalence sur X : x 1 R x 2 x 1 x 2 Y. L espace quotient X/R est un espace vectoriel. La classe d un vecteur x X est également notée [x] = x + Y. Si X est un espace vectoriel topologique, X/R est également un espace vectoriel topologique. Il est séparé si et seulement si Y est fermé. Si X est normé, et si Y est fermé, on définit la norme quotient sur X/R, par [x] = Inf{ x /x X, x x Y }. La topologie de X/R est alors identique à la toplogie définie par la norme quotient. 2) Cône et suspension de X. Soit X un espace topologique. Sur X [0, 1], on définit la relation d équivalence : (x 1, t)r(x 2, t ) si et seulement si ([x 1 = x 2, et t = t ], ou [t = t = 1].) L espace quotient X [0, 1]/R est appelé le cône de X. On le note en général CX. On définit de la même maniére, la suspension SX, de X, au moyen de la relation (x 1, t)r(x 2, t ) si et seulement si ([x 1 = x 2, et t = t ], ou [t = t {0, 1}].) On verra plus tard que la sphére S n est homéomorphe à la suspension de la sphére S n 1, pour tout entier n 1. 3) Espaces projectifs réels. Soit X = R n {0}, avec n entier strictement positif. On définit sur X la relation x 1 Rx 2 si et seulement si x 1 et x 2 sont colinéaires. L espace quotient X/R est appelé l espace projectif réel, et noté P n 1 (R). C est un espace séparé et compact. Il est clair que P n 1 (R) est compact, car c est l image, par l application π R, de {x R n /1/2 x 1}, qui est un compact de R n. Si [a] R et [b] R sont deux points distincts de P n 1 (R), on note a la droite vectorielle contenant a, et b la droite vectorielle contenant b. On considére deux cônes ouverts ouverts disjoints, C a et C b, de sommet l origine, d axes respectifs a et b. Alors π R (C a ) et π R (C b ) sont deux voisinages ouverts disjoints de a et b dans P n 1 (R). 5.3 Saturé d une partie d un ensemble. Définition 5.3.1 Soit X un ensemble, muni d une relation d équivalence R. Soit E X un sousensemble de X. On appelle saturé de E le sous ensemble : [E] R = π 1 R (π R(E)). On dit que E est saturé (pour R) si E = [E] R. Le saturé de E est donc l ensemble des éléments de X, qui sont équivalents à l un au moins des éléments de E. La réunion et l intersection de deux ensembles saturés est saturé. Le complémentaire d un ensemble saturé est saturé. (Le vérifier!) Proposition 5.3.2 Soir X un espace topologique, muni d un relation d équvalence R. La topologie de X/R est constituée des images π R (O), des ouverts saturés O, de X. Démonstration: Appelons τ l ensembles des images π R (O), des ouverts saturés O, de X. Soit U un ouvert de X/R, alors π 1 R (U) est un ouvert saturé de X, ce qui montre que τ est plus fine que τ (car U = π R (π 1 R (U)), et que π R est τ continue. Donc τ = τ. 26

Topologies finales - Exercices Exercice 38 (Préparatoire du suivant) Soient f 1, f 2 : X Y, deux applications continues, avec Y séparé. Montrer que F = {(x 1, x 2 ) X X /f 1 (x 1 ) = f 2 (x 2 )} est un fermé de X X. En déduire que si une application f : X Y est continue, et si Y est séparé, le graphe de f est fermé. Exercice 39 Soient X un espace topologique séparé, et R une relation d équivalence sur X. On notera le quotient Y = X/R, et π : X Y la projection canonique. Montrer que : 1. Si Y est séparé, le graphe de R est fermé. (Utiliser l exercice précédent.) 2. Si π est ouverte, et si le graphe de R est fermé, alors Y est séparé. 3. La projection π est ouverte si et seulement si, quel que soit O, ouvert de X, le saturé de O est ouvert. 4. La projection π est fermée si et seulement si, quel que soit F, fermé de X, le saturé de F est fermé. Exercice 40 Soient X un espace topologique séparé, et R une relation d équivalence sur X. On notera le quotient Y = X/R, et π : X Y la projection canonique. Montrer que si l une des classes d équivalence de R est dense (et X), alors la topologie de Y n est pas séparée. Montrer que si toutes les classes d équivalence sont denses, la topologie de Y est la topologie grossiére. En déduire que R/Q est un espace grossier. Exercice 41 Soient I 1, et I 2 deux copies de l intervalle [0, 1]. Soit X = I 1 I 2 la réunion disjointe de ces deux copies de l intervalle unité. Sur X, on considére la relation R, définie par (t I 1 )R(t I 2 ), t > 0. Expliciter G(R). Montrer que l espace quotient X/R n est pas séparé. Exercice 42 Soit R la relation d équivalence sur R, définie par xry si et seulement si x y est entier, pour x, y quelconques dans R. Montrer que l espace quotient est homéomorphe au cercle S 1. Exercice 43 Soient X un espace normé et Y X un sous espace vectoriel fermé de X. Montrer que X/Y est un espace normé, avec norme x + Y = inf{ x, x x + Y }. Que se passe-t-il si Y n est pas fermé? (Penser par exemple à X = l 2 (N) et à Y le sous espace de X constitué des suites à support fini.) 27

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Chapitre 6 Espaces connexes. 6.1 Définition et propriétés. Proposition 6.1.1 Soit X un espace topologique. Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. Les seules parties à la fois ouvertes et fermées de X sont l ensemble vide et X lui-même. 2. L espace X n est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints. 3. L espace X n est pas la réunion de deux fermés non vides disjoints. Démonstration: (1 2.) Soient A et B deux ouverts disjoints de X, tels que X = A B. Alors A et B sont également fermés, ce qui, d aprés 1, implique A = φ et B = X, ou bien, A = X, et B = φ. (2 3.) Soient A et B deux parties disjointes de X, telles que X = A B. Alors A et B sont fermées si et seulement si A et B sont ouvertes. (3 1.) Soit P une partie de X, non vide, et différente de X. Si P est un ouvert fermé de X, il en est de même de son complémentaire, qui est par ailleurs non vide. Définition 6.1.2 Un espace topologique X est dit connexe s il satisfait les conditions équivalentes cidessus. Une partie C X est dite connexe, si C, muni de la topologie héritée de X, est un espace topologique connexe. Proposition 6.1.3 Les connexes de R sont les intervalles. Démonstration: (Tout intervalle de R est connexe.) Soit I un intervalle dans R, d extrémités a < b. (On ne considére pas le cas trivial I = φ.) L intervalle I est une réunion croissante d intervalles compacts K j = [x j, y j ]. Supposons I = P 1 P 2, avec P 1 et P 2 deux ouverts fermés disjoints, non vides, de I. Alors K j = (K j P 1 ) (K j P 2 ) est la réunion de deux parties compactes disjointes de I. Si j est assez grand, aucune de ces deux parties n est vide. On peut alors trouver a j (K j P 1 ), et b j (K j P 2 ), tels que a j b j = Min{ x y, /x (K j P 1 ), y (K j P 2 )}. Alors l intervalle ouvert ]a j, b j [ ne rencontre pas (K j P 1 ) (K j P 2 ) = K j, ce qui contredit le fait que K soit un intervalle. (Tout connexe de R est un intervalle.) Soit C un connexe non vide de R. On pose a = Inf{x C}, et b = Sup{x C}. Soit x 0 R, avec a < x 0 < b. Si x 0 n est pas un point de C, on a : C = (], x 0 [ C) (]x 0, [ C), chacune des ces deux parties étant ouvertes et non vides. Elles sont de plus disjointes. Ceci montre que C n est pas connexe. Théorème 6.1.4 Soit X un espace topologique. Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. X est connexe. 2. Toute application continue de X dans un espace discret est constante. 3. Toute application continue de X dans l espace discret {0, 1} est constante. 29

Démonstration: (1 2.) Soit f : X Y une application continue de X dans un espace discret Y. Soient y 0, y 1 f(x), quelconques. Posons A = f 1 (y 0 ), B = f 1 (y 1 ), C = f 1 (Y {y 0, y 1 }). Supposons y 0 y 1, alors X = (A B) C est une partition de X en deux ouverts disjoints, et non vides, ce qui implique que X n est pas connexe. (2 1.) Supposons X non connexe, X = A B avec A et B ouverts, non vides et disjoints. La fonction indicatrice de A est une application de X dans {0, 1}, qui est continue, et non constante. Ceci montre également 3 1. Enfin, 2 3 est évident. Corollaire 6.1.5 Si C est une partie connexe de X, alors C est également une partie connexe de X. Démonstration: Evident d aprés la proposition précédente. Noter que la réciproque est en général fausse. Corollaire 6.1.6 Soit (C i ) i I une famille de parties connexes d un espace X, deux à deux non disjointes. Alors i I C i est une partie connexe de X. Démonstration: Posons C = i I C i, et soit f : C {0, 1} une application continue. Choisissons i 0 I. Alors f est constante sur C i0. Soit i I, quelconque. Alors f est constante sur C i. Comme C i0 C i est non vide, f prend la même (unique) valeur sur C i0 et sur C i, ce qui montre que f est constante sur C. Corollaire 6.1.7 Soit g : X Y une application continue entre deux espaces topologiques. Si X est connexe, g(x) est connexe. Démonstration: Soit f : g(x) {0, 1} une application continue. Comme X est connexe, et f est continue, g f est constante, g est donc constante. Proposition 6.1.8 Soit f : [a, b] X une application continue de l intervalle [a, b] R, dans un espace topologique X. Soit A une partie de X, telle que f(a) A, et f(b) A. Alors il existe t [a, b], tel que f(t) F r(a). Démonstration: On a : X = A (X A) F r(a). Si f 1 (F r(a)) = φ, alors, [a, b] = f 1 (A ) f 1 (X A), est une partition de l intervalle [a, b] en deux ouverts non vides disjoints, ce qui est impossible. Proposition 6.1.9 Un produit fini d espaces connexes est connexe. Démonstration: En raisonnant par récurrence, il suffit de montrer que le produit de deux espaces connexes est connexe. Soient X et Y deux espaces connexes, soient (x, y) X Y, et (x, y ) X Y. Soit f, une application continue, de X Y, dans un espace discret. On a f(x, y) = f(x, y ) = f(x, y ). La première égalité vient du fait que {x} Y est connexe, la seconde vient du fait que X {y } est connexe. Théorème 6.1.10 Un produit quelconque d espaces connexes est connexe. Le démonstration fait l objet d un exercice. 6.2 Composantes connexes d un espace topologique. Définition 6.2.1 Soient X un espace topologique, et x X. On appelle composante connexe de x dans X, la plus grande partie connexe de X contenat x. On note C x la composante connexe de x. 30

Remarque 6.2.2 C x est la réunion de toutes les parties connexes de X qui contiennent x. Proposition 6.2.3 La composante connexe C x, de x X est un fermé de X. Démonstration: Comme l adhérence de C x est connexe, elle est contenue dans C x. Proposition 6.2.4 Soient x, y deux points d un espace topologique X. Alors y C x C y = C x. Démonstration: Si y C x, alors C x C y φ, et donc, C x C y est connexe. Par maximalité de C x, on a C x = C x C y, par maximalité de C y, on a C y = C x C y. La réciproque est triviale. Corollaire 6.2.5 Soit X un espace topologique. La relation R, définie sur X par xry y C x est une relation d équivalence. Démonstration: Le vérifier! 31

Espaces connexes - Exercices Exercice 44 Soit (X i ) i I une famille d espaces connexes. On note X = i I X l espace produit. 1. Soit a = (a i ) i I un point de X. Montrer que : est dense dans X. A = {x = (x i ) i I X/x i = a i pour tous, sauf un nombre fini d indices i I} 2. Pour chaque j I, on notera p j : X X j la projection canonique. Soit i I ; on considére l application J j : X j X, définie par p i (J j (y)) = a i, si i j, et p j (J j (y)) = y, pour y X j. Montrer que J j est continue. 3. Soit f : X {0, 1}, une application continue. Déduire de (ii) que les applications partielles f j = f J j sont constantes. 4. Soient x et y deux points de A. Soit N N, tel que x i = y i = a i, pour toutes, sauf au plus N valeurs de l indice i. Généraliser le raisonnement de (2) et (3) à N coordonnées pour montrer que f(x) = f(y) 5. Conclure que f est une application constante, et que X est connexe. Exercice 45 On dit qu un espace topologique X est totalement discontinu si, x X, C x = {x}. Montrer que Q R, et que l espace de Cantor {0, 1} N sont totalement discontinus, mais non discrets. En déduire que les composantes connexes ne sont pas toujours des ouverts. Exercice 46 Montrer que dans un espace métrique connexe, et non métriquement borné, toute sphére est non vide. Exercice 47 Montrer que si f : [0, 1] [0, 1] est une fonction continue, il existe au moins un t [0, 1], tel que f(t) = t (utiliser le théorème du passage de frontiére) Exercice 48 Soit X un espace métrique compact. Montrer l équivalence des propriétés suivantes : 1. X est connexe 2. Pour tout ɛ > 0, et pour tous x, y X, il existe une ɛ- chaîne liant x et y (c est à dire une suite finie (x 0, x 1,... x n ) de points de X, avec x 0 = x, x n = y et d(x i, x i+1 ) < ɛ pour 0 i < n Exercice 49 Soit X un espace connexe. Soit (O i ) i I un recouvrement ouvert de X. Montrer que pour tous x, y X, il existe O i1, O i2,... O in, tels que x O i1, y O in, et O ij O ij+1 φ, pour 1 j < n 1 Exercice 50 Soient A et B deux fermés d un espace topologique X. Montrer que si A B et A B sont connexes, alors A et B sont connexes. Exercice 51 On note N, l espace N, auquel on a ajouté deux points ω, et ω. Si n N, on note [n, ω] = {m N, m n} {ω}, et [n, ω ] = {m N, m n} {ω }. On munit N de la topologie engendrée par les singletons {n}, les [n, ω], et les [n, ω ], n N. Montrer que N est un espace totalement discontinu, non séparé (donc aussi non discret). Exercice 52 Un espace topologique X est localement connexe si pour tout point x X, et tout voisinage V de x, il existe un voisinage connexe, U, de x, contenu dans V. 1. Montrer qu un espace vectoriel normé est localement connexe. 2. Montrer que tout ouvert d un espace topologique localement connexe est localement connexe. 3. Montrer que les composantes connexes d un espace localement connexe sont ouvertes. 32

Exercice 53 Soit X un espace localement connexe séparé. On note R la relation sur X, définie par xry si et seulement si C x = C y. Montrer que la projection canonique π : X X/R est une application ouverte. En déduire que X/R est un espace discret. Exercice 54 Soit U un ouvert de R n. Montrer que les composantes connexes de U sont des ouverts de R n. En déduire que les composantes de U rencontrent Q n, et que l ensemble des composantes connexes de U est dénombrable. 33

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Chapitre 7 Connexité par arcs. 7.1 Définitions. Définition 7.1.1 Un chemin dans un espace topologique X est une application continue f : [a, b] X, où [a, b] est un intervalle compact quelconque de R. On note (f(a), f(b)) les extrémités de f Définition 7.1.2 Un espace topologique X est dit connexe par arcs si pour tout x X, et pour tout y X, il existe un chemin dans X, d extrémités (x, y). Proposition 7.1.3 Tout espace connexe par arcs est connexe. Démonstration: On choisit arbitrairement un point x 0 X. Pour tout x X, on choisit un chemin f x, d extrémités (x 0, x). Alors X = x X f x est un espace connexe, d aprés 6.1.6 Proposition 7.1.4 Tout produit d espaces connexes par arcs est connexe par arcs. Démonstration: Soit X = i I X i, avec X i connexe par arcs, pour tout i I. Soient x = (x i ) i I, et y = (y i ) i I deux points de X. Pour tout i I, notons f i un chemin dans X i, d extrémités (x i, y i ). En reparamétrant éventuellement f i, on peut supposer que chacun des f i est définie sur [0, 1]. Soit f : [0, 1] X, définie par f(t) = (f i (t)) i I. Notons p i : X X i les projections canoniques. On a p i f = f i, pour tout i I ; f est donc bien un chemin dans X. On a f(0) = x, et f(1) = y. Proposition 7.1.5 Soit g : X Y une application continue entre deux espaces topologiques. Si X est connexe par arcs, g(x) est connexe par arcs. Démonstration: Soient y 1 = f(x 1 ), et y 2 = f(x 2 ) deux points de Y. Soit f, un chemin dans X, d extrémités (x 1, x 2 ), alors g f est un chemin dans y d extrémités (y 1, y 2 ). Corollaire 7.1.6 Les espaces projectifs réels P n (R) sont connexes par arcs. Démonstration: Car R n est connexe par arcs, et la projection π : R n+1 P n (R) est continue. Exemples 7.1.7 -Soit G le graphe de la fonction x sin(1/x), définie sur l ensemble des réels strictement positifs ; G est connexe, sont adhérence G, dans R 2 est également connexe. Cependant G n est pas connexe par arcs. -Soit E un espace vectoriel normé. Une partie C E est dite étoilée, si il existe un point x 0 C, tel que, pour tout x C, le segment {tx 0 + (1 t)x /0 t 1} est contenue dans C. Tout partie étoilée de E est connexe par arcs. 35

Connexité par arcs - Exercices Exercice 55 Un espace topologique X est localement connexe par arcs si pour tout point x X, et tout voisinage V de x, il existe un voisinage connexe par arcs, U, de x, contenu dans V. 1. Montrer qu un espace vectoriel normé est localement connexe par arcs 2. Montrer qu un espace topologique localement connexe par arcs est localement connexe. 3. Montrer que les composantes connexes d un espace topologique localement connexe par arcs sont ouvertes, et connexes par arcs. Exercice 56 Soit A l adhérence du graphe de la fonction f(x) = sin(π/2x), x > 0. 1. Soient X = A R ]1/2, 1], Y = A R ] 3/4, 3/4[, Z = A R [ 1, 1/2[. Montrer que Y est une réunion infinie de segments ouverts, deux a deux disjoints. 2. Supposons donné h : [0, 1] A un chemin, avec h(0) = (1, 1), h(1) = (0, 0) Montrer, en utilisant (i), que h permet de construire un recouvrement ouvert de [ 1, 1], dont on ne peut extraire aucun sous recouvrement fini. 3. En déduire que A n est pas connexe par arcs. 4. Montrer que A n est pas localement connexe. Exercice 57 Dans R 2, on considére A = {(x, y) R 2 /x / Q, y 0} {(x, y) R 2 /x Q, y < 0} Montrer que A est connexe, non localement connexe, et non connexe par arcs. 36

Chapitre 8 Groupe fondamental. 8.1 Homotopie et chemins. Définition 8.1.1 Soit X un espace topologique. On appellera arc dans X tout chemin c : [0, 1] X. On notera C([0, 1], X) l ensemble des arcs dans X. Si x, y X, on notera C([0, 1], X; (x, y)) l ensemble des arcs d extrémités (x, y) dans X. Si x X, on notera C x l arc constant C x (t) = x, t [0, 1]. Définition 8.1.2 tout t [0, 1]. 1. Soit c un arc dans X. On notera c l arc inverse, défini par c(t) = c(1 t), pour 2. Soit c un arc d extrémités (x, y) dans X. Soit c un arc d extrémités (y, z) dans X. On définit la composition cc : [0, 1] X par cc (t) = c(2t), si t [0, 1/2], et cc (t) = c (2t 1), si t [1/2, 1]. Alors, cc est un arc dans X, d extrémités (x, z). Définition 8.1.3 Deux arcs c et c dans X, ayant même origine x et même extrémité y sont dits homotopes s il existe une application continue H : [0, 1] [0, 1] X, telle que 1. H(t, 0) = c(t), et H(t, 1) = c (t), pour tout t [0, 1]. 2. H(0, s) = x, et H(1, s) = y, pour tout s [0, 1]. On dira alors que l application H est une homotopie d arcs, d extrémités (c, c ). Proposition 8.1.4 Soient x et y deux points de X. On définit sur C([0, 1], X; (x, y)) la relation crc si et seulement si c et c sont homotopes. La relation R est une relation d équivalence sur C([0, 1], x; (x, y)). Démonstration: i) Réfléxivité : Il suffit de prendre l homotopie constante H(t, s) = c(t), pour tout (t, s) [0, 1] [0, 1]. ii) Symétrie : Une homotopie H d extrémités (c, c ) étant donnée, il suffit de considérer l homotopie inverse H(t, s) = H(t, 1 s). iii) Transitivité : On compose les homotopies en utilisant la remarque précedente, et la formule donnée dans la définition 8.1.2 Définition 8.1.5 Soient x, y X. On appelle classe d homotopie d arcs d extrémités (x, y) toute classe d équivalence de la relation R. On note π x,y (X) l ensemble de ces classes d homotopie. 8.2 Le groupoïde fondamental de X. Un groupoïde est un ensemble muni d une loi de composition associative, partiellement définie, d éléments neutres (appelés unités), et d un inverse pour chacun de ses éléments. On va vérifier que les opérations sur les arcs définies au paragraphe précédent passent au quotient par la relation R, et définissent un groupoïde, appelé le groupoïde fondamental de X, ou encore, le groupoïde de Poincaré de X. 37

Proposition 8.2.1 Soient c, γ C([0, 1], X; (x, y)). Soient c, γ C([0, 1], X; (y, z)). On suppose que c et γ (resp. c et γ ) sont homotopes. Alors : 1. Les chemins inverses c et γ sont homotopes. 2. Les compositions cc et γγ sont homotopes. Démonstration: 1- Soit F une homotopie d extrémités (c, γ). Alors F : (t, s) F (1 t, s) est une homotopie d extrémités (c, γ). 2- Soient F une homotopie d extrémités (c, γ), et G une homotopie d extrémités (c, γ ). On définit H(t, s) = F (2t, s), si t [0, 1/2], et H(t, s) = G(2t 1, s), si t [1/2, 1]. Alors H est une homotopie d extrémités (cc, γγ ). Proposition 8.2.2 Soient c 1 C([0, 1], X; (x, y)), c 2 C([0, 1], X; (y, z)), c 3 C([0, 1], X; (z, t)). Alors les compositions (c 1 c 2 )c 3 et c 1 (c 2 c 3 ) sont homotopes. Démonstration: Considérer l homotopie H(t, s) = c 1 (4t/1 + s) si t [0, (1 + s)/4], H(t, s) = c 2 (4t s 1), si t [(1 + s)/4, (2 + s)/4], H(t, s) = c 3 ((4t s 2)/(2 s)), si t [(2 + s)/4, 1]. Proposition 8.2.3 Soit c C([0, 1], X; (x, y)). Les arcs c x c et cc y sont homotopes à c. Démonstration: Considérer H(t, s) = c(2t/(1+s)), si t [0, (1+s)/2], H(t, s) = y si t [(1+s)/2, 1]. C est une homotopie d extrémités (cc y, c). Pour c x c, la démonstration est analogue. Proposition 8.2.4 Soit c un arc d extrémités (x, y) dans X. La composition cc (resp. cc) est homotope à C x (resp. C y ). Démonstration: Considérer l homotopie H(t, s) = x, si t [0, s/2], H(t, s) = c(2t s), si t [s/2, 1/2], H(t, s) = c(2 2t s), si t [1/2, (2 s)/2], H(t, s) = x, si t [(2 s)/2, 1]. Alors H est une homotopie d extrémités cc (obtenu pour s = 0), et C x (obtenu pour s = 1). On obtient le résultat pour cc en remplaçant c par c. On peut résumer les résultats de ce paragraphe dans le théorème : Théorème 8.2.5 Soit X un espace topologique. Pour tout couple (x, y), de points de X, soit π x,y (X) l ensemble des classes d homotopie d arcs dans X. Soit π = {x,y X} π x,y(x). Alors π est un groupoïde. Chaque point x X correspond à une unité de π (la classe de l arc constant en x). Si x, y sont deux points de X, les flèches de source x, d image y sont les classes d homotopie d arcs d extrémités (x, y). La composition de deux flèches se définit en choisissant un représentant de chacune d entre elles, et en prenant la classe d homotopie de la composée de ces deux arcs. C est une loi associative, partiellement définie. Enfin, l inverse d une flèche est la classe d homotopie de l inverse (au sens des arcs) de l un quelconque de ses représentants. 8.3 Groupe fondamental et lacets. Définition 8.3.1 Soient X un espace topologique, et x X. On appelle lacet en x tout arc dans X d extrémités (x, x). D aprés le théorème précédent, l ensemble π x,x (X), des classes d homotopie de lacets en x est un groupe, que l on note π 1 (X, x). Proposition 8.3.2 Soit c un arc dns X, d extrémités (x, y). Alors l application α c π 1 (X, y), définie par α c ([γ]) = [cγc] est un isomorphisme de groupes. : π 1 (X, x) 38

Démonstration: Comme α c = α 1 c, α c est une bijection. Si γ 1, γ 2 sont deux lacets en x, on calcule : α c ([γ 1 ])α c ([γ 2 ]) = [cγ 1 c][cγ 2 c] = [(cγ 1 c)(cγ 2 c)] = [cγ 1 (cc)γ 2 c] = [cγ 1 C x γ 2 c] = [cγ 1 γ 2 c] = α c ([γ 1 γ 2 ]). Corollaire 8.3.3 Si deux points, x, y sont dans la même composante connexe par arcs de X, on a π 1 (X, x) π 1 (X, y). Définition 8.3.4 Soit x X. Le groupe π 1 (X, x) est appelé le groupe fondamental, ou groupe de Poincaré, de l espace pointé (X, x). Si X est connexe par arcs, le groupe fondamental de (X, x) ne dépend pas, à isomorphisme prés, du choix du point-base x. On note alors ce groupe π 1 (X), on l appelle simplement le groupe fondamental de X. Définition 8.3.5 Un espace topologique est dit simplement connexe, si X est connexe par arcs, et si π 1 (X) = {0} (i.e : tout lacet dans X est homotope à un lacet constant). Exemples 8.3.6 R n est simplement connexe. Le cercle S 1 est connexe par arcs, mais non simplement connexe. Le tore T n n est pas simplement connexe. les sphéres S n sont simplement connexes, si n > 1. 8.4 Propriétés fonctorielles du groupe fondamental. Théorème 8.4.1 Soient (X, x), et (Y, y) deux espaces topologiques pointés. Soit f : (X, x) (Y, y) une application continue entre espaces pointés. (C est à dire : f est une application continue, de X dans Y, telle que f(x) = y.) Alors f induit un morphisme de groupes f : π 1 (X, x) π 1 (Y, y), définie par f ([c]) = [f c]. Démonstration: Il faut vérifier que f est bien définie, et que f ([c 1 ][c 2 ]) = f ([c 1 ])f ([c 2 ]), pour tous lacets c 1, c 2 en x. Cette vérification de routine est laissée au lecteur. Remarque 8.4.2 On remarque que si f : (X, x) (Y, y), et g : (Y, y) (Z, z) sont deux applications continues entre espaces pointés, on a (g f) = g f. On résume parfois le théorème précédent et cette remarque en disant que π 1 est un foncteur, de la catégorie des espaces pointés dans la catégorie des groupes. Définition 8.4.3 Soient (X, x) et (Y, y) deux espaces topolgiques pointés. On dit que deux applications continues, f 1 : (X, x) (Y, y), et f 2 : (X, x) (Y, y) sont homotopes relativement à (x, y), s il existe une application continue H : X [0, 1] Y, telle que : 1. H(x, 0) = f 1 (x ), et H(x, 1) = f 2 (x ), pour tout x X. 2. H(x, s) = y, pour tout s [0, 1]. Si (X, x) = (Y, y), on dira simplement que f 1 et f 2 sont homotopes relativement à x. Proposition 8.4.4 Soient f 1 : (X, x) (Y, y), et f 2 : (X, x) (Y, y) deux applications continues entre espaces pointés. Si f 1 et f 2 sont homotopes relativement à (x, y), alors (f 1 ) = (f 2 ). Démonstration: Le vérifier. Corollaire 8.4.5 Soient (X, x) et (Y, y) deux espaces topolgiques pointés. On suppose qu il existe f : (X, x) (Y, y), et g : (Y, y) (X, x), continues, telles que f g est homotope à Id Y, relativement à y, et g f est homotope à Id X, relativement à x. Alors f est un isomorphisme, de π 1 (X, x) sur π 1 (Y, y), d inverse g. 39

8.5 Produits et rétractes. Proposition 8.5.1 Soient (X, x) et (Y, y) deux espace topologiques pointés. Soient p X et p Y, les projections de X Y sur X et Y respectivement. Alors l application (p X ) (p Y ), définie par (p X ) (p Y ) ([c]) = ([p X (c)], [p Y (c)]) est un isomorphisme, de π 1 (X Y, (x, y)) sur π 1 (X, x) π 1 (Y, y). Démonstration: i) (p X ) (p Y ) est surjectif : Si c 1 est un lacet en x, et c 2 est un lacet en y, alors c 1 c 2 est un lacet en (x, y), et p X p Y (c 1 c 2 ) = (c 1, c 2 ). ii) (p X ) (p Y ) est injectif : Soit c un lacet en (x, y). Si H 1 est une homotopie entre p X (c) et C x, et H 2 est une homotopie entre p Y (c) et C y, alors H 1 H 2 est une homotopie entre c et C x,y. Remarque 8.5.2 Notons i X : (X, x) (X Y, (x, y)) et i Y : (Y, y) (X Y, (x, y)) les inclusions canoniques. Alors l application ([c 1 ], [c 2 ]) (i X ) [c 1 ](i Y ) [c 2 ] est l inverse de (p X ) (p Y ). Corollaire 8.5.3 Si Y est simplement connexe, π 1 (X Y, (x, y)) π 1 (X, x). Corollaire 8.5.4 Si X et Y sont simplement connexes, X Y est simplement connexe. Définition 8.5.5 Soit X un espace topologique. Soit Y X un sous espace de X. On dit que Y est un rétracte de X s il existe une application continue r : X Y, telle que r(y) = y, pour tout y Y. Une telle application r est appelée une rétraction de X sur Y. Exemples 8.5.6 Tout point de X est un rétracte de X. Le disque unité fermé est un rétracte de R 2. L espace discret {0, 1} n est pas un rétracte de l intervalle unité. Définition 8.5.7 Un sous espace Y d un espace topologique X est appelé un rétracte par déformations de X, s il existe une rétraction r : X Y, qui est homotope à Id X, relativement à Y. C est à dire, s il existe une application continue H : X [0, 1] X telle que : 1. H(x, 0) = x et H(x, 1) = r(x), pour tout x X. 2. H(y, t) = y, pour tout y Y, et tout t [0, 1]. Exemples 8.5.8 La sphère S n 1 est un rétracte par déformation de R n {0}, pour tout entier n > 1. Le cercle S 1 {0} est un rétracte par déformation des cylindres S 1 [0, 1] et S 1 R. Proposition 8.5.9 Soit Y un sous espace de X. Soit y Y, un point choisi arbitrairement. Soit i : Y X l inclusion canonique. 1. Si Y est un rétracte de X, i : π 1 (Y, y) π 1 (X, y) est injective. 2. Si Y est un rétracte par déformation de X, i : π 1 (Y, y) π 1 (X, y) est bijective. Démonstration: 1- Soit R une rétraction de X sur Y. Comme r i = Id Y, (r i) = Id π1(y,y) = r i, ce qui montre que i est injective. 2- D aprés (1), il suffit de montrer que i est surjective. Soit c un lacet dans X, en y. Alors r c est un acet dans Y. Soit H une homotopie comme dans 8.5.7. Définissons H c(t, s) = H(c(t), s), pour tous t, s, élements de [0, 1]. On a H c(t, 0) = c(t), et H c(t, 1) = r c(t). 8.6 Calcul de π 1 (S 1 ). On notera p : R S 1 la projection p(t) = exp(2iπt), t R. On notera e = p(0). Si n est un entier naturel, on notera γ n le lacet sur S 1 : γ n (t) = exp(2iπnt), t [0, 1]. Proposition 8.6.1 Soit c : [0, 1] S 1, une application continue, telle que c(0) = e. Il existe un unique arc c dans R, tel que c(0) = 0, et p c = c. (Un tel chemin c est appelé un relèvement de c.) 40

Démonstration: 1- Unicité. Soient c 1 et c 2 deux relèvements de c. La fonction t c 1 (t) c 2 (t), est une fonction continue, sur l intervalle [0, 1], à valeurs entières. Elle est donc constante. Comme c 1 (0) = c 2 (0), on a c 1 = c 2. 2- Existence. Soit P = {t [0, 1]/c(t) = e}. On note C 0, C 1,... C n les composantes connexes de P. (Comme P est fermé, les composantes C 0, C 1,... C n sont des intervalles compacts. Elles sont de plus en nombre fini : dans le cas contraire, en choisissant un point x n dans chacune des composantes, on obtiendrait une suite des points dans [0, 1]. Quitte à extraire une sous-suite convergente, on peut supposer que la suite (x n ) n N est de Cauchy. On a donc à la fois : x n x n+1 0, quand n tend vers l infini, pour chaque n, c(x n ) = c(x n+1 ) = e, et un point y n [x n, x n+1 ], tel que c(y n ) = e 2iπ. Ceci est contradictoire, car c, étant continue sur un compact, est uniformément continue. On choisit une détermination du Log, avec une coupure en 2π. On a ainsi un homéomorphisme Log : S 1 [0, 2π[. Soit c un lacet de base e dans S 1. Supposons les composantes C 0, C 1,... C n numérotées de maniére croissante, suivant l ordre des points de [0, 1]. On définit m i = Min(C i ), et M i = Max(C i ). On pose l i = LimSup(Log(c(t))), t tendant vers m i par valeurs inférieures, L i = LimInf(Log(c(t))), t tendant vers M i par valeurs supérieures. Si m i > M i, on pose k i+1 = k i + 1. Si m i < M i, on pose k i+1 = k i 1. Soit t [0, 1]. Il existe i tel que Max(C i ) t Min(C i+1 ). On pose c(t) = Log(c(t)) + 2πk i. Proposition 8.6.2 Soit H : [0, 1] [0, 1] S 1 une application continue, telle que H(0, 0) = e. Il existe une unique application continue H : [0, 1] [0, 1] R, telle que H(0, 0) = 0, et p H = H. Démonstration: L unicité se démontre de la même manière que dans la proposition précédente. Pour l existence, on définit, pour chaque t [0, 1], c t (s) = H(t, s), s [0, 1]. On construit, comme dans la proposition précédente, le relévement c t : [0, 1] R. On définit H(t, s) = c t (s). Remarque 8.6.3 L espace R est un revêtement du cercle S 1, c est à dire : tout point du cercle S 1 admet un voisinage ouvert V, dont la préimage par p est homéomorphe au produit de V par un espace discret (ici Z). Les propositions précédentes sont des cas particuliers de théorèmes plus généraux sur les revêtements, qui ne seront pas abordées dans ce cours. Définition 8.6.4 Soit c : [0, 1] S 1 un lacet de base e (i.e c(0) = c(1) = e) dans S 1. Soit c l unique arc dans R relevant c. On appelle degré de c le nombre c(1). En particulier, le degré du lacet γ n est n. Proposition 8.6.5 Deux lacets c et γ, de base e, dans S 1 sont homotopes même degré. si et seulement si ils ont Démonstration: Si c et γ on même degré, les relévements c et γ on même extrémités dans R, et sont donc homotopes. (Faire une homotopie convexe entre c et γ.) En composant cette homotopie avec la projection p, on obtient une homotopie entre c et γ. Inversement, si c et γ sont homotopes, soit H : [0, 1] [0, 1] S 1 une homotopie de lacets d extrémités (c, γ). Soit H un relévement de H. Alors H(1, s) est un entier, pour tout s [0, 1]. Par continuité, H(1, s) est donc constante sur [0, 1]. Le degré de c est H(1, 0). Le degré de γ est H(1, 1). Théorème 8.6.6 On a : π 1 (S 1 ) = Z Démonstration: L identification se fait en associant à chaque lacet dans S 1 son degré. La proposition montre que cette application est injective. Elle est surjective car les lacets canoniques γ n existent, avec un degré arbitraire n. En fait, tout lacet dans S 1 est homotope à l un des lacets {γ n, n Z}. 41

8.7 Indice d un lacet dans R 2. Définition 8.7.1 Soit f une application continue, du cercle S 1 dans R 2. Soit x R 2 f(s 1 ). On définit ˆf x : S 1 S 1, par la formule : ˆf x (z) = [(f(z) x)/ f(z) x ][(f(e) x)/ f(e) x ] 1. Le premier facteur entre crochets est une normalisation de f, pour obtenir une fonction à valeurs dans le cercle nité du plan complexe. Le second terme entre crohets est un terme de phase, pour avoir ˆf x (e) = e. Définition 8.7.2 L index du point x par apport à f est le degré du lacet ˆf x. On le note I x (f). Proposition 8.7.3 Si x et y sont dans la même composante connex par arcs de R 2 f(s 1 ), on a : I x (f) = I y (f). Démonstration: Soit c un arc d extrémités (x, y) dans R 2 f(s 1 ). Considérer l homotopie H(z, s) = ˆf c(s) (z). C est une homotopie de lacets dans S 1, d extrémités ( ˆf x, ˆf y ). On utilise alors les résultats du paragraphe précédent. Proposition 8.7.4 Si le point x n est pas entouré par f(s 1 ), on a : I x (f) = 0. Démonstration: Dans ce cas, le graphe de ˆf x n effectue pas un tour complet autour de l origine du plan complexe. Proposition 8.7.5 Soit x R 2. Soient f et g deux applications continues, de S 1 dans R 2 {x}. Si f et g sont homotopes, alors I x (f) = I x (g). Démonstration: Si H est une homotopie d extrémités (f, g), alors t Ĥx(t, s) est une homotopie, paramétrés par s, d extrémités ( ˆf x, ĝ x ). Un exemple d application de cette proposition est le théorème de D Alembert (voir exercices.) 8.8 Théorème de Van Kampenn. On considére un espace X, connexe par arcs. Soient X 1, X 2, deux ouverts de X, également connexes par arcs, tels que X = X 1 X 2, et X 0 = X 1 X 2 φ. On note k 0, k 1, k 2, les inclusions respectives de X 0, X 1, X 2 dans X. On note j 1, j 2 les inclusions de X 0 dans X 1 et X 2 respectivement. Les calculs de groupes d homotopie se feront en choisissant un point arbitraire, x 0 X 0, comme point-base. Théorème 8.8.1 Le groupe fondamental π 1 (X) est le produit amalgamé des groupe k 1 (π 1 (X 1 )) et k 2 (π 1 (X 2 )) sur le sous groupe k 0 (π 1 (X 0 )). Remarque 8.8.2 Si G et Γ sont deux groupes, avec H un sous groupe, contenu dans l intersection de G et Γ. L amalgame de G et Γ sur H est le groupe dont les éléments sont ceux de G H Γ. Les relations sont celles provenant de la structure de groupe de G et de Γ respectivement. Un élément de H est soumis à la fois aux relations dans G, et dans Γ. Les éléments de H appartenant aux deux copies de l union disjointe G Γ sont identifiés. On note ce produit amalgamé G H Γ. Démonstration: Soit c un lacet en x dans X. On peut trouver des réels 0 = t 0 < t 1 < t 2 <... < tn + 1 = 1, tels que, pour tout i, c([t i, t i+1 ]) est inclus dans l un des deux ouverts X 1 ou X 2. Appelons c i la restriction de c à [t i, t i+1 ]. On peut supposer que si c i est contenu dans X 1, c i+1 est contenu dans 42

X 2, et vice versa. (Dans la cas contraire, il suffit de supprimer la valeur t i+1 et de renuméroter.) Ceci implique que c(t i ) X 0, pour tout i {0, 1,... n}. Pour i {1, 2,... n}, on choisit un arc γ i, dans X 0, d extrémités (x 0, c(t i )). Alors : [c] = [c 0 ][c 1 ]... [c n ] = [c 0 γ 1 ][γ 1 c 1 γ 2 ]... [γ n c n ], s ecrit comme un produit de classes d homotopie de lacets, soit dans X 1, soit dans X 2. Corollaire 8.8.3 Si X 0 est simplement connexe, π 1 (X) = π 1 (X 1 ) {e} π 1 (X 2 ). Corollaire 8.8.4 On appelle figure huit ( ), ou bouquet de deux cercles, le quotient de la réunion disjointe de deux cercles, par l identification des deux point-base e. On a π 1 ( ) = Z {e} Z. On définit de même le bouquet de n cercles (voir exercices.) 43

Groupe fondamental - Exercices Exercice 58 Soit D le disque unité fermé du plan complexe. On notera 0 l origine du plan complexe, et S 1 le bord de D i) Montrer qu il existe une application continue : H : D I D, telle que H(x, 0) = 0, H(x, 1) = x, x D (On dit que D est contractile). ii) En déduire que D est simplement connexe. iii) Soit f une application continue de D dans lui-même. Si x D avec f(x) x, on définit r(x) comme l intersection avec S 1 de la demi droite d origine f(x), passant par x. Montrer que si f n admet aucun point fixe, x r(x) est une retraction de D sur son bord S 1 iv) Conclure que toute application continue de D dans lui même admet un point fixe. (C est le théorème de Brouwer.) Exercice 59 Soit G un groupe topologique, dont on note e l élément neutre, et la loi de composition. Si c et c sont deux lacets sur G en e, on notera c c le lacet c c (t) = c(t) c (t), t I. On notera cc la composition des lacets c et c. i) Montrer que si c est homotope à γ, et c est homotope à γ, alors c c est homotope à γ γ ii) En considérant F une homotopie de c à cc e, G une homotopie de c à c e c, H une homotopie de c à c e c, et K une homotopie de c à c c e, montrer que les lacets cc, c c, c c, et c c sont tous homotopes. iii) En déduire que le lacet c 1 : t c(t) 1 est homotope au lacet inverse c(t) = c(1 t), et que π 1 (G, e) est commutatif Exercice 60 Soit P (z) = z n + a n 1 z n 1 + a n 2 z n 2 +... + a 0 un polynme complexe de degré n 1. Supposons que P n ait pas de racines. Pour r 0, on définit f r = S 1 R 2 {0}, par f r (z) = P (rz). Pour r > 0, on définit g r : S 1 R 2 {0} par g r (z) = r n z n. 1. Montrer que pour tout r 0, l index I 0 (f r ) est nul. 2. Montrer que pour tout r > 0, l index I 0 (g r ) est égal à n. 3. Montrer qu il existe R R, tel que pour tout r > R, on a, pour tout z S 1, g r (z) f r (z) < r n 4. Montrer que pour tout r > R, t tf r + (1 t)g r est une homotopie de g r à f r, dans R 2 {0}. 5. En conclure que P (z) a une racine. Exercice 61 Montrer que la compactifiée à un point de R n est la sphére S n. Utiliser la projection stéréographique : (x 1, x 2,... x n+1 ) (x 1 /(1 x n+1 ), x 2 /(1 x n+1 ),... x n /(1 x n+1 )) qui est un homéomorphisme, de S n N sur R n (N désigne le pôle nord, défini par l équation x n+1 = 1). Exercice 62 On considére la sphére S m, avec m 2. Appelons n et s les ples nord et sud de S m. Explicitement : n = (0, 0,..., 1), s = (0, 0,..., 1), en coordonnées canoniques. Les ouverts S m {n}, et S m {s} sont homéomorphes à R m (projection stéréographique) Montrer que si m 2, la sphére S m est simplement connexe. En déduire que pour m 2, S m n a pas le type d homotopie du cercle. Exercice 63 Montrer que si m 3, R m {0} est simplement connexe. Exercice 64 Soient p et q deux points distincts de R 2. Montrer que le groupe fondamental de R 2 {p, q} est le produit libre de deux copies de Z. Généraliser à R 2 privé de n points. 44