ÖÓ Correction Concours blanc - CCP PC 2009 - I I.3.c Par définition, () Partie i Étude d un faisceau laser I Modèle de l onde plane L opérateur étant non linéaire, il ne s applique pas aux représentations complexes et doit être calculé à partir des grandeurs réelles De plus, pour une onde plane dans le vide,, donc ( ) () I.1 Le vide correspond à un milieu pour lequel, en tout point et. Les équation de Maxwell dans le vide s écrivent donc : (1)-Maxwell-Faraday : (2)-Maxwell-Gauss Ú : (3)-Maxwell-Ampère : (4)-Maxwell-... : Ú ÖÓ ( avec ) Ó ( ) ( ) Comme Ó, on obtient I.2 L équation (3) donne ÖÓ, soit ÖÓ( ÖÓ) Ö(Ú ) ÖÓ I.3.c Le vecteur de Poynting correspond au vecteur densité surfacique de flux d énergie électromagnétique, donc Ä etp ÓÝ Ë Ë Ë I.3.c Ä Î II Modèle du faisceau Gaussien La même équation est vérifiée par le champ électrique I.3.c Ici ) (Å Ü. L équation de propagation donne donc ( ), soit. L onde se propageant selon le sens des croissants, est positif, donc avec II.1 Ö (Ö ) ÜÔ( ) Or + (+ ) ÜÔ( (+ ) ) ( ÜÔ( Ö ( Ö Ö ÜÔ( Ö ÜÔ( ( ( Donc 1
) Û ( ) Ý ) Ö ÜÔ( (Ö + + )) ( Ö ÜÔ + ( + ) Ce qui donne Û On a alors ()Û() (+ Û ) (+ II.2.b On doit comparer la variation du champ à la variation maximale du champ pour une longueur. Or celui-ci au maximum pourrait passer de sa valeur à la valeur nulle, ce qui donnerait une valeur moyenne de la dérivée : L hypothèse proposée revient donc à négliger les dérivées Ö partielles Ö selon et devant cette grandeur. II.2.b On a. ÖÓ Si on néglige les variations spatiales de l amplitude sur une distance correspondant à une longueur d onde, on peut (Ö alors considérer ) comme étant une constante. En (Ö posant ) et ( ) Ü et en exploitant le formulaire, on obtient alors ÖÓ vu la question précédente. Donc ) ÖÓ( Û() Ü ( ) ) (Ö ) (Ö ( ), ce qui donne Ý ( )(Ö ) ( ) Ý, donc () )( ) (Ö ) Ý (Ö II.3 (Ö ) (Ö ) On peut observer que Û() modélise l élargissement du faisceau au fur et à mesure de sa progression. II.3.c Bien lire le formulaire qui permet d écrire que R(. On peut en déduire (Ö) ), soit Ö (Ö ) Ö () Û II.2 () 2
Ú ÖÓ Û Ê()Û() Û ÖÒ ÖÒ Ê() II.3.c Ê() est tel que () donc Ê()Û() II.3.c On a si :. On peut en déduire le demi-angle au sommet du cône : Ê() (1)-Maxwell-Faraday : (2)-Maxwell-Gauss : Ú (3)-Maxwell-Ampère : (4)-Maxwell-flux Ú : ÖÓ + On en déduit II.3.c On a alors Û Û Ce qui donne un angle d ouverture du faisceau : Ö par la même méthode que dans la première partie :, avec Ü donc : III Absorption de l énergie du laser dans un milieu métallique III.1 Ú ( + Ú ) a la dimension d un temps. III.2 soit On obtient alors ( ) ( ), + + Æ Ò ( ) Ô Æ III.2.b L équation précédente donne ( ) Î Î, soit Il s agit de l indice complexe du milieu. Il met en évidence le caractère absorbant de celui-ci. Î L équation caractéristique donne deux racines Ö±Ò, ce qui amène à III.2.b ( Æ) Î d où conductivité dynamique Æ. Il s agit d un milieu dispersif, de une solution générale du type Ò + Ò, soit Ò Ò + Ò Ò On doit vérifier que si +, par conséquent. Il reste donc III.3 Ò Ò 3
Ö Le nombre d onde complexe est défini par la relation Ò par Ú ³ R() Ò. Ò définit l absorption du milieu., la vitesse de phase En effectuant des développement limités à l ordre 1 et en utilisant la loi de Fourier, on obtient On suppose que la longueur d onde fournie du L.A.S.E.R. s entend dans le vide. Cela correspond alors à une pulsation I.2.b On repart de la relation Ensuite, la partie imaginaire dei(ò )Ò Ò Ô (+ ) qui nous donne Ce qui donne : Ò Le milieu étant dispersif, la vitesse de propagation de l énergie ne correspond pas à la vitesse de phase et sera elle inférieure à. I.3 La température est initialement uniforme, par conséquent ( ) III.4 L onde étant ici plane, on utilise la relation Ò Ù Ý Partie ii Application du laser au traitement et l usinage des pièces I.4 L équation de la diffusion permet de déterminer la dimension de : [] Ä, donc donc Ù est sans dimension. ) [Ù] Ä(Ä L équation de la diffusion donne, vu la forme de la solution proposée, et en tenant compte que : I Traitement thermique de l acier par laser Ù Ù (Ù) (Ù) et Ù Ù I.1 Application des relations précédentes : P P Ä Ä ( Ê) Ï Ä Ê donc ) Ù (Ù)( ) Ù ( Ù Ù D autre part, (Ù) Ù ( ) et (Ù) Ù (Ù) (Ù) I.2 I.2.b le flux thermique est opposé au gradient de température I.2.b On effectue un bilan d énergie pour une tranche du système, pendant une durée, ce qui donne Ë(( +) ( )) variat. elt. d énergie du ( )Ë ÆÉ ÒÖÒ (+ )Ë ÆÉ ÓÖÒ et L équation de la diffusion donne alors (Ù) ( ) (Ù) ( Ù En développant, on obtient bien l égalité. (mais le calcul me semble bien long pour une question non bloquante pour la suite...) Pour, on peut remarquer que Ù( ) et que (Ù ), par conséquent, ( ) 4
Ù Ù Application numérique : Î Å [( )+ ] Ï I.5 Ù Ù ) (Ù) ( (Ù) (Ù)+Ù (Ù) Ù II.2.b Première phase Ë : É Ô( ) ( Ä ) Ë Seconde phase Ë( : Ä É ËÄ ). Ô( )( ) On en déduit : et Ä Ä Ä II.2.b On doit vérifier que ( Ê) < Ô, soit Ä > [ Ô( ) )+Ä ] ( Ô I.6 La fin de l impulsion laser correspond à (Ù) ( ). On lit sur le graphe Ù(). Ô II.2.b AN : Ä(Ò) soit une puissance moyenne minimalepò Ä Ï II II.1 Ù() Ô Usinage d une feuille de métal par vaporisation II.2.b On peut constituer un système afocal à l aide de deux lentilles : le foyer objet de la seconde devant être placé dans le plan focal image de la première. II.3 Il s agit du transfert thermique nécessaire pour faire passer le corps pur d un état à un autre, à température et pression constantes. La transformation étant supposée À monobare, É É, étant le transfert thermique de l extérieur vers le système(s) II.3.c Pendant une durée, la feuille se déplace d une Î distance Å, le volume découpé correspond donc Î à Å. Le bilan d énergie donne donc : Å ( Î Ô( ) )+Ä )( Ê)P Ä, ce qui permet d en déduire ( la vitesse : Î Å ( Ê)P Ä ( Ô( ) ( )+Ä ) II.2 II.2.b NB : si vous oubliez la phase de chauffage du solide, la question suivante doit vous y faire penser... Ë( À Ô( ) )+Ä ) ( II.3.c Une partie de l énergie est transférée par conduction au reste de la plaque de métal, l ensemble de la puissance du faisceau lumineux n est pas converti en chaleur. 5