DROITES ET LANS DE L'ESACE Avant tout, rappelons une propriété fonamentale : Tout théorème e géométrie plane s applique ans n importe quel plan e l espace. Les exemples e ce chapitre se réfèrent à la figure ci-contre ABCDEFIJ est un cube EGHJKLMN est un parallélépipèe rectangle tel que HM = CI et JH = 2 JI 1 ) OSITIONS RELATIVES DE DROITES ET DE LANS A ) OSITIONS RELATIVE S DE DEUX DROITES et ' sont non coplanaires et ' sont coplanaires Aucun plan ne les contient toutes les eux. Elles sont sécantes. Elles sont parallèles. ' ' ' Leur intersection est vie. Elles ont un seul point en commun. Elles sont strictement parallèles ou confonues. Les roites AB et HN sont non coplanaires. Les roites AB et JH sont strictement parallèles. Les roites AL et KF sont sécantes en F ans le plan AKL B ) OSITIONS RELATIVE S DE DEUX LANS 1 et 2 sont parallèles 1 et 2 sont sécants 1 et 2 confonus 1 2 1 = 1 2 2 1 et 2 sont strictement parallèles Il existe eux roites sécantes e 1 et eux roites sécantes e 2 parallèles eux à eux. Leur intersection est une roite. ropriété 'incience : Si eux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les intersections sont es roites parallèles. Les plans EKL et EGJ sont sécants suivant la roite EG Les plans EKL et JNM sont strictement parallèles. Le plan CDEF coupe les plans parallèles AEJD et BFIC suivant les roites parallèles ED et FC. - Droites et plans e l'espace - auteur : ierre Lux - page 1 / 6 -
C ) OSITIONS RELATIVE S D'UNE DROITE ET D'UN LAN et sont parallèles et sont sécants ' x I est contenue ans est strictement parallèle à Une roite est parallèle à un plan si, et seulement si, il existe une roite ' e parallèle à. Leur intersection est un point unique. La roite ED est parallèle à la roite (FC) u plan BFIC. On en éuit que ED est parallèle au plan BFIC. 2 ) VECTEURS DE L ESACE Comme ans le plan, à tout couple e points A et B e l espace, on associe le vecteur AB. Lorsque A B, la irection e AB est celle e la roite AB, le sens e AB est le sens e A vers B et la longueur ou norme e AB, notée AB, est la istance AB. Lorsque A = B, AA est le vecteur nul, noté 0. On ésigne souvent les vecteurs par une seule lettre, par exemple u, v, w our tout point O e l espace et pour tout vecteur u, il existe un unique point M tel que OM = u. A ) VECTEURS ÉGAUX Chacune es propriétés suivantes signifie que les vecteurs non nuls AB et DC sont égaux : AB et DC ont même irection, même sens et même norme. ABCD est un parallélogramme, c'est à ire [ AC ] et [ BD ] ont même milieu. (Si A, B, C et D sont alignés, on it que ABCD est un parallélogramme aplati) B ) RÈGLES DE CALCUL Les règles e calcul sur les vecteurs e l espace sont analogues aux règles e calcul sur les vecteurs u plan. RELATION DE CHASLES : AB BF = AF AD DI = AI DE KL= DE EG = DG RÈGLE DU ARALLELOGRAMME : DC DJ = DI JN JH = JM DC DJ DA = DI DA= DF OOSÉ D UN VECTEUR : AB = FE MULTILICATION D UN VECTEUR AR UN RÉEL : our tous réels a et b, et pour tous vecteurs u et v on a : a u v = a u a v, a b u=a u b u, a b u = ab u, a u = 0 a=0 ou u= 0 etc... C ) VECTEURS COLINÉAIRES Deux vecteurs non nuls u et v qui ont la même irection sont its colinéaires. ar convention le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur. Dire que eux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires revient à ire qu il existe un réel k tel que u=k v Dire que les points A, B et C (istincts) sont alignés revient à ire qu il existe k R tel que AB=k AC. - Droites et plans e l'espace - auteur : ierre Lux - page 2 / 6 -
3 ) INTERRÉTATION VECTORIELLE DES DROITES ET LANS DE L ESACE Définition : A ) DROITES Soit une roite. On appelle vecteurs irecteurs e les vecteurs, non nuls, éfinis par eux points e. Soit A un point e l espace et u un vecteur non nul. A ; u représente la roite qui passe par A et e irection, la irection e u. A u Remarques : La roite A ; u est l ensemble es points M e l espace tels que AM et u sont colinéaires, c'est à ire tels qu il existe un réel k vérifiant AM = k u. Dire que les roites AB et CD sont parallèles revient à ire que les vecteurs AB et CD sont colinéaires, c'est à ire qu il existe k R * tel que AB= k CD. Conséquence : Deux roites sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs irecteurs son colinéaires. B ) LANS LAN DÉTERMINÉ AR TROIS OINTS Soit A, B et C trois points non alignés. Le plan ABC est l ensemble es points M e l espace tels qu il existe es réels x et y vérifiant AM = x AB y AC reuve : On pose u= AB et v = AC Le repère A ; u, v est un repère e ABC. Ainsi, pour tout point M u plan, il existe un unique couple e réels x ; y tels que AM = x u y v Réciproquement, soit M un point e l espace tel qu il existe eux réels x et y vérifiant AM = x u y v. On note M 1 et M 2 les points éfinis par AM 1 = x AB et AM 2 = y AC L égalité AM 1 = x AB prouve que M 1 est sur AB, onc ans le plan ABC. De même M 2 est sur AC, onc ans le plan ABC. D autre part on a AM = AM 1 AM 2, onc AM 1 MM 2 est un parallélogramme. Les sommets A, M 1 et M 2 sont ans le plan ABC, il en est onc e même pour le quatrième sommet M. z C M 2 A B M 1 M On it que les vecteurs AB et AC sont es vecteurs irecteurs u plan ABC. LAN DÉFINI AR UN OINT ET UN COULE DE VECTEURS NON COLINEAIRES Un point A et eux vecteurs u et v non colinéaires éterminent un unique plan : le plan ABC où AB = u et AC = v. On note A ; u, v ce plan A ; u, v est l ensemble es points M e l espace tels qu il existe eux réels x et y vérifiant AM = x u y v. On it que les vecteurs u et v sont es vecteurs irecteurs u plan A ; u, v ou encore que le plan A ; u, v est irigé par u et v. Si u est un vecteur non nul colinéaire à u, et v un vecteur non nul colinéaire à v, alors le plan A ; u ', v ' est le même que le plan A ; u, v. Les plan A ; DN, KL et A ; AE, AB sont confonus. Conséquences : Deux plans ayant même couple e vecteurs irecteurs sont parallèles. Une roite et un plan sont parallèles si, et seulement si, un vecteur irecteur e est un vecteur u plan. v v A u B C u - Droites et plans e l'espace - auteur : ierre Lux - page 3 / 6 -
Théorème : C ) THÉORÈME DU TOIT Si et ' sont eux plans sécants et parallèles à une roite, alors l'intersection e et ' est parallèle à. ' reuve : exigible Soit w un vecteur irecteur e. On note l'intersection e et '. Soit A un point e. C'est aussi un point e et e '. Le plan est l'ensemble es points M e l'espace tels que AM = x u y w, où u est un vecteur e non colinéaire à w. Le plan ' est l'ensemble es points M e l'espace tels que AM = x ' v y ' w, où v est un vecteur e ' non colinéaire à w. Soit M un point e. M, il existe onc eux réels x et y tels que AM = x u y w. M ', il existe onc eux réels x ' et y ' tels que AM = x ' v y ' w. On obtient alors : AM = x u y w = x v y ' w. Supposons que x 0. On a alors : u= x ' x v y ' y w x On en éuit que u est un vecteur u plan '. ' possèe alors eux vecteurs non colinéaires u et w u plan. Ce qui signifie que et ' sont parallèles. Ce qui est absure ( et ' sont sécants par hypothèse) Ainsi x = 0 et AM = y w, ce qui prouve que la roite est irigé par le vecteur w et onc que est parallèle à. 4 ) DÉCOMOSITION DE VECTEURS A ) VECTEURS COLANAIRES Définition : Les vecteurs u, v, w,., e l espace sont its coplanaires lorsqu un point O quelconque et les points A, B, C,, éfinis par OA= u, OB= v, OC = w,, sont coplanaires. Cette éfinition ne épen pas u point O choisi. Remarques : Deux vecteurs sont toujours coplanaires. Si eux vecteurs u et v sont colinéaires, alors quel que soit le vecteur w, les vecteurs u, v et w sont coplanaires. Montrer que les vecteurs HM, AL et DC sont coplanaires. On a HM = AE et DC = AB Les points A, E, B et L étant coplanaires, on en éuit que les vecteurs HM, AL et DC sont coplanaires. u, v et w sont trois vecteurs e l espace tels que u et v ne sont pas colinéaires. Dire que u, v et w sont coplanaires revient à ire qu il existe es réels a et b tels que w=a u b v. reuve : Soit O un point e l espace. On consière les points A, B et C tels que OA= u, OB= v et OC = w. u et v ne sont pas colinéaires, les points O, A et B ne sont pas alignés et éterminent onc un plan, le plan OAB. ar éfinition, ire que u, v et w sont coplanaires revient à ire C OAB ce qui revient à ire qu il existe es réels a et b tels que OC =a OA b OB. Si trois vecteurs sont non coplanaires, alors aucun es trois ne peut se écomposer en fonction es eux autres. B ) VECTEURS NON COLANAIRES Soit u, v et w trois vecteurs non coplanaires l'espace. our tout vecteur t e l'espace, il existe un unique triplet x ; y ; z e réels tels que : t = x u y v z w - Droites et plans e l'espace - auteur : ierre Lux - page 4 / 6 -
reuve : Existence : Soit A, B, C, D et M es points tels que u= AB, v = AC, w= AD et t = AM. u et v sont non colinéaires, sinon u, v et w seraient coplanaires. Ainsi A, B et C éfinissent un plan ont A, u, v est un repère. La parallèle à la roite AD passant par M, irigée par w, qui n'est pas un vecteur u plan ABC, puisque u, v et w sont non coplanaires, est sécante à ce plan en un point H. HM et w sont colinéaires, onc HM = z w, où z est un réel, et H appartient au plan ABC, onc AH = x u y v ( x et y réels) Comme t = AM = AH HM, on obtient l'existence 'un triplet x ; y ; z e réels tels que t = x u y v z w Unicité : On suppose que l'on a eux écritures : t = x u y v z w= x ' u y ' v z ' w On a alors x x ' u y y ' v z z ' w= 0. Supposons que l'une es trois ifférences n'est pas nulle, par exemple z z ' 0. On obtient : w= x x ' u y y ' v z z ' z z ' M t D y w C H v A u x B Les vecteurs u, v et w seraient alors coplanaires ce qui n'est pas possible. On en éuit que z =z ' et e la même façon que x = x ' et y = y '. On it que l'on a écomposé le vecteur t en fonction es vecteurs u, v et w. 5 ) REÈRES DE L'ESACE ropriété et éfinitions : Soit O un point et i, j et k trois vecteurs non coplanaires e l'espace. A tout point M e l espace, on peut associer un unique triplet e réels x ; y ; z tel que : OM =x i y j z k On it que x ; y ; z sont les cooronnées u point M ans le repère O ; i, j, k ou que x, y et z sont respectivement l abscisse, l oronnée et la cote u point M. z M g k j y i O x Dans le repère J ; JD, JI, JE, on a D 1 ; 0 ; 0, K 1 ; 0 ; 1 et L 1 ; 2 ; 1 Les propriétés et les règles e calcul vues ans le plan pour les cooronnées e vecteurs et e points se prolongent ans l espace en ajoutant simplement une troisième cooronnée. Dans un repère onné e l espace, soit u a b c et u ' a b c our tout réel k, le vecteur k u a pour cooronnées ka kb kc Le vecteur u v a pour cooronnées a a ' b b ' c c ' u= v { a= a ' b= b ' c = c ' eux vecteurs, A x ; y ; z et B x ; y ; z eux points. Le vecteur AB a pour cooronnées x ' x y ' y z ' z Le milieu I e a pour cooronnées x x ' 2 ; y y ' 2 ; z z ' 2 - Droites et plans e l'espace - auteur : ierre Lux - page 5 / 6 -
6 ) RERÉSENTATION ARAMÉTRIQUE D'UNE DROITE DE L'ESACE Dans la suite u cours, l espace est muni un repère O ; i, j, k Soit la roite e l espace passant par le point A e cooronnées x A ; y A ; z A et e vecteur irecteur u e cooronnées Un point M e cooronnées x ; y ; z appartient à si, et seulement si il existe un réel k tel que : reuve : imméiat M x ; y ; z appartient à si,et seulement si, les vecteurs AM et u sont colinéaires. Or AM et u sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que AM = k u En trauisant cette ernière égalité à l aie es cooronnées, on obtient le résultat cherché. {x =x A k y = y A k z= z A k. A chaque réel k correspon un unique point M e la roite. Réciproquement, à chaque point M e la roite correspon un unique réel k tel que AM = k u. Définition : Soit la roite e l espace passant par le point A e cooronnées x A ; y A ; z A et e vecteur irecteur u e cooronnées {x =x A k y = y A k z= z A k. ( k R ) est une représentation paramétrique e la roite. Le paramètre k peut être remplacé par n'importe quelle autre lettre istincte e x, y et z. On utilise souvent la lettre t. Remarques : Si, et sont trois réels non nuls simultanément, le système { x = a k y = b k est une représentation paramétrique e la roite passant par z=c k le point e cooronnées a ; b ; c et e vecteur irecteur. Il n'y a pas unicité e la représentation paramétrique 'une roite e l'espace. Représentations paramétriques un segment et une emi-roite : Soit A et B eux points istincts e l espace. L appartenance un point M au segment [ AB ] ou bien à la emi-roite [AB) s obtient en aaptant l énoncé e la conclusion ci-essus : - pour le segment, il suffit e remplacer ans le système : «k R» par «k [0 ; 1]». - pour la emi-roite [AB), il suffit e remplacer ans le système : «k R» par «k [0 ; [». - Droites et plans e l'espace - auteur : ierre Lux - page 6 / 6 -