Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables:

Différentiabilité des fonctions de plusieurs variables: N. Tsouli University Mohamed I Faculty of Sciences Department of Mathematics Oujda, Morocco.

Plan 1 I-Dérivées partielles : 2 II-7- Dérivées d ordre supérieur, Théorème de Schwartz : 3 III- Théorème des Accroissements Finis, Formule de Taylor : III-1- Théorème des Accroissements Finis :

Dans ce chapitre E, F, G et H désignent des R-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles indifféremment normés. On pose n = dime et p = dimf. Ω et Ω désignent des ouverts de E et F. I désigne un intervalle ouvert de R. Ensuite, on va définire les dérivées partielles et la différentiabilté d une fonction à plusieurs varibles.

La différentielle est une application compliquée. Par la notion de dérivée partielle, nous allons accéder simplement à ses valeurs. La dérivée partielle d une fonction à plusieurs variables est la dérivée par rapport à l une de ses variables, les autres étant gardées constantes. On pose E = R n et F = R. Soient f : Ω E F et a = (a 1,..., a n ) Ω. Nous avons défini la fonction partielle associée à f : f a,i : t V f (a 1,..., a i 1, t, a i+1,..., a n ) définie sur un voisinage V R de a i.

Définition On dit que f admet une dérivée partielle par rapport à la variable x i au point a, si la fonction f a,i est dérivable au point a i. Ce qui veut dire : f (a 1,..., a i 1, a i + t, a i+1,..., a n ) f (a) lim t 0 t existe. Notation : Cette limite quand elle existe est notée f x i (a) ( ou f x i (a) ou encore D i f (a)).

Exemple Considérons { la fonction f de R 2 vers R définie par : xy f (x, y) = x 2 + Y 2 si (x, y) (0, 0), f (0, 0) = 0. Les dérivées partielles de f au point (0, 0) existent car et f f (h, 0) f (0, 0) (0, 0) = lim = 0 x h 0 h f f (0, k) f (0, 0) (0, 0) = lim = 0, y k 0 k même si f n est pas continue au point (0, 0).

Soit f : Ω E F, a Ω. Définition On dit que f est différentiable en a s il existe une application linéaire l L(E, F) telle que f (a + h) = f (a) + l(h) + h ɛ(h), quand h 0 E, avec ɛ(h) 0 F quand h 0 E. l(.) est aussi appelée différentielle de f en a et on la note df (a). Remarque 1/ Lorsqu elle existe, l(.) est unique. 2/ On écrit souvent o(h) pour h ɛ(h), -ief (a + h) = f (a) + [df (a)](h) + o(h).

Remarque 3/ df (a) L(E, F), dans le cas particulier où E = R n et F = R on a : df (a) : R n R h = (h 1, h 2,..., h n ) [df (a)](h), la quantité [df (a)](h) se lit différentielle de f en a le long du vecteur h. Exemple 1/ Soit f : E F constante et a E. Il est clair que quand h 0 E, f (a + h) = f (a) et f (a + h) = f (a) + l(h) + o(h) avec l(h) = 0 linéaire. Ainsi f est différentiable en a et df (a) = 0.

Exemple 2/ Soit f L(E, F) et a E. Puisque f (a + h) = f (a) + f (h), alors quand h 0 E, f (a + h) = f (a) + l(h) + o(h) avec l = f linéaire et o(h) = 0 F. Ainsi f est différentiable en a et df (a) = f. 3/ Soit la fonction f définie sur R 2 par : f (x, y) = f (0, 0) = 0. sin x 2 y x 2 + Y 2 si (x, y) (0, 0),

Exemple On vérifie que f est différentiable au point (0, 0) : f (x, y) f (0, 0) x 2 y x 2 + Y 1 x (x 2 + y 2 ) 2 2 x 2 + Y. 2 Donc f (x, y) f (0, 0) = o( (x, y) ). La fonction f est bien différentiable au point (0, 0) et df (0, 0) est égale à la fonction nulle.

Theorem Si f est différentiable en a alors f est continue en a. Remarque Dans le cas où E = F = R -ie- f : I R R et a I. On a équivalence entre : 1 f est dérivable en a ; 2 f est différentiable en a. De plus, on a [df (a)](h) = hf (a) -ie- [df (a)](1) = f (a).

Définition Une fonction f : Ω E F est dite différentiable si elle est différentiable en tout point a Ω. L application df : Ω L(E, F) est alors appelée différentielle de f. Theorem Les fonctions différentiables sont continues. Remarque Pour f : I R R, f est différentiable si, et seulement si, f est dérivable.

On pose E = R n et F = R. Soient f : Ω E F, a = (a 1,..., a n ) Ω et v = (v 1,..., v n ) R n. Définition On dit que f admet une dérivée en a suivant la direction du vecteur u, si la fonction ψ : t f (a 1 + tv 1,..., a n + tv n ) = f (a + tv), est définie sur un voisinage de 0, et la limite au point t = 0 de f (a + tv) f (a) [ ] existe. t On note f (a + tv) f (a) ψ(t) ψ(0) D v f (a) = lim[ ] = lim[ ] = ψ (0). t 0 t t 0 t C est la dérivée de f suivant N. Tsouli la direction 01 october 2014 du vecteur v.

Theorem Si f est différentiable en a alors f est dérivable en a selon tout vecteur v E et D v f (a) = [df (a)](v) = df (a).v Exemple La réciproque de ce théorème est fausse. En effet il existe des fonctions qui admettent des dérivées dans toute direction sans être différentiables ni même continues. Contre-exemple de la fonction f définie de R 2 vers R par : f (x, y) = x 3 si y 0, y f (x, 0) = 0.

Exemple f admet des dérivées dans toute direction au point a = (0, 0). En effet, soit u = (u 1, u 2 ) un vecteur dans R 2. Etudions D u f (0, 0), pour cela en distingue deux cas : 1 si u 2 0 : f (tu) f (0, 0) = t3 u1 3 t t 2 = t u3 1 0 quand t 0. u 2 u 2 f (tu) f (0, 0) 2 si u 2 = 0 : = 0 = 0. t t Ainsi f est dérivable en (0, 0) selon tout vecteur u et D u f (0, 0) = 0. Cependant f n est pas continue en (0, 0) ( lim n + f (1 n, 1 n 3 ) = lim n + 1 n 3 1 n 3 = 1 0), a fortiori non différentiable

Remarque Soit B = (e 1,..., e n ) la base canonique de R n. Dans le cas particulier où v = e i (pour i = 1,..., n) : f (a 1,..., a i 1, a i + t, a i+1,..., a n ) f (a) D ei f (a) = lim = f (a). t 0 t x i Or selon le théorème D ei f (a) = df (a).e i. Il en découle f x i (a) = df (a).e i pour tout i = 1,..., n.

Proposition Si f est différentiable au point a Ω, alors f admet des dérivées partielles au point a par rapport à chacune de ses variables et f x i (a) = df (a).e i pour tout i = 1,..., n.

Remarque Pour tout h = (h 1,..., h n ) R n avec h = n h i e i, on a : i=1 df (a).h = n [df (a).e i ]h i = i=1 n i=1 f x i (a)h i. D où, si l on note dx i la projection p i : R n R, on trouve : df (a) = n i=1 f x i (a)dx i

On pose E = R n et F = R p, et on suppose que les espaces E et F sont munis des bases B E = (e 1,..., e n ) et B F = (β 1,.., β m ). Ensuite, on considère f : Ω E F une applicatin différentiable en a Ω, et on note f = (f 1,..., f p ) où les f i sont les applications composantes de f.

Proposition f est différentiable au point a Ω (Resp. sur Ω ) si et seulement si f i est différentiable au point a Ω (Resp. sur Ω ) pour tout i {1,..., p}. De plus on a la relation suivante : p i [df (a).h] = df i (a).h = n j=1 f i x j (a)h j. c est à dire : p i df (a) = d[p i f ](a), où p i est la i eme fonction projection.

On en déduit le résultat suivant Proposition On appelle matrice jacobienne de f en a la matrice de l application linéaire df (a) relative aux bases B E et B F : J f (a) = ( f i x j ) 1 i p, 1 j n M p,n (R).

f 1 (a) x 1 J f (a) =. f p (a) x 1 f 1 (a) x n f p (a) x n

Exemple 1/ Soit f : R 3 R 2 définie par f (x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2, xyz). ( ) 2x 2y 2z J f (a) = yz xz xy 2/ Soit f : R 2 R 2 définie par Φ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ). ( ) cos θ r sin θ J Φ (a) = sin θ r cos θ

Proposition Soit f : Ω E F. Les assertions suivantes sont équivalentes (i) f est différentiable ; (ii) les fonctions coordonnées de f dans une base de F le sont.

On pose E = R n et F = R p, et on considère f : Ω E F. Theorem On a équivalence entre : i/ f est différentiable et df est continue ; ii/ les dérivées partielles de f dans une base de E existent et sont continues. Définition On dit qu une fonction f : Ω E F est de classe C 1 si les dérivées partielles de f dans une base de E existent et sont continues sur Ω.

Remarque Cette notion ne dépend pas du choix de la base utilisée. Proposition Les fonctions de classe C 1 sont continues. Exemple 1/ Les fonctions constantes sont de classe C 1, car leurs dérivées partielles sont nulles donc continues.

Exemple 2/ Les applications linéaires sont de classe C 1. En effet, pour f L(E, F), les dérivées partielles de f dans B E = (e 1,..., e n ) sont les applications données par f x i (a) = df (a).e i = f (e i ). Ce sont des applications constantes donc continues.

Theorem Soit f, g : Ω E F et λ, µ R. Si f et g sont différentiables alors λf + µg l est aussi et d(λf + µg) = λdf + µdg. Exemple Toute fonction polynômiale est de classe C 1. Theorem Soit f : Ω E F et g : Ω F G telles que f (Ω) Ω. Si f et g sont différentiables alors g f l est aussi et a Ω, d(g f )(a) = [dg(f (a))] df (a).

Corollaire Soit f : Ω R n R et Φ : I R R telles que f (Ω) I. Si f est différentiable et Φ dérivable alors Φ f l est aussi et d(φ f ) = Φ (f ).df. Exemple d(f n ) = nf n 1 df, d( 1 f ) = 1 f 2 df, d(log f ) = df f,...

Corollaire Soit γ : I R R n et f : Ω R n R et telles que γ(i) Ω. Si γ est dérivable et f différentiable alors t f (γ(t)) est dérivable et (f γ) (t) = df (γ(t)).γ (t). Exemple 1/ Soit f : (x, y) R 2 f (x, y) R différentiable. L application t R f (2t, 1 + t 2 ) est dérivable par composition et d dt (f (2t, 1 + t2 )) = 2 f x (2t, 1 + t2 ) + 2t f y (2t, 1 + t2 )

Exemple 2/ Soit f : (x, y) R 2 f (x, y) R différentiable. L application g : (r, θ) R 2 f (rcosθ, rsinθ) est différentiable et g r g r f f (r, θ) = cos θ x (r cos θ, r sin θ) + sin θ y (r cos θ, r sin θ), et f f (r, θ) = r sin θ x (r cos θ, r sin θ) + r cos θ y (r cos θ, r sin θ).

Theorem On pose E = R n et F = R, soient f, g : Ω E F deux applications différentiables sur Ω. Alors : 1 x Ω, l application f g est diférentiable au point x Ω, et : d(f g)(x) = f dg(x) + g df (x). 2 Si x Ω, g(x) 0 alors l application f g au point x Ω avec est différentiable g(x) df (x) f (x) dg(x) g(x) 2

Exemple Les fonctions rationnelles sur R p sont différentiables car l inverse d une fonction polynômiale est différentiable par un argument de composition.

On pose E = R n et F = R, et on considère f : Ω E F où Ω est un ouvert de R n. Theorem (Théorème de Schwartz) Si les dérivées partielles continues sur Ω. Alors Remarque 2 f 2 f x j x i (x) et x i x j (x) existent et sont 2 f x j x i (x) = 2 f x i x j (x). 1/ Pour calculer 2 f x j x i (x), on dérive d abord par rapport à x i ensuite par rapport à x j. 2/ L hypothèse de la continuité des dérivées partielles est importante comme le montre l exemple suivant :

Exemple Soit la fonction f définie sur R 2 par : xy 3 f (x, y) = x 2 + Y 2 si (x, y) (0, 0), f (0, 0) = 0.

Exemple On a : f x (x, y) = y 3 y 2 x 2 (x 2 + Y 2 ) 2 si (x, y) (0, 0), f x(0, 0) = 0. et f y (x, y) = xy 2 y 2 + 3x 2 (x 2 + Y 2 ) 2 si (x, y) (0, 0), f y(0, 0) = 0.

Exemple Les dérivées partielles croisées d ordre 2 en (0, 0) sont : 2 f y x (0, 0) = 1 et 2 f x y (0, 0) = 0. Remarque On pose E = R n et F = R, et on considère f : Ω E F où Ω est un ouvert de R n. 1/ La fonction f est appelée dérivée partielle d ordre 0 de f.

Remarque 2/ Pour k N, sous réserve d existence, on appelle dérivées partielles d ordre k de f les dérivées partielles des dérivées partielles d ordre k 1 de f. On note k f (x) = ( k 1 f (x) ). x i1... x ik x i1 x i2... x ik 3/ On dit que f est de classe C k si ses dérivées partielles d ordre k existent et sont continues. On dit que f est de classe C si f est de classe C k pour tout k N. 4/ Si f est de classe C k+1 alors f est de classe C k.

Remarque 5/ Une fonction f = (f 1,..., f p ) définie sur un ouvert Ω de R n à valeurs dans R p est dite de classe C k sur Ω, si chaque fonction composantes f i, 1 i p, est de classe C k sur Ω.

III-1- Théorème des Accroissements Finis : III-2- Formule de Taylor : Plan 1 I-Dérivées partielles : 2 II-7- Dérivées d ordre supérieur, Théorème de Schwartz : 3 III- Théorème des Accroissements Finis, Formule de Taylor : III-1- Théorème des Accroissements Finis :

III-1- Théorème des Accroissements Finis : III-2- Formule de Taylor : Soit f : Ω R où Ω est un ouvert convexe de R n Theorem Si f est différentiable sur Ω, alors pour x Ω et h = (h 1,..., h n ) R n tels que x + h Ω il existe θ ]0, 1[ tel que : n f f (x + h) f (x) = h i (x + θh), x i Cette relation est dite Formule des Accroissements Finis. On peut la formuler aussi de la manière suivante : i=1 f (x + h) f (x) = df (x + θh)(h).

III-1- Théorème des Accroissements Finis : III-2- Formule de Taylor : Corollaire Soit f une application différentiable sur un domaine (ouvert connexe) Ω R n à valeurs dans R. Alors f est constante surω df (x) = 0, x Ω.

III-1- Théorème des Accroissements Finis : III-2- Formule de Taylor : Theorem Soit f une application d une boule B R n à valeurs dans R p. Si f est de classe C 1 sur B, alors : où df (z) = f (x) f (y) x y sup df (z), x, y B, z B sup h R n {0 E } df (z).h. h

III-1- Théorème des Accroissements Finis : III-2- Formule de Taylor : Plan 1 I-Dérivées partielles : 2 II-7- Dérivées d ordre supérieur, Théorème de Schwartz : 3 III- Théorème des Accroissements Finis, Formule de Taylor : III-1- Théorème des Accroissements Finis :

III-1- Théorème des Accroissements Finis : III-2- Formule de Taylor : On considère f une applicatin définie d un ouvert Ω R n à valeurs dans R, et soit a = (a 1,..., a n ) Ω :

III-1- Théorème des Accroissements Finis : III-2- Formule de Taylor : Theorem Si f est de classe C k sur Ω, alors pour tout h = (h 1,...h n ) R n tels que a + h Ω on a : f (a + h) f (a) = 1 k 1 +...+k n k 1 k 1 +...+k n=k h k 1 1 n k 1!...hkn k n! h k 1 1 n k 1!...hkn k n! où θ ]0, 1[ et k 1,..., k n N. (k 1+...+k n) f x k (a)+ 1 kn 1... xn x k 1 1 k f... x kn n (a + θh),

IV-1- Définitions : IV-1- Extremum : Plan 1 I-Dérivées partielles : 2 II-7- Dérivées d ordre supérieur, Théorème de Schwartz : 3 III- Théorème des Accroissements Finis, Formule de Taylor : III-1- Théorème des Accroissements Finis :

IV-1- Définitions : IV-1- Extremum : On pose E = R n et F = R, et on considère f : Ω E F où Ω est un ouvert de R n.

IV-1- Définitions : IV-1- Extremum : Définition 1 f admet un minimum (local) en a Ω s il existe r > 0 tel que : f (x) f (a), x B(a, r). 2 f admet un maximum (local) en a Ω s il existe r > 0 tel que : f (x) f (a), x B(a, r). 3 f admet un extremum (local) en a Ω si f admet un minimum ou un maximum en a. 4 On dit que a Ω est un point critique de f si df (a) = 0.

IV-1- Définitions : IV-1- Extremum : Proposition On suppose que f admet des dérivées partielles au voisinage d un point a Ω. Si f admet un extremum (local) au point a alors dfa = 0. C est à dire : f x i (a) = 0, i {1,..., n}. Remarque Si f admet un extremum (local) au point a Ω alors a est un pont critique de f. En général, la réciproque est fausse.

IV-1- Définitions : IV-1- Extremum : Exemple Pour la fonction f (x, y) = x 2 y 3, les dérivées partielles sont f f x (x, y) = 2x et y (x, y) = 3x 2. Donc f f (0, 0) = (0, 0) = 0. x y Mais f n admet pas d extremum au point (0, 0), car f (x, 0) > 0, x > 0 et f (0, y) < 0, y > 0.

IV-1- Définitions : IV-1- Extremum : Proposition Soit f : Ω R 2 R une application de C 2 au voisinage d un point critique a = (x 0, y 0 ) Ω. On pose = s 2 rt, où r = 2 f (a), t = 2 f (a) et s = 2 f x 2 y 2 x y (a). 1 Si < 0, f admet un minimum (local) si r > 0 et un maximum (local) si r < 0 au point a. 2 Si > 0 alors a est un point selle (-ie- n est pas extremum). 3 Si = 0, on ne peut pas conclure (il faut poursuivre la formule de Taylor à un ordre supérieur à deux).

IV-1- Définitions : IV-1- Extremum : Exemple Soit f (x, y) = x 4 + y 4 (x y) 2, il est clair que f x(x, y) = 2(2x 3 x + y), f y = 2(2y 3 + x y). Les points critiques de f sont A = (1, 1), B = ( 1, 1) et C = (0, 0). Par ailleurs, f x (x, y) = 12x 2 2, f y (x, y) = 12y 2 2, f xy(x, y) = 2.

IV-1- Définitions : IV-1- Extremum : Exemple 1 Au point A : = 96 < 0 et r = 10 > 0, alors f admet un minimum local au point A. 2 Au point B : Les mêmes coefficients s, r, t interviennent pour l étude du point B. Donc ce point critique est aussi un minimum (local) de f. 3 Au point C, = 0 car s = 2, r = 2 et t = 2. Donc on ne peut pas conclure. Cependant f (x, x) > 0, et f (x, 0) < 0 pour x voisin de 0. On conclut que f n a pas d extremum au point C = (0, 0).

V-1- Théorème des fonctions implicites : V-1- Théorème d inverssion locale : Plan 1 I-Dérivées partielles : 2 II-7- Dérivées d ordre supérieur, Théorème de Schwartz : 3 III- Théorème des Accroissements Finis, Formule de Taylor : III-1- Théorème des Accroissements Finis :

V-1- Théorème des fonctions implicites : V-1- Théorème d inverssion locale : On considère f : Ω R n R R (x, y) = (x 1, x 2,..., x n, y) f (x, y), une application de C 1 sur l ouvert Ω = O I, où O est un ouvert dans R n et I est segment ouvert dans R. On pose (a, b) = (a 1,..., a n, b) R n R, où a = (a 1,..., a n ) R n et b R.

V-1- Théorème des fonctions implicites : V-1- Théorème d inverssion locale : Theorem Si (a, b) Ω vérifie f (a, b) = 0 et f y (a, b) 0, alors il existe un voisinage ouvert U de a dans R n, un segment ouvert J centré en b, et une application φ : U J de classe C 1 vérifiant : 1 U J Ω, 2 (x, y) U J, f (x, y) = 0 y = φ(x). 3 (x, y) U J, f y (x, y) 0. 4 x U, i {1,..., n} φ x x i (x) = i (x, φ(x)). f y (x, φ(x)) En outre, si f est de classe C k (k 2) alors la fonction implicite φ est aussi de classe C k. f

V-1- Théorème des fonctions implicites : V-1- Théorème d inverssion locale : Plan 1 I-Dérivées partielles : 2 II-7- Dérivées d ordre supérieur, Théorème de Schwartz : 3 III- Théorème des Accroissements Finis, Formule de Taylor : III-1- Théorème des Accroissements Finis :

V-1- Théorème des fonctions implicites : V-1- Théorème d inverssion locale : Le thérème d inversion locale (dans R n ) affirme que si une fonction f est continûment différentiable en un point a, et si sa différentielle est un isomorphisme, alors localement f est inversible et son inverse est différentiable. Ce théorème est équivalent à celui des fonctions implicites.

V-1- Théorème des fonctions implicites : V-1- Théorème d inverssion locale : Définition Une application f entre deux ouverts U et V de R n est dite un C k -difféomorphisme de U sur V si elle est : 1 bijective, 2 f est de classe C k, 3 f 1 est de classe C k. Remarque Un C 0 -difféomorphisme est un homéomorphisme : c est une application bijective bicontinue ( -ie- f et f 1 sont continues).

V-1- Théorème des fonctions implicites : V-1- Théorème d inverssion locale : Theorem Soient Ω un ouvert de R n et f : Ω R n une application de classe C k, (k 1) sur Ω. On suppose que a Ω et que df (a) est un isomorphisme de R n. Alors il existe un voisinage ouvert U de a et un voisinage ouvert V de b = f (a) tels que la restriction : soit un C k -difféomorphisme. f /U : U V

V-1- Théorème des fonctions implicites : V-1- Théorème d inverssion locale : Remarque On dit que df (a) est un isomorphisme de R n dans lui même, s il est bijectif et sa matrice jacobienne J f (a) est inversible, ce qui est équivalent à det J f (a) 0.