ERRATA ET AJOUTS Chapitre, p. 64, l équation se lit comme suit : 008, Taux effectif = 1+ 0 0816 =, Chapitre 3, p. 84, l équation se lit comme suit : 0, 075 1 000 C = = 37, 50$ Chapitre 4, p. 108, note de bas de page n o 5 Pearson, 015. Chapitre 4, p. 109, note de bas de page n o 7 Pearson, 015. Chapitre 4, p. 115, l équation (4.7) se lit comme suit : Chapitre 6, p. 187, note de bas de page n o 1 dp = P i di + P t dt + 1 P ( t) s dt (4.7) Pearson, 015.
550 Traité de gestion de portefeuille Chapitre 6, p. 01, l équation de P BSG se lit comme suit : p BSG = Xe r m T N ( d ) Se b r m Chapitre 7, p. 59, 3 e paragraphe, le Ask s établissait à 130,7 $. Chapitre 8, p.309, NF se lit comme suit : 5 000 000 693, 111, 5 NF = 100 000 579, 101, 075 10, 76 ( )T N d1 ( ) Chapitre 9, p. 341, l équation (9.6) se lit comme suit : floorlet = t Le r k t( k +1) r x N d ( ( ) F k N ( d 1 )) (9.6) Chapitre 9, p. 34, B fixe se lit comme suit : n B fixe = ce r i t i + VNe r n t n i =1 Chapitre 9, p. 34, note de bas de page n o 8 Pearson, 015. Chapitre 9, p. 343, les équations de c et de p se lisent comme suit : 1 1 1 + F m c = F 1 1 1 + F m p = F t m t m e rt F N d 1 e rt r x N d ( ) + r x N( d ) ( ) FN ( d 1 )
Errata et ajouts 551 où d 1 ln ( F / rx )+ ( s / ) T =. s T Chapitre 16, p. 553, 360 i = 1 1 i ( + ) = 1 4, 3%/ 1 43, % 1 + 1 1 L équation (16.) se lit comme suit : 4, 3%/ 1 360 = 1 37, 18$.. 50 000$ 43, % 1 1+ 1 43, %/ 1 360 = 1 37, 18$. Chapitre 16, p.553, la dernière égalité doit se lire comme suit : 50 000 341,35 = 49 658,65 $ Ajouts au chapitre 6, p. 09 7B. OPTIONS SUR OBLIGATIONS PORTANT COUPONS 1 Les options d achat et de vente européennes sur obligation portant coupons peuvent être valorisées en utilisant le modèle de Black (1976). Il s agit de modifier quelque peu la formule de Black-Scholes-Merton (1973) pour accommoder le sous-jacent qui est maintenant le prix de l obligation. Plus précisément, on utilise le prix forward (prix à terme) de l obligation en tenant compte du versement des coupons. On suppose également que la volatilité du prix forward de l obligation est constante, une hypothèse nous permettant d avoir recours à la formule de Black. Les formules du call et du put se présentent comme suit : Call = P 0, T Put = P 0, T ( ) ( ( ) F B N ( d 1 )) ( ) F B N( d 1 ) XN( d ) ( ) XN d (1) () 1. On consultera le chapitre 9 de l ouvrage de J.C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 9e éd., Upper Saddle River, Pearson, 015.
55 Traité de gestion de portefeuille ln F B X + s B T où d 1 =, d = d 1 s B T, X est le prix d exercice, s B, s B T la volatilité du prix forward de l obligation et T la durée de vie de l option. F B est le prix à terme de l obligation comportant des coupons et est défini comme suit : B VP FB = o c P( 0,T) où B 0 est le prix au comptant de l obligation (en anglais : cash-price 3 = quoted price + accrued interest), VP c, représente la valeur présente des coupons et P(0, T) = e rt où r est un taux composé en continu. Notons également que pour obtenir F B, nous avons déduit du prix de l obligation la valeur actualisée des coupons. Cette procédure est équivalente à celle presentée au chapitre 6 4 pour les options sur actions portant dividendes. Considérons l exemple suivant, où l on cherche à valoriser une option d achat européenne d échéance de 1 mois sur obligation portant coupons d échéance de 10 ans et de valeur nominale (VN) de 1000 $. Cela signifie que, lorsque l option arrivera à son échéance, l obligation aura encore 9 ans de vie active. Supposons que le taux du coupon semestriel de l obligation est de 9 %, les taux sans risque de 3, 9 et 1 mois sont respectivement de 7,0 %, 7,5 % et 8 % (la courbe des taux spot est de pente positive), la valeur de l obligation au comptant (cash) est de B 0 = 950 $. On peut calculer la valeur présente des coupons pour obtenir le prix coté de l obligation comme suit : % VP c = e + e 9 1 000 9% 1 000 = 45$ e = 86, 76$ 3 1 70 9, % 1 75, % 3, %, % 1 70 9 1 75 + 45$ e En soustrayant VP c de B 0, on obtient le prix coté, soit : B 0 VP c = 950$ 86,76$ = 863,4$. Pour obtenir F B, il suffit de capitaliser ce prix comme suit : F B = cash price e rt = 863,4 $e 0,08 * 1/1 = 935,14 $ (3). À noter que cette volatilité peut être approximée par s B = s y Dy 0 où y 0 est la valeur initiale du rendement à terme (forward yield : y F ), D, la durée modifiée, et s y, la volatilité du rendement à terme de l obligation (forward bond yield). 3. Se nomme aussi le dirty price en anglais. Le clean price exclut les intérêts courus. 4. Voir également l annexe IV, p. 653.
Errata et ajouts 553 Pour compléter notre calcul, on suppose que le prix d exercice du call est de 990 $ et que la volatilité du prix forward de l obligation est de 6 %. En insérant ces informations dans un chiffrier Excel, on obtient le résultat présenté au tableau 1. Tableau 1 G H I J K L M VN 1 000 $ 3 Taux coupon 9 % 4 C sem 45 = H3/*H 5 r 1 à t 1 = 3/1 7,0 % 6 r à t = 9/1 7,5 % 7 VP C 86,76 = H4*EXP( H5*3/1) + H4*EXP( H6*9/1) 8 B 0 950 9 P(0, T) 0,931 = EXP( H1*H13) 10 F B 935,14 = (H8 H7)/H9 11 X 990 1 r 0,08 13 T 1,00 = 1/1 14 s B 0,06 15 d 1 0,90 = (LN(H10/H11) + (H14^*H13/))/(H14*SQRT(H13)) 16 d 0,980 = H15 H14*SQRT(H13) 17 N(d 1 ) 0,1787 = NORMSDIST(H15) 18 N(d ) 0,1635 = NORMSDIST(H16) 19 0 call obl = 4,88 $ Le prix du call sur obligation portant coupon est donc de 4,88$. 7B.1. TRAITEMENT DES INTÉRÊTS COURUS Notons finalement que si le prix d exercice est défini comme étant le montant cash qui sera échangé pour l obligation lors de l exercice de l option, alors X devrait être égal à ce prix d exercice. Mais si, comme c est plus souvent le cas, le prix d exercice est le clean price lorsque l option est exercée, alors X devrait
554 Traité de gestion de portefeuille être égal au prix d exercice plus les intérêts courus. Par exemple, dans le cas où il y aurait un seul coupon au 9 e mois et que l option échoirait le 10 e mois, alors il y aurait 1 mois d intérêt couru à prendre en considération 5. Ajout au chapitre 7, ajouter le contrat OBX. Il s agit d une option sur BAX de 8 mois (c est-à-dire p. 57, section 3.1, les huit [8] mois les plus rapprochés du cycle trimestriel mars, juin, septembre et décembre). Ajout d une note de bas de page au chapitre 13, p. 479, après la phrase «Puis nous isolons la tendance du logarithme du PIB à l aide du filtre d Hodrick-Prescott» t= 1 ( t ) + l t= 1 ( t+1 t ) ( t t 1 ) Le filtre d Hodrick-Prescott (H-P) considère les éléments suivants. Considérons une série macroéconomique y t que l on peut caractériser par la somme d une c composante cyclique y t et d une composante de croissance y g t, soit y t = y c t + y g t. Supposons que l est un paramètre qui reflète la variance relative de la composante de croissance par rapport à la composante cyclique. En posant une valeur pour ce paramètre, le filtrage H-P consiste à choisir la composante de g croissance y t qui minimise la fonction de perte («loss function») suivante : T c T g g g y y y y y g. Ce problème d optimi- sation cherche donc à trouver la composante de croissance qui soit le près possible de la série observée, de façon à obtenir la plus faible composante cyclique. Les valeurs habituelles pour l sont les suivantes. Pour des données trimestrielles, on pose l = 1 600 alors que, pour des données à fréquence mensuelle, l = 14 440. Si la fréquence d observation des données est annuelle, alors l = 100 (voir EViews). Notons finalement les cas extrêmes. Lorsque l = 0, cela signifie que la composante de croissance représente entièrement la série observée ; par contre, quand l, cela signifie que la composante de croissance s approche d une tendance linéaire («linear trend») 6. 5. Pour plus de détails, voir J.C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 9e éd., Upper Saddle River, Pearson, 015. 6. Pour plus d informations à ce sujet, on consultera le chapitre 1 de Frontiers of Business Cycle Research, sous la direction de T.F. Cooley, Princeton University Press, Princeton, 1995, p.1-38, rédigé par E. Prescott et T.F. Cooley, «Economic growth and business cycles».