Terminale S Correction du Devoir Surveillé n 5 Exercice 1 : Partie A : Le Nombre d Or 1. =1+ 1+1+ 1+ =1+φ. On obtient l équation du second degré φ 1=0 Le discriminant est = 4=1 4 1 1=5 Il y a donc deux solutions : = 1+ 5 ou = 1 5 La solution à retenir étant bien évidemment celle qui est positive.ainsi = 1+ 5 Partie B : La suite de Fibonacci et les lapins crétins 1. D après le schéma de reproduction des lapins, on a : 1 couple de lapins pour =1 et pour = couples de lapins pour =3 3 couples de lapins pour =4 5 couples de lapins pour =5 8 couples de lapins pour =6 13 couples de lapins pour =7. a =, =3, =5, =8, =13, =1, =34 et =55 b A l aide d un raisonnement par récurrence : 1 ière étape : =1>0 et =1>0 d où = + =1+1=>0 La propriété est vraie au rang 1, et 3 ième étape : On suppose que la propriété est vraie au rang et +1 : >0 et >0 3 ième étape : Montrons que la propriété est vraie au rang + est la somme de deux termes positifs car = + On a donc >0 Conclusion : D après le principe de récurrence, >0 pour tout N. Démontrons ensuite que la suite est croissante : = 0 donc pour tout N. De plus donc on peut conclure que pour tout N. Conclusion : La suite est croissante. c La suite est le quotient de deux nombres positifs, à savoir et. est donc strictement positive. A.MAGNE-TS-DS5-Cor-1/6
d Tableau = Valeur approchée de 1 1 1 1 1 3 3 1,5 4 3 5 3 1,667 5 5 8 5 1,6 6 8 13 8 1,65 7 13 1 13 1,615 8 1 34 1 1,619 9 34 55 34 1,617 10 55 89 55 1,618 e Il semblerait que la suite tende vers le Nombre d Or. f Vérification de la relation de récurrence : = = + =1+ =1+ 1 g La suite étant convergente vers l, les valeurs de et sont égales à l en + On a donc la relation suivante : l=1+ 1 l =l+1 l l 1=0 l On reconnait l équation de la Partie A qui possédait deux solutions : l= 1+ 5 ou l= 1 5 Or l est positive puisque la suite est strictement positive. On a donc : l= 1+ 5 Conclusion : la conjecture est vérifiée : la limite de est bien le Nombre d Or A.MAGNE-TS-DS5-Cor-/6
Exercice : 1. Pour tout réel, >0 et >0 donc + 0 L ensemble de définition est donc l ensemble des réels : =R. Pour tout réel de : = + = + = 1 +1 3. Lorsque tend vers l infini, 1 +1 1 1 1+ 1 1 1 1+ 1 1 Conclusion : On obtient lim =1 On en déduit aussi que la droite d équation =1 est asymptote à en + 4. R étant symétrique par rapport à 0, il reste à calculer. Or = + = = donc est impaire et lim + = 1 Conclusion : est symétrique par rapport à 0, =1 est asymptote à en + et = 1 est asymptote à en. 5. La fonction étant dérivable sur R, on a : = 1 +1 1 +1 +1 4 = +1 >0 D où : + + 1 1 6. En 0, = 0 0+0. Conclusion : = est l équation de la tangente à en 0. 7. RAS Cf. calculatrice = +1 1 +1 8. Cette fonction s appelle la «tangente hyperbolique» et se note h et : h = + = + + + h = + + = + + + =1 h A.MAGNE-TS-DS5-Cor-3/6
Exercice 3 : 1. Calcul de l affixe de = 4 1 = 4 1 1 +1 = + 4 4 = 6 3 =+ 1 3. Les points invariants par sont définis par le fait que = : = 4 = 4 +4=0 1 On découvre une équation du second degré dont le discriminant est négatif! Δ= 1 On a donc un ensemble de deux solutions imaginaires conjuguées : 3. a Calculs de et =1+ 3 ;1 3 où =1+ 3 et =1 3 = + 4 + 1 = 4+ 1+ = 4+ 1 1+ 1 = 4 1+ + 1 4 1 + Conclusion = + 5+4 1 + et 3 = 1 + b Si est un réel, alors la partie imaginaire de est nulle, c est-à-dire 3 1 + =0 ce qui est vrai ssi 3=0 et 1 + 0 Il faut donc que =0 et 1. Conclusion : L ensemble E est la droite d équation =0 privé du point 1,0 c Si est un imaginaire pur, alors sa partie réelle est nulle et donc : + 5+4 1 + =0 vrai ssi + 5+4=0 et 1 + 0 Or + 5+4=0 5 5 4 +4+ 0 =0 5 + = 9 4 Conclusion : L ensemble F est le cercle de centre,5 ;0 et de rayon 1,5 privé du point 1,0; autrement dit, un cercle de diamètre privé de. 4. = ; 4 = et 1 = On en déduit que : =1 4 1 =1 4 1 =1 =1 = Conclusion : =1 équivaut à : appartient à la médiatrice de. C est donc la droite d équation = 5 A.MAGNE-TS-DS5-Cor-4/6
Exercice 4 : Partie A 1. Pour R, = = =1 Comme 0, on a = 1. La démonstration se fait par récurrence : Au premier rang =0, =1 et = =1 L égalité est vérifié au rang =0. On suppose que = pour un certain rang. Montrons qu alors on a = = = = L égalité est vérifié au rang +1. Conclusion : on a démontré que = pour tout réel et pour tout N. Partie B 1. a Pour tout entier naturel, le dénominateur 1+ ne s annule pas sur 0 ;1. La fonction est continue sur 0 ;1 en tant que quotient de 1+ fonctions continues sur 0 ;1 donc existe pour tout entier naturel. 1 + = 1+ + 1 1+ = 1++ 1+ + = 1+ 1+ b Calcul de : = 1+ = 1 = 1+ = =1 = ln1+ = ln1+ +ln1+ = ln1+ 1 +ln=ln ln1+ =ln ln1+ ln=ln+1 ln1+ On en déduit la valeur de =1 ln 1+ln1+=ln1+ ln. Pour tout réel de 0 ;1, on a 1+ >0 et >0 pour tout N. On a donc 1+ 0 et on en déduit par positivité de l intégrale = 1+ 0 A.MAGNE-TS-DS5-Cor-5/6
3. a Pour tout entier naturel non nul, on aura : + = 1+ + = + 1+ + 1+ = + 1+ = +1 1+ + = = 1 1 = 1 1+ = b D après la question, on a montré que 0 et donc que + Donc naturellement 1 4. Pour tout entier naturel non nul, on a : 0 1 Or, quand +, on a 0 et donc 1 1 1 Ainsi, lim =0 D après le théorème des gendarmes, on peut déduire que converge vers 0. A.MAGNE-TS-DS5-Cor-6/6