I. Première observation

PCSI1 Lycée Michelet L OSCILLATEUR HARMONIQUE Introduction Lorsqu une onde se propage (onde acoustique, onde à la surface de l eau), on observe localement un mouvement oscillant (oscillation des particules fluides pour une onde acoustique, oscillation d un flotteur à la surface de l eau), c est à dire un mouvement périodique borné, autour d une position correspondant à la position de repos. C est pourquoi, avant d aborder l étude générale des ondes, nous allons nous intéresser au mouvement oscillant et plus particulièrement au mouvement harmonique. Le mouvement harmonique privilégie les fonctions sinus (ou cosinus). Ce n est en rien restrictif, car nous verrons que tout mouvement périodique (de période T, de fréquence f = 1/T ) peut se décomposer en une superposition (comprendre une somme) de signaux sinusoïdaux de fréquence multiple de f. C est l analyse de Fourier, que vous avez déjà rencontrée en terminale, par exemple lors de la détermination du spectre d un son. Il existe une manière très simple de visualiser un mouvement harmonique : il suffit d accrocher une masse à l extrémité d un ressort et de la laisser osciller. I. Première observation 1. Mouvement d une masse accrochée à un ressort a) En classe Expérience : si on accroche une masse à un ressort vertical à spires jointives (ce ressort ne peut être qu étiré et non comprimé), on peut s arranger pour que la position de cette masse se stabilise à une position d équilibre. Quelles sont les forces intervenant dans cet équilibre? le poids P = m g la force de rappel du ressort T Quelle relation s applique à l équilibre? Dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen la condition d équilibre s exprime sous la forme : P + T = 0 On écarte la masse de sa position d équilibre et on la lâche : on observe alors des oscillations de part et d autre de sa position d équilibre. Indiquer sur un schéma, le sens de la résultante des forces R = P + T. Vérifier que cette résultante tend à ramener la masse vers sa position d équilibre. 1

O x<x e R R x=x e R=0 R x>x e x Le poids reste constant alors que la tension du ressort augmente quand son étirement augmente. Pour x < x e le poids l emporte sur la tension, pour x > x e la tension l emporte sur le poids. On vérifie que la résultante des forces tend à ramener la masse vers sa position d équilibre. On peut alors tracer l allure de x(t) au cours du temps : Indiquer sur le schéma ci-contre : la position d équilibre x e la période T des oscillations l amplitude A des oscillations b) Tracé direct de x(t) Sur cette vidéo extraite des cours de physique au MIT de Walter Levine : https://www.youtube.com/watch?v=tnputx7uqbw&list=plyqsn7x0ro203puvhqsmcj9qhlfq-as8e& index=11 on peut suivre une leçon sur l oscillateur harmonique. Toute la leçon mérite d être suivie, mais si on s intéresse plus particulièrement à ce qui se passe entre 10 min et 12 min 20 s, on observe le tracé en direct de x(t) où x représente la position d une masse accrochée à des ressorts et t est la variable temporelle. La courbe obtenue évoque clairement une courbe sinusoïdale (fonction sinus ou cosinus). Au laboratoire, on a filmé les ocillations dans un plan horizontal d une masse (un palet sur coussin d air) fixée à l extrémité de deux ressorts, fait un pointage avec avimeca et une modélisation de la courbe obtenue avec Regressi... qui renvoie une fonction sinusoïdale! Nous pourrons le vérifier en TP. 2

Avant d aller plus loin, il peut être utile de faire quelques rappels sur les fonctions sinus et cosinus II. Rappels mathématiques 1. Fonctions sinusoïdales cf polycopié 2. Un peu d entraînement Tracer l allure des fonctions : f(x) = cos(x π 3 ) g(x) = sin(x + 2π 3 ) h(x) = 1 + 0, 5 cos(x) Retenir : cos(x π) décale la courbe de cos x de π vers la droite (sens des x croissants) 3 3 sin(x + 2π) décale la courbe de sin x de 2π vers la gauche (sens des x décroissants) 3 3 Dans cette partie, on a gardé les notations habituelles des mathématiciens pour lesquels la variable est généralement notée x. En physique, les notations sont adaptées à la grandeur physique décrite. Dans la suite du cours, la variable physique pertinente est le temps. Elle sera notée t alors que x deviendra une fonction... Dériver, puis intégrer les fonctions, ω étant une constante dont on précisera la dimension : f(t) = cos(ωt) g(t) = sin(ωt) III. Expression mathématique de x(t) 1. Expression générale On observe un mouvement sinusoïdal autour de la position d équilibre x e, d amplitude A et de période T. De manière générale, x(t) pourra s écrire sous la forme : x(t) = x e + A cos(ωt + ϕ) x e représente la position d équilibre autour de laquelle le mouvement se produit. Elle correspond également à la valeur moyenne de x(t) notée < x(t) > car la valeur moyenne d un cosinus est nulle (sur une période, on peut toujours associer à une valeur, sa valeur opposée, décalée d une demi-période). On reviendra plus tard sur la notion de valeur moyenne d un signal. A représente l amplitude du mouvement (x e A x x e + A). 3

ωt + ϕ est appelé phase (avec ϕ phase à t = 0). T étant la période du mouvement, x(t) = x(t + T ) x e + A cos(ωt + ϕ) = x e + A cos(ω(t + T ) + ϕ) cos(ωt + ϕ) = cos(ωt + ωt + ϕ) la fonction cosinus étant périodique de période 2π on en déduit la relation ωt = 2π ω = 2π T ω est appelée pulsation (on rencontre également le terme fréquence angulaire) et est homogène à l inverse d un temps. On donne généralement sa valeur en rad.s 1. On définit également f fréquence du mouvement par f = 1 T on a alors ω = 2πf. La fréquence est homogène à l inverse d un temps. L unité SI est le Hertz (1 Hz=1 s 1 ). 2. Facteurs influençant A et ϕ Pour une masse et un ressort donné, on peut jouer initialement sur deux paramètres lors de la mise en mouvement : la position initiale x 0 = x(0) la vitesse initiale v 0 = ( dx dt ) t=0 (autre notation : ( dx dt ) t=0 = ẋ(0)). On peut écarter la masse de sa position initiale et la lâcher sans vitesse, ou bien transmettre une vitesse à la masse alors qu elle est à sa position d équilibre, voire les deux, c est à dire écarter la masse de sa position initiale et lui fournir une vitesse. Reconnaître chacune des ces situations sur les courbes suivantes (pour lesquelles x e = 0) et déterminer dans chaque cas les valeurs de x 0 et v 0 : a) 4

b) c) IV. Étude cinématique du mouvement harmonique 1. Position, vitesse, accélération. Choisissons une origine des temps telle que ϕ = 0 et une origine des x telle que xe = 0. x(t) = A cos(ωt) On se place dans le référentiel du laboratoire. Le mouvement étant à 1 dimension (mouvement axial), on peut écrire le vecteur position sous la forme OM = x ex, le vecteur vitesse v = v ex et le vecteur accélération a = a ex avec v(t) = dx dt = ẋ = Aω sin(ωt) a(t) = dv = ẍ = dt Aω2 cos(ωt) = ω 2 x 5

La vitesse s annule pour chaque position extrémale : ẋ = 0 pour x = ±A. La vitesse est maximale (en norme) lors de chaque passage à 0 : ẋ = ±ωa pour x = 0. L accélération est extrémale lorsque la position est extrémale : ẍ = ω 2 A pour x = A : décélération maximale ẍ = ω 2 A pour x = A : accélération maximale On peut vérifier sur le schéma ci-dessous (en vert le vecteur vitesse, en rouge le vecteur accélération). On note amax = Aω 2 et vmax = Aω. 6

2. Lien entre mouvement circulaire uniforme et mouvement sinusoïdal Le mouvement sinusoïdal peut être produit par la projection d un mouvement circulaire uniforme sur un diamètre quelquonque. On a représenté sur la figure ci-contre un mouvement circulaire uniforme de rayon A, de vitesse angulaire ω = 2π, avec T période de rotation. La projection du mouvement sur l axe T Ox donne s(t) = A cos(ωt + ϕ). ϕ correspond à l angle que fait OM avec l axe Ox à t = 0. Exemple : scie sauteuse. Dans une scie sauteuse, un dispositif transforme le mouvemement circulaire uniforme en un mouvement d oscillations harmoniques : quand A fait un tour, B fait un allerretour. V. Équation de l oscillateur harmonique Pour l instant, nous avons décrit les propriétés du mouvement harmonique. Nous allons à présent établir l équation du mouvement d un oscillateur harmonique et montrer qu une masse accrochée à un ressort décrit nécessairement ce type de mouvement. 1. Force élastique On considère un ressort, caractérisé par sa longueur à vide l 0 sa constante de raideur k (homogène à une force par unité de longueur) lorsqu on étire ou que l on comprime un ressort celui-ci exerce à chacune de ses extrémités, des forces qui tendent à le ramener vers sa longueur à vide 7

la tension du ressort au niveau de l extrémité B s exprime sous la forme : avec T B = T A = k(l l 0 ) u A B l longueur du ressort u A B vecteur unitaire sortant du ressort au point B considéré ( u A B = ) AB AB Remarque : quand on étire trop un ressort, on sort du domaine d élasticité et cette loi n est plus applicable. Le ressort se déforme et ne revient pas à sa longueur à vide quand on cesse d exercer une force : on dit qu il y a de l hystérésis. Par ailleurs, un ressort à spires jointives ne peut être utilisé qu en détente. 2. Établissement de l équation de l oscillateur harmonique Système : masse m Référentiel : référentiel du labo supposé galiléen Bilan des forces : poids P = m g réaction normale du support R avec R u x tension du ressort : T = k(l l 0 ) u x = kx u x L équation du mouvement se déduit du principe fondamental de la dynamique (ou deuxième loi de Newton) appliqué à la masse m : 8

m a = m d v dt = P + R + T Suivant la direction perpendiculaire à u x on a P + R = 0 : la réaction normale du support compense le poids. Équilibre : on remarque que x = 0 correspond à une position d équilibre ( T = 0 pour x = 0). Si on place la masse en O sans vitesse elle y demeure. Le mouvement de la masse étant horizontal on projette cette équation sur u x : mẍ = kx qui correspond à l équation du mouvement. C est une équation différentielle d ordre 2 car elle fait intervenir la dérivée seconde ẍ. Elle est linéaire : si x 1 (t) est une solution vérifiant mẍ 1 = kx 1, si x 2 (t) est une solution vérifiant mẍ 2 = kx 2, alors X(t) = x 1 (t) + x 2 (t) vérifie mẍ = kx. On peut faire passer tous les termes à gauche de l égalité et s arranger pour que le coefficient multiplicatif de ẍ soit égal à 1. On obtient : ẍ + k m x = 0 Déterminons la dimension de k : m ẍ est homogène à une accélération [ẍ] = L.T 2 donc, les termes d une somme ayant tous même dimension, [ k x] = L.T 2 également. On en déduit, x étant homogène à une longueur, m [ k ] = T 2. m k On pose alors k = m ω2 0 avec ω 0 homogène à l inverse d un temps, soit ω 0 = m ẍ + ω 2 0x = 0 (OH) 3. Résolution de l équation de l oscillateur harmonique L équation (OH) peut s écrire ẍ = ω 2 0x. D après notre étude du mouvement harmonique, on constate que x(t) = A cos(ω 0 t + ϕ) est solution de l équation. Les mathématiciens se posent toujours la question de l unicité de la solution : est-ce la seule solution possible?...et bien Mr Cauchy, que l on remercie au passage, a montré que si l on connaît : x 0 = x(t 0 ) la position à un instant t 0 (en général on choisit t 0 = 0) ẋ 0 = ẋ(t 0 ) la vitesse à un instant t 0 alors la solution existe et est unique. Ce sont ces deux conditions initiales qui vont fixer les valeurs de A et ϕ. Prenons les conditions initiales suivantes : À t = 0 on écarte la masse de sa position d équilibre et on la lache sans vitesse : x(0) = x 0 > 0 et ẋ(0) = 0 9

on cherche une solution sous la forme : x(t) = A cos(ω 0 t+ϕ), de dérivée ẋ(t) = Aω 0 sin(ω 0 t+ ϕ) (avec A > 0 et ϕ ] π, π]). À t=0 x(0) = A cos ϕ = x 0 ẋ(0) = Aω 0 sin ϕ = 0. Puisque A 0 (la solution nulle n a que peu d intérêt) et ω 0 on a sin ϕ = 0 d où ϕ = 0 ou π Comme on prend A > 0 et A cos ϕ = x 0 > 0 alors ϕ = 0 et donc A = x 0. La solution est donc de la forme x(t) = x 0 cos(ω 0 t) Prenons d autres conditions initiales : À t = 0 la masse est en O et on la lance avec une vitesse v 0 > 0. x = 0 et ẋ(0) = v 0 > 0 On cherche toujours une solution sous la forme : x(t) = A cos(ω 0 t + ϕ), de dérivée ẋ(t) = Aω 0 sin(ω 0 t + ϕ) (avec A > 0). À t=0 x(0) = A cos ϕ = 0 ẋ(0) = Aω 0 sin ϕ = v 0 A 0 d où cos ϕ = 0. On en déduit ϕ = ± π. 2 A = v 0 > 0 on en déduit sin ϕ < 0, ϕ = π. ω 0 sin ϕ 2 d où A = v 0 ω 0 et x(t) = v 0 ω 0 cos(ω 0 t π ) qui se simplifie en 2 On vérifie que v 0 ω 0 x(t) = v 0 sin(ω 0 t) ω 0 est bien homogène à une longueur. Remarque : La période des oscillations T 0 = 2π ω 0 = 2π m est indépendante de l amplitude k des oscillations. Par exemple, même si on double l amplitude, la période des oscillations reste inchangée. On dit qu il y a isochronisme des oscillations. 4. Différentes formes des solutions Une même fonction trigonométrique peut s exprimer sous des formes différentes. Ainsi x(t) = A cos(ω 0 t + ϕ) peut s écrire avec une fonction sinus. en effet sin(α + π 2 ) = cos(α) d où x(t) = A cos(ω 0t + ϕ) = A sin(ω 0 t + ϕ + π 2 ) = A sin(ω 0t + ψ) on peut donc chercher une solution sous la forme x(t) = A sin(ω 0 t + ψ) enfin x(t) = A cos(ω 0 t + ϕ) = A cos ω 0 t cos ϕ A sin ω 0 t sin ϕ qui peut s écrire sous la forme générale : x(t) = a cos ω 0 t + b sin ω 0 t 10

avec a = A cos ϕ et b = A sin ϕ. Bilan : On peut chercher les solutions de l équation de l oscillateur harmonique ẍ + ω 2 0x = 0 sous les formes équivalentes : x(t) = A cos(ω 0 t + ϕ) x(t) = A sin(ω 0 t + ψ) x(t) = a cos ω 0 t + b sin ω 0 t les couples de valeurs (A, ϕ), (A, ψ) ou (a, b) étant déterminés par les conditions initiales x 0 et ẋ 0. la dernière forme est souvent pratique à utiliser. -Lycée Michelet Considérons le cas général où les conditions initiales sont : à t = 0 la masse est en x = x 0 et on la lance avec une vitesse v 0 = v 0 u x : x(0) = x 0 et ẋ(0) = v 0 On cherche une solution sous la forme : x(t) = a cos ω 0 t + b sin ω 0 t, de dérivée ẋ(t) = aω 0 sin ω 0 t + bω 0 cos ω 0 t. { x(0) = a = x0 À t=0 on en déduit a = x ẋ(0) = bω 0 = v 0 et b = v 0 ω 0 0 et donc : x(t) = x 0 cos ω 0 t + v 0 ω 0 sin(ω 0 t) 5. Retour sur le ressort vertical Idée : on peut toujours se ramener à l équation (OH) lorsqu on étudie le mouvement autour de la position d équilibre. On reprend le cas très simple d une masse m accrochée à un ressort. On a choisi l origine des x au point de fixation du ressort. Système : masse m Référentiel : référentiel du labo supposé galiléen Bilan des forces : poids P = m g tension du ressort : T = k(l l 0 ) u x = k(x l 0 ) u x on suppose les frottements négligeables 11

Condition d équilibre Soit x e la position d équilibre de la masse m. À l équilibre P + T = 0 qui donne, après projection sur u x mg k(x e l 0 ) = 0 (E0) On en déduit la position d équilibre : x e = l 0 + mg k Équation du mouvement L équation du mouvement se déduit du principe fondamental de la dynamique (ou deuxième loi de Newton) appliqué à la masse m : après projection sur u x m a = m d v dt = P + T = mẍ u x mg k(x l 0 ) = mẍ On s intéresse à l équation du mouvement autour de la position d équilibre. On pose (E) en calculant (E)-(E0) on obtient ε = x x e k(x x e ) = mẍ or ε = x x e et ε = ẍ, on retrouve alors l équation (OH) de l oscillateur harmonique. ε + ω 2 0 ε = 0 ε suit l équation de l oscillateur harmonique. x(t) = x e + ε(t) = x e + A cos(ω 0 t + ϕ). Ainsi, lorsque l origine est choisie au niveau de la position d équilibre, on retrouve l équation de l oscillateur harmonique. 6. Généralisation Si l équation du mouvement s exprime sous la forme : ẍ + ω 2 0 x = K où K est une constante homogène à une accélération. À l équilibre x = x e, ẋ = 0, ẍ = 0. On en déduit la relation ω 2 0 x e = K et on réécrit l équation sous la forme ẍ + ω 2 0 x = ω 2 0 x e ẍ + ω 2 0 (x x e ) = 0 En posant ε = x x e, ε = ẍ, on retrouve l équation (OH) ε + ω 2 0 ε = 0. On en déduit x(t) = x e + ε(t) = x e + A cos(ω 0 t + ϕ) = x e + a cos(ω 0 t) + b sin(ω 0 t) avec x e = K ω 2 0 12

VI. Bilan énergétique Quelques rappels de terminale : Travail d une force constante : W AB ( F ) = F. AB Force conservative (dont le travail est indépendant du chemin suivi), force non conservative (force de frottement) Travail d une force conservative W AB ( F ) = E p (A) E p (B). Exemple de travail de forces conservatives : travail du poids W AB ( P ) = mg(z A z B ) (axe Oz orienté vers le haut) travail de la force électrique W AB (q E) = qu AB Pour un mouvement conservatif : les seules forces qui travaillent au cours du mouvement sont conservatives, donc en l absence de frottement, E m = E c + E p = Cte. En présence de frottement l énergie mécanique diminue E m = W frottements < 0. 1. Intégrale première du mouvement. Le mouvement étudié s effectue sans frottement. On est tenté de croire qu il est conservatif. Reste à déterminer l expression de l énergie mécanique associée. Pour cela, on part de l équation du mouvement. Les termes contenus dans cette équation sont homogènes à des forces. Une énergie se mesure en joule (force longueur), une puissance en watt (énergie/temps =force vitesse). On peut donc faire apparaître une puissance en multipliant les termes de l équation du mouvement par une vitesse. On a établi, pour le mouvement horizontal sans frottement : On multiplie chaque terme par ẋ mẍ = kx mẋẍ = kxẋ mẋẍ + kxẋ = 0 d dt (1 2 mẋ2 + 1 2 kx2 ) = 0 1 2 mẋ2 + 1 2 kx2 = Cte Cette Cte étant homogène à une énergie. On reconnaît E c = 1 2 mẋ2 l énergie cinétique de la masse m. On identifie le terme 1 2 kx2 à l énergie potentielle du ressort. Elle est définie à une constante additive près. On choisit en général E p = 0 pour x = 0. On a alors E p = 1 2 kx2. De manière générale l énergie potentielle d un ressort, également appelée énergie potentielle élastique, s écrit sous la forme E p = 1 2 k(l l 0) 2 si on choisit E p = 0 pour l = l 0. On pose E m = E c + E p l énergie mécanique : elle se conserve au cours du mouvement étudié. 13

E m = E c + E p = 1 2 mẋ2 + 1 2 kx2 = Cte 2. Évolution temporelle de E c et E p x(t) = A cos(ω 0 t + ϕ) ẋ(t) = Aω 0 sin(ω 0 t + ϕ) E p = 1 2 kx2 = 1 2 ka2 cos 2 (ω 0 t + ϕ) E c = 1 2 mẋ2 = 1 2 mω2 0A 2 sin 2 (ω 0 t + ϕ) = 1 2 m k ma2 sin 2 (ω 0 t + ϕ) = 1 2 ka2 sin 2 (ω 0 t + ϕ) E m = E c + E p = 1 2 ka2 (cos 2 (ω 0 t + ϕ) + sin 2 (ω 0 t + ϕ) ) = 1 }{{} 2 ka2 =1 E m = E c + E p = 1 2 ka2 = cte On vérifie que l énergie mécanique est constante au cours du mouvement. Sa valeur se retrouve facilement en considérant une des positions extrémales de la masse (où x = ±A et ẋ = 0). On a alors E c = 0 et donc E m = E p = 1 2 ka2. Au cours du mouvement il y a passage de l énergie cinétique à l énergie potentielle et réciproquement. L énergie potentielle est maximum, lorsque la masse occupe les positions extrémales (E c = 0) L énergie cinétique est maximale lorsque la masse par O (E p = 0). 14

On a représenté dans la partie supérieure du graphe ci-dessous l évolution temporelle de E p et E c dans le cas où ϕ = 0, ainsi que la valeur de l énergie mécanique E m = 1 2 ka2. La partie inférieure du graphe indique l allure de x(t). On visualise ainsi l échange permanent entre les deux formes d énergie (cinétique et potentielle). Question : que pourrait-on dire de l évolution de E m s il y avait des frottements? Quelle en serait la conséquence sur l amplitude du mouvement? 15

3. Interprétation graphique : puits de potentiel harmonique On trace le profil parabolique de l énergie potentielle E p = 1 2 kx2 E m = E c + E p = 1 2 mẋ2 +E p }{{} 0 E m E p Le mouvement n est possible que pour des valeurs de x où l inégalité E m E p est vérifiée : la zone indiquée en pointillée n est donc pas accessible, le mouvement est borné à l intervalle [ A, A]. E c se lit graphiquement comme l écart entre E m la courbe E p (x). E c = 0 lorsque E m = E p, ce qui se produit aux deux valeurs extrémales du mouvement ±A. 16

Correction II.2 Tracé de f(x) = cos(x π) : 3 On peut poser cos(x π) = 3 cos(x ) avec x = x π : on retrouve donc la courbe du cosinus 3 dans un repère d origine O. En O, x = 0, x π = 0, x = π. 3 3 Tracé de g(x) = sin(x + 2π 3 ) La courbe est décalée vers la droite de π 3 De même on peut poser sin(x + 2π 3 ) = sin(x ) avec x = x + 2π 3. x = 0 pour x = 2π 3. On retrouve la courbe du sinus dans un repère d origine O situé en x = 2π 3. La courbe est décalée vers la gauche de 2π 3 Remarque : les fonctions sinus et cosinus étant périodiques de période 2π, on peut écrire f(x) = cos(x π 3 ) = cos(x π 3 + 2π) = cos(x + 5π 3 ). 17

Tracé de h(x) = 1 + 0.5 cos(x) 1 cos x 1, 0, 5 0.5 cos x 0, 5 0, 5 h(x) 1, 5 La fonction h(x) oscille autour de la valeur 1 avec une amplitude de 0.5. Calculs de dérivés et de primitives : ωt est sans dimension (angle en radian), ω homogène à l inverse d un temps (rad.s 1 ). f(t) = cos(ωt) f (t) = ω sin(ωt) g(t) = sin(ωt) g (t) = ω cos(ωt) 1 f(t)dt = sin(ωt) + cte ω 1 g(t)dt = cos(ωt) + cte ω 18