Chapitre 3 LES POLYNOMES 3.1 Les objectifs Le but de ce chapitre est d apprendre à effectuer des opérations dans l ensemble des polynômes, utiliser la loi du reste dans la factorisation des polynômes, dans la simplification des fractions rationnelles et dans la résolution d équations, utiliser la méthode des coefficients indéterminés lors de la résolution de certaines applications. 3.2 Vocabulaire(Rappels) 3.2.1 Monômes Monômes à une variable 1 a La forme générale d un monôme est ax m où x m 4x 3 2x 2 1 Par exemples, 2 x sont des monômes. 3x 0 81 est un coefficient réel (a IR); est la variable; est un naturel (m IN). On appelle valeur numérique d un monôme la valeur que celui-ci prend lorsque l on attribue à sa variable x une valeur réelle. Par exemple, la valeur numérique du monôme 3x 3 pour x = 2 est 3. 2 3 = 24. Monômes à plusieurs variables 5 est le coefficient, Par exemple, 5x 3 yz 2 est un monôme à plusieurs variables où x 3 yz 2 est la partie littérale de ce monôme. Ce monôme est de degré 3 en x, de degré 1 en y et de degré 2 en z. Le monôme est de degré 6 (= 3 + 1 + 2 = la somme des degrés des variables) 1 variable = inconnue = indéterminée 27
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES 28 Monômes semblables Par exemple, 5a 2 b 3 c et 7a 2 b 3 c sont des monômes semblables. Des monômes semblables ont la même partie littérale et le même degré par rapport à chacune d elles. 3.2.2 Polynômes Définition - Vocabulaire Un polynôme est une somme de monômes. Par exemple, p(x) = } 5x {{ 4 } 2x }{{ 3 } terme de degré 4 terme de degré 3 + } 7x {{ 2 } terme de degré 2 + 1 }{{} terme indépendant est un polynôme. On appelle degré d un polynôme le plus grand exposant de la variable (ici x) d un des termes non nuls de ce polynôme. Dans l exemple précédent, on constate que le degré du polynôme est 4. Toujours dans cet exemple, on constate que ce polynôme est ordonné et incomplet. Il est toujours possible de compléter un polynôme incomplet en donnant au(x) terme(s) manquant(s) le coefficient 0: p(x) = 5x 4 2x 3 + 7x 2 + 0x + 1. On appelle valeur numérique d un polynôme la valeur que celui-ci prend lorsque l on attribue à sa variable x une valeur réelle. Par exemple, la valeur numérique du polynôme p(x) pour x = 2 est p( 2) = Notons R(x) l ensemble de tous les polynômes en x à coefficients réels. Egalité de polynômes Soient les polynômes de R(x) { P (x) = an x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x 1 + a 0 K(x) = b n x n + b n 1 x n 1 + + b 1 x 1 + b 0. Nous dirons que ces deux polynômes sont égaux si, quelque soit la valeur que l on attribue à x, ils ont à chaque fois la même valeur numérique, c-à-d. P (x) = K(x) r IR : P (r) = K(r) Une égalité entre deux polynômes de degré n est équivalente à n égalités entre les coefficients des termes de même degré de ces polynômes. Mathématiquement, a n = b n a n 1 = b n 1 P (x) = Q(x).. a 1 = b 1 a 0 = b 0 Exercices 1. Calculer la valeur numérique de chacun des polynômes suivants pour les nombres indiqués. a)3x 3 5x 2 + 2x + 5 pour x = 1 et x = 2 b)x 4 + x 3 x 2 x + 1 pour x = 1 et x = 3 c)4x 5 5x 3 + 6x pour x = 2 et x = 3 d)16x 5 32x 4 + 8x 2 + 1 pour x = 0, 5 et x = 1, 5
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES 29 2. Calculer le nombre réel a de telle manière que la valeur numérique de 4x 2 (2a 1)x + 3a pour x = 3 soit 2. 3. Quelle valeur faut-il attribuer à a pour que la valeur numérique de (a + 1)x 3 + 4x 2 + (a 1)x + 3 soit 4 lorsque x vaut 3. 4. Calculer les nombres réels a et b sachant que les valeurs numériques du polynôme ax 2 bx 2 pour x = 1 et pour x = 1 sont respectivement 3 et 3. 5. Déterminer une condition entre a et b de telle manière que deux nombres opposés aient des images opposées par la fonction déterminée par f(x) = (a + b)x + a b. 6. Déterminer le réel a de telle manière que deux nombres opposés ont la même image par la fonction déterminée par f(x) = (a + 2)x 2 + (a + 1)x + a. 7. Dans chacun des cas suivants, calculer les nombres a, b et c sachant que les polynômes A(x) et B(x) sont égaux. (a) A(x) = ax 2 + (b 3)x + 2c 1 B(x) = x 2 5x + 7 (b) A(x) = 3x 2 + (2b 1)7x B(x) = (a 3)x 2 + cx + b (c) A(x) = (a + b + c)x 2 + (a + b)x + a B(x) = 7x 2 2x + 4 (d) A(x) = (a + 3b)x 2 + (a 3b)x + 4 B(x) = 7x 2 5x + c (e) (f) A(x) = (a + b)x 2 + c 3a B(x) = (a b)x 2 + (a 2)x 9 A(x) = (2a b)x 2 + (a 2b + 1)x + a + b + c B(x) = 0 (g) A(x) = 3x + 2 B(x) = ax + b(x + 1) (h) A(x) = 2x 2 + 3x 5 B(x) = ax 2 + b(x 2 + x) + c(x 2 + x + 1) (i) A(x) = 2x 2 + 3x 5 B(x) = a(x 2 + x + 1) + b(x + 1) + c 3.3 Addition et soustraction de polynômes Définition 3.1 Soient P (x) et Q(x) deux polynômes de R(x). L addition de ces deux polynômes nous donne le polynôme-somme défini par 2 (P + Q)(x) = P (x) + Q(x) x IR 2 En français et en abrégé, la valeur numérique du polynôme-somme = la somme des valeurs numériques
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES 30 Exemple 3 Propriété 3.2 A(x) = 4x 3 5x 2 + 7x 2 B(x) = x 2 5x + 3 A(x) + B(x) = 4x 3 4x 2 + 2x + 1 L ensemble R(x) des polynômes à coefficients réels en x muni de l addition est un groupe commutatif. Mathématiquement, (R(x), +) est un groupe commutatif. Démonstration. A faire... Conséquence Pour soustraire un polynôme en x, il suffit d ajouter son opposé, c est-à-dire le polynôme obtenu en changeant le signe de tous les termes du polynôme donné. Exercice 3.3 Effectuer et donner le degré du résultat dans chaque cas. 1. (12x 2 + 13x 25) (13x 2 + 27x) (25x 3 + 23x 2 7) 2. (ax 2 3ax 3 ) ( ax 2 2a) + (2x 2 2ax + 3a) Exercice 3.4 A(x) est un polynôme de degré 3 et B(x) est un polynôme de degré 4. 1. La somme de ces polynômes peut-elle être un polynôme (a) de degré 5, (b) de degré 4, (c) de degré 3, (d) de degré 2? 2. Même question pour la différence de ces polynômes. Exercice 3.5 A(x) est un polynôme de degré 3 et B(x) est un polynôme de degré 3. 1. La somme de ces polynômes peut-elle être un polynôme (a) de degré 4, (b) de degré 3, (c) de degré 2, (d) de degré 0? 2. Même question pour la différence de ces polynômes. Nous admettons la propriété suivante. 3 Il suffit d additionner les coefficients des termes semblables!
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES 31 Propriété 3.6 Le degré de la somme ou de la différence de polynômes en x est au plus égal au degré du polynôme qui a le plus haut degré. Exercice 3.7 Vrai ou faux? Justifier 1. P (x) R(x) : P (x) = P ( x) 2. P (x) R(x) : P (x) = P ( x) 3.4 Multiplication des polynômes Définition 3.8 Soient les polynômes P (x) et Q(x) de R(x). La multiplication de ces deux polynômes nous donne le polynôme-produit défini par (P.Q)(x) = P (x). Q(x) x IR Exemple A(x) = 3x 2 2x + 7 B(x) = 5x + 6 A(x).B(x) = 15x 3 + 28x 2 47x + 42 Exercice 3.9 Effectuer les produits suivants et donner le degré du résultat dans chaque cas. 1. ( x2 3 5x3 + 1 6 x)( 3 2 x2 5x 7) 2. (2x 3)(3x + 4)(x 2 1) Exercice 3.10 A(x) est un polynôme de degré 3 et B(x) est un polynôme de degré 4. Le produit de ces polynômes peut-il être un polynôme 1. de degré 12, 2. de degré 8, 3. de degré 7, 4. de degré 6? Nous admettons la propriété suivante. Propriété 3.11 Le degré du produit de deux polynômes est la somme des degrés des polynômes donnés. Remarques 3.12 Le terme de plus haut degré du produit est le produit des termes de plus haut degré des facteurs. Le terme indépendant, s il existe, est le produit des termes indépendants, s ils existent.
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES 32 3.5 Division des polynômes 3.5.1 Division d un monôme par un monôme Exemples 1. 6x 5 2x 3 = 2. 15x 3 5x 3 = 3. 8x 3 4x 5 = 3.5.2 Division d un polynôme par un monôme Exemples 1. 2x 4 6x 3 +8x 2 2x = 2. 2 3 x3 3 5 x2 + 1 4 x 3 4 x = 3.5.3 Division d un polynôme par un polynôme Rappel: division de 2 nombres Divisons 3658 par 3: Division de 2 polynômes Divisons le polynôme p(x) = 6x 4 2x 3 + 9x 2 2x 2) (dividende) par le polynôme d(x) = x 2 + 2 (diviseur). On obtient DIVIDENDE 6x 4 2x 3 + 9x 2 2x 2 x 2 + 2 (6x 4 +12x 2 ) 6x 2 2x 3 DIVISEUR 2x 3 3x 2 2x 2 QUOTIENT ( 2x 3 4x) ( 3x 2 6) 2x +4 RESTE
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES 33 Conclusions 1. 6x 4 2x 3 + 9x 2 2x 2 = (x 2 + 2)(6x 2 2x 3) + (2x + 4); 2. 6x 4 2x 3 +9x 2 2x 2 x 2 +2 = (6x 2 2x 3) + 2x+4 x 2 +2. Définitions Effectuer la division euclidienne du polynôme A(x) par le polynôme B(x), c est déterminer les polynômes quotient Q(x) et reste R(x) tels que { A(x) = B(x).Q(x) + R(x) Le polynôme A(x) est appelé dividende; le polynôme B(x) est appelé diviseur. Disposition pratique degré R(x) < degré B(x). Pour diviser un polynôme A(x) par un polynôme B(x), on réduit et on ordonne les polynômes; on complète éventuellement le polynôme A(x); on effectue la division comme en calcul écrit et on arrête lorsque le reste a un degré inférieur à celui de B(x). Exercices 1. Effectuer les divisions (a) 3x4 6x 3 +5x 2 x 2 (b) 6x7 +x 4 x 3 2x 2 2. Effectuer les divisions (a) 6x5 +2x 3 +3x 2 x 2 x (b) 2x7 +3x 6 5x 5 +3x 4 x 3 +1 (c) 3x5 y+x 4 y 2 6x 3 y 3 xy (d) 6x3 y 3 z 3 x 2 y 4 +3x 3 y 5 3x 2 y 2 (c) x6 +2x 5 +x 4 2x 3 2x 2 +x (d) 3x4 x 3 +x 2 2x 2 3x+1 (e) 2xp y p z 3x p+1 y p+1 z p+1 x p 1 y p 2 (f) x3n y 3p z 3q +2x n y 2p z 3q 5x n y p z q 1 (e) 5x5 2x 3 +x 2 4x 2 5x+6 (f) x9 x 6 +x 3 x 3 x 5 3. Démontrez la propriété suivante: Lors de la division du polynôme A(x) par le polynôme B(x), le degré de A(x) est égal à la somme des degrés de B(x) et du quotient Q(x). 3.5.4 Division d un polynôme en x par (x a) Introduction Dans le cas où le diviseur est un polynôme de la forme x a, on peut reformuler ce qui a été dit en général. Définition Effectuer la division euclidienne du polynôme A(x) par le binôme (x a), c est déterminer les polynômes quotient Q(x) et reste R(x) tels que { A(x) = (x a).q(x) + R(x) R(x) est constant. On note alors le reste par r.
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES 34 Vocabulaire Le polynôme A(x) est divisible par x a lorsque le reste de la division est égal à 0, c est-àdire lorsque A(x) = (x a).q(x). Le polynôme A(x) se factorise alors en produit de (x a) et du quotient. Exemple Le polynôme x 4 5x 3 + 3x 2 + 9x 6 est divisible par x 2 puisque x 4 5x 3 + 3x 2 + 9x 6 = (x 2)(X 3 3x 2 3x + 3). Exemple introductif Soit à diviser p(x) = 5x 3 + 2x 4 + x + 1 par x 2 (rem. : a = 2). 2x 4 5x 3 + 0x 2 + x + 1 x 2 Disposition pratique : la grille de HORNER Cette règle est une disposition simplifiée de la méthode des coefficients indéterminés. Les coefficients du dividende {}}{ 2 5 0 1 1 + + + + La valeur de a 2 4 2 4 6 2 1 2 3 5 }{{} Les coefficients du quotient }{{} Le reste On obtient Q(x) = Le degré du quotient est le degré du dividende diminué de 1. Loi du reste Reprenons l exemple et remarquons que P (2) = Le reste de la division d un polynôme en x par x a est égal à la valeur numérique du polynôme pour x = a. En effet, par la division euclidienne on a obtenu P (x) = (x a)q(x) + r
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES 35 Mais alors, en particulier, si x = a : Conséquence P (a) = (a a)q(a) + r = 0 Q(a) + r = r Le polynôme P (x) est divisible par (x a) P (a) = 0 Application Soit à factoriser le polynôme P (x) = x 2 + x 2. Les diviseurs entiers du terme indépendant sont :... P (1) = P ( 1) = Calculons P (2) = P ( 2) = On a donc P (x) = Exercices 1. Calculer le quotient et le reste de la division de A(x) par B(x) dans chaque cas 1 A(x) = x 2 + 5x + 6 Q(x) = x + 3 B(x) = x + 2 2 A(x) = 3x 3 8x 2 + 7x 2 Q(x) = x 2 2x + 1 B(x) = 3x 2 3 A(x) = 8x 4 2x 3 x 2 + 5x + 6 Q(x) = 2x 3 + x 2 x + 2 B(x) = 4x + 3 4 A(x) = 8x 4 23x + 15x 5 + 6 + 22x 2 Q(x) = 3x 3 + 4x 2 5x + 2 B(x) = 3 4x 5x 2 5 A(x) = x 3 + 6x 2 + 3x 7 Q(x) = x 2 + 4x 5 B(x) = x + 2 R(x) = 3 6 A(x) = 2x 3 + 3x 2 + 5x 4 Q(x) = 2x + 3 B(x) = x 2 1 R(x) = 3x 1 7 A(x) = x x 3 1 2x 2 Q(x) = 1 2 x2 + 1 2 B(x) = 4 + 2x R(x) = 3 8 A(x) = 4x 2 x 3 + 7 + 2x 5 6x Q(x) = x 2 + 2 B(x) = 4 3x 2x 3 R(x) = 8x 2 1 9 A(x) = x 5 x 7 + 3 6x + 5x 2 + 2x 4 + 7x 3 Q(x) = x 4 + 2x 2 1 B(x) = 3x x 3 + 2 R(x) = x 2 3x + 5 10 A(x) = x 3 + 3x 2 7x + 3 Q(x) = x 2 + 4x 3 B(x) = x 1 11 A(x) = 6 4x + x 3 Q(x) = x 2 3x + 5 B(x) = x + 3 R(x) = 9 12 A(x) = 5x 2 2x 3 3 + 4x Q(x) = 2x 2 x + 1 B(x) = x 3 13 A(x) = 2x 3 4x 5 x 2 Q(x) = 2x 2 3x 1 B(x) = x + 1 R(x) = 4 14 A(x) = 6x 5 3x 4 2x + 6 10x 2 Q(x) = 2x 3 x 2 + 4 B(x) = 2 + 3x 2 3 x 4 R(x) = 2 3 x 2 15 A(x) = 0, 4x 2 0, 05x 4 Q(x) = 0, 5x + 1, 5 B(x) = 0, 8x 2, 5 R(x) = 0, 25
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES 36 16 A(x) = x 6 + 19 6 x5 5x 4 + 17 12 x3 20 9 x2 + 11 3 x 1 B(x) = 2 3 x2 + 2x 3 17 A(x) = 6x 4m x 3m 82x 2m + 81x m + 36 B(x) = 2x m 3 Q(x) = 3 2 x4 1 4 x3 x + 1 3 Q(x) = 2. La division suivante se fait exactement. Déterminer le quotient après avoir ordonné le dividende et le diviseur selon les puissances décroissantes d une même variable. (Il y a donc deux calculs à faire) (4x 4 x 2 y 2 + 6xy 3 9y 4 ) : (3y 2 xy + 2x 2 ) 3. Les divisions suivantes se font-elles exactement? Calculer le quotient et le reste. (a) x3 +x 2 +x 3 x+2 (b) 2a3 +a 2 9a+3 a 2 (c) x4 1 x+2 (d) x2 +2x+3x 4 2 x+1 (e) 6x3 x+x 2 1 2 x 1 2 (f) 1 4x+3x3 +6x 4 x+ 1 2 (g) x4 2x 3 y+x 2 y 2 2xy 3 x 2y (h) x3 +(a b)x 2 2a 2 x 2ab(a+b) b (i) 3x3 +a 3x 2 9a 2 x 3a 3 3 3 4. Les divisions suivantes se font-elles exactement? Calculer le quotient et le reste (n IN). (a) x2 a 2 (b) x2 +a 2 (c) x3 a 3 (d) x5 +a 5 (e) xn a n (f) xn +a n (g) x3 +1 x+1 (h) x2 a 2 x+a (i) x2 +a 2 x+a (j) x3 a 3 x+a (k) x5 +a 5 x+a (l) xn a n (m) xn +a n (n) x3 1 x 1 5. Déterminer k pour que les divisions suivantes donnent comme reste r. Calculer le quotient après avoir remplacé k par la valeur trouvée 1) x 3 +x 2 x k x 1 r = 0 r = 5 2) 3x 3 4x 2 +kx+3 x 2 3) 3a 3 +a 2 ka+2 a+1 r = 2k 1 4) k 2 x 3 kx 2 10x x+3 r = 6 5) kx 4 +kx 3 y+kx 2 y 2 40xy 3 +3y 4 x 3y r = 0 6. Déterminer a et b pour que le polynôme p soit divisible à la fois par d 1 et d 2. Factoriser le polynôme obtenu. 7. Décomposer 1) p = ax 4 + bx 3 8x 2 4x + 5 d 1 = x 1 d 2 = x + 1 2) p = ax 4 + bx 3 ax 2 bx 2 d 1 = x + 1 d 2 = x + 2 3) p = ax 4 10x 2 y 2 bxy 3 + (b 1)y 4 d 1 = x + y d 2 = x 3y 1)p = x 2 + 2x 35 sachant que p(5) = 0 2)p = 2x 2 + 3x 3 sachant que p( 3) = 0 3)p = 2x 3 15x 2 + 19x 6 sachant que p(1) = p(6) = 0 4)p = x 3 + ( 3 2 6)x 2 (3 2 2 3 + 6)x + 6 sachant que p( 2) = p( 3) = 0 8. Factoriser les polynômes suivants: (a) x 3 4x 2 + x + 6 (b) 2x 3 + 3x 2 3x 2 (c) x 3 7x 6 (d) x 3 6x 2 + 11x 6 (e) x 3 + 6x 2 + 11x + 6 (f) 2x 3 5x 2 4x + 3
CHAPITRE 3. LES POLYNOMES 37 9. Simplifier les fractions suivantes : (a) x3 3x 2 4x+12 x 3 6x 2 +11x 6 (b) 2x3 5x 2 4x+3 4x 2 4x+1 (c) x3 +x 2 9x 9 x 3 +3x 2 x 3 (d) x 3 7x 6 x 3 +2x 2 x 2 10. (a) Les restes des divisions du polynômes p par (x 1) et par (x 2) sont respectivement 2 et 6. Calculer le reste de la division de p par (x 1)(x 2). (b) Les restes des divisions du polynômes p par (x + 1) et par (x 1) sont respectivement 3 et 1. Calculer le reste de la division de p par (x 2 1). 11. Déterminer les réels a et b pour que le polynôme ax 4 + bx 3 + 1 soit divisible par (a) x 2 1 (b) (x 1) 2 (c) (x + 1) 2 Dans chacun des cas, précisez le quotient.