La structure par terme des taux d intérêt. Abdelkader BOUDRIGA

La structure par terme des taux d intérêt Abdelkader BOUDRIGA 006

Définition de la courbe des taux La structure par terme des taux d intérêt (ou courbe des taux ou encore gamme des taux) est la fonction qui à une date donnée et pour chaque maturité en abscisse, indique le niveau du taux d intérêt associé en ordonnée. Exemple: Courbe Trésor des taux zéro-coupon US - 05/09/00 issue des strips (obligation zéro-coupon dite aussi simplement zérocoupon) du Trésor américain La multitude de courbe des taux une date donnée et dans un pays ou une zone économique unifiée, il existe une multitude de courbes de taux. Abdelkader BOUDRIGA 006

On distingue les courbes de marché et les courbes implicites. Les courbes de marché sont construites directement à partir des cotations de marché d instruments comme les obligations et les swaps. Les courbes implicites sont dérivées indirectement à partir des cotations de marché d instruments comme les obligations et les swaps. Parmi les courbes de marché: - la courbe des taux de rendement à maturité: elle est construite à partir des taux de rendement des obligations. - la courbe des taux de swaps: elle est construite à partir des taux de swaps. Abdelkader BOUDRIGA 006 3

Parmi les courbes implicites: - la courbe des taux zéro-coupon - la (les) courbe(s) de taux forwards - la courbe des taux forwards instantanés - la courbe des taux de rendement au pair On distingue les courbes de taux selon l émetteur, le secteur auquel il appartient et son niveau de rating. Exemple: - la courbe des taux de rendement du Trésor Abdelkader BOUDRIGA 006 4

- la courbe des taux de rendement des entreprises du secteur bancaire disposant du rating A - la courbe des taux de rendement de la société X Pourquoi utiliser un modèle de taux? On distingue trois grands types de modèles de taux: - le modèle d analyse en composantes principales de la courbe des taux. Il porte généralement sur la courbe des taux zéro-coupon ou des taux forwards. - les modèles de reconstitution de la courbe des taux au comptant. Il portent généralement sur la courbe des taux zéro-coupon. Abdelkader BOUDRIGA 006 5

- les modèles stochastiques de la courbe des taux. Il portent généralement sur la courbe des taux zéro-coupon ou des taux forwards instantanés. Le modèle d analyse en composantes principales de la courbe des taux a pour but de mettre en évidence les principaux facteurs qui expliquent les déformations de la courbe des taux. Utilisations concrètes: ) meilleure connaissance de l évolution empirique de la courbe des taux, fondamentale pour la mise en place d un modèle stochastique réaliste ) couverture contre le risque de taux de produits à flux déterministes par immunisation contre les principaux facteurs de déformation de la courbe des taux Abdelkader BOUDRIGA 006 6

Les modèles de reconstitution de la courbe des taux zéro-coupon au comptant ont trois principales applications en pratique: - Ils permettent d évaluer (et pour certains de couvrir) à la date de reconstitution les produits de taux à flux déterministes (obligation à taux fixe, par exemple) => l analyse «rich and cheap» (bond picking) qui consiste à détecter les produits sur-et sous-évalués par le marché pour tenter d en tirer profit. Cette analyse peut être menée dans un contexte de trading en salle de marché ou de gestion obligataire ou/et alternative en société de gestion. - Ils permettent de dériver les autres courbes implicites: courbe des taux forward, courbe des taux de rendement au pair, courbe des taux de rendement instantanés. Abdelkader BOUDRIGA 006 7

- enfin, ils sont le point de de départ pour la mise en place de modèles stochastiques de déformation de la courbe des taux. Les modèles stochastiques de déformation de la courbe des taux sont utilisés à deux fins essentielles: - pour l évaluation et la couverture de produits de taux délivrant des flux aléatoires dans le futur (par exemple, options de taux d intérêt). Le vendeur d option doit être capable de donner un prix au produit qu il vend, mais surtout de répliquer (ou couvrir) l option qu il vend car il encourt une perte illimitée. cf profil P&L d une vente de call ou put (voir slide suivant) Ces modèles sont surtout utilisés en salle de marché dans un contexte de trading, et dans les cellules de contrôle des risques. - pour la mise en place de l analyse par scénario. Abdelkader BOUDRIGA 006 8

Quand un gérant de portefeuille met en place une stratégie, il a besoin de savoir ce qu il va gagner dans le scénario de déformation de la courbe des taux qu il anticipe. Mais comme il n est pas sûr que son scénario se réalise, il a aussi besoin de mesurer le risque qu il prend si ce scénario ne se réalise pas dans les faits. Pour cela, il a besoin de mettre en place un outil qui lui permet d envisager tous les scénarios possibles de déformation de la courbe des taux. Cet outil appelé analyse par scénario ou «scenario analysis» lui permettra de calculer: Abdelkader BOUDRIGA 006 9

- le taux de rendement le plus défavorable suite à la mise en place de la stratégie d investissement. - le taux de rendement moyen et son écart-type en prenant en compte l ensemble des scénarios possibles de déformation de la courbe. La courbe des taux de rendement à maturité La courbe des taux de rendement à maturité associe à chaque maturité d une obligation son taux de rendement. En pratique, cette courbe souffre de l effet coupon pour des raisons essentiellement fiscales, certains pays taxant différemment le capital et les coupons. Ainsi, deux obligations de même échéance mais de taux de coupon différent n auront pas forcément le même taux de rendement, les investisseurs préférant l obligation qui Abdelkader BOUDRIGA 006 0

a le coupon le plus élevé, ce qui a pour effet d accroître son prix et de diminuer son taux de rendement. Avantage du taux de rendement à maturité Le taux de rendement actuariel à maturité permet d associer un seul facteur de risque responsable de la variation du prix de l obligation ou d un portefeuille obligataire. Pour le détenteur d un portefeuille obligataire qui souhaite protéger son capital, il suffit alors d immuniser son portefeuille contre les variations ce taux. On appelle cela la couverture en duration. Limite du taux de rendement à maturité Abdelkader BOUDRIGA 006

Le fait d utiliser le taux de rendement pour évaluer une obligation consiste à faire l hypothèse que la courbe des taux est plate. En effet on utilise le même taux R dans chaque facteur d actualisation. Or la courbe des taux est très rarement plate. zéro- Une obligation est plus justement évaluée à l aide des taux coupon. Définition du taux zéro-coupon Il est implicitement défini dans la relation suivante: Abdelkader BOUDRIGA 006

B(0, t) = [ + R(0, t) ] t où: - B(0,t): prix de marché à la date 0 d une obligation zéro-coupon délivrant euro à la date t. On appelle aussi B(0,t), le facteur d actualisation en 0 pour la maturité t. - R(0,t): taux de rendement en 0 de l obligation zéro-coupon délivrant euro en t. R(0,t) est aussi le taux zéro-coupon en 0 de maturité t. Nota Bene: les concepts de taux de rendement à maturité et de taux zéro-coupon sont identiques pour des obligations zéro-coupon (appelées strips). Abdelkader BOUDRIGA 006 3

Reprenons l équation qui caractérise le prix de l obligation en utilisant le taux de rendement à maturité R En l absence d opportunités d arbitrages, il est équivalent de détenir cette obligation ou l ensemble des m strips Vi qui la composent et délivrent chacune le flux F(i) à la date i. V (t) = m i= t+ F(i) [ + R(t) ] i t Abdelkader BOUDRIGA 006 4

Le fait d utiliser le taux de rendement à maturité revient à actualiser chacun des flux au même taux et donc à donner des prix erronés aux obligations zéro-coupon sauf dans le cas où la courbe est plate. V(t) = m i i= t+ V (t) Dans la pratique les taux de rendement associés à chacune des obligations zéro-coupon sont différents (sauf quand la courbe est plate). Le prix du strip Vi est égal à R(t, θ) : taux de rendement de l obligation zéro-coupon d échéance t + θ B(t, T) : prix à la date t de l obligation zéro-coupon rapportant euro en T («facteur d actualisation») Abdelkader BOUDRIGA 006 5

On appelle plus simplement R(t, θ) le taux zéro-coupon en t d échéance t + θ F(i) V i (t) = F(i)B(t,i) i t + R(t,i t) = [ ] Le prix V de l obligation à la date t s écrit donc plus justement V m F(i) = = + [ + ] = m i (t) F(i)B(t,i i t i t R(t,i t) ) i= t+ Exemple: Soit l obligation de montant nominal 00$, de maturité 3 ans et de taux de coupon 0%. Les strips à an, ans et 3 ans cote respectivement 7%, 9% et 0%. Le prix P de l obligation est égal à Abdelkader BOUDRIGA 006 6

P = 0 + 7% + 0 + 0 ( + 9% ) ( + 0% ) 3 = 00.407$ Pour évaluer convenablement une obligation, il suffit donc de connaître les taux zéro-coupon associés aux maturités de chacun des flux de l obligation. Ces taux zéro-coupon n existent malheureusement pas sur le marché pour un continuum de maturité. Il n existe en effet que trop peu d obligations zéro-coupon. Les courbes de taux zéro-coupon obtenues directement en utilisant les strips sont en effet fortement discontinues: Il est donc nécessaire d estimer cette courbe des taux zéro-coupon par d autres méthodes. Abdelkader BOUDRIGA 006 7

La connaissance de cette courbe de taux zéro-coupon (en fait nous verrons qu il y en a plusieurs caractérisées par différents risques de contrepartie) permet d évaluer n importe quel produit de taux à flux déterministes. La connaissance de la courbe des taux zéro-coupon permet aussi de déduire deux autres courbes très utilisées en pratique: - la courbe des taux forwards; - et la courbe des taux de rendement au pair. Définition du taux forward Abdelkader BOUDRIGA 006 8

Un taux qu on peut se garantir Aujourd hui, nous empruntons $ à ans et prêtons $ à an. Les cash-flows de cette double opération sont: Aujourd hui Dans an Dans ans Emprunt -[+R(0,)]² Prêt - +R(0,) Solde total 0 +R(0,) -[+R(0,)]² Abdelkader BOUDRIGA 006 9

Cette opération est équivalente à emprunter +R(0,) dans un an, et à rembourser [+R(0,)]² dans deux ans. Le taux implicite du prêt est égal à ( + R(0,) ) + R(0,) = F(0,,) F(0,,) est le taux d intérêt garanti aujourd hui pour un prêt démarrant dans un an et finissant dans ans. Exemple Maturité Taux spot (rt) Taux forward (ft) 4.0% - Abdelkader BOUDRIGA 006 0

5.0% 6.0% 3 5.5% 6.507% ( + r ) (.05) ( + r 3 f ) (.055) f 3 3 3 = ( + r = 6.0% )( + f = (.04)( + f = = ( + r (.05) ) = 6.507% ( + f ) ) ( + f 3 3 ) ) Abdelkader BOUDRIGA 006

Le taux forward (ou taux forward zéro-coupon) F(t,x,y-x), déterminé en t, démarrant en x et d échéance y, est défini par: ( + R(t, y) ) ( + R(t, x) ) y t y x F(t, x, y x) = x t Pour un emprunt avec remboursement des intérêts et du capital à l échéance, F(t,x,y-x) est le taux d intérêt auquel on peut signer un contrat aujourd hui, avec un démarrage en x et l échéance en y. La courbe des taux forwards (zéro-coupon) Abdelkader BOUDRIGA 006

Il s agit de la courbe déterminée à la date t, qui à y-x fait correspondre F(t,x,y-x) avec des taux démarrant en x. Concrètement la quantité y-x varie toujours entre jour et 30 ans, la quantité x étant fixée au départ. On peut tracer de très nombreuses courbes des taux forwards selon la valeur choisie de x: - la courbe des taux forwards dans un mois (x = /); - la courbe des taux forwards dans un an (x = ); - la courbe des taux forwards dans 0 ans (x = 0); Le taux de rendement au pair Pour gommer l effet coupon rencontré sur la courbe des taux de rendement à maturité, on trace la courbe des taux de rendement au pair. Abdelkader BOUDRIGA 006 3

Rappelons qu une obligation au pair est une obligation dont le taux de coupon est identique au taux de rendement actuariel, c est-à-dire qui vaut 00 (00% du montant nominal de l obligation). R(0,t) désignant le taux zéro coupon de maturité t, le taux de rendement au pair r(n) de maturité n est calculé comme r (n) r(n) 00 + r(n) + +... + = 00 + R(0,) + R(0,) + R(0, n) ( ) ( ) n suit soit Abdelkader BOUDRIGA 006 4

r (n) = 00 n i= ( + ( + R(0, n) ) R(0,i)) i n Cette courbe associe à la maturité n le taux r(n). Elle est classiquement utilisée afin de déterminer le niveau du coupon lors de l émission d une obligation au pair. Liens entre les différents taux Abdelkader BOUDRIGA 006 5

- Lien entre le taux forward et les taux zéro-coupon: F C (t, x, y x) = (y t)r C (t, y t) (x y x t)r C (t, x t) 3- Lien entre le taux zéro-coupon et le taux forward instantané: R C (t, y t) = y t y t f C (t,s)ds La méthode théorique de reconstitution Abdelkader BOUDRIGA 006 6

Elles permettent de déduire directement les taux zéro-coupon des obligations à coupons. Elles requièrent les deux conditions suivantes: - elles ont les mêmes dates de tombée de coupon - elles ont des maturités multiples de la fréquence de tombée des coupons. Cette méthode n est que théorique car dans la pratique il est très rare de pouvoir trouver un échantillon d obligations ayant ces deux caractéristiques. Pt =(Pt, Pt,..., Ptn)T le vecteur des prix à l instant t des n obligations à coupons du panier Abdelkader BOUDRIGA 006 7

F = (Fti(j))i=,...,n, j=,...,n la matrice n x n correspondant aux flux des n titres. Les dates de tombées des flux sont identiques pour tous les titres. Bt =(B(t,t), B(t,t),,..., B(t,tn))T le vecteur des facteurs d actualisation Par AOA, on obtient le vecteur des facteurs d actualisation Pt = F. Bt soit Bt = F-. Pt car F est inversible On extrait le vecteur des taux zéro-coupon à l aide de la relation R(t, t i t) = B(t, t i ) ti t Abdelkader BOUDRIGA 006 8

Si l on souhaite utiliser des taux continus, on utilise alors R(t, ti t) = ln( B(t, ti) ) t t i Exemple Coupon Maturité (années) Prix Titre 5 0 Titre 5.5 0,5 Titre 3 5 3 99 Titre 4 6 4 00 Abdelkader BOUDRIGA 006 9

On obtient le système d équation suivant: 0 = 05 B(0,) 0.5 = 5.5 B(0,) + 05.5 B(0,) 99 = 5 B(0,) + 5 B(0,) + 05 B(0,3) 00 = 6 B(0,) + 6 B(0,) + 6 B(0,3) + 06 B(0,4) soit B(0,)=0.969, B(0,)=0.99, B(0,3)=0.8536, B(0,4)= 0.7890 et R(0,)=3.96%, R(0,)=4.77%, R(0,3)=5,47%, R(0,4)=6,03% Abdelkader BOUDRIGA 006 30

La méthode du bootstrap Il s agit d une procédure en plusieurs étapes qui permet de reconstituer une courbe zéro-coupon au comptant «pas à pas» i.e. segment par segment de maturité. - Pour le segment de la courbe inférieur à an: Extraction des taux zéro-coupon grâce aux prix des titres zéro-coupon cotés sur le marché puis obtention d une courbe continue par interpolation linéaire ou cubique (voir plus loin). Abdelkader BOUDRIGA 006 3

- Pour le segment de la courbe allant de an à ans: Parmi les obligations de maturité comprise entre an et ans, on choisit l obligation à l échéance la plus rapprochée. Ce titre verse deux flux. Le facteur d actualisation du premier flux est connu grâce à l étape. Le facteur d actualisation du second flux est solution de l équation non linéaire P = C B(0, t) + (00 + C) B(0, t) avec t <= et < t <= On obtient alors un premier point de courbe sur ce segment. On réitère alors le même procédé avec l obligation de maturité immédiatement supérieure mais toujours inférieure à ans. Abdelkader BOUDRIGA 006 3

3- Pour le segment de la courbe allant de ans à 3 ans: On réitère l opération précédente à partir des titres ayant une maturité comprise entre ans et 3 ans....etc... Exemple de Bootstrap Maturité ZC Overnight 4.40% mois 4,50% mois 4,60% 3 mois 4,70% 6 mois 4,90% 9 mois 5,00% an 5,0% Abdelkader BOUDRIGA 006 33

Coupon Maturité Prix Titre 5% an mois 04,7 Titre 6% an et 9 mois 0 Titre 3 5.50% ans 99,5 Taux à an et mois 5 03.7 = + / 6 ( + 4.6%) ( + 05 x) + / 6 soit 5.4% Abdelkader BOUDRIGA 006 34

Taux à an et 9 mois 0 = 6 ( + 5%) 9 / + ( + x) 6 + 9 / soit 5.69% Taux à ans 5.5 99.5 = ( + 5.%) soit 5.79% Taux à 3 ans + 05.5 ( + x) Abdelkader BOUDRIGA 006 35

97.6 = 5 ( + 5.%) + 5 ( + 5.79%) + ( + 05 x%) 3 soit 5.9% On obtient le tracé de courbe suivant pour les maturités comprises entre jour et 3 ans, en supposant que l on raccorde linéairement l ensemble des points. Abdelkader BOUDRIGA 006 36

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Les différents types d interpolation Quand on utilise la méthode théorique directe ou le bootstrap, il est nécessaire de choisir une méthode d interpolation entre deux points. Deux sont particulièrement utilisées: les interpolations linéaire et cubique. Interpolation linéaire: On connaît les taux zero-coupon de maturités t et t. On souhaite interpoler le taux de maturité t avec t< t <t R(0, t) = (t t)r(0, t) (t + (t t ) t )R(0, t ) Exemple: R(0,3) =5.5% et R(0,4)=6% Abdelkader BOUDRIGA 006 38

0.5 5.5% + 0.75x6% R (0,3.75) = = 5.875% Interpolation cubique: On procède à une interpolation cubique par segment de courbes. On définit un premier segment entre t et t4 où l on dispose de 4 taux R(0, t), R(0, t), R(0, t3), R(0, t4). Le taux R(0, t) de maturité t est défini par 3 R(0, t) = at + bt + ct + d sous la contrainte que la courbe passe par les quatre points de marché R(0, t), R(0, t), R(0, t3), R(0, t4). D où le système à résoudre: Abdelkader BOUDRIGA 006 39

R(0, t R(0, t R(0, t R(0, t 4 3 ) = at ) = at ) = at ) = at 3 3 3 3 3 4 + + + + bt bt bt bt 3 4 + ct + ct + ct + ct 3 4 + d + d + d + d Exemple On se donne les taux suivants : R(0, t) = 4%, R(0, t) =5%, R(0, t3) = 5.5% et R(0, t4) = 6% Calculer le taux de maturité.5 ans? R(0,.5) = a x.53 + b x.5 + c x.5 + d = 5.34375% avec Abdelkader BOUDRIGA 006 40

= = 0.0 0.07 0.05 0.005 6% 5.5% 5% 3% 4 6 64 3 9 7 4 8 d c b a Abdelkader BOUDRIGA 006 4

Comparaison des deux interpolations Abdelkader BOUDRIGA 006 4